Grundwissen 8

Grundwissen Mathematik
1
Jahrgangsstufe 8
Funktionale Zusammenhänge
Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
Beispiel: f : x ֏ y = x 2 − 1
Zu jedem x aus der Definitionsmenge D gehört genau
ein y aus der Wertemenge W der Funktion.
Durch Einsetzen von x-Werten in den Funktionsterm
erhält man eine Wertetabelle:
Der Funktionsterm f(x) gibt an, wie man zu einem
gegebenen x-Wert den zugehörigen y-Wert berechnet.
Schreibweise: f : x ֏ y = f (x)
y = f(x) heißt Funktionsgleichung.
x
y
Beispiel:
−2
3
D=Q
−1
0
0
−1
1
0
2
3
f(−2) = (−2)2− 1 = 4 − 1 = 3
y
Graph:
Der Funktionsgraph besteht aus allen Punkten (x/y),
für die die Gleichung y = f(x) gilt.
Schnittpunkte mit der x-Achse heißen Nullstellen. Man
erhält sie, indem man den Funktionsterm gleich 0 setzt.
Den Schnittpunkt mit der y-Achse Sy erhält man
durch Einsetzen von x = 0 in den Funktionsterm.
1
1
Zum Überprüfen, ob ein gegebener Punkt P(xP/yP) auf
dem Graphen liegt, setzt man den x-Wert xP des Punktes
in den Funktionsterm ein und vergleicht das Ergebnis
mit yP.
x
Nullstellen: N1(−1/0) und N2(1/0)
Schnittpunkt mit der y-Achse: Sy(0/−1)
Liegt P(−1,5/2) auf dem Graph?
Überprüfung: f(−1,5) = (−1,5)2 − 1 = 1,25 ≠ 2
⇒ P liegt nicht auf dem Graph,
sondern wegen 2 > 1,25 oberhalb
2
Kreisumfang und Kreisfläche
Umfang U eines Kreises mit Radius r : U = 2·r·π
Beispiel: Flächeninhalt und Umfang einer Pizzaschnitte
mit Radius r = 2dm
π ≈ 3,14 (Kreiszahl „Pi“)
Bogenlänge b
wegen d = 2r (d: Kreisdurchmesser) gilt auch: U = d·π
Flächeninhalt A: A = r · π
60°
2
Flächeninhalt der Pizzaschnitte:
A = 16 ⋅ r 2 ⋅ π = 16 ⋅ (2dm) 2 ⋅ π ≈ 2,1dm 2
Umfang der Pizzaschnitte:
U= 2 ⋅ r + b = 2 ⋅ r + 16 ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π = 4dm + 13 ⋅ 2dm ⋅ π ≈ 6,1dm
3
Lineare Funktionen
Eine Funktion f : x ֏ y = m ⋅ x + t mit D = Q heißt
lineare Funktion.
Beispiel: g: y =
1
3
x+2
Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade,
weshalb man die Gleichung y = m · x + t auch
allgemeine Geradengleichung nennt.
t heißt y-Achsenabschnitt, m heißt Steigung.
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Grundwissen Mathematik
Jedes rechtwinklige Dreieck, das einen Teil der Geraden
als Hypotenuse hat, nennt man Steigungsdreieck.
∆y
Für die Steigung m gilt: m =
∆x
Jahrgangsstufe 8
Steigung m =
∆y
∆x
= 13 bedeutet: Wenn man vom y-
Achsenabschnitt aus 3 Schritte nach rechts und 1 nach
oben geht, erhält man einen weiteren Geradenpunkt.
g:y =
mit ∆y als zur y-Achse paralleler Kathetenlänge und ∆x
als zur x-Achse paralleler Kathetenlänge.
1
x+2
3
Steigungsdreieck
Für Steigungen m > 0 steigt die Gerade, für Steigungen
m < 0 fällt die Gerade.
Verläuft die Gerade durch die Punkte P(xP/yP) und
Q(xQ/yQ), dann gilt für die Geradensteigung:
m=
yQ − y P
xQ − xP
Schnittpunktberechnung:
Den Schnittpunkt S zweier Geraden g und h erhält man
durch den Ansatz:
g(x) = h(x)
Beispiel: Gerade h durch P(−1/4) und Q(0/−3)
m=
−3 − 4
−7
=
= −7
0 − (−1) 1
Einsetzen von m und einem der beiden gegebenen
Punkte in y = mx + t ergibt t:
4 = −7 · (−1) + t ⇒ t = −3 ⇒ h: y = −7·x − 3
(Schnittpunktbedingung)
Beispiel: Schnittpunkt von g und h
Die direkte Proportionalität ist ein Spezialfall der
linearen Funktion mit der Funktionsgleichung y= m · x.
Ihr Graph ist eine Ursprungs(halb-)gerade.
m heißt Proportionalitätskonstante.
