Testen von Hypothesen - Humboldt

Testen von Hypothesen
Elke Warmuth
Humboldt-Universität zu Berlin
Sommersemster 2010
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Testen von Hypothesen
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Signifikant, signifikant, signifikant, ...
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Signifikant, signifikant, signifikant, ...
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Wikipedia, die freie Enzyklopädie:
Statistische Signifikanz:
”
In der Statistik heißen Unterschiede oder Zusammenhänge
signifikant, wenn die Wahrscheinlichkeit gering ist, dass sie durch
Zufall zustande gekommen sind.“
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Signifikant auf dem Niveau α
Es sei 0 < α < 1. Im Rahmen eines Modells mit der
Wahrscheinlichkeitsverteilung P ist eine Abweichung k einer
Zufallsgröße X von ihrem Erwartungswert E (X ) eine signifikante
Abweichung auf dem Signifikanzniveau α, wenn gilt
P(|X − E (X )| ≥ k) ≤ α
Signifikant an sich gibt es nicht!
Standardwerte für Signifikanzniveaus: 0, 05; 0, 02; 0, 01
Je nach Problemstellung: Abweichung nach oben, Abweichung
nach unten, Abweichung dem Betrage nach
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
erste Kernidee: signifikant“ bezieht sich auf eine
”
Abweichung im Rahmen eines Modells.
erster Schritt: Verständnis für Größenordnungen von
Abweichungen bei zufälligen Vorgängen
zweiter Schritt: kσ-Bereiche
letzter Schritt: Signifikanztest
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Zufällige Schwankungen erfassen – Voraussetzung für
Testverständnis
Erfahrungen sammeln, z.B. durch Simulation
Schwankungen in Modellen untersuchen
Größenordnungen von Wahrscheinlichkeiten schätzen
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Der Anteil der A-Wähler in einer großen Wählerpopulation sei 0,3.
Wie viele A-Wähler erwarten Sie
a) in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang 30 aus dieser
Population,
b) in einer zufälligen Stichprobe vom Umfang 300 aus dieser
Population?
Geben Sie jeweils ein möglichst kleines symmetrisches Intervall um
den Erwartungswert an, das mindestens 95% Sicherheit besitzt.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Modellierung zu a):
X – Anzahl der A-Wähler in der Stichprobe
Modell: X ∼ B(30; 0, 3), E (X ) = 9, Var (X ) = 6, 3, σX ≈ 2, 5
P(4 ≤ X ≤ 14) ≈ 0, 97
σX
≈ 28%
Länge 10 und
E (X )
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Im Rahmen des Modells B(30; 0, 3) gilt
1 − P(4 ≤ X ≤ 14) = 1 − P(|X − E (X )| ≤ 5)
= P(|X − E (X )| ≥ 6) ≈ 0, 03
6 ist eine signifikante Abweichung vom Erwartungswert auf dem
Signifikanzniveau 0,03.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Modellierung zu b):
Y – Anzahl der A-Wähler in der Stichprobe
Modell: Y ∼ B(300; 0, 3), E (Y ) = 90, Var (Y ) = 63, σX ≈ 8
P(74 ≤ Y ≤ 106) ≈ 0, 96
σY
≈ 18%
Länge 32 und
E (Y )
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Im Rahmen des Modells B(300; 0, 3) gilt
1 − P(74 ≤ Y ≤ 106) = 1 − P(|X − E (X )| ≤ 16)
= P(|X − E (X )| ≥ 17) ≈ 0, 04
17 ist eine signifikante Abweichung vom Erwartungswert auf dem
Signifikanzniveau 0,04.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Insbesondere bei kleinen Stichproben neigt man dazu, die
Schwankungen zu unterschätzen.
