(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15 Aufgabe - TUM

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik
(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15
Dr. René Brandenberg
Aufgabenblatt 5
Aufgabe 5.1
Sei M eine Menge mit n ∈ N Elementen.
a) Wie viele verschiedene Relationen R ⊂ M × M gibt es?
b) Wie viele davon sind Funktionen?
(Eine Relation f ⊂ M × M heißt Funktion, falls zu jedem x ∈ M ein y ∈ M existiert, so dass
(x, y) ∈ f , und falls für alle x, y1 , y2 ∈ M gilt: (x, y1 ) ∈ f ∧ (x, y2 ) ∈ f ⇒ y1 = y2 .)
Lösung zu Aufgabe 5.1
a) Jede Teilmenge R ⊂ M × M definiert eine Relation. Es genügt also die Teilmengen von M × M
zu zählen. Nun ist nach Produktregel |M × M | = |M |2 = n2 und daher hat die Potenzmenge
2
von M × M genau 2n Teilmengen.
b) Nach Definition ist f ⊂ M × M eine Funktion genau dann, wenn für alle x ∈ M gilt: |{y ∈ M :
(x, y) ∈ f }| = 1. Es gibt zu jedem x ∈ M genau n mögliche y ∈ M , so dass (x, y) ∈ f und damit
also nn = 2n log2 n mögliche Funktionen.
Aufgabe 5.2
Betrachten Sie die folgende Relation:
MA1501,1503
P := {(i, i) : i ∈ [7]}
∪ {(1, 3), (2, 3)}
∪ {(4, 5), (4, 6), (4, 7), (5, 7), (6, 7)} ⊂ [7]2
a) Zeigen Sie, dass P eine partielle Ordnung ist.
b) Zeichnen Sie das Hasse-Diagramm von P .
c) Geben Sie eine lineare Erweiterung L von P an, in welcher die Anzahl an Elementen i ∈ [7], für
welche 1 ≤L i ≤L 3 gilt, maximal ist (ohne Begründung!).
d) Zeigen Sie: Es gibt keine lineare Erweiterung L0 von P , sodass (3, 4) und (5, 2) in L0 sind.
e) Bestimmen Sie eine Kette maximaler Größe von P und belegen Sie deren Maximalität.
f) Bestimmen Sie eine Antikette maximaler Größe und belegen Sie deren Maximalität.
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Lösung zu Aufgabe 5.2
a) Die Reflexivität ist durch {(i, i) : i ∈ [7]} ⊂ P sichergestellt, die Antisymmetrie offensichtlich
und die Transitivität durch (4, 7) ∈ P erreicht.
b)
7
3
5
1
2
6
4
c) Hasse-Diagramm zu L:
3
7
6
5
4
2
1
d) Wegen Transitivität folgt aus (3, 4) ∈ L0 auch (2, 4) ∈ L0 und (3, 5) ∈ L0 und damit (2, 5) ∈ L0 .
Dann kann aber aufgrund der Antisymmetrie nicht (5, 2) ∈ L0 sein.
e) Die Ketten maximaler Größe sind {4, 5, 7} und {4, 6, 7}.Diese sind maximal, da sich [7] in 3
Antiketten, etwa {4}, {1, 2, 5, 6} und {3, 7} partitionieren lässt.
f) Die (eindeutige) Antikette maxiamler Größe ist {1, 2, 5, 6}. Diese ist maximal, da sich [7] in 4
Ketten, etwa {1, 3}, {2}, {4, 5} und {6, 7} partitionieren lässt.
Aufgabe 5.3
Zeichnen Sie jeweils ein Hasse-Diagramm einer partiellen Ordnung R ⊂ M × M
(mit M eine Menge Ihrer Wahl), sodass es
a) genau 3 unvergleichbare Paare und genau 8 lineare Erweiterungen gibt.
b) genau 4 unvergleichbare Paare gibt und folgende Eigenschaft gilt:
Es gibt x, y ∈ M mit (x, y), (y, x) 6∈ R und für jede partielle Ordnung R̄ mit R̄ ⊃ R ∪ {(x, y)}
ist R̄ notwendigerweise linear.
Geben Sie jeweils alle unvergleichbaren Paare an.