4
1
3
x + 2 = −7x − 3 ⇒
x = − 15
22
⇒ S( − 15
/ 39 )
22 22
Ungleichungen
Ungleichungen darf man mit den gleichen Äquivalenzumformungen (siehe Grundwissen 7.Klasse), wie sie bei
Gleichungen verwendet werden, lösen.
Achtung:
Multipliziert (dividiert) man eine Ungleichung mit (durch) eine(r) negativen Zahl, so muss man das
Ungleichheitszeichen umdrehen!
Man löst lineare Ungleichungen, indem man zunächst
beide Seiten getrennt voneinander vereinfacht,
2x + 1 > 4(x − 2) + 1
2x + 1 > 4x − 8 + 1
dann die x-Terme auf die eine Seite, die Zahlen auf die
andere Seite bringt
und dann durch Multiplikation oder Division x isoliert.
2x + 1 > 4x − 7
−2x > −8
−4x − 1
: (−2) Achtung! „ > “ umdrehen!
x<4
Angeben der Lösungsmenge:
5
L=]−∝ ; 4[ = {x ∈ ℚ x < 4}
Lineare Gleichungssysteme (du solltest wenigstens ein Verfahren beherrschen!)
a) graphische Lösung und Gleichsetzungsverfahren
Fast jede lineare Gleichung mit zwei Unbekannten x
und y lässt sich auf die Form der allgemeinen
Geradengleichung y = m· x + t bringen.
Bringt man beide Gleichungen auf diese Form, so kann
man die beiden Geraden zeichnen (zeichnerische
Lösung) und ihren Schnittpunkt durch Gleichsetzen der
Funktionswerte berechnen (Gleichsetzungsverfahren).
I) 2x − y = 1
II) −x + y = 2
Umstellen : I) y = 2x − 1
II) y = x + 2
I) = II) 2x − 1 = x + 2
x=3
Beispiel:
Einsetzen in I) oder II):
y=3+2=5
S(3/5) ⇒ L = {(3;5)}
y
S
1
1
II)
x
I)
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b) Einsetzverfahren
Nachdem man beide Gleichungen so weit wie möglich
vereinfacht hat, löst man eine der beiden Gleichungen
nach einer Unbekannten auf und setzt diese in die
andere Gleichung ein.
Man erhält eine Gleichung, die nur noch eine
Unbekannte enthält.
I) 2x − 3y = 7
(Vereinfachen beider Gleichungen)
II) 4x + 5y = −8
I) x = 3,5 + 1,5y (Auflösen nach einer Unbekannten)
I) in II) 4(3,5 + 1,5y) + 5y = −8
Diese Unbekannte kann man berechnen und in die
umgestellte Gleichung einsetzten, um die andere
Unbekannte zu erhalten.
c) Additionsverfahren
Das Additionsverfahren ist immer dann besonders
einfach durchzuführen, wenn die Koeffizienten einer
Unbekannten in beiden Gleichungen gleich oder
Gegenzahlen sind (bzw. wenn sich dieser Zustand leicht
durch Multiplikation herstellen lässt).
Man addiert oder subtrahiert die beiden Gleichungen
seitenweise und erhält dadurch eine Gleichung mit nur
noch einer Unbekannten.
Diese Unbekannte kann man berechnen und in eine der
beiden Ausgangsgleichungen einsetzen.
6
Beispiel:
I) 3x − 3y + 2 = 9 + x
II) 2x − y + 8 = −6y − 2x
y = −2 in I) x = 3,5 + 1,5 · (−2) = 0,5
Lösungsmenge : L = {(0,5;−2)}
Beispiel:
I) 2x − 3y = 14
II) 3x + y = 32 ·3
I) 2x − 3y = 14
II) 9x + 3y = 96
I) + II) 11x = 110 : 11
x = 10
in I) 20 − 3y = 14
x = 10
y=2
⇒
Lösungsmenge: L = {(10;2)}
Laplace-Experimente
Zufallsexperimente sind Vorgänge, deren Ergebnisse
zufällig, also nicht vorhersagbar sind.
Alle möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
fasst man zur Ergebnismenge Ω zusammen.
Beispiel:
Fasst
man
bestimmte
Ergebnisse
eines
Zufallsexperiments zusammen, so erhält man ein
Ereignis.
Zufallsexperimente, bei denen alle möglichen
Ergebnisse gleichwahrscheinlich ist, heißen LaplaceExperimente.
Laplace-Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses
Anzahl der günstigen Ergebnisse
P(A) =
Anzahl aller Ergebnisse
A:
Allgemeines Zählprinzip:
Wählt man aus k verschiedenen Mengen mit m1, m2, ... ,
mk verschiedenen Elementen jeweils ein Element aus,
so gibt es dafür insgesamt m1·m2·...·mk Möglichkeiten.
zweimaliges Werfen einer Münze
Ergebnismenge Ω = {KK; KZ; ZK; ZZ}
Baumdiagramm:
K
Die möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments
kann man mithilfe eines Baumdiagramms ermitteln.
