Versuch 1a Kennlinie eines Widerstandes und einer Glühlampe

Berner Fachhochschule
Hochschule für Technik und Informatik
Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik
BFH
HTI
EKT
Versuch 1a
Kennlinie eines Widerstandes und einer Glühlampe
Einführender Versuch zum Verhalten von Strom und Spannung
in einem Widerstand und in einer Glühlampe
1.
1.1
Versuchsanordnung und Auftrag
Versuchsanordnung
Glühlampe
Speisegerät
Versuchsobjekt, DUT
Widerstand
I
U
Fig. 1-1
Bockschema zum Versuch Kennlinie einer Glühlampe
Gegeben sind ein Versuchsobjekt (DUT: Device under Test), ein Speisegerät
(Quelle) mit einstellbarer Spannung, ein Strommessgerät (Ampèremeter) und ein
Spannungsmessgerät (Voltmeter).
Quelle, DUT und Messgeräte werden in der gezeigten Weise zusammengestellt.
1.2
•
Auftrag
Ausmessen eines Widerstandes: Messen Sie die Spannung U und den Strom I
durch das Eintor (DUT) und tragen Sie die gefundenen Werte in die Tabelle 2.1
ein.
Das Produkt PL = UL⋅IL darf 500 mW nie überschreiten (Leistungshyperbel):
U
P = U⋅I
Arbeitsbereich
I
Zeichnen Sie mit den gefundenen Werten den zugehörigen Graph. Dies mit dem
Programm Excel® oder mit dem Programm MatLab®. Was ergibt eine Regressionsanalyse ?
•
Ausmessen einer Glühlampe: Messen Sie die Spannung U und den Strom I durch
das Eintor (DUT) und tragen Sie die gefundenen Werte in die Tabelle 2.2 ein.
Die Spannung soll 50 V nicht überschreiten.
Zeichnen Sie mit den gefundenen Werten den zugehörigen Graph. Dies mit dem
Programm Excel® oder mit dem Programm MatLab®.
2.
2.1
Messprotokolle
Ausmessen eines Widerstandes
IL+IM
+
Quelle
regelbar
Fig. 2-1
Messung
UL
U
Eintor
DUT
Widerstand als DUT
U
V
I
mA
P
mW
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2.2
Ausmessen einer Glühlampe
IL+IM
+
Quelle
regelbar
Fig. 2-2
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
UL
U
Eintor
DUT
Glühlampe als DUT
U
V
I
mA
R = U/I
Ω
3.
Theorie
Zum Widerstand einer Glühlampe
a)
Wird Messpunkt um Messpunkt die gemessene Spannung U im Verhältnis zum
gemessenen Strom I berechnet, entsteht der vom Strom I oder der Spannung U
abhängige statische Widerstand R.
20
15
U( I)
R( I)
10
U-I-Kennlinie
RD( I)
RD=dU/dI
5
0
R=U/I
0
0.5
1
1.5
2
I
b)
Wird entlang der Kennlinie das Verhältnis ∆U/∆I oder dU/dI gebildet, entsteht der
differenzielle oder dynamische Widerstand RD .
Ermitteln von R und RD aus Messreihen
c)
Aus den Messpunkten für die U – I – Kennlinie lässt sich eine Funktion U = U(I)
oder I = I(U) ermitteln, die optimal durch die Messpunkte läuft (Regression).
R und RD ergeben sich aus der gefundenen Funktion.
d)
R kann unmittelbar aus den Messpunkten ermittelt werden. Ebenso ergibt sich RD
aus den Differenzen von Messpunkt zu Messpunkt.
Bei dieser Methode können – insbesondere bei RD – grosse Sprünge auftreten.
V_1a_Kennlinie.doc
Berner Fachhochschule
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Fachbereich Elektro- und Kommunikationstechnik
BFH
HTI
EKT
Versuch 1b
Kennlinie einer realen Quelle
Einführender Versuch zum Verhalten von Strom, Spannung und
Leistung an einer belasteten realen Quelle
1.
1.1
Versuchsanordnung und Auftrag
Versuchsanordnung
Widerstand
Versuchsobjekt, DUT
reale
Quelle
I
variable Last
Fig. 1-1
U
Bockschema zum Versuch reale Quelle
Gegeben sind ein Versuchsobjekt (DUT: Device under Test), eine reale Quelle.
Zudem ein einstellbarer Widerstand, ein Strommessgerät (Ampèremeter) und ein
Spannungsmessgerät (Voltmeter).
