Schnelle Multiplikation großer Zahlen | SpringerLink

Computing 7, 281--292 (1971)
9 by Springer-Verlag 1971
Sehnelle Multiplikation groller Zahlen
Von
A. Seh6nhage, Konstanz
und
V. Strassen, Ztirich 1
(Eingegangen am 8. Juli 1970)
Zusammenfassung -- Summary
SehneUe Multiplikation groBer Zahlen. Es wird ein Algorithmus zur Berechnung
des t)roduktes v o a zwei N-stelligen Dualzahlen angegeben. Zwei Arten der Realisiertmg werden b e t r a c h t e t : Turingmaschinen m i t mehreren B/indern und logisehe
Netze (aus zweistelligen logischen Elementen aufgebaut).
Fast Multiplication of Large Numbers. An algorithm is given for computing the
product of two N-digit binary numbers b y 0 (N lg 57 ]g lg N) steps. Two ways of
implementing the algorithm are considered: multitape Turing machines and logical
nets (with step = binary logical element.)
1. Einleitung
Die Sehulmethode zur Multiplikation zweier Dezimalzahlen 1/~l~t sich
ohne weiteres ffir die Multiplikation N-stelliger Dualzahlen auf einer
Turingmaschine mit mehreren B/~ndern oder in einem (aus zweistelligen
logischen Elementen aufgebau~en)]ogischen Netz verwenden. In beiden
F/~llen ergibt sich ein Aufwand der GrSl~enordnung N ~. Dabei verstehen
wir unter dem Aufwand eines Netzes die Anzahl seiner Elemente.
Bei einer Turingmaschine, die die Multiplikation yon Zahlen beliebiger
L/~nge leistet, definiert man den Aufwand der Multiplikation N-stelliger
Zahlen als das Maximum der Anzahl der Bewegungen der KSpfe, gebfldet
fiber alle Inputzahlenpaare der L/~nge N.
Die herrschende und intuitiv einleuchtende Auffassung, daft sich der
bei der Schulmethode erforderliche Aufwand nicht wesentlich verkleinern
]/iBt, wurde 1962 yon A. KARACU]~A [4] durch Konstruktion eines Netzes
mit
0 (N ~1~8)
Elementen widerlegt (21g3 ~ 1,58). Die Methode fibertr/igt sich ohne
Schwierigkeiten auf Turingmaschinen.
1 P a r t of the research of the second author was done at the Depax'tment of
Statistics, University of California, Berkeley. H e wishes to t h a n k the National
Science Foundation for their support (~TSF GP-7454).
282
A. ScK6~AGE:
Eine weitere 0berraschung enthielt die im folgenden J a h r erschienene
Note yon Too~ [7], in der ein Netz zur Multiplikation N-stelliger Dualzahlen mit
0 (N 2 constV ~ )
logischen Elementen angegeben wurde.
Unabhii.ngig yon Too~ und mit einer ganz anderen Methode zeigte
SCH6~AG~ [6] 1966, dab sieh N-stellige ZaMen auf einer Turingmaschine
mit einem Aufwand von
0 (N 2 ~
(lg N) ~/2)
multiplizieren lassen.
In der Folge wurde auch der TooMsche Algorithmus auf Turingmaschinen ribertragen (COOK [1]), und zwar mit einem zu
0 (N 2 ~
lg N)
versch//rften Aufwand (Cook [1] nnd Kz~vTat [5], Seite 273). Die wesentlich verschiedenen Methoden yon T o o ~ und SCHSZ~mtGE liefern also
praktisch den gteichen Aufwand, was zu Spekulationen riber dessen ungef~.hre Optimalitgt geftihrt hat.
Dem interessierten Leser sei das 4. Kapitel yon K~cTI~S brillanter
Ein-Mann-Enzyklop/idie ,,The Art of Computer Programming" empfohlen, in d e m die hier nur aufgez/ihlten Ergebnisse ausfrihrlieh dargestellt
und bewiesen werden.