p
Die Standardabweichung np(1 − p) wächst mit wachsendem n,
X
aber der Quotient Eσ(X
) geht gegen 0.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Wahrscheinlichkeiten schätzen
Stelle durch eine Überschlagsrechnung fest, welche der
”
vorgeschlagenen Antworten zu den folgenden Fragen am besten
paßt. Eine faire Münze wird 10-mal (100-mal bzw. 1000-mal)
geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, daß genau die Hälfte Köpfe sind,
ist ungefähr 25%, 10%, 5% oder 1%?“
Quelle: H. Dinges, H. Rost: Prinzipien der Stochastik. Stuttgart: Teubner, 1982
Schätzen – eine wichtige, aber im Mathematikunterricht oft
vernachlässigte Fähigkeit
Aufgabenformat herausfordernd, ähnlich Känguru-Aufgaben
Es muss nicht immer ein Anwendungskontext sein.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
An – Ereignis Genau n2 Wappen bei n Würfen“, pn = P(An ).
”
Die Wahrscheinlichkeiten pn fallen mit wachsender Anzahl der
Würfe gegen 0.
n = 10: Bei Gleichverteilung hätte jede Anzahl die
1
Wahrscheinlichkeit 11
. Die Binomialverteilung B(10; 0, 5) hat
bei 5 ein deutliches Maximum, folglich P(A10 ) ≈ 0, 25.
n = 100: Das 1 · σ-Intervall [45; 55] hat rund 68%
Wahrscheinlichkeit. Das sind durchschnittlich mehr als 6% pro
Wert. Also hat der wahrscheinlichste Wert rund 10%
Wahrscheinlichkeit.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
√
n = 1000: Es ist σ = 250 ≈ 16. Das 1 · σ-Intervall [234; 266]
hat rund 68% Wahrscheinlichkeit. Das sind durchschnittlich
mehr als 2% pro Wert. Also passt 5% oder 1%
Wahrscheinlichkeit.
Stirlingsche Formel liefert
P(S2n = n) ≈ √
1
π·n
S2n – Anzahl der Erfolge in einer Bernoulli-Kette der Länge 2n
mit Erfolgswahrscheinlichkeit 0,5
P(S1000 = 500) ≈
√ 1
π·500
≈ 0, 025
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
zweite Kernidee: Verbindung von Modellebene und Sachebene
durch Interpretationen von Wahrscheinlichkeit
A. N. Kolmogorow in §2 Das Verhältnis zur Erfahrungswelt:
Den Ereignissen A werden Wahrscheinlichkeiten P(A) zugeordnet
mit folgenden Eigenschaften:
I. Man kann praktisch sicher sein, dass bei einer großen Anzahl
von Wiederholungen des Vorgangs die relative Häufigkeit von
A sich nur wenig von P(A) unterscheiden wird.
II. Wenn P(A) sehr klein ist, dann kann man praktisch sicher
sein, dass A bei einmaliger Beobachtung des Vorgangs nicht
eintreten wird.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
I. nennt man Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Viele reale Erscheinungen weisen statistische Regelmäßigkeit auf,
Erfahrungstatsache – nicht beweisbar
II. ist Hintergrund für statistische Schlüsse:
Es ist etwas eingetreten, das im zugrunde liegenden Modell
(unter der zugrunde liegenden Hypothese) eine sehr kleine
Wahrscheinlichkeit hat. Daran glaube ich nicht, also verwerfe ich
das Modell (die Hypothese).
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
H: p = 0, 5, A: p 6= 0, 5
dritte Kernidee: Hypothese und Alternative beschreiben
konkurrierende Modelle
(plausible) Testgröße: Anzahl X der Erfolge bei 20 Versuchen.
Unter H (im Modell H) gilt E (X ) = 20 · 0, 5 = 10
Gegen H und für A sprechen große Abweichungen der
beobachteten Erfolgsanzahl von 10. Wie viele?