Quelle und Messgeräte werden in der gezeigten Weise zusammengestellt.
1.2
•
Auftrag
Ausmessen einer realen Quelle: Messen Sie die Spannung U an und den Strom I
aus der Quelle (DUT) und tragen Sie die gefundenen Werte in die Tabelle 2.1 ein.
Das Produkt PL = UL⋅IL in der variablen Last darf 1 W nie überschreiten (Leistungshyperbel):
U
P = U⋅I
Arbeitsbereich
I
Zeichnen Sie mit den gefundenen Werten den zugehörigen Graph. Dies mit dem
Programm Excel® oder mit dem Programm MatLab®. Was ergibt eine Regressionsanalyse ?
•
Batterien und Akkumulatoren sollen während der Messung nicht unter Dauerlast
gehalten werden. Die Last wird mit dem Impulsschalter zu- und rasch wieder weggeschaltet (t <1 s).
Der Strom in der Last soll Ik/3 nicht überschreiten. Bestimmen Sie Ik aus einer
Zweipunktmessung bei kleinen Strömen (< Batteriekapazität / 10).
2.
2.1
Messprotokolle
Ausmessen einer realen Quelle
+
reale
Quelle
Fig. 2-1
Messung
I
DUT
U
Reale Quelle als DUT
U
V
I
mA
P
mW
U
V
I
mA
R = U/I
Ω
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Messung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
V_1b_Kennlinie.doc
1 Regressionsgerade (nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate)
1.1
Problemstellung
Es liegen n Wertepaare aus Beobachtungen (Messungen) vor: (x1,y1),(x2,y2), … ,
(xi,yi), ... ,(xn,yn). (Punkteschwarm).
Zum Beispiel n = 25 Messpunkte der Kennlinie einer Batterie mit den Wertepaaren
Ii und Ui.
Fig. 1-1
Punkteschwarm aus Messungen
Die Wertepaare werden aufgezeichnet (grafische Darstellung). Liegen die Punkte
nahezu auf einer Geraden, kann eine „Ausgleichsgerade“ oder Regressionsgera1
de von y bezüglich x berechnet und eingezeichnet werden, die sich der Lage der
Punkte möglichst gut anpasst. (Zum Beispiel die Regressionsgerade von U bezüglich I).
Unter dem Abstand eines Punktes von einer Geraden versteht man üblicherweise
die Länge des Lotes vom Punkt auf die Gerade (vgl. Fig. 1 a) ).
Für die folgende Herleitung benutzen wir aber den vertikalen Abstand des Punktes
zur Geraden (vgl. Fig. 1 b) ); dadurch wird die formale Herleitung vereinfacht und
die Bedeutung des Wertes xi als unabhängige Variable unterstrichen.(Betrachtet
werden die Abweichungen des Wertes der abhängigen Variablen yi von den entsprechenden Werten auf der Regressionsgeraden).
1.2
Mathematische Behandlung und Herleitung
Die Gerade sei dargestellt als lineare Funktion der Form
y = y(x) = m·x + q
(1)
Aus den n Wertepaaren (xi,yi) lassen sich n Gleichungen bilden
yi = m·xi + q + di
(Vgl. Fig. 1 b) ) (2)
Unbekannt und gesucht sind in diesen n Gleichungen die Grössen m und q. Die
Steigung m und der Achsabschnitt q sollen so gewählt werden, dass die Regressionsgerade möglichst gut im Punkteschwarm liegt, das heisst die Summe der
Abstände di möglichst klein wird.
1
Regress: Rückschritt; der Name Regressionsgerade wurde von F.Galton eingeführt (aus dem Vergleich der Körpergrösse von Vätern und Söhnen).
Die Abstände di weisen einen positiven oder negativen Wert auf, je nachdem ob
die entsprechenden yi oberhalb oder unterhalb der Regressionsgeraden liegen.
Darum soll die Summe der Absolutwerte der di oder einfacher die Summe der
2
Quadrate di2 minimal werden.
Aus (2) wird
n
n
i=1
i=1
D = ∑ di2 = ∑ (y i − m ⋅ x i − q)2
(3)
D = D(m,q) ist eine Funktion der beiden Variablen m und q, die gesucht werden.
Damit D bezüglich m und q minimal wird muss gelten
∂D(m, q )
∂D(m, q )
= 0 und
= 0 , das heisst die partiellen Differentialquo∂m
∂q
tienten müssen verschwinden.