In der vorliegenden Arbeit werden zwei Verfahren zur Multiplikation
N-stelliger DuMzahlen angegeben, die sich mit logischen Netzen ebenso
wie mit Turingmaschinen realisieren lassen. Der Aufwand des einen ist
0 (N lg N (lg lg N) 1+ ~),
der des andern
0 (N lg N lg lg N).
Beide Verfahren verwenden die schnelle FocRIE~transformation
(CooLEY and TUKEY [3]; unabhiingig Yon uns hat auch D. K~vT~ die
Idee gehabt, die schnelle Fov-RiERtransformation bei der Multiplikatio~
grol3er Zahlen auszunutzen). Ihre Verwendung wird dadurch nahegelegt,
dab die Multiplikation zweier Zahlen bis auf das Ausffihren der (~bertr//ge
eine Konvolution ist. SpMtet man also die beiden zu multiplizierenden
Dualzahlen in Stricke geeigneter L/rage auf und interpretiert diese Stricke
als Elemente eines Rings R, der die (eigentlieh im Ring Z der ganzen
Zahlen zu vollziehenden) Rechnungen mit den Stricken treu wiederzugeben
gestattet und aul~erdem die n6tigen Einheitswurzeln enth//lt, so kann
man die gewrinschte ,,grol3e" Multiplikation zerlegen in die FOVRIERtransformation der beiden Strickfolgen, komponentenweise Multiplikation
der transformierten Folgen, Riicktransformation und Ausfiihren der Ubertr/ige. Die dabei auftretenden ,,kleinen" Multiplikationen werden analog
behandelt. Es entsteht so eine rekursive Schachtelung yon Routinen der
gerade beschriebenen Art.
Schnello Multiplikmbion grol~er Zahlen
283
Bei unserem ersten Verfahren ist R = C der KSrper der komplexen
Zahlen, die Stiiekl~nge ist ~ l g Y , und man erh~lt den Aufwand
0 (IV lg IV (lg lg IV)1+ ~) sehon, wenn man dreimal sehaehtelt.
Bei unserem zweiten Ve~r
verwenden wir fiir R den Restklassenring ZF n yon Z nach einer F]~RlVIATzahl F n ~ 22~@ 1, eine Stiickliinge
yon ~ VN, und wir schachteln ungefiihr lg lg IV-real. Der entscheidende
Vorteil der FER~ATzahlen F n besteht darin, dab 2 eine primitive 2n+l-te
Einheitswurzel rood F n ist, deren Potenzreste extrem einfache Dualdarstellungen besitzen, so dab das Multiplizierea mit diesen Einheitswurzeln nicht ins Gewicht fgllt.
Die R.ealisierung des zweiten Verfahrens durch ein logisches Netz
kann so geschehen, dab die Tiefe des Netzes (die den Zeitaufwand bestimmt) 0 (lg N) ist. Wit ffihren das allerdings nicht genauer aus. Die
GrSBenordnung lg IV ffir die Tiefe ist natiirlich die bestmSgliche.
Wir glanben nicht, dab die GrSBenordnung IV lg IV lg lg IV fiir den
Aufwand optimal ist, sondern vermuten dies fiir die Gr6Benordnung
IV lg IV (vgl. hierzu das tiefliegende Resultat yon COOK und AAZeDER~ [2] ;
leider ist die on-line Einschr/~nkung far logische Netze unannehmbar und
fiir die Berechnung auf Turingmaschinen jedenfalls zu streng, da z.B.
auBer der Schulmethode keines der erwiihnten Verfahren on-line verl/iuft).
Im n/~chsten Abschnitt bringen ~wir die schnelle FouRIERtransformation
in der Form, wie wir sie sp~ter brauchen. Im dritten Abschnitt skizzieren
wir das einfachere mit R = C arbeitende Verfahren und im vierten Abschnitt schlieBlich besprechen wit ausfiihrlich das Verfahren mit
R = Z~ n.
2. Schnelle F o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n
R sei kommutativer Ring mit 1, wn ~ R sei 2n-re Einheitswurzel mit
w~~-1 = -- 1, und 2 = I -k 1 sei Einheit in R.
