Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung

Schadenversicherungsmathematik
Statische Risikomodelle
Exposure Pricing in der nicht-proportionalen
Rückversicherung
Prof. Dr. Michael Fröhlich, DAV Aktuar
Gliederung
1.
2.
3.
4.
5.
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Einleitung
Exposurekurven in der nicht-proportionalen
Rückversicherung
Exposure Pricing in der Sachversicherung
Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung
Literatur
Exposure Pricing in der nicht-proportionalen Rückversicherung
Prof.Dr. Michael Fröhlich, DAV Aktuar
1.Einleitung
Risikoprofil und Aufteilung der Originalprämie zwischen Erst- und Rückversicherer
•
Erstversicherer fragt beim Rückversicherer eine nicht-proportionale Deckung in Form eines
Schadenexzedenten (XL) „Haftung in excess of Priorität“(Haftung xs Priorität) an.
•
Pricing von pro Risiko XLs sollte Exposure bzw. Exponierung mit berücksichtigen.
Exposure Pricing basiert auf sogenannten Risikoprofilen.
•
Beispiel für ein Risikoprofil.xls
•
Hauptproblem des Exposure Pricings: Faire Aufteilung der
Originalprämie zwischen Erst- und Rückversicherer.
•
Zuerst Eliminierung der Kosten und Marge des Erstversicherers
aus der Originalprämie.
•
Dann Aufteilung der Risikoprämie pro Versicherungssummenband
mittels Exposurekurven.
•
Unterscheidung zwischen Sachversicherung und
Haftpflichtversicherung nötig – PMLs (possible maximum loss) und Policenlimits.
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2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung
Heuristische Herleitung
•
Erläuterung der oberen linken Abbildung: Anordnung der Schäden einer Periode gemäß Schadenhöhe.
Treppenfunktion ist empirische Schadenverteilung. Horizontale Achse ist Schadengrad a, d.h.Schaden in % der
Versicherungssumme / des PMLs. Vertikale Achse ist Anzahl der Schäden mit Schadengrad kleiner gleich a.
•
Erläuterung der oberen rechten Abbildung: Zeigt die zur empirischen Schadenverteilung zugehörige
Exposurekurve bzw. Schadengradkurve. Horizontale Achse repräsentiert Priorität a in % der Versicherungssumme
bzw. des PMLs. Vertikale Achse zeigt die Entlastung für den Gesamtschaden.
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2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung
Heuristische Herleitung - Extremfall
Im Extremfall eines Portefeuilles mit ausschließlich Total-Schäden sehen die
empirische Schadenverteilung und die (proportionale) Exposurekurve wie folgt aus:
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2.Exposurekurven in der nicht-proportionalen Rückversicherung
Mathematische Herleitung
Wir betrachten ein Risiko i eines Versicherungs-Portefeuilles von I Risiken und verwenden das kollektive Modell.
Dann hat Risiko i in fester Periode (z.B. ein Jahr) den Gesamtschaden
Ni
S :=
∑X
in mit Schadenanzahl Ni und stochastisch unabhängigen Schadenhöhen X i 1, X i 2,... mit Verteilungsfunktion Fi .
n =1
Der Gesamtschaden R des Portefeuilles für einen unlimitierten XL mit Priorität a > 0 entspricht dann:
I
R=
Ni
∑∑ max ( X
)
in − a,0 , und für den Preis des XLs folgt mit X i für X in :
i =1 n =1
I
Ε (R ) =
I
∑ Ε (N ) Ε (max ( X − a,0)) = ∑
i
i
i =1
(
Ε ( Ni ) Ε max ( X i − a,0 )
i =1
Ε ( Ni ) Ε ( X i )
)Ε S
I
( i ) = ∑ (1 − ri ( a ) )Ε (Si )
i =1
a
mit ri ( a ) :=
(
Ε min ( X i , a )
Ε ( Xi )
)=
∫ (1− F ( x ))dx
i
0
∞
. Hier geht die Gleichung X i = min ( X i , a ) + max ( X i − a,0 ) ein.
∫ (1− F ( x )) dx
i
0
ri ( a ) heißt Schadenentlastungskoeffizient des Risikos i zur XL-Priorität a, und die Funktion a → ri ( a ) heißt
Schadenentlastungskurve bzw. Exposurekurve.
Problem in der Praxis: Bestimmung von Fi für jedes Risiko i unmöglich.
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3.Exposure Pricing in der Sachversicherung
Verteilung der Schadengrade
In der Sachversicherung haben Risiken aus gleichen Risiko-Klassen dieselbe Verteilung G der
X
Schadengrade Yi := i , wobei v i den PML vom Risiko i bezeichnet. Insbesondere ist G unabhängig von i für
vi
Risiken derselben Risiko-Klasse. Es folgt:
ri ( a ) =
(
Ε min ( X i , a )
)
Ε ( Xi )


a
Ε  min Yi ,

 vi

=
Ε (Yi )

 
 a

= r 
 vi

 mit

w
∫ (1− G ( y )) dy
r (w ) := 0
1
für 0 ≤ w ≤ 1 und r (w ) := 1 für w > 1,
∫ (1− G ( y )) dy
0
X

und es ist G (w ) = P  i ≤ w  die Verteilung der Schadengrade.
 vi

Bemerkungen: r ist auf 0,1 streng monton wachsend und konkav. r ,G,Yi sind unabhängig von Inflation und
Währungskursschwankungen.
Die Rückversicherer haben mehrere Sachversicherungs-Exposurekurven.
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3.Exposure Pricing in der Sachversicherung
Die verwendeten Exposurekurven und die Berechnung der XL-Prämie in der Praxis
Die Berechnung der XL-Risikoprämie pro PML-Bandmitte mit zugehöriger
Originalprämie für pro Risiko Sachversicherungs XL Haftung xs Priorität
aus aktuellem PML∗ -Risikoprofil mit Schadenquote SQ und einer
geeignet gewählten Exposurekurve ergibt sich wie folgt:
Der Faktor SQ • Originalprämie wird multipliziert mit der Differenz