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Unter H sind Abweichungen vom Erwartungswert von 5 oder mehr
sehr unwahrscheinlich (Wahrscheinlichkeit 0,04)
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Brücke zur Erfahrungswelt (Kolmogorow):
Wenn P(A) in einem Modell sehr klein ist, dann kann man
praktisch sicher sein, dass A bei einmaliger Beobachtung des
Vorgangs nicht eintreten wird.
Entscheidungsregel:
Wenn |X − 10| ≥ 5 beobachtet wird, lehne H ab.
Wenn |X − 10| < 5 beobachtet wird, behalte H bei.
K = {|X − 10| ≥ 5} heißt kritischer Bereich oder
Verwerfungsbereich des Tests.
Eigenschaft dieser Entscheidungsregel:
Ist H das richtige“ Modell, dann lehnen wir die Hypothese H
”
mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,04 fälschlicherweise ab.
Fehler 1. Art
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Signifikanztest
Ein Signifikanztest zum Signifikanzniveau α, 0 < α < 1, ist eine
Entscheidungsregel, bei der die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 1.
Art höchstens α beträgt.
K {|X − 10| ≥ 5} beschreibt einen Signifikanztest zum
Signifikanzniveau α ≥ 0, 04, denn bei p = 0, 5 (unter H) gilt
P(|X − 10| ≥ 5) = 0, 04 ≤ α.
Testen heißt also zunächst:
eine Testgröße auf signifikante Abweichungen im Rahmen des
durch H gegebenen Modells zu untersuchen.
Das Signifikanzniveau wird vorher benannt.
Der kritische Bereich richtet sich nach der Alternative A.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
In der Statistik heißen Unterschiede oder Zusammenhänge signifikant,
”
wenn die Wahrscheinlichkeit gering ist, dass sie durch Zufall zustande
gekommen sind.“
Im Modell B(20; 0, 5) ist die Wahrscheinlichkeit, dass durch Zufall mehr
als 14 oder weniger als 6 Erfolge eintreten, sehr gering (0,04).
Diese Abweichung vom Erwartungswert (um mindestens 5) ist auch
signifikant auf dem Signifikanzniveau 0,05, weil 0, 04 < 0, 05 ist.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
K = {|X − 10| ≥ 5} beschreibt keinen Signifikanztest zum
Signifikanzniveau α = 0, 01.
Für einen solchen Test müsste die Abweichung vom
Erwartungswert größer sein.
Testen heißt auch:
Die Konsequenzen der Entscheidung untersuchen.
Fehler 2.Art: H fälschlicherweise beibehalten.
Das heißt, ein Modell mit p 6= 0, 5 ist richtig“, aber zufällig
”
ist die beobachtete Abweichung kleiner als 5.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Was ist, wenn z.B. p = 0, 7 das richtige“ Modell ist?
”
Unter A mit p = 0, 7 gilt X ∼ B(20; 0, 7).
P(|X − 10| ≥ 5) = 0, 42 und P(|X − 10| < 5) = 0, 58.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Wenn p = 0, 7 gilt, dann entscheiden wir uns mit
Wahrscheinlichkeit 0,42 richtig und begehen mit
Wahrscheinlichkeit 0,58 einen Fehler, indem wir H
beibehalten.
Fehler 2. Art: H beibehalten, obwohl A richtig.
Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art verhalten sich
gegenläufig. Man kann nicht beide gleichzeitig kontrollieren“.
”
Fehler 1. Art einhalten und Fehler 2. Art dann minimieren.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Gütefunktion – Konsequenzen der Entscheidungsregel auf
einen Blick
β(p) = P(p) (K ) – Ablehnungswahrscheinlichkeit von H in
Abhängigkeit von der Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Das ist keine bedingte Wahrscheinlichkeit.
Funktionale Betrachtung.