Dann 1/iBt sich die Transformation
2n--1
a~ = ~, ajw~ ~
(0 ~< ~ < 2n),
(2.1)
j=0
die jedem Vektor a ~ R 2n die FouRiERtransformierte ~ zuordnet, nach
folgendem Schema in Einzelschritte auflSsen.
Ffir k und j werden die Dualdarstellungen
n--1
=
]~ ~
n--1
2~,
j = ] ~ jr 2 n - 1 - ~
(~,, iv = o oder = 1)
(2.2)
benutzt. Ausgehend yon
A o (jo, . . . , j n - 1 ) =- a1
definiert man A 1 . . . . , A n rekursiv dureh
(0 < j < 2n)
(2.3)
284
A. Sc~/3~g_~Gn :
A ~ + I (/Co. . . . .
kv, j v + l . . . . .
jn-1) =
1
A , (/co, ...,/c,-1, j, . . . .
= ~
, i n _ l ) w ~ "~"-l-~(~e+'+~~176
(2.4)
iv = 0
oder u n t e r B e r f i c k s i c h t i g u n g v o n w~~-1 = - - 1 ausfiihrticher
A v + l ( . . . /C,-1: 0: j~+l, - . . )
|
=
= A~ (...,/C,_1, o, A+~, 9 9 .) + A , (...,/C,_~, 1, j~+~, . . . ) w~,
A,+I (.../C,_~, 1, j,+~, ...) =
= A~, (. . ., /C~,_I, O, j ~ + l , - . - ) - - A v ( . . . , / C ~ - 1 ,
1, j r + l , . . .) w n
I[
(2.5)
I
m i t u - - 2 ~-1 - " (/C~-1 2 ~-1 -}- 9 9 9 + / C o 2o).
A u s (2.3) u n d (2.4) erhglt m a n bei B e a c h t u n g y o n
W~"02 n - 1 + """ § ]~-12n- ~) k~ 2~ =
mittels Induktion
die geschlossene D a r s t e l l u n g
A~+I (/CO. . . . .
1
----
~
1
/C,, j , + l . . . .
, jn-1) =
1
.. . ~
~'v= 0
j~
=
a3....
~(~2~-1 + . . . + j ~ - l - ~ ) ( k ~ + . . . + ~ o . 2 , )
0
Gem/iB (2.1) u n d (2.2) folg~ so i n s b e s o n d e r e
A n (/Co, 9 .., /cn-1) = ~ -
Fiir die U m k e h r t r a n s f o r m a t i o n
(2.5) die V o r s c h r f f t
A,, ( . . . . /Cv-1, 0, j v + l . . . .
(2.6)
$ ~-~ a e r g i b t sich d u t c h A u f l S s u n g y o n
)=
= 2 -1 (A,+z ( . . . , /C,-1, 0, j , + l , . . . )
-[- A , + I ( . . . , /C,_1,1, j,+l, . . . ) ) ,
A , ( . . . . /C,-1, 1, jv+l . . . . ) =
(2.7)
= 2-1 9 w~ ~"(A~+~ (..., /cv-1, 0 , j ~ + l . . . ) - - A , + I (...,/cv-1, 1 , j , + l , . . . ) )
m i t ~ = 2 n-~ - " (/C~-1 2 "-~ -t- 9 9 9 + / C o 20).
A n sp/iterer Stelle ist n o e h f o l g e n d e r U m s t a n d
wesentlieh:
N a e h (2.3), (2.4) gilt speziell fiir 0 ~<j < 2 n-~
11(1,
jl,
-..,
in-l)
=- A 0 ( 0 ,
=
g]
-
-
jl,
...,
jn-1)---/lo(1,
a]+2n-l~
u n d die w e i t e r e n S c h r i t t e der a u f /co = 1
(2.5) fiihren v o n diesen D i f f e r e n z e n zu d e n
s p r e c h e n d l~ssen sich die D i f f e r e n z e n (2.8)
~ u f /co = 1) Mlein ~us den 2n-1 vielen ~k
gewinnen.
jl .....
jn-1)=
(2.s)
eingeschrgnkten ~ekm~sion
~ m i t u n g e r a d e m k; e n t m i t t e l s (2.7) ( e i n g e s c h r ~ n k t
m i t u n g e r a d e m /C zuriick-
Schnelle Mul~iplikalbion groBer Z a h l e n
285
3. Multiplikation mit Hilfe komplexer Zahlen
In diesem Abschnitt beschreiben wir eine Methode zur Konstruktion
schneller Multiplikationsverfahren, bei der die schnelle FOVRIERtransformation im Ring R = C der komplexen Zahlen benutzt wird. Beginnend
mit dem elementaren Verfahren Vo nach der Schulmethode erhalten wir
mittels dieser Konstruktion sukzessiv schnellere Vcrfahren V1, V2, . . .
