2. Mengen - Hochschule Trier

2. Mengen
Mathematik im Wandel der Zeit
Volkshochschule 1960
Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die
Erzeugerkosten betragen 40 DM. Berechne den Gewinn.
Realschule 1970
Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die
Erzeugerkosten betragen vier Fünftel des Erlöses. Wie hoch ist
der Gewinn?
Gymnasium 1980
Ein Agrarökonom verkauft eine Menge subterraner Feldfrüchte.
Die Menge Geld (G) hat eine Mächtigkeit von 50. Für die
Elemente G gilt: G=1. Die Menge der Herstellungskosten (H) ist
um 10 Elemente geringer als die Menge G. Zeichnen Sie die
Menge H als Teilmenge G und geben sie die Lösungsmenge L für
die Frage an: Wie mächtig ist die Gewinnsumme?
Walldorfschule 1990
Ein Bauer verkauft einen Sack Kartoffeln für 50 DM. Die
Erzeugerkosten betragen 40 DM und der Gewinn 10 DM.
Unterstreiche das Wort Kartoffeln und diskutiere mit Deinem
Nachbarn darüber.
Schule 2000 (Nach der Rechtschreibreform)
Ein kapitalistisch priweligierter bauer bereichert sich an einem
sakk kartoffeln um 10 euros. Untersuch das tekst auf inhaltliche
feler. Korrigiere die aufgabenstellunk und demonstrire gegen die
lösung.
Schule 2010
Es gipt keine kartofeln mer...
Quelle: Internet
Mengen
2- 1
Rolf Linn
08.10.2002
Kombinationen von Polster und Lack
R. Ljnn
6.7.9?
M 24
Lackfarbe
^
0
CD
u.
<n
*
engrün
aviolett
3
kadenbl
2
neeweiß
:
ca
'S
c
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W
CO
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:>
E1
ÖÖ
O
Schiefergrau
Blauviolett
•
Petrol
•
Ziegelrot
•
•
•
•
•
•
•
•
0)
O
Q.
R. Linn
29.6.99
•
•
Cantorsche Definition einer Menge
Unter einer "Menge" verstehen wir jede
Zusammenfassung M
von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten
unserer Anschauung oder unseres Denkens
(welche "Elemente" von M genannt werden)
zu einem Ganzen.
Georg Cantor, 1895
Mengen
2-2
Rolf Linn
08.10.2002
2.1 Beschreibung von Mengen
R. LJnn
21.8.0C
Definition 2.1.1
0 =det { x l x*x} heißt die leere Menge.
R ünn
29.6.«
Wen rasiert der Dorfbarbier?
X
M 15
Ich rasiere alle die Leute im Dorf,
die sich nicht selber rasieren.
(Barbier)
Mengen
2-3
RolfLinn
08.10.2002
2.2 Formale Logik
Kombinationen von Polster und Lack
R Unn
6.7.99
M 24
Mondsilber
Meteorgrau
Dschungelgrün
Tiefseeblau
Vulkanrot
Schneeweiß
Oasengrün
O
Kaskadenblau
c>
-*-•
•3
Floraviolett
Lackfarbe
Schiefergrau
v
o
Q_
R. Urin
22.8.01
Blauviolett
•
•
Petrol
•
Ziegelrot
• •
• •
•
• •
• •
Expertensystem
M 93
besser: Wissensbasiertes System
-
lüliliill:
Shell
Mengen
2-4
RolfLinn
08.10.2002
Definition 2.2.1
R. ü'nn
22.8.01
Wir definieren Verknüpfungen von Aussagen P und Q durch:
Wahrheitswerte:
p
p A Q
-rP
f
W
W
f
f
"nicht"
"und"
p
v 2
P ** Q
p f
\
\
f
w
f
f
W
f
W
W
W
W
W
W
f
W
"oder"
R. Unn
22.8.0]
f
W
f
W
f
W
f
W
W
"Wenn ..., dann"
"genau dann, wenn"
Definition 2.2.2
Eine aussagenlogische Formel mit den Aussagen P, Q, R,
heißt allgemeingültig (oder Tautologie^, wenn bei jeder
Zuordnung (Belegung) von Wahrheitswerten zu P, Q, R, ...
die Formel den Wahrheitswert w annimmt.