Angewendet auf (3) werden
n
∂D(m, q )
= −2 ⋅ ∑ x i ⋅ (y i − m ⋅ x i − q) = 0 und
∂m
i =1
n
∂D(m, q )
= −2 ⋅ ∑ (y i − m ⋅ x i − q) = 0
∂q
i =1
oder umgeformt
n
n
n
i =1
n
i =1
i =1
n
m ⋅ ∑ x i2 + q ⋅ ∑ x i = ∑ x i ⋅ y i
m ⋅ ∑ xi + q ⋅ n
i =1
= ∑ yi
(4)
i =1
Wir erhalten ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten m und q.
3
Aufgelöst nach der Cramer'schen Regel werden
n ⋅ ∑ xi ⋅ yi − ∑ xi ⋅ ∑ yi
(5.1)
m=
2
n ⋅ ∑ x i2 − (∑ x i )
q=
n ⋅ ∑ x i2 ⋅ ∑ y i − ∑ x i ⋅ ∑ x i ⋅ y i
n ⋅ ∑ x i2 − (∑ x i )
2
(5.2)
Die nach (5.1) und (5.2) gefundenen Werte m und q werden in (1) eingesetzt.
Die so gefundene Regressionsgerade (lineare Funktion)
y = y(x) =m·x+q
(1)
durchläuft den gegebenen Punkteschwarm aus n Wertepaaren optimal.
2
3
Daher der Begriff: Methode der kleinsten Quadrate.
Auch Determinantenlösung genannt. Cramer, Speziali M.P., Mathematikprofessor in Genf, 19 Jhd.
1.3
Anwendung auf die U – I – Kennlinie einer Batterie
Messresultate oder Wertepaare
I
3 2,6 2
2 1,15 1,1 0 2,35 2 1,6 1.25
U 0,5 1 1,5 2
2,5
3 3,7 0,5
1 1,5
[A] 0,9 0,6 0 2,7 2,25 1,9 1,5 1,1 0,7 0
[V] 2,5 3 3,7 0,5
1
1,5 2
2,5
6 3,7
Die grafische Darstellung zeigt, dass eine Regressionsgerade mit gutem Grund
gelegt werden darf.
Es werden mit n = 21
n
21
i =1
i =1
∑ x i = ∑ Ii = 30,7 A
21
i
i
=1
i
i
= 42,6 V
=1
21
i
i
∑ y = ∑U
n
∑ x ⋅ y = ∑ I ⋅ U = 43,7 V ⋅ A
n
i
∑x
i
=1
2
i
= ∑I
2
i
i
i
=1
21
n
i
i
=1
= 61,02 A ⋅ A
=1
und mit den Formeln (5)
21⋅ 43,7 V ⋅ A − 30,7 ⋅ 42,6 A ⋅ V
=
− 1,15 Ω
m = Rq =
21 ⋅ 61,02 A ⋅ A − 30,7 ⋅ 30,7A ⋅ A
61,02 ⋅ 42,6 V ⋅ A ⋅ A − 30,7 ⋅ 43,7 A ⋅ V ⋅ A
= 3,71 V
q = Rq =
21 ⋅ 61,02 A ⋅ A − 30,7 ⋅ 30,7 A ⋅ A
Die Kennlinie der Batterie wird angeschrieben und eingezeichnet mit
U =-Rq·I + Uq = -1,15[Ω]·I [A] + 3,71 [V] Iq = 3,23 A
Fig. 1-2
Aufgaben:
Kennlinie einer realen Quelle
- Überprüfen Sie die Formeln (5).
- Berechnen Sie die Kennlinie für Ihre eigenen Messreihen.
1.4
Erweiterung der mathematischen Herleitung
1.4.1 Mittelwert
Es sollen die Ausdrücke x =
1 n
⋅ ∑ x i als Mittelwert der Werte xi und
n i =1
1 n
⋅ ∑ y i als Mittelwert der Werte yi in die Formel (4) eingeführt werden.
n i =1
n
1
Die erste Gleichung wird multipliziert mit , die zweite Gleichung mit
;
n
n
dann werden die Mittelwerte x und y eingesetzt.
Es ergibt sich das Gleichungssystem
m⋅ ∑ x + q⋅n⋅ x = ∑ x ⋅ y
(6)
m⋅x + q = y
Nach den Unbekannten m und q aufgelöst ergibt sich
x ⋅y −n⋅ x ⋅y
(7.1)
m= ∑ i 2 i
∑ x i − n ⋅ (x )2
y=
2
i
i
i
y ⋅ ∑ x i2 − x ⋅ ∑ x i ⋅ y i
q=
∑ xi2 − n ⋅ (x )2
q kann aus (6) auch geschrieben werden als
q = y − m⋅x
(7.2)
(7.3)
Wird (7.3) in (1) eingeführt, erhält die Regressionsgerade die Form
y − y = m ⋅ (x − x )
(8)
Darin wird m berechnet nach (7.1).