Unter Voraussetzung yon Vm ist also anzugeben, wie beim Verfahren
Vm+I zu ganzen Zahlen a >~ 0, b ~> 0 in N-stelliger Dualdarstellung das
2N-stellige Prodnkt c = a b berechnet wird.
Ausgehend yon natfirlichen Zahlen 1 und n, die unter Einhaltung der
Bedingung
1 . 2 n >~ 2 N
(3.1)
spgter in Abhgngigkeit yon N noch geeignet zu wghlen sein werden, zerlegt man die Faktoren a und b gemgB
2n--1
a =
2n--1
aj 2J ,
b =
i=o
bj 2Jz
j=0
mit 0 ~< aj < 21, 0 ~ bj < 2z und aj = bj = 0 fiir j ~> 2 n-1
in Abschnitte der Lgnge 1. Dann ergibt sich das Produkt in der Form
2n-1
C---- a b
=
Z
c~231
(3.3)
mit c r =
Z
aqb~=
e+ a= v
Z
aeba'
e+ ~ v ( m o d 2 n)
d. h. die c~ entstehen durch Fultung der a e m i t den b~. Die in 2. beschriebene Fov~IE~transformar
mit w n ~ e 2~i'2-n iiberffihrt diese
Faltung in 2n vide Multip]ikationen, ngmlich
2n--1
2n--1
2n--1
~=0
a=O
~=0
Damit lggt sich das Verfahren Vm+l in groben Zflgen umreif~en:
(3.5)
Ubergang von den a~ zu den ~
den b~ gemg$ (2.5);
und entsprechend yon den b~ zu
(3.6)
Ausffihrung der 2n Multiplikationen a~b~ = ~k;
(3.7)
lJbergang yon den g~ zu den cr gemg$ (2.7);
(3.8)
stellengerechte Addition der c, gemgB (3.3).
U m diesen Plan finit zu realisieren, ist es erforderlich, die in den
Schritten (3.5) bis (3.7) vorkommenden komplexen Zahlen dutch hin-
286
A. ScEb~EAOE;
reichend genaue numerische N d h e r u n g s w e r t e zu ersetzen. Dabei sind die
Rundungsfehler so klein zu halten, dab die ganzzahligen cw bis auf
1
Fehler < ~ berechnet werden u n d so durch R u n d u n g exakt bestimmt
werden kSnnen. Neben den A~(...) aus 2. treten beim l'Jbergang von
den bj zu den bk u n d y o n den ck zu den c i entsprechende Gr5Ben B~ ( . . . )
u n d C~ ( . . . ) auf. Aus aj < 2 Z, bj < 2z folgt nach (2.5) u n d (2.7)
IA,
(...)1 < 2z+',
(...)1 <
< 2z+ ,
<
D a m i t bei der numerischen N/~herung die Reehnung in komplexer
F e s t k o m m a a r i t h r a e t i k mit einer Stelle vor dem K o m m a u n d einer geeigneten Zahl s yon Stellen nach dem K o m m u ausgefiihrt werden kann,
verwende~ m a n neben s-stelligen
(On,~ mit [eOn,~ - - w~! < 2 -s ffir [~] < 2n-1
skMierte N~herungswerte
~, ( . . . ) ~ 2 - z - , A , ( . . . ) , fl, ( . . . ) ~ 2 -4-~ B , ( . . . ) ,
7,
(...)
2-2 -2
G
(...).