Priorität


 Priorität+Haftung 
 Exposurekurve 

 - Exposurekurve 
 PML-Band Mitte  
 PML-Band Mitte 

Summe aller XL-Prämien pro PML-Band liefert gesamte XL-Risikoprämie.
Problem: Policen mit "multi locations" im Risikoprofil.
∗
Bemerkung : In Sachversicherung brauchen Rückversicherer Risiko-Profil
auf PML-Basis und nicht auf Versicherungssummenbasis.
Am Beispiel aus der Praxis sieht es wie folgt aus:
•XL_Exposure_Pricing_Sach.xls
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4.Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung
Increase Limit Factors und Riebesells Formel
- In allgemeiner Haftpflichtversicherung gibt es keine PMLs, sondern Policenlimits.
- Anstatt Exposurekurven werden Increased Limit Factors (ILF) und Verdopplungsfaktoren verwendet → "Zuschlagsquotierung".
- ILFv
b (v )
(v ) := b
0
(v 0 )
, wobei b (v ) die Risikoprämie zum Policenlimit v und b (v 0 ) die Risikoprämie zum Basislimit v 0 darstellen.
- In den USA stellt das Insurance Services Office (ISO) auf statistischen Daten basierende ILF-Tabellen zur Verfügung für
verschiedene Haftpflichtversicherungssparten.
Wenn man eine ILF-Tabelle gegeben hat und Policenlimit v verdoppelt wird, berechnet der Versicherer die zugehörige
(
)
Risikoprämie zu b ( 2v ) = b (v ) 1 + z (v ) mit Verdopplungsfaktor z (v ) :=
b ( 2v ) − b (v )
b (v )
=
ILFv
0
( 2v ) − ILFv 0 (v )
.
ILFv (v )
0
In Deutschland und vielen anderen Ländern verwendet man keine ILFs, sondern einen konstanten Verdopplungsfaktor z ∈ ( 0,1) :
Sei b0 := b (v 0 ) die Risikoprämie zum Basispolicenlimit v 0 > 0 für ein Risiko mit Schadenhöhen-Zufallsgröße X .
Es gilt b ( 2v 0 ) = b0 (1 + z ) und analog b ( 4v 0 ) = b0 (1 + z )
log2 ( t )
b ( tv 0 ) = b0 (1 + z )
Riebesells Formel
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(
)
und allgemein b 2k v 0 = b0 (1 + z )
k
für k ∈ N0 bzw.
für beliebiges t ∈ ¡ > 0 . Es folgt für alle Policenlimits v > 0 und Verdopplungsfaktor z ∈ ( 0,1) :
 v
log2 
b v = b0 1 + z
 v0
( )
(
)

 v

 = b0  v
 0
log2 (1+ z )



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.
4.Exposure Pricing in der Haftpflichtversicherung
Berechnung der Rückversicherungsprämie in der Praxis
Wenn Riebesells Prämienfunktion b als kollektives Modell darstellbar wäre, erhielten wir für Policenlimit v und Schadenanzahl-Zufallsgröße N :
v
(
)
b (v ) = Ε ( N ) Ε min ( X ,v ) = Ε ( N )
∫ (1− F ( x )) dx. Es folgt b ' (v ) = Ε (N ) (1− F (v )) und lim b ' (v ) = ∞ im Widerspruch zu Ε (N ) endlich.
v →0
0
Mack und Fackler zeigen aber, daß man b in einem Intervall 0, u  zu einer linearen Funktion modifizieren kann und b dann als kollektives Modell
darstellbar ist. Falls nun ein Risiko mit Versicherungssumme v i und Priorität a mit 0 < a ≤ v i rückversichert werden soll , erhalten wir mit
Schadenhöhen-Zufallsgröße X :
ri ( a ) :=
(
) = b ( a ) =  a log (1+ z )
 
Ε ( min ( X ,v i ) ) b ( v i )  v i 
Ε min ( X , a )
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als Schadenentlastungsfunktion, und ri ist unabhängig von Inflation und Währungskursschwankungen.
Die Berechnung der XL-Risikoprämie pro Policenlimitband v i mit zugehöriger Originalprämie aus aktuellem Policenlimit-Risikoprofil für einen pro
Risiko Haftpflichtversicherungs XL Haftung xs Priorität ergibt sich mit Notation der Riebesell Formel und Schadenquote SQ wie folgt:
{
{(
) (
Der Faktor SQ • Originalprämie wird multipliziert mit max 0 , min ri (Pr iorität+Haftung) - ri ( Priorität ) , 1 − ri (Priorität )
)}}.
Die Summe dieser XL-Prämien pro Policenlimitband liefert uns die gesamte XL-Risikoprämie. Dies sei erklärt am Beispiel:
•
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XL_Exposure_Pricing_Haftpflicht.xls
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5.Literatur
•
Bernegger, S., The Swiss Re Exposure Curves, ASTIN Bulletin 27 (1997),
99-111.
•
Mack, T. Und Fackler, M., Exposure Rating in Liability Reinsurance, ASTIN
Colloquium Berlin 2003.
•
Riebesell, P., Einführung in die Versicherungsmathematik, Berlin 1936.
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