1.4.2 Regressionskoeffizient, Varianz, Kovarianz und Korrelation
In (7.1) werde der Zähler und der Nenner je mit
1
erweitert.
n −1
Im Zähler entsteht der Ausdruck
1
s =
⋅ (∑ x ⋅ y − n ⋅ x ⋅ y )
(9)
n −1
und im Nenner der Ausdruck
1
s12 =
⋅ ∑ x i2 − n ⋅ (x )2
(10)
n −1
Allgemeiner gilt nun für m
s
(11)
m = xy2
s1
s xy heisst die Kovarianz der Stichprobe. s1 wird als Varianz der x-Werte bezeichnet; ebenso gibt es die Varianz s 2 der y-Werte.
Die zugehörigen positiven Wurzeln s 1 und s 2 heissen Standartabweichung.
xy
i
(
i
)
s xy
wird Regressionskoeffizient genannt; Steigung oder Steis12
gungsmass und Regressionskoeffizient sind gleich gross.
Der Ausdruck m =
Durch Umformen erhält man
1
1 
1

s =
⋅ (∑ x ⋅ y − n ⋅ x ⋅ y ) =
⋅ ∑ x ⋅ y − ∑ x ⋅ ∑ y 
n −1
n −1 
n

1
=
⋅ ∑ (x − x ) ⋅ (y − y )
n −1
1
1 
1
2
2
⋅ ∑ x i2 − n ⋅ (x )2 =
⋅  ∑ x i − (∑ x i ) 
s12 =
n −1
n −1 
n

1
2
=
⋅ ∑ (x i − x )
n −1
1
1  2 1
2
s 22 =
⋅ ∑ y i2 − n ⋅ (y )2 =
⋅  y i − (∑ y i ) 
n −1
n −1 
n

1
2
=
⋅ ∑ (y i − y )
n −1
xy
i
i
i
i
i
(
i
i
(12.1)
i
)
(
(12.2)
)
(12.3)
Mit der Berechnung des Steigungsmass nach (11) aus (9) und (10) ergeben sich
die Kovarianz sxy und die Varianz der x-Werte s1.
Wird zusätzlich die Varianz s2 der y-Werte berechnet, ergibt sich der Korrelationskoeffizient r mit
s
∑ (x i − x ) ⋅ (y i − y )
(13)
r = xy =
2
2
s1 ⋅ s 2
(x − x ) ⋅
(y − y )
∑
i
∑
i
Der Korrelationskoeffizient liegt in den Grenzen -1 < r < 1
und ist ein Mass für
die lineare Abhängigkeit von x und y. Wird r ≈ 0, besteht zwischen x und y kein linearer Zusammenhang; nähert sich | r | dem Wert 1, besteht ein linearer Zusammenhang zwischen x und y.
Über das Konfidenzverhalten des Korrelationskoeffizienten r einer Stichprobe kann
4
hier nicht näher eingetreten werden.
An dieser Stelle sei vor Unsinnkorrelationen und fehlerhaften Vergleichen gewarnt.
Nimmt von Norden nach Süden in Europa die Körpergrösse. der Menschen ab und
die Zahl der Katholiken zu, dann hat dies keinen sinngemässen Zusammenhang,
mag die Korrelation noch so gut sein. In der Schweiz nahm die Zahl der Störche in
den letzten Jahrzehnten ab, ebenso die Zahl der Geburten. Man spricht hier von
Unsinn- oder Scheinkorrelation.
1.4.3 Anwendung auf die U-I-Kennlinie einer Batterie
Für das Zahlenbeispiel soll der Korrelationskoeffizient r berechnet werden. Es ergeben sich (mit n - 1 = 20)
s1 = 0,8992 s2 = 1,3677 und r = - 0,8506
sxy = - 1,046 ,
Der Wert liegt nahe bei -1, womit der lineare Zusammenhang zwischen U und I
bestätigt wird.
4
Das genannte Problem wird im Gebiet „Statistik und Wahrscheinlichkeit“ näher behandelt. Ebenso
wird dort gezeigt, warum im Nenner der Formeln (12) der Ausdruck n – 1 steht. (Problem der Anzahl
der Freiheitsgrade).