Aus (2.5), (3.6) u n d (2.7) ist ersiehtlieh, wie die Berechnung der
e~, fir, y~ unter Beriieksichtigung dieser Skalierungen zu erfolgen hat. Die
dabei auftretenden komplexen Multiplikationen werden durch jeweils
4 Multiplikationen reeller s-stelliger Zahlen nach dem Verfahren Vm u n d
zus//tzliche Additionen mit R u n d u n g auf s Stellen nach dem K o m m a
realisiert. Die Abseh/itzung der Rundungsfehler liefert
1
12uz+2n yo (jo, 9 9 i n - l ) - - cjl <~ const 9 n 9 2 21+2n-s < ~ ,
sofern wir
s >~2l@ 2n@lgn-~const
(3.9)
w/ihlen.
N u n m e h r k6mlen wit den A u f w a n d ]klm+ 1 ( N ) des Verfahrens Vm+l
abseh/~tzen, indem wir auf M m (s) zuriiekgreifen u n d ffir die Addition
s-stelliger Zahlen die Sehranke 0 (s) benutzen. Die con, ~ kSnnen bei Verwendung logiseher Netze fest eingebaut werden. Bei Verwendung mehrb/~ndiger Turingmasehinen sind sie vorher zu berechnen. Das ist wegen
wl = -- 1, w2 = i ,
wv fiir v >~ 2,
w~+l-- i11 @
+~w~l
2u
u _ 2u§
W~+ 1 --~ Wv, 'Wv§
:
Wv+I
"
W~
mittels 0 (2n) Operationen wie Addition, Multiplikation, Division, Wurzelziehen mSglich, u n d diese erfordern bei Genauigkeit auf s Stellen nacla
elementaren Verfahren h6ehstens 0 (2 n . 82) Schritte.
Die Schritte (8.5) u n d (3.7) verursachen in der zuvor besehriebenen
Realisierung einen Aufwand
0 (2n 9 n ( M m (8) ~ s)),
(3.6)
kostet
Schnelle Multiplika~ion groBer Zahlen
287
0 (2n (Mm (s) -k s)) u n d (3.8) schlieBlich noch 0 (2 n (2 1 -k n)). So folgt
Mm+I (N) = O (2n(s 2 -~ n Mm (s) -~ n s + 2 1 + n))
u n d bei W a h l y o n mSglichst kleinem s unter der Bedingung (3.9)
Mm+l (N) : 0 (2 n ((1 q- n) 2 + n Mm (3 (l -k n)))).
(3.10)
Fiir die Schulmethode Vo grit M o (s) = 0 (s~), also
MI(N) :O(2
n.n(l+n)2).
W/~hlen wir unter E i n h a l t u n g y o n (3.1)
d a n n erhalten wir fiir das Verfahren V1 den A u f w a n d
_~11 (5") = o (N (lg N)2).
(3.11)
J e t z t benutzen wir dieses Ergebnis in (3.10) fiir m = 1; das fiihrt bei
gleieher W a h l y o n l u n d n zu
M2 (N) = 0 (N lg N (lg lg N)2).
So weitersehlieBend gelangt m a n zu
Ma (N) = 0 (N lg N lg lg N (lg lg lg N) 2)
usw. Wir verziehten darauf, den Sehaehtelungsgrad m in Abh/~ngigkeit
y o n N zu wghlen, well wir ohnehin im n/iehsten Absehnitt ein noeh etwas
sehnelleres Verfahren besehreiben.
4. u
yon Fermatzahlen
Start der komplexen Zahlen benutzen wir jetzt die Rest klassenringe
ZF n zu den FERMA,Tzahlen
F n ~-- 2 2n -~- 1.
Weil die Multiplikation N-stelliger DualzaMen a, b ~ Z (a, b ~ 0) ohne
Verfiilschung auch als Multiplikation in ZF n aufgefaBt werden kann,
so~(3rn
2 iV ~ 2n
(4.1)
gilt u n d damit c = a b d u t c h
c ~ a b ( m o d F n ) u n d 0 ~ c ~ Fn
(4.2)
eindeutig bestimmt ist, kSnnen wit uns im weiteren a u f die B e t r a e h t u n g
der Multiplikation in diesen Restklassenringen besehr/~nken.
