Ubungsblatt 8 - Dependable Systems and Software

DEPENDABLE SYSTEMS AND SOFTWARE
Fachrichtung 6.2 — Informatik
Universität des Saarlandes
Christian Eisentraut, M.Sc.
Julia Krämer
Mathematik-Vorkurs für Informatiker (Wintersemester 2012/13)
Übungsblatt 8
(Relationen und Funktionen)
Hinweis: Ist bei Aufgaben keine spezielle Schreibweise für Relationen angegeben, die Sie verwenden sollen, so stellen Sie die Relationen als Mengen von Paaren dar.
Sei M eine beliebige Menge. Die Notation M n für ein n ∈ N ist eine abkürzende Schreibweise
für das n-fache kartesische Produkt von M mit sich selbst, z.B. bedeuet M 2 das gleiche wie
M × M. 1
1
Relationen aufstellen
Aufgabe 8.1 (Relationen formal darstellen)
Welche Beziehungen stellen die folgenden Relationen dar? Notieren Sie die Relation dann formal.
Beispiel: {(1, 1, 1), (1, 2, 2), (1, 3, 3), . . . , (2, 1, 2), (2, 2, 4), (2, 3, 6), . . . , (3, 1, 3), (3, 2, 6), (3, 3, 9),
. . . } – Die Relation stellt die Multiplikation natürlicher Zahlen dar, die ersten beiden Komponenten sind die beiden Faktoren, die letzte das Ergebnis. Formal würde die Relation {(a, b, c) ∈
N3 | a · b = c} lauten.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), . . . , (1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (2, 2), (2, 3), (2, 4), . . . }
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), . . . }
{(4, 4), (4, 8), (4, 12), (4, 16), . . . }
{(1, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 4), . . . , (2, 1, 3), (2, 2, 4), (2, 3, 5), . . . , (3, 1, 4), (3, 2, 5), (3, 3, 6), . . . }
{(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 7), (5, 11), (6, 13), . . . }
Aufgabe 8.2
Notieren Sie formal Relationen, die die folgenden Eigenschaften beschreiben.
Beispiel: Studenten haben eine eigene Matrikelnummer – {(x, y) ∈ Studenten×M atrikelnummern |
x hat Matrikelnummer y}
(a) Menschen haben Vornamen
(b) Menschen haben Mütter
(c) Menschen haben Großmütter (Hinweis: Stellen Sie diese Relation mit Hilfe der Relation
aus (b) und einer weiteren Relation dar.)
(d) natürliche Zahlen haben eine Binärdarstellung
1
Aber Achtung: Die Notation ist überlagert, d.h. es gibt in anderen Kontexten eine weitere Möglichkeit, was
diese Schreibeweise bedeuten kann. Achten Sie darauf, welche der Definitionen Sie im jeweiligen Fall anwenden
müssen.
1
Aufgabe 8.3
Zeichnen Sie die als Mengen angegebenen Relationen als Pfeildiagramm. Geben Sie außerdem
die Matrixdarstellung an.
Beispiel: Sei {(1, 2), (2, 3), (1, 3)} gegeben. Die graphische Darstellung sieht wie folgt aus:
2
1
3
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(1, 2), (3, 4), (1, 4), (4, 2)} über der Menge {1, 2, 3, 4, 5}
{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4)} über der Menge {1, 2, 3, 4}
{(a, b) ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}2 | a teilt b}
{(a, b) | a ∈ {1, 2, 3} ∧ b ∈ {a, b, c}}
{(a, b) ∈ {a, b, c, . . . , x, y, z}2 | b ist der Nachfolger von a im Alphabet}
Aufgabe 8.4
Geben Sie die als Matrix angegebenen Relationen als Pfeilbilder an.
Hinweis: Es handelt sich um Relationen über natürlichen Zahlen. Die Nummer der Reihe gibt
die erste, die Nummer der Spalte die zweite Komponente des Tupels an.
Beispiel:
0 1
beschreibt die Relation {(1, 2), (2, 1)} mit dem Pfeilbild
1 0
2

