Aufgabe des Monats März

Aufgabe des Monats März
26. Februar 2009
1 Hintergrund
In einem Land mit n > 0 Städten gibt es nur Einbahnstraßen. Je zwei (ungleiche)
Städte sind durch genau eine Straße verbunden.
2 Aufgabe
Man zeige, dass es eine Stadt (die wir Zentralstadt“ nennen wollen) gibt, von der jede
”
andere Stadt entweder direkt oder über höchstens eine Zwischenstadt erreichbar ist.
Bemerkung 1. Unter B ist von A direkt erreichbar“ wollen wir verstehen, dass es
”
eine Einbahnstraße von A nach B gibt und unter B ist von A über höchstens eine Zwi”
schenstadt erreichbar“ wollen wir verstehen, dass es eine von A und B unterschiedliche
Stadt C gibt, so dass es Einbahnstraßen von A nach C und C nach B gibt.
Beispiel 2. Wir haben n=4 Städte (Magdeburg, Halle, Dresden und Berlin), welche
gemäß der Landkarte aus Abbildung 1 mit Einbahnstraßen verbunden sind.
Dann sind in diesem Beispiel Magdeburg (da Berlin und Halle direkt und Dresden
über Halle erreicht werden kann), Halle (da Dresden direkt und Berlin und Magdeburg über Dresden erreichbar sind) und Dresden (da Magdeburg und Berlin direkt und
Halle über Magdeburg erreichbar sind) Zentralstädte. Berlin ist keine Zentralstadt, da
Magdeburg von Berlin weder direkt, noch über eine Zwischenstadt (sogar gar nicht)
erreichbar ist.
3 Tipp
Man versuche die zu beweisende Aussage mit dem Prinzip der vollständigen Induk”
tion“ zu zeigen, das heißt: man zeigt
1. die zu beweisende Aussage gilt alle Zahlen ≤ k an Städten (beispielsweise könnten
1, 2 oder 3 in dieser Aufgabe sinnvolle Werte für k sein): dies bezeichnet man als
Induktionsanfang“
”
1
Abbildung 1: Das Einbahnstraßennetz aus dem Beispiel (Bildquelle: OpenStreetMap)
2. wenn die Aussage für ein m Städte gilt (wobei m ≥ k, aber ansonsten wissen wir
nichts über m), so gilt sie auch für m + 1: dies bezeichnet man als Induktions”
schritt“
Durch das Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen (nach Peano) wird gesichert, dass
mittels dieses Beweisverfahrens die Aussage tatsächlich für alle natürlichen Zahlen
n gilt (wenn du dich für weitere Details darüber interessierst, wende dich an deinen
AG-Leiter).
Vorstellen kann man sich dieses Beweisverfahren als eine Art unendliche Dominoreihe, siehe dazu Abbildung 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
...
Abbildung 2: Veranschaulichung des Prinzips der vollständigen Induktion
Der Induktionsanfang sichert, dass die ersten k Dominosteine fallen werden und
der Induktionsschritt, dass wenn ein Dominostein gefallen ist, auch der folgende fällt.
Somit fallen intuitiv“ alle Dominosteine. Mathematisch präzisiert wird diese Aussage
”
durch das oben bereits genannte Induktionsaxiom der natürlichen Zahlen.
2