Die Elemente yon ZF n werden zweekm~Bigerweise dureh Dualzahlen
der festen L~nge 2 n+z, d . h . dureh ganze Zahlen x der F o r m
2n+t--1
x ~
~
xj2J
j=o
(xj---- 0 oder ~ 1 )
(4.3)
288
A. Sc~6~Ae~:
repr/~sentiert. Diese Art der Darstellung ist zwar nieht eindeutig; sie
besitzt aber andere Vorteile, die auf der Kongruenz
2 ~n+l -- 1 (mod F~)
(4.4)
beruhen.
Wegen 29'n -~ -- 1 (rood F n ) erfiillt R = ZFn die Voraussetzungen in
2., hier mit n - f - 1 start n und Wn+l=2 bzw. mit w n = 4 . Die bei
Fov~IE~transformation in ZFn notwendigen Multiplikationen mit
wn+1 = 2~ lassen sieh wegen (4.4) einfaeh dureh zyklischen Schift um
Stellen realisieren :
2n+ 1_1
2~ ' . x =
~
2n+l--1
x~.2J+~
]=o
mit x j = y k
~
YTc2e (modFn)
k=o
ffir j - k ~ k
(mod 2n+1).
Die Addition mod Fn yon Zahlen der Form (4.3) erfolgt ebenfalls
zykliseh, d. h. ein Uberlauf 22n+1 ist als @ 1 in der 0-ten Stelle zu beriieksichtigen. Die Subtraktion kann wegen 2 2 n ~
i (mod Fn) dureh
zyklischen Schift des Subtrahenden um 2n Stellen auf die Addition zuriiekgeffihrt werden. Diese Operationen erfordern jeweils h6ehstens einen
Aufwand 0 (2n). AuBerdem ben6tigen wir im weiteren noeh die LSsung
der folgenden Teilanfgaben: Die Reduktion yon
x=u-kv.2
~n,
0 ~ < u < 2 ~n,
0 ~<v < 2 2 n
(4.5)
auf die Darstellung dureh minimalen nieht negativen Rest
=~ x (mod Fn),
0 ~. ~ ~ 22n
wird naeh der Vorschrift
/ u -- v,
~:=[2 2n+ 1-t-u--v,
falls v ~ u,
falls v > u
(4.6)
mit Anfwand 0 (2n) realisiert.
Die Aufgabe, bei vorgegebenem ~ und ~] die dureh
I z~$ (rood Fn),
0 < ~ < ~ 2 2n,
z ~ V (rood 2n+2), 0 ~< V < 2n+2,
(4.7)
0 ~ Z < 2 n+2 F n
eindeutig bestimmte ganze Zahl z zu bereehnen, 1/~gt sich ebenfMls mit
Aufwand 0 (2n) 15sen, indem zuerst
5 ~= ~ -- ~
(mod 2n+2) mit 0 ~< d < 2n+2
u n d dann
z = ~ + ~ (2 ~ + 1)
berechnet wird.
Schnelle Multiplikation groSer Zahlen
289
Nach diesen Vorbereitungen beschreiben wir jetzt eine Methode, die
Multiplikation in ZF m a u f Multiplikationen in ZF n zuriickzuffihren, wobei
die FKlle
m=2n--
1
oder
m=2n--2
(4.8)
zu unterscheiden sind. D a m i t n < m gilt, sei m ~> 3.
Zuerst behandeln wir den Fall m = 2 n -- 1.
Die zu multiplizierenden Elemente aus ZF m sind in der F o r m (4.3)
als 2m+l-stellige Zahlen a u n d b gegeben. Bei Zerlegung
2n+
=
2n+
I-- 1
~
a~ 2~~-~, b =
I-- 1
~
0=0
bo e~
0 < a~, b~ < 22~-~ (4.9)
a=O
in jeweils 2n+z viele Abschnitte der L/~nge 2n-1 ergibt sich das P r o d u k t
in der F o r m
2n+ 1--1
a b ~--
~_~ c~2 ~2n-1 (mod Fm)
z=0
mit
c, =
Z
a~ bz < 2 n+l+2n.