α = 0, 04
n = 20 :
K = {|X − 10| ≥ 5}
β(p) = P(p) (|X − 10| ≥ 5)
n = 100 :
K = {|X − 10| ≥ 11} β(p) = P(p) (|X − 10| ≥ 11)
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Zusammenfassung zum Testen von Hypothesen
Aufgabe der beurteilenden Statistik
Wahrscheinlichkeitstheorie stellt Modelle für reale Vorgänge
bereit
Gesucht sind Entscheidungen über Modellparameter
(z. B. p in B(n, p)), Unabhängigkeit, Modelltyp
(z. B. N(µ, σ 2 )), ...
Hypothesen beschreiben konkurrierende Modelle
Entscheidung für oder gegen ein Modell auf der Grundlage
zufallsabhängiger Daten
Fehler prinizipiell nicht ausgeschlossen
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Ablehnungsbereich abhängig von Alternative,
Problem: geeignete Testgröße
Es gibt kein wahr oder falsch, keine sicheren Aussagen
Ablehnung von H bedeutet nicht, dass H falsch ist
Beibehalten von H bedeutet nicht, dass H richtig ist.
Asymmetrie von H und A
H beschreibt oft den gesicherten, konservativen“
”
Standpunkt, das etablierte Modell
A beschreibt z.B. die Forschungshypothese
P(H ist falsch) hat in unserer Sicht keinen Sinn.
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Was bedeutet es, wenn eine Hypothese H auf dem
Signifikanzniveau α abgelehnt wird?
Die Testgröße ist in einen Bereich gefallen, dessen
Wahrscheinlichkeit unter H höchstens α beträgt.
Das durch H gegebene Modell bietet keine gute Erklärung
für das beobachtete Ereignis.
Es bedeutet nicht P(H ist falsch) ≤ α.
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Was bedeutet es, wenn eine Hypothese H auf dem
Signifikanzniveau α beibehalten wird?
Die beobachteten Daten sind mit dem durch H gegebenen Modell
verträglich“, sie bieten keinen hinreichenden Anlass, H zu
”
verwerfen.
Es bedeutet nicht P(H ist richtig) ≥ 1 − α.
Wenn man H möglichst selten ablehnen will, wähle man ein sehr
kleines α.
Wenn man signifikante Ergebnisse melden will, wähle man ein
großes α.
Das beobachtete Signifikanzniveau: Die unter H berechnete
Wahrscheinlichkeit für ein mindestens so extremes Ergebnis wie
das beobachtete.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Unter 1728 Personen, die in verschiedenen Krankenhäusern wegen
eines Magengeschwürs behandelt wurden, hatten 679 Blutgruppe
0; in der betreffenden Bevölkerungsgruppe ist Blutgruppe 0 mit
einem Anteil von 36,5% vertreten.
Ist die Abweichung signifikant?
Quelle: Heinz Klaus Strick. Einführung in die Beurteilende Statistik. Braunschweig: Schroedel, 2008, S. 88.
signifikant dem Niveau α = 0, 05
Modellbildung: Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig
ausgewählter Erkrankter die Blutgruppe 0 hat.
Sei X die Anzahl der Menschen mit Blutgruppe 0 unter n
Erkrankten.
Annahme: X ∼ B(n, p)
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Unter 1728 Personen, die in verschiedenen Krankenhäusern wegen eines
Magengeschwürs behandelt wurden, hatten 679 Blutgruppe 0; in der
betreffenden Bevölkerungsgruppe ist Blutgruppe 0 mit einem Anteil von
36,5% vertreten.
Beobachtet: hn (0) = 0, 393. Ist die Abweichung signifikant?
Hypothesen sind vor der Stichprobenentnahme zu formulieren.
H: p = 0, 365 gegen A: p 6= 0, 365.
Unter H: X ∼ B(1728, p), E (X ) = 1728 · 0, 365 ≈ 631,
√
Var (X ) = 1728 · 0, 365 · 0, 635 ≈ 20
Was spricht gegen H und für A? Große Abweichungen vom
unter H erwarteten Wert!
