Tabellen für Vertrauensbereiche (auch: Konfidenzintervalle): A

Prof. Dr. Timm Sigg
Statistik
Tabellen für Vertrauensbereiche (auch: Konfidenzintervalle):
A. Vertrauensbereiche für den Erwartungswert µ einer Normalverteilung bei bekannter Varianz σ 2 :
Die Voraussetzungen sind wie im Abschnitt A. bei den statistischen Tests.
Der Vertrauensbereich wird auf Basis einer Stichprobe x1 , . . . , xn berechnet, deren arithmetischer Mittelwert x ist.
Art des Vertrauensbereichs
Vertrauensbereich für µ
√σ ;
n
zweiseitig
[x − z1−α/2 ·
einseitig, nach unten begrenzt
[x − z1−α ·
einseitig, nach oben begrenzt
(−∞; x + z1−α ·
√σ ;
n
x + z1−α/2 ·
√σ ]
n
∞)
√σ ]
n
B. Vertrauensbereiche für den Erwartungswert µ einer Normalverteilung bei unbekannter Varianz:
Die Voraussetzungen sind wie im Abschnitt B. bei den statistischen Tests.
Der Vertrauensbereich wird auf Basis einer Stichprobe x1 , . . . , xn berechnet, deren arithmetischer Mittelwert x und deren empirische Standardabweichung s ist.
Art des Vertrauensbereichs
Vertrauensbereich für µ
zweiseitig
[x − tn−1;1−α/2 ·
einseitig, nach unten begrenzt
[x − tn−1;1−α ·
einseitig, nach oben begrenzt
(−∞; x + tn−1;1−α ·
√s ;
n
√s ;
n
x + tn−1;1−α/2 ·
∞)
√s ]
n
√s ]
n
Prof. Dr. Timm Sigg
Statistik
C. Vertrauensbereiche für die Differenz µ1 − µ2 der Erwartungswerte zweier Normalverteilungen:
Die Voraussetzungen sind wie im Abschnitt C. bei den statistischen Tests. Der Vertrauensbereich wird auf Basis zweier Stichproben x1 , . . . , xm und y1 , . . . , yn berechnet.
Der arithmetische Mittelwert der ersten Stichprobe ist x, der der zweiten ist y.
Aus den beiden empirischen Varianzen s2x der ersten Stichprobe und s2y der zweiten
Stichprobe muss zunächst die folgende Hilfsgröße berechnet werden:
r
q
m+n
2
2
sd = (m − 1)sx + (n − 1)sy ·
m · n · (m + n − 2)
Art des Vertrauensbereichs
Vertrauensbereich für µ1 − µ2
zweiseitig
[x − y − tm+n−2;1−α/2 · sd ; x − y + tm+n−2;1−α/2 · sd ]
einseitig, nach unten begrenzt
[x − y − tm+n−2;1−α · sd ; ∞)
einseitig, nach oben begrenzt
(−∞; x − y + tm+n−2;1−α · sd ]
D. Vertrauensbereiche für eine Wahrscheinlichkeit p :
Die Voraussetzungen sind wie im Abschnitt D. bei den statistischen Tests.
Der Vertrauensbereich wird auf Basis einer Stichprobe vom Umfang n berechnet, bei
der das gesuchte Ereignis k-mal eingetreten sei, Dann ist p̂ = nk eine Punktschätzung für
die unbekannte Wahrscheinlichkeit. Dieser Schätzwert wird für den Vertrauensbereich
benutzt.
Art des Vertrauensbereichs
Vertrauensbereich für p
q
q
p̂·(1−p̂)
0,5
zweiseitig
[p̂ − z1−α/2 ·
− n ; p̂ + z1−α/2 · p̂·(1−p̂)
+ 0,5
]
n
n
n
q
einseitig, nach unten begrenzt [p̂ − z1−α · p̂·(1−p̂)
− 0,5
; 1]
n
n
q
einseitig, nach oben begrenzt [0; p̂ + z1−α · p̂·(1−p̂)
+ 0,5
]
n
n