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
0
0

1
0

0
0
0
1

0
0
0

1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0

0
0
0
0
0
0
1
0
1

0
0
0

1
0
1
1

1
0

1
0
Aufgabe 8.5
Beschreiben Sie jeweils die Matrizendarstellung
(a) reflexiver
(b) transitiver
(c) antisymmetrischer
(d) symmetrischer
Matrizen über natürlichen Zahlen.
Hinweis: Am besten wählen Sie sich jeweils ein bis zwei Relationen, die diese Eigenschaft haben,
stellen diese als Matrix dar und suchen charakteristische Merkmale.
2
Aufgabe 8.6
Geben Sie zu den Relationen 8.4 die inversen Relationen als Menge, als Pfeilbild und in Matrixdarstellung an.
Beispiel: Inverse Relation
zum
Beispiel von 8.4: Die inverse Relation lautet ebenfalls {(1, 2), (2, 1)},
0 1
die Matrixdarstellung
und das Pfeilbild damit wieder
1 0
2
1
Aufgabe 8.7
Zeichnen Sie die Komposition der folgenden Relationen. Die Relation sind in der Reihenfolge zu
komponieren, wie sie in der Aufgabenstellung aufgeführt sind.
Beispiel: {(1, 3), (3, 2)} und {(2, 1), (3, 3)} damit ist die Komposition, die zu bilden ist, {(1, 3), (3, 2)}◦
{(2, 1), (3, 3)}. Es lässt sich (1, 3) mit (3, 3) und (3, 2) mit (2, 1) über die Definition der Komposition zusammenbringen. Als Pfeilbild sieht die Komposition so aus:
2
3
(a)
(b)
(c)
(d)
2
1
{(1, 2), (1, 3), (2, 3)} und {(3, 1), (2, 2), (3, 2)} über {1, 2, 3}
{(a, b) ∈ N2 | a = b + 1} und {(a, b) ∈ N2 | a > 0 ∧ a = b − 1}
{(1, 4), (2, 4), (3, 4)} und {(4, 4)} über {1, 2, 3, 4}
{((1, 1), (2, 2)), ((1, 2)(2, 1)), ((1, 2), (3, 1)), ((3, 1), (4, 1))} und {((1, 2), (3, 4)), ((3, 2), (1, 1)),
((2, 2), (2, 3)), ((3, 1), (4, 4))} über ({1, 2, 3, 4}2 )2
Einschub
Definition 1 Man sagt “a teilt b” (Notation a | b), wenn es ein k ∈ Z gibt, so dass b = a · k.
Aufgabe 8.8
Beweisen Sie : “a teilt b genau dann, wenn b kongruent 0 modulo a ist.”
3
3
Eigenschaften von Relationen
Aufgabe 8.9
Welche der folgenden Relationen sind reflexiv, transitiv, symmetrisch oder antisymmetrisch?
Beweisen Sie Ihre Antwort.
Beispiel: R := {(a, a) | a ∈ N} über den natürlichen Zahlen– Die Menge ist reflexiv, transitiv,
symmetrisch und antisymmetrisch.
Textbeweis
Erklärungen
Schlussregel
Reflexivität: ∀x ∈ N : (x, x) ∈ R
◦
◦
◦
Sei x in N beliebig. Dann gilt: x = x.
∀x : x = x
(∀:Bew), (∀:Anw)
◦ ◦
Damit ist (x, x) ∈ R
(Subst)(Definition
der Relation)
Transitivität: ∀x, y, z ∈ N : (x, y) ∈ R ∧
(y, z) ∈ R → (x, z) ∈ R
◦
◦
◦
◦ ◦
Seien x, y, z beliebig in N und (x, y) und
◦ ◦
(y, z) in R enthalten.
◦
◦
◦
(∀:Bew),(∀:Bew),(∀:Bew),
(→:Bew),
(∧:Anw),(Subst)
( Kommutativität
∧), (∧:Anw)
◦
Dann gilt x = y und y = z.
◦
(Subst)(Definition
Relation),
(Subst)(Definition
Relation)
◦
Damit gilt dann auch x = z und somit
(x, z) ∈ R.
Angewendeter Satz: ∀x, y, z ∈ N : x = y ∧ y =
z→x=z
(∀:Anw), (∀:Anw),
(∀:Anw), (→:Anw)
Antisymmetrie: ∀x, y : (x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈
R→x=y
◦
◦
Seien x und y beliebig in N.
◦
(∀:Bew), (∀:Bew)
◦
Ist x 6= y, dann ist kein Paar mit x und y in
der Relation enthalten.
Angewendeter Satz: ∀x, y ∈ N : x¬y →
¬(y = x)
Damit ist die Prämisse von Antisymmetrie
immer falsch, die Aussage damit wahr.
◦
(FU), (∀:Anw),
(∀:Anw), (→:Anw)
(Subst)(Definition
→)
◦
Für x = y ist die Konklusion von Antisymmetrie erfüllt und die Aussage damit wahr.
(W)
Symmetrie: ∀x, y : (x, y) ∈ R → (y, x) ∈ R
◦
◦
Seien x und y beliebig in R.
◦
◦
◦ ◦
(∀:Bew), (∀:Bew)
◦ ◦
Dann ist x = y und damit (x, y) = (y, x).
(a)
(b)
(c)
(d)
◦ ◦
◦
◦
Angewendeter Satz: ∀x, y ∈ N : x = y →
◦ ◦
◦ ◦
(x, y) = (y, x)
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} über der Menge {1, 2, 3}
{(1, 1), (2, 2), (3, 3)} über der Menge {1, 2, 3, 4}
{(1, 2), (2, 3), (3, 1), (2, 1), (3, 2), (1, 3)} über {1, 2, 3}
{(a, b) ∈ N2 | a | b} über den natürlichen Zahlen
4
(Subst) (Definition Relation),
(∀:Anw),(∀:Anw),
(→:Anw), (Subst)
(Definition Relation)
Aufgabe 8.10
Welche der folgenden Relationen sind links-total bzw. rechts-total? Geben Sie zunächst Quellund Zielmenge, sowieso Definitions- und Wertebereich an und beweisen Sie dann wie in 8.9 Ihre
Behauptung.