7
y=−2
⇒
K
Z
Z
K
Z
Ereignis A: „zwei gleiche Symbole“
A={KK; ZZ}
Handelt es sich um eine ideale Münze (sog. LaplaceMünze), so gilt für die Wahrscheinlichkeit mit dieser
Münze bei zweimaligen Werfen zwei gleiche Symbole
zu werfen:
P(A) =
2 1
= = 50%
4 2
Beispiel: Speisekarte
3 Vorspeisen, 5 Hauptgerichte, 2 Nachspeisen
Anzahl der Möglichkeiten für ein 3-Gangmenü:
3 · 5 · 2 = 30
Bruchterme und Bruchgleichungen
Bei Bruchtermen und Bruchgleichungen kommt die
Variable im Nenner vor.
In der Definitionsmenge eines Bruchterms und einer
Bruchgleichung sind alle Zahlen auszuschließen, für die
der Nenner Null wird.
Beispiele:
2x − 1
x2 − 4
D = Q\{−2; 2}
Bruchterm
2
3
2⋅ x
3 ⋅ (x + 2) 2x − 3x − 6 − x − 6
− =
−
=
= 2
x + 2 x (x + 2) ⋅ x x ⋅ (x + 2)
x 2 + 2x
x + 2x
Erweitern auf gemeinsamen Nenner!
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Jahrgangsstufe 8
Bruchterme werden nach den gleichen Regeln wie
Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und
dividiert (vgl. Grundwissen 6. Klasse).
Zur Lösung einer Bruchgleichung multipliziert man die
Gleichung mit dem Hauptnenner. Man erhält dann eine
Gleichung, die die Variable nicht mehr im Nenner
enthält
und
leicht
mit
den
bekannten
Äquivalenzumformungen (vgl. Grundwissen 7.Klasse)
lösbar ist.
4a 4
2a 3
4a 4
3a + 1 2 1
:
=
⋅
= ⋅ =2
2
1 1
3a + a 3a + 1 a(3a + 1) 2a 3
mal Kehrbruch
2
5
=
D = Q\{3}
Bruchgleichung
x
x −3
„mal Hauptnenner“: (x−3)· x
2x = 5 · (x −3) ⇒ x = 5 ∈ D ⇒ L = {5}
8 gebrochen rationale Funktionen
Funktionen wie f : x ֏
1
mit
x
D = Q\{0} oder
2−x
mit D = Q\{−3}, deren Funktionsterm
x +3
ein Bruchterm ist, heißen gebrochen rationale
Funktionen. Alle Zahlen, für die der Nenner Null
wird, können nicht zur Definitionsmenge D der
Funktion gehören.
Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion
beliebig genau annähert, heißt Asymptote.
f :x ֏
Eine indirekte Proportionalität ist ein Sonderfall
einer gebrochen rationalen Funktion mit der
c
Funktionsgleichung y = .
x
9
Beispiel:
0,5x
f :x ֏
x −1
mit D = Q\{1}
y
1
vertikale Asymptote:
x=1
horizontale Asymptote:
y = 0,5
x
1
Den Graphen einer indirekten Proportionalität nennt
man eine Hyperbel.
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Für a∈Q\{0} und n∈Z gilt: a−n =
1
und a0 = 1
an
Potenzen mit gleicher Basis:
am · an = am+n
am : an = am − n
(am)n = am·n
Beispiele:
1
1
1
=
= 25
0,2-2 =
2
8
0, 2
0, 04
3−2 · 35 = 3−2+5 = 33 = 27
28 : 2−3 = 28−(−3) = 211 = 2048
(52)3 = 56 = 15625
2−3 =
(−0,17)0 = 1
Potenzen mit gleichem Exponenten:
am · bn = (a · b)n
10
am : bn = (a : b)n
2−2 · 3−2 = (2 · 3)−2 = 6−2 =
1
36
Strahlensatz und Ähnlichkeit
Strahlensatz
Werden zwei Geraden g und h mit dem Schnittpunkt Z
von zwei Parallelen p1 und p2 geschnitten, so gilt:
1. Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die
entsprechenden Abschnitte auf h.
2. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie
die Entfernungen ihrer Endpunkte von Z.
3.
Zueinander ähnliche Figuren stimmen in allen
entsprechenden Winkeln und in allen Verhältnissen
entsprechender Seitenlängen überein. Ob zwei Dreiecke
ähnlich sind, lässt sich mit den Ähnlichkeitssätzen, die
aus den Kongruenzsätzen abgeleitet werden (vgl.
Grundwissen 7. Klasse), feststellen.
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