(4.10)
q+ ~T(mod2 n+l)
0 <_q,a< 2n + l
Wegen
2 2n'2n-I
=
2 2m ~
--
1
(mod Fm)
gilt aber auch
2n+ l --1
2n--1
ab ~ Z
(ci -- cj+2n +
2n+l+2n)2J'2n-1
+
Z
]
j=0
=
2 n+l+2n 9 2J" 2n-l(mod Fro),
2n
mit
Cj - - Cj+2 n - ~
~<j < 2 n
fiir 2n ~<j < 2 n+l
2 n+l+2n fiir
zj = [2n+l+2n
0
(4.11)
also
2n+ 1--1
a b ~-
~
zj 2J 2~-~ (mod F~).
(4.12)
j=o
Der Summand 9n+l+2n wltrde im I-Iinblick auf (4.10) hinzugefiigt, so
dab 0 ~ zj < 2n+2 Fn grit.
Well 2n+2 u n d •n teilerfremd sind, geniigt es, die zj m o d 2 n+2 lind
m o d Fn zu berechnen. Die Berechnung der zj m o d 2 ~+2 gelingt a u f einfache Weise durch folgenden Kunstgriff: Mit den durch
~j -~ aj,
Computing 7/8--4
flj = bj (rood 2n+2),
0 -~< ~], flj < 2 n+2
19
290
A. SC~6~-~AG~:
"bestimmten ~j, flj bildet m a n die Zahlen
2n+1--i
2n+l_ 1
=
v =
~o=0
(4.13)
a=O
U, V ~ 2 2 n + l ( 3 n + 5 ) -
Deren P r o d u k t enth~lt als disjunkte Teilstiicke der L~nge 3 n @ 5
die S u m m e n
Yv=
Z
~e/~a < 2n+l 9 (2n+2) 2, 0 ~< v < 2 n~:2.
N a c h (4.10) gilt ffir 0 ~< ~ < 2n+1
Cv ~
~v -~ ~v+2 n + l
zj -----~]i
(rood 2 n+2)
(mod
2n+2),
nach (4.11) also
fiir
O <~j < 2n,
(4.14)
wobei
~]j ~ ~'j - - y]+2n -~ YJ+2.2 n - - Yj+3.2 n (rood 2 n+2) u n d 0 ~ ~j < 2 n+2.
Die B e r e c h n u n g der •j k o s t e t so hSchstens den A u f w a n d 0 (2 2n) u n d
eine Multiplikation u 9 v y o n Zahlen der LKnge ~ 2 n+l (3 n @ 5), deren
Aufwund nach (3.11) durch
M1(2 n+l(an@
5)) = 0 ( 2
n . n 8) ~ 0 ( 2 2n)
abgesch~tzt werden kann. (Wir haben hier (3.11) n u t aus Griinden der
Bcquemlichkeit b e n u t z t ; es wiirde an dieser Stelle auch jede Schranke
0 (N 2-~) ausreichen, z . B . die y o n K~mACV]~A, siehe K~UTH [5], Seite
258--259).
Die B e r e c h n u n g der zj rood F n fiihren wir mit der FOV~I~Rtransf o r m a t i o n in ZFn , wobei wn+l = 2 b e n u t z t wird, auf Multiplikationen in
ZF n zuriick, indem wir wie in den Schritten (3.5) bis (3.7) vorgehen.
Wichtig ist jedoch, daf~ j e t z t start der c i im Hinblick a u f (4.11) n u r die
2n vielen Differenzen c j - cj+2n (mod F n ) berechnet werden miissen. I n
Analogie zu (2.8) sind das die 2n+1-stelligen
C1 (1, j r , 9 9
j n ) ~ cj - - cj+2n (mod Fn) m i t j -----j l 9 2n-1 @ 9 9 9 @ j n " 20,
u n d nach den B e m e r k u n g e n am Schlul~ y o n 2. sind ffir deren B e r e c h n u n g
im Unterschied zu (3.6) nur die 2n Multiplikationen
ak bk - - ~k (mod F n ) ffir ungerades k < 2 n+l
erforderlich. Die Fov~I~l~transformationen in ZF n benStigen 0 ( n . 2",)
Schritte jeweils v o m A u f w a n d 0 (2 n) n n d kosten so 0 (n 9 22n). Addition
von 2 n+l+2n u n d R e d u k t i o n rood En gem/~13 (4.6) liefert mit einem Aufw a n d O (22n) fiir 0 ~< j < 2 n die Reste
~j ~- C1 (1, j l , 9 9
j n ) @ 2n+l+2n =-- z1 (rood F n ) ,
0 ~ Sj ~ 2 ~n.