MA1501,1503
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Lösung zu Aufgabe 5.3
a) Hasse-Diagramm:
5
6
3
4
1
2
Die unvergleichbaren Paare lauten 1, 2, 3, 4, 5, 6, da alle 3 unabhängig voneinander für eine
Erweiterung geordnet werden können, gibt es 23 = 8 Erweiterungen.
b) Hasse-Diagramm:
4
3
5
2
1
Die unvergleichbaren Paare sind daher {i, 5}, i ∈ [4] und wählen wir x = 4 und y = 5 dann
muss R̄ linear sein.
Aufgabe 5.4
Seien a, b ∈ [n]2 mit a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) und a R b, falls ai ≤ bi , i = 1, 2.
a) Zeigen Sie, dass „R “ eine partielle Ordnung auf [n]2 ist.
b) Geben Sie eine möglichst große Kette und eine zugehörige Partitionierung von [n]2 in eine
minimale Anzahl von Antiketten an.
c) Geben Sie eine lineare Erweiterung R0 von R an.
Lösung zu Aufgabe 5.4
MA1501,1503
a) R = {a × b ∈ [n]2 × [n]2 : ai ≤ bi , i = 1, 2} ist eine binäre Relation über [n]2 . R ist wegen
ai ≤ ai , i = 1, 2 für alle a ∈ [n]2 reflexiv. Aus ai ≤ bi und bi ≤ ai folgt ai = bi , i = 1, 2, also
ist R antisymmetrisch. Außerdem folgt aus ai ≤ bi und bi ≤ ci , dass ai ≤ ci , i = 1, 2, d.h aus
a R b und b R c folgt a R c. Damit ist gezeigt, dass R = ([n]2 , R ) eine partielle Ordnung
ist.
b) Die „Treppe“
Tn := {(i, j) ∈ [n]2 : i ≤ j ≤ i + 1}
(1)
ist eine Kette mit 2n − 1 Elementen. Ferner lässt sich [n]2 in folgende 2n − 1 Antiketten Li
partitionieren: Für jedes i ∈ [2n − 1] sei
Li := {(a1 , a2 ) : a1 + a2 = i + 1}.
(2)
Zum Beweis, dass 2n − 1 tatsächlich die geringste Anzahl von Klassen in einer Partition von
[n]2 in Antiketten ist, brauchen wir nur die offensichtliche Ungleichung k ≤ ` aus der Vorlesung
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verwenden (` und k wie dort definiert); die Sätze 7.9 oder 7.10 werden hier nicht benötigt:
Zeigen wollen wir, dass in der Situtation der Aufgabe ` = 2n − 1 gilt. Dazu genügt es, 2n − 1
= (# Elementen in der Beispiel-Kette Tn ) ≤ k ≤ ` ≤ (# Klassen in der Beispiel-Partition
L1 t · · · t L2n−1 ) = 2n − 1 zu bemerken. Wegen dieser Ungleichungen kann k ≤ ` hier nur mit
Gleichheit erfüllt, und es muss daher k = ` = 2n − 1 sein.
c) Eine lineare Erweiterung R0 von R ist z.B. durch
a R0 b ⇔ a1 < b1 ∨ (a1 = b1 ∧ a2 ≤ b2 )
gegeben. Das ist die sogenannte lexikographische Ordnung auf [n]2 . Reflexivität, Antisymmetrie
und Transitivität von R0 sind leicht zu zeigen (die Transitivität wird offensichtlich wenn man
bemerkt, dass sich die Aussagen beiderseits von ∨ gegenseitig ausschließen). Zum Nachweis der
Linearität von R0 zeigen wir: Wenn (a, b) ∈
/ R0 , dann (b, a) ∈ R0 . Sei dazu (a, b) ∈
/ R0 . Dann
a1 ≥ b1
∧
(a1 6= b1
∨
a2 > b2 )
⇐⇒
a1 > b1
∨
(a1 ≥ b1
∧
a2 > b2 )
⇐⇒
b1 < a1
∨
(b1 ≤ a1
∧
b2 < a2 )
=⇒
b1 < a1
∨
(b1 = a1
∧
b2 < a2 )
(3)
letzteres aus folgenden Gründen: Wenn b1 < a1 gilt, dann ist die Bedingung b1 < a1 vor dem ∨
in der letzten Zeile wahr. Andernfalls, d.h. wenn b1 ≥ a1 , dann muss auf der linken Seite des ⇒
die Aussage (b1 ≤ a1 ∧ b2 < a2 ) gelten. Zusammen folgt dann b1 = a1 , und daher ist dann
die zweite Klammer nach dem ∨ in der letzten Zeile wahr.
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