Beispiel: {(1, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3} ist weder links-total, noch rechts-total, da der 3 kein Wert
zugeordnet wird und die 3 nicht getroffen wird.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2}
{(1, 2), (2, 3), (3, 1)} über {1, 2, 3}
{(a, a + 1) | a ∈ N} über N
{(a, a − 1) | a ∈ N ∧ a > 0}
{(a, a) | a ∈ N}
{(a, b) ∈ N2 | a ≤ b} über N
Aufgabe 8.11
Geben Sie ein Beispiel dafür an, dass es Relationen gibt, die weder symmetrisch noch antisymmetrisch sind.
Aufgabe 8.12
Geben Sie eine Relation an, die sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch ist.
Aufgabe 8.13
Schließen Sie die folgenden Relationen reflexiv, transitiv und symmetrisch ab:
Beispiel: {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} wird reflexiv über {1, 2, 3} abgeschlossen durch Hinzufügen der
Paare (1, 1), (2, 2) und (3, 3). Die Symmetrie-Eigenschaft erhält man, indem man die Paare (2, 1),
(3, 2) und (1, 3) zur Menge hinzufügt. Die Menge ist nun schon transitiv, da alle möglichen Paare
aus {1, 2, 3} × {1, 2, 3} enthalten sind.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2}
{(1, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3}
{(1, 2), (2, 1), (2, 3)} über {1, 2, 3}
{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (1, 4)} über {1, 2, 3, 4}
{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (4, 2), (3, 2), (2, 2), (2, 1)} über {1, 2, 3}
Aufgabe 8.14
Schließen Sie die leere Menge über einer beliebigen Menge M reflexiv, transitiv und symmetrisch
ab.
Aufgabe 8.15
Schließen Sie die Relation “x ist Ahne von y” transitiv, symmetrisch und reflexiv ab. Welche
Relation erhalten Sie?
Aufgabe 8.16
Welche Eigenschaften haben diese natürlichsprachlichen Relationen? Notieren Sie die Relation
zunächst als Menge und geben Sie dabei auch die Mengen an, über der die Relationen definiert
sind.
Beispiel: x ist Haustiert von y – Formal lautet diese Relation {(x, y) ∈ Haustier × M ensch |
x ist Haustier von y}. Die Relation kann nicht reflexiv, transitiv, symmetrisch oder antisymmetrisch sein, da Quellmenge und Zielmenge nicht übereinstimmen. Sie ist links-total, da jedes
Haustier ein Menschen hat, der dieses Haustier besitzt (ansonsten wäre das Tier kein Haustier),
sie ist aber nicht rechts-total, da es Menschen gibt, die keine Haustiere haben.
5
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x
x
x
x
x
x
ist Vater von y
ist Großvater von y
ist Schwester von y
ist die Matrikelnummer von y
ist das Studienfach von y
studiert y
Aufgabe 8.17
Zeigen Sie jeweils die Äquivalenz der alternativen Charakterisierungen (aus der Vorlesung) zu
den ursprüngenlichen von Transitivität, Antisymmetrie und Symmetrie.
4
Äquivalenzrelationen und Ordnungsrelationen
Aufgabe 8.18
Beweisen Sie, dass ⊆ (also die Relation R := {(A, B) | A ⊆ B}) eine Ordnungsrelation ist.
Hinweis: Sie benötigen die Definition von ⊆ für den Beweis.
Aufgabe 8.19
Nehmen Sie an, in der Definition von Ordnungsrelation würde die Eigenschaft “reflexiv” durch
die Eigenschaft “irreflexiv” ersetzt, d.h. eine Relation wäre eine Ordnungsrelation genau dann,
wenn sie irreflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist. Nennen Sie nun zwei Ordnungsrelationen.
Hinweis: Irreflexivität einer binären Relation R über einer Menge M ist definiert als ∀x ∈ M :
(x, x) 6∈ R.
Aufgabe 8.20
Finden Sie eine Äqivalenzrelation, eine Ordnungsrelation, eine Totalordnung und eine Wohlordnung, die bisher noch nicht in der Vorlesung genannt wurden.
Aufgabe 8.21
Was ist das minimale Element der Ordnungsrelation ≤ auf den natürlichen Zahlen?
5
Funktionen - spezielle Relationen
Aufgabe 8.22
Welche der folgenden Funktionen sind injektiv, surjektiv oder bijektiv? Beweisen Sie Ihre Antwort.
Beispiel: Sei f : R → R, f (x) = x2 . f ist weder injektiv, da z.B. die 1 und die −1 auf den
gleichen Wert abgebildet werden, noch surjektiv, da z.B. −1 nicht getroffen wird. Damit ist die
Funktion auch nicht bijektiv (nach Definition).
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
f:
f:
f:
f:
f:
R \ {0} → R, f (x) = x12
R → R, f (x) = x
R \ {0} → R, f (x) = x1 − 1
R → R, f (x) = x3
R → R, f (x) = x2 + 2
6
6
Beweise mit Funktionen
Aufgabe 8.23


