Platonische Insel - Mathematik, Uni

Platonische Insel
Platonische Körper sind populär:
• altavista.de 664 - altavista.com 2.684
• „Platonische Körper, Kugelpackungen und
hyperbolische Geometrie“ (Buch 2000)
... aber eigentlich regulär:
• Konvex und an jeder Ecke stoßen gleich
viele gleiche reguläre Polygone zusammen
http://btmdx1.mat.uni-bayreuth.de/~rockstroh/Platon.htm
Platonische Körper: die Eders
Ikosa
Dodeka
Tetra
Hexa
Okta
Innkreisdarstellung
Geschichte: Pythagoras
Ägypter :
halbe Oktaeder
Pythagoras (ca. 580-500 v.Chr.)
kannte Würfel, Pyramide, Tetraeder
und (vermutlich) Dodekaeder
Platon (ca. 428 - 348 v. Chr.)
Namens- und Bedeutungsgeber : die Elemente
Tetra
Hexa
Okta
Feuer
Erde
Luft
Ikosa
Wasser
Dodeka
Weltganzes,
quinta essentia,
der Himmelsäther
Zu Archimedes
• plat. Körper: Erste vollständige mathematische Klassifikation
• Konstruktion zuerst im Buch XIII der Elemente des Euklid
(300 v. Chr.) überliefert
Verallgemeinerung der Platonischen Körper :
Archimedes (287 - 212 v. Chr.) halbregelmäßige Körper
Kuboktaeder
(kleines) Rhombenikosidodekaeder
Renaissance
• perspektivische Darstellung :
Interesse an geometrischen Formen,
speziell regelmäßigen Körpern.
• 1509 verfasste Luca Pacioli
"De Divina Proportione“
• Bilder von
Leonardo da Vinci
(1452-1519)
Sternkörper
• Kepler und Louis Poinsot (1777 - 1859)
entdeckten die nach ihnen benannten
Sternkörper.
Kleines Sterndodekaeder
(Sterneckiges Dodekaeder)
Großes Sterndodekaeder
(Sterneckiges Ikosaeder)
Kepler (1571-1630)
• Betrachtung der Konjunktionen aufeinander
folgender Planeten liefert Weltmodell:
"Mysterium Cosmographicum" (1596)
• "Weltharmonik“ (1619 ): geometrische
Symmetrie in der Kunst, speziell der Musik
und in der Astronomie.
• Begriff der Polarität (Dualität), vollständige
Darstellung der Archimedischen Körper.
Dali (2. 5. 1904 - 23. 1. 1989)
Das letzte Abendmahl (1955) Die Zahl 12 liegt zugrunde:
12 Stunden - 12 Monate - 12 Fünfecke im Dodekaeder –
12 Tierkreiszeichen - 12 Apostel.
Kult- und Naturobjekt
Römische Dodekaeder (92 Funde) als (?)
Zepterknauf, Waffe, Spielzeug, Kerzenhalter,
Kalibrierungsinstrument, Vermessungsapparat,
mystisches oder religiöses Symbol.
Magneteisen
Rotkupfererz
Alge
Warum nur 5 ?
• Ecken sind charakteristisch: Wieviele
Polygone (k) mit wievielen Ecken (n)
stossen zusammen?
• Mindestens 3 mit mindestens 3 Ecken.
• Andererseits, damit „3-D Effekt“ :
kβ < 360°
β
Warum nur 5 ?
• Winkelberechnung :
β
α
α = 360° / n
β = 180° − α
• Also Ungleichung :
kβ < 360° <=> k(1−2 / n) < 2
• Frage nun : Wann ist das erfüllt ?
Warum nur 5 ?
• Kontinuerliche Version :
k = x reelle Zahl, n = y reelle Zahl
• Erstmal Rand: x(1-2/y)=2 <=> x=2/(1-2/y)
• Also mit ganzen Zahlen :
(3,6), (4,4), (6,3) das sind „Kacheln“
Warum nur 5 ?
• Randkurve ist symmetrisch :
x(1-2/y) <=> xy=2(x+y)
• und monoton :
x(1-2/y) <=> x=2/(1-2/y)
6
2/(1-2/x)
5.5
5
4.5
4
3.5
3
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
Warum nur 5 ?
• Für grössere Werte geht es nicht mehr :
Df(x,y)=(1-2/y), 2x/(y2)
Das ergibt die platonische Insel