Also K = {|X − 631| ≥ k}
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Signifikanzniveau legt 2σ-Intervall nahe:
unter H: [631 − 40; 631 + 40] = [591; 671]
wegen α = 0, 05 wählen wir K = {X ≤ 591 oder X ≥ 671}
beobachteter Wert 679 liegt im Ablehnungsbereich von H,
also lehnen wir H auf dem Signifikanzniveau 0,05 ab. Es liegt
bei diesem Niveau eine signifikante Abweichung vor. Sie wäre
nicht signifikant bei α = 0, 01. Warum?
Beobachtetes Signifikanzniveau: Abweichung 679 − 631 = 48.
Wie groß ist unter H eine solche oder noch größere
Abweichung:
P(|X − 631| ≥ 48) ≈ 0, 02
Die beobachtete Abweichung wäre signifikant auf jedem
Signifikanzniveau α ≥ 0, 02.
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Klassenarbeit im Multiple-Choice-Format
20 Fragen, je drei Antworten, genau eine richtig
Ab wie vielen richtigen Antworten soll man eine 4 bekommen?
Simulationen: Wir würfeln die Antworten.
Auswertung der Simulationen
Was müsste bei einem, der nicht nur rät, anders sein als bei
einem Rater?
Wann würde ich das Modell p =
1
3
verwerfen? Vorschläge?
X – Anzahl der Erfolge (richtigen Antworten)
Annahmen:
unabhängige Fragen
konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p
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Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Modellverteilung B(20, 31 ) und Häufigkeitsverteilungen
bei 30 Simulationen.
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Modellverteilung B(20, 31 ) und Häufigkeitsverteilungen
bei 30 Simulationen.
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Testen von Hypothesen
Testszenarium 1: H: p =
1
3
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
gegen A: p >
1
3
Standpunkt: Der Schüler muss mich überzeugen, dass er nicht
nur rät, also K = {X ≥ k}, k noch zu bestimmen
Fehler 1. Art: H ablehnen, obwohl richtig,
d.h. Lehrer gibt 4, obwohl Schüler nur rät.
Das will dieser Lehrer natürlich möglichst selten tun, deshalb
P( 1 ) (X ≥ k) ≤ α
3
Fixieren α = 0, 05. Es folgt k = 11, d.h. mindestens 11
richtige Antworten für Note 4.
P( 1 ) (X ≥ 11) ≈ 0, 04
3
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Fehler 2. Art: H beibehalten, obwohl falsch,
d.h. Lehrer gibt 5, obwohl Schüler etwas weiß.
Gütefunktion: β(p) = P(p) (X ≥ 11) = 1 − P(p) (X ≤ 10)
β(0, 6) = 0, 76, Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0, 6 beträgt also 0,24.
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Testen von Hypothesen
Testszenarium 2: H: p >
1
3
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
gegen A: p ≤
1
3
Standpunkt: Der Schüler muss mich überzeugen, dass er
nichts weiß, also K = {X ≤ k}, k noch zu bestimmen.
Fehler 1. Art: H ablehnen, obwohl richtig,
d.h. Lehrer gibt 5, obwohl Schüler etwas weiß.
Das will dieser Lehrer natürlich möglichst selten tun, deshalb
P(p) (X ≤ k) ≤ α für alle p >
1
3
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Hypothese und Alternative zusammengesetzt
Es reicht, die Signifikanzbedingung für p =
1
3
zu erfüllen.
Fixieren α = 0, 06. Es folgt k = 3, d.h. mindestens 4 richtige
Antworten für Note 4.
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Testen von Hypothesen
Signifikante Abweichungen
Test über eine unbekannte Wahrscheinlichkeit p
Gütefunktion
Beispiele
Gütefunktion: β(p) = P(p) (X ≤ 3)
β(0, 2) = 0, 41, Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art bei
Erfolgswahrscheinlichkeit p = 0, 2 beträgt also 0,59.
Vorsicht mit Multiple-Choice-Tests.
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