injektiv
Beweisen oder widerlegen Sie: Sind zwei Funktionen f und g surjektiv


bijektiv


injektiv
so ist ihre Komposition f ◦ g surjektiv .


bijektiv
,
Aufgabe 8.24
Beweisen Sie die folgenden drei Aussagen. Seien dafür f und g beliebige Funktionen:
(a) Ist f ◦ g injektiv, so ist f injektiv.
(b) Ist f ◦ g surjektiv, so ist g surjektiv.
(c) Ist f ◦ g bijektiv, so ist f injektiv und g surjektiv.
Aufgabe 8.25
Identifizieren Sie hier, welche der Schlussregeln angewendet worden sind. Dabei bezeichne idx die
Funktion id : X → X, x 7→ x ür eine beliebige Menge X. Zeichnen Sie auch den dazugehörigen
Beweisbaum.
Hinweis: Folgender Beweis stammt (mit kleinen Anpassungen) aus der Grundvorlesung “Lineare Algebra 1”.
Textbeweis
Erklärungen
Behauptung: Seien M und N Mengen und
sei f : M → N eine Funktion. Dann ist f
genau dann bijektiv, wenn eine Abbildung
g : N → M existiert mit g ◦ f = idM und
f ◦ g = idN .
Beweis:
Hinrichtung:
zu zeigen: Es existiert g : N → M mit g ◦ f =
idM und f ◦ g = idN =⇒ f ist bijektiv.
Annahme: Es existiert g : N → M mit g◦f =
idM und f ◦ g = idN .
Sei y ∈ N . Setze x als g(y) ∈ M .
Dann gilt: f (x) = f (g(y)) = (f ◦ g)(y) =
idN (y) = y für alle y ∈ N .
Damit ist f surjektiv.
Seien x und x0 ∈ M mit f (x) = f (x0 ).
Dann gilt: x = idM (x) = (g ◦ f )(x) =
g(f (x)) = g(f (x0 )) = (g ◦ f )(x0 ) = idM (x0 ) =
x0 .
Damit ist f injektiv.
Es folgt: f ist bijektiv.
Rückrichtung
zu zeigen:f ist bijektiv =⇒ Es existiert
g : N → M mit g ◦ f = idM und f ◦ g = idN
Annahme: f ist bijektiv
Da f bijektiv ist, gibt es für jedes y ∈ N
genau ein x ∈ M mit f (x) = y.
Man bezeichne mit xy x ∈ M , so dass
f (x) = y mit y ∈ N
. Nun definiere man g : N → M, y 7→ xy .
Für jedes y ∈ M gilt: (f ◦ g)(y) = f (g(y)) =
f (xy ) = y = idN (y).
Man wähle x ∈ M mit f (x) = y mit y ∈ N .
7
Schlussregel
Textbeweis
Erklärungen
Dann ist x = xy , da f injektiv ist.
Es gilt: (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = xy =
x = idM (x).
Damit erfüllt g die geforderden Eigenschaften. 8
Schlussregel