Einführung in die Mathematik des Operations Research

Universität zu Köln
Mathematisches Institut
Dr. F. von Heymann
M. Dostert, M.Sc.
Einführung in die Mathematik des Operations Research
Sommersemester 2016
— Lösungsskizzen zu Blatt 10 —
Aufgabe 10.1 (Bonusaufgabe +10 Punkte) Zeigen Sie, dass in einem ganzzahligen Polyeder alle
Ecken ganzzahlig sind.
Lösung: Sei z ∈ P eine Ecke von P . Dann hat die Matrix Az , die alle Zeilen aT
i von A erhält mit
T T
T
aT
z
=
b
(OBdA
seien
dies
a
,
a
,
.
.
.
,
a
),
Rang
n.
i
1
2
i
l
Pl
Setze c := i=1 ai . Für jedes x ∈ P gilt dann:
T
c x=
l
X
aT
ix
≤
i=1
l
X
bi ,
i=1
Pl
und es gilt cT z = i=1 bi . Die Ecke z ist also eine optimale Lösung von max{cT x : x ∈ P }. Da
z die eindeutige Lösung des Gleichungssystems Az x = bz ist und für jedes x ∈ P mit x 6= z
gilt, dass aT
i x < bi für mindestens ein i = 1, . . . , l, ist z die eindeutige optimale Lösung von
max{cT x : x ∈ P }, und somit nach Voraussetzung ganzzahlig.
Bemerkung: Für Polytope sind die Aussagen äquivalent, für unbeschränkte Polyeder nicht.
Aufgabe 10.2 (10 Punkte) Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph. Zeigen Sie:
n
o n
o
X
conv χM : M perfektes Matching in G = x ∈ RE : x ≥ 0,
xe = 1 für v ∈ V .
e:e3v
Dabei ist ein perfektes Matching ein Matching M ⊆ E mit |M | = |V |/2.
Lösung:
P
⊆: Sei MP
die Menge der perfekten Matchings in G. Für eine Konvexkombination x = M ∈M λM χM
mit M ∈M λM = 1 und λM ∈ [0, 1], gilt offensichtlich x ≥ 0. Für jedes v ∈ V gilt zudem
X
X X
X
X
X
xe =
λM χM (e) =
λM (
χM (e)) =
λM = 1,
e:e3v
e:e3v M ∈M
M ∈M
da für jedes perfekte Matching M gilt, dass
P
e:e3v
e:e3v
M ∈M
χM (e) = 1.
⊇: Mit Hilfe der Inzidenzmatrix A von G können wir das Polyeder
n
o
X
Q = x ∈ RE : x ≥ 0,
xe = 1 für v ∈ V
e:e3v
folgerndermaßen beschreiben:
n
o
T o n
Q = x ∈ RE : x ≥ 0, Ax = 1, . . . , 1
= x ∈ RE : Bx ≤ b ,


−I
T
wobei B =  A  und b = 0, . . . , 0, 1, . . . , 1, −1, . . . , −1 .
−A
Q ist beschränkt (Für x ∈ Q gilt 0 ≤ xe ≤ 1 für alle e ∈ E). Also ist Q die konvexe
Hülle seiner Ecken. Zudem ist die Matrix B vollständig unimodular, also sind alle Ecken von
Q ganzzahlig. Ein ganzzahliger Vektor in Q entspricht aber genau dem charakteristischen
Vektor eines perfekten Matching in G.
Aufgabe 10.3 (10 Punkte) Sei G = (V, E) ein bipartiter Graph. Eine unabhängige Menge U ⊆ V ist
eine Teilmenge der Knotenmenge für die gilt: {u, v} 6∈ E für alle u, v ∈ U . Die Unabhängigkeitszahl
von G ist definiert als
n
o
α(G) = max |U | : U ist unabhängig .
Finden Sie eine Min-Max-Relation für α.
Lösung: Wir nehmen an, dass G keine isolierten Knoten besitzt. Wenn dies doch der Fall ist,
können die isolierten Knoten zu jeder unabhängigen Menge hinzugefügt werden, ohne die Unabhängigkeit zu zerstören. Wir können α(G) dann als folgendes lineares Programm beschreiben:
nX
o
α(G) = max
xv : x ∈ ZV , x ≥ 0, ∀e = {u, v} ∈ E : xu + xv ≤ 1 .
v∈V
Mit Hilfe der Inzidenzmatrix A von G können wir das Programm wie folgt umformulieren:
n
T
T o
α(G) = max 1, . . . , 1 x : x ∈ ZV , x ≥ 0, AT x ≤ 1, . . . , 1
n
T
T o
−I
= max 1, . . . , 1 x : x ∈ ZV ,
.
T x ≤ 0, . . . , 0, 1, . . . , 1
A
Die Matrix
−I
AT
ist vollständig unimodular, also gilt mit starker Dualität
T
T o
−I
V
α(G) = max 1, . . . , 1 x : x ∈ R ,
T x ≤ 0, . . . , 0, 1, . . . , 1
A
T −I
= 1, . . . , 1 },
= min{ 0, . . . , 0, 1, . . . , 1 y : y ≥ 0, y
AT
n
da beide Programme zulässige Lösungen haben. Für das primale Programm ist das klar. Für das
duale nehmen wir erst Umformungen vor:
T −I
min{ 0, . . . , 0, 1, . . . , 1 y : y ≥ 0, y
= 1, . . . , 1 }
AT
nX
o
X
= min
ye : y ≥ 0, ∀v ∈ V :
ye = yv + 1 .
e∈E
e3v
Setzen wir ye = 1 für alle e ∈ E und yv = deg(v)−1 für alle v ∈ V , erhalten wir also eine zulässige
Lösung.
Da auch im dualen Programm die Matrix der Bedingungen vollständig unimodular ist, können wir
wieder Ganzzahligkeit fordern. Wir haben also:
nX
o
X
α(G) = min
ye : y ≥ 0, y ∈ ZV ∪E , ∀v ∈ V :
ye = yv + 1 .
e3v
e∈E
Um eine schönere Formulierung zu erhalten, eliminieren wir die Einträge yv für v ∈ V . Diese
Einträge von y kommen nicht in der Zielfunktion vor, und wir nutzen sie, um die Gleichungen in
Ungleichungen umzuschreiben. Wir erhalten:
nX
o
X
α(G) = min
ye : y ≥ 0, y ∈ ZE , ∀v ∈ V :
ye ≥ 1 .
e∈E
e3v