Mengen
2-5
RolfLinn
08.10.2002
R. Linn
22.8.01
Satz 2.2.1
Es seien P, Q und R Aussagen. Dann sind die folgenden
aussagenlogische Formeln allgemeingültig:
a) P^(PvQ)
b) (PAQ) => P
c) (P=>Q) => ((PvQ) => Q)
d) (P=>Q)^(P=>(PAQ))
R. Linn
22.8.01
e) ((P=>Q) A (Q=>R)) => (P=>R)
(modus barbara)
f) (P A (P=>Q)) => Q
(modus ponens)
g) ((P=>Q) A -Q) =»-p
(modus tollens)
h) p « (-P =» (Q A -Q))
(indirekter Beweis)
Definition 2.2.3
Zwei aussagenlogische Formeln mit den Aussagen P, Q, R,
... heißen äquivalent, wenn bei jeder Zuordnung (Belegung)
von Wahrheitswerten zu P, Q, R, ... beide Formeln den
gleichen Wahrheitswert haben.
Wir drücken dies durch das Zeichen = aus.
R. Linn
22.8.01
Satz 2.2.2
Für Aussagen P, Q und R gelten folgende Äquivalenzen:
Kommutativität
PAQ = QAP
EVQ = QvP
PA (QVR)
=
(PAQ) V (PAR)
P* ( Q A R )
=
( P V Q ) A (PvR)
PA w =
P
Distributivität
neutrale Elemente
EVf s P
PA-,P = f
W-iP = w
Mengen
2-6
Komplement
RolfLinn
08.10.2002
22.8.01
Für Aussagen P, Q und R gelten folgende
Äquivalenzen:
PAP = P
PvP = P
(Idempotenz)
PA/S f
Pvi/v = w
PA(PvQ) = P
(Absorption)
Pv(PAQ) = P
(Assoziativität)
Pv(OR)= (PvQ)vR
(De Morgansche Gesetze)
-,(PvQ)= -,PA -IQ.
n(-,P)= P
= w
= f
Mengen
2-7
RolfLinn
08.10.2002
Übungsaufgaben
2.2.1
Schreiben Sie eine Wahrheitstafel für die Aussage (PA Q)=^ (Qv (-iR))
2.2.2
Beweisen Sie Satz 2.2.1 b) -g) durch Aufstellen der Wahrheitstafeln.
2.2.3
Beweisen Sie Satz 2.2.2 durch Aufstellen der Wahrheitstafeln, soweit in
der Vorlesung noch nicht gemacht.
2.2.4
Es sei M = {0, 3, 7, 11, 15, 44}. Geben Sie die Menge A = { x l x=M A x<11}
durch Aufzählung ihrer Elemente an.
2.2.5
Es sei M = { x l xeN A x>8 A x<12}. Geben Sie die Menge M durch
Aufzählung ihrer Elemente an.
2.2.6
Es sei M = {0, 1, 2, 3}. Beschreiben Sie die Menge M durch eine
charakteristische Eigenschaft.
2.2.7
Es sei M = { x l xeN A x<8 A x>12}. Geben Sie die Menge M in möglichst
einfacher Form an.
Mengen
2-8
Rolf Linn
08.10.2002
2.3 Beziehungen zwischen Mengen
Definition 2.3.1
Es seien A und B Mengen.
A heißt Teilmenge von B, geschrieben AeB, falls für alle x gilt:
xeA
Teilmenge
R. Unn
5.7.9?
M 16
Definition 2.3.2
Es seien A und B Mengen.
A und B sind gleich, geschrieben A=B, falls AeB und BgA.
Für -i (A=B) schreiben wir wie üblich A* B.
Definition 2.3.3
Es seien A und B Mengen.
A heißt echte Teilmenge von B, geschrieben A<=B, falls
AgB und A* B.
Mengen
2-9
RolfLinn
08.10.2002
R. Linn
22.8.QC
Definition 2.3.4
Es sei M eine Menge.
P(M) =def { A l AgM } heißt Potenzmenge von M.