Schnelle Multiplikation groBer Zahlen
291
Zusammen mit (4.14) hat man so Kongruenzen der Form (4.7), aus
denen sieh die 2n vielen zi (j ~ 2n) mit einem Aufwand 0 (22n) bereehnen
lassen. SchlieBlieh erfordert die stellengerechte Addition der zt in (4.]2)
nochmals den Aufwalld 0 (22n).
Insgesamt haben wir gezeigt, dab sich die Multiplikation in ZF2,,_ ~
mit 2 n Multiplikationen in ZF n und zus/~tzlichem Aufwand 0 (n-22n)
realisieren l~fit.
Der gerade Fall m ~ 2 n -- 2 1/~ftt sich analog behandeln: Die Faktoren
a und b werden in 2n Abschnitte der Ls
2n-1 zerlegt. Deren Faltung
wird durch Foul~Im~transformation in ZF n -- jetzt mit wn----4 -- auf
Multiplikationen in ZF n zurfickgeffihrt. Wieder benStigt man nur die
Multiplikationen ftir ungerades k, und das sind in diesem Falle 2n-1 Stfick.
Deshalb ]i~Bt sich die'Multiplikation in ZF2n_ 2 mit 2 n-1 Multiplikationen
in ZFn und zus/~tzlichem Aufwand 0 ( n . 22n) realisieren.
Jetzt wollen wir den Aufwand unseres Verfahrens in gesehlossener
Form abschi~tzen. Bezeichnet M (n) die MindestgrSBe logischer :Netze ffir
die Multiplikation in ZF n (bei Verwendung der Darstellung (4.3)), dann
gilt nach dem Vorangehenden mit hinreichend groBem y0
{M ( 2 n - - 2 ) ~ 2 n - l M ( n ) ~ y o ( n - - 1 ) 2 2 n - 1
(2 n -- 1) ~ 2n M (n) + y0 (n -- 1) 22n
f i i r n ~ a.
(4.15)
Andererseits lassen sich diese Ungleichungen aber auch ebenso als Zeitabsch~tzung einer geeignet organisierten mehrb~ndigen Turingmaschine
interpretieren, die nach der zuvor beschriebenen Methode rekursiv ar~
beitet, sofern M (n) die yon ihr maximal benStigte Schrittzahl fiir Multiplikation in ZF n bezeichnet.
Mit
--~ max {M (1), M (2), M (3), ~0}
ergibt sich naeh (4.15) dureh Induktion fiber k
M(n) ~yk.
2/c+n fiir n ~ 2 I t + 1,
also
M (n) = 0 (2n n lg n).
Bei Anwendung auf die Multip]ikation N-'stelliger Dualzahlen w/~hlen wir
unter Einhaltung von (4.1)
n = [2 lg (2 N)].
Die im Hinblick auf (4.2) nach der Multiplikation in ZF n notwendige
Reduktion rood Fn kostet nach (4.6) nur 0 (2n)--__ 0 (N). Die Multiplikation N-stelliger Zahlen l~l~t sich also mit einem Aufwand
0 (N lg N lg lg N)
bewerkstelligen.
19"
292
A. Sc~5~g~GE: Schnelle Multiplikation groi3er Zahlen
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Doz. Dr. A. SchSnhage
Universitiit Konstanz
Fachbereich Mathematik
Post]ach 733, BRD-775 Konstanz
Deutschland
V. ~Strassen
Universlt~t Zi~rich
Seminar ]i~r Angewandte Mathematik
Freiestrafle 36, CH.8000 Zi~rich
Schweiz