R. Ünn
22.8.0C
Satz 2.3.1
Sei M eine endliche Menge und m die Anzahl der
Elemente von M.
Die Potenzmenge P (M) hat dann 2 m Elemente.
Mengen
2- 10
Rolf Linn
08.10.2002
Übungsaufgaben
2.3.1
Es seien A = { xeN l x<5} und B = { xeN l 2x<11}. Zeigen Sie, dass A=B
gilt.
2.3.2
Es seien A = { xeN l x>9 } und B = { xeN l x>3 }. Zeigen Sie, dass A<=B gilt.
2.3.3
Es seien A = { x e N l x 2 > 9 } und B = { xeN l x>3 }. Zeigen Sie, dass A=B.
2.3.4
Welche der folgenden Aussagen sind richtig, welche falsch?
a) 1 e { { 1 } , 4 }
b)
c) 0 e { { 1 } , 4,
{ 0 } g { { 1 } , 4, 0}
2.3.5
Bestimmen Sie P( {a, b, c} )
Mengen
2-11
Rolf Linn
08.10.2002
2.4 Mengenoperationen
K. Unn
22.8.0C
Definition 2.4.1
Seien A und B Mengen.
Au B =def { x l xeA v xeB } heißt Vereinigung von A und B.
Vereinigung von Mengen
R. Unn
5.7.9?
R. Unn
22.8.00
M 17
Satz 2.4.1
Seien A und B Mengen. Dann gilt:
a) AuB = BuA
(Kommutativität)
b) Au0 = A
c) AgB=» AuB = B
d) A g AuB
R. Lim
22.8.00
Definition 2.4.2
Seien A und B Mengen.
An B =def { x l xeA A xeB } heißt Durchschnitt von A und B.
Mengen
2- 12
RoifLinn
08.10.2002
Durchschnitt von Mengen
R. Linn
5.7.99
R ünn
21.8.01
M 18
Satz 2.4.2
Seien A und B Mengen. Dann gilt:
a) AnB = BnA
(Kommutativität)
b) 0nA = 0
c) AeB^ AnB = A
d) An B = A
R. ünn
22.8.00
Satz 2.4.3
Seien A, B und C Mengen. Dann gilt:
a) A n (BuC) = (AnB) u (AnC) (Distributivität)
b) Au (BnC) = (AuB)n (AuC) (Distributivität)
R. Ünn
22.8.00
Definition 2.4.3
Seien A und B Mengen.
A\B =def { x l xeA A xtjB } heißt Differenz von A und B.
Mengen
2- 13
Rolf Linn
08.10.2002
R. ünn
22.8.0C
Satz 2.4.4
Sei A Teilmenge der Grundmenge G.
Dann gilt:
a) AnÄ = 0
b)
R. ünn
2.9.9?
Gesetze der Mengenoperationen
Kommutativität
AnB = BnA
AuB = BuA
An(BuC)
Au(ßnC)
=
=
(AnB)u(AnC)
(AuB)n(AuC)
Distributivität
Anß = A
Au0 = A
neutrale Elemente
AriA" = 0
AU7T = a
Komplement
M 74
R. Unn
22.8.00
Seien A, B und C Teilmengen der Grundmenge CJ.
Dann gelten folgende Gleichungen:
AnA =
AuA =
(Idempotenz)
An(AuB) = A
Au(AnB) = A
(Absorption)
An(BnC) = (An B)n C
Au(BuC)=(AuB)uC
(Assoziativität)
(De Morgansche Gesetze)
A~üB~= Än
0=ß
Übungsaufgaben
2.4.1
Bestimmen Sie { xeN l x<11} u { xeN l x>5}
2.4.2
Bestimmen Sie { xeM l x<11} n {xeN l x>5}
2.4.3
Beweisen Sie Satz 2.4.2. Welche Gesetze der Aussagenlogik haben Sie
hierbei verwendet?
2.4.4
Beweisen Sie Satz 2.4.3. Welche Gesetze der Aussagenlogik haben Sie
hierbei verwendet?
2.4.5
Seien A und B Mengen. Zeigen Sie, dass A \ B s A
2.4.6
Beweisen Sie Satz 2.4.4 b).
Mengen
2- 16
RolfLinn
08.10.2002