technische universit ¨at m ¨unchen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN
Zentrum Mathematik
P ROF. D R .D R . J ÜRGEN R ICHTER -G EBERT, VANESSA K RUMMECK , F RANK VALLENTIN
Höhere Mathematik für Informatiker I (WS 2001/02)
— Aufgabenblatt 7 (29.11.2001) —
— Präsenzaufgaben —
Aufgabe 40. Zwei, Drei oder Sechs.
Welche der nachfolgenden komplexen Zahlen sind 2–te Einheitswurzeln (linkes Kästchen), 3–te Einheiswurzeln (mittleres Kästchen) oder 6–te Einheitswurzeln (rechtes Kästchen)?
i
−1
√
√
2
2
+
i
2
2
5
3
5
ei 3 π
√
1
3
− +
i
2
2
Aufgabe 41. Wir drehen uns im Kreis.
Es sei n ∈ N. Die Menge der n–ten Einheitswurzeln ist
k
i n 2π ωn = e
k∈N .
a) Zeigen Sie, dass ωn zusammen mit der Multiplikation der komplexen Zahlen eine Gruppe ist.
b) Weisen Sie nach, dass die Gruppen (ωn , ·) und (Z/nZ, +) isomorph sind.
c) Bestimmen Sie sämtliche Untergruppen von ω6 und geben Sie die zugehörigen Punkte auf dem Einheitskreis
an.
Aufgabe 42. Der Satz von Vieta.
Der Satz von V IETA lautet: Sei p ∈ R[X] ein Polynom von der Form
p(X) = X n + an−1 X n−1 + an−2 X n−2 + · · · + a2 X 2 + a1 X + a0 .
Seine n komplexen Nullstellen ξi ∈ C, i = 1, . . . , n, erfüllen die beiden Gleichungen
a) a0 = (−1)n ξ1 · ξ2 · . . . · ξn
b) an−1 = −
n
P
ξi
i=1
Beweisen Sie den Satz von V IETA.
— Hausaufgaben —
Aufgabe 43. Der n–fache Cosinus und Sinus.
Gegeben sei zu festem Winkel ϕ ∈ R die komplexe Zahl z = cos ϕ + i sin ϕ.
Berechnen Sie zu festem n ∈ N+ die n–te Potenz z n auf zwei Weisen: Verwenden Sie
a) den Lehrsatz von B INOMI (siehe Aufgabe 31),
b) die E ULERSCHE Identität cos ϕ + i sin ϕ = eiϕ .
Bringen Sie die Ergebnisse aus a) und b) jeweils auf die Gestalt z n = a + bi, a, b ∈ R. Können Sie durch Vergleich
der beiden Ergebnisse Formeln für cos(nϕ) und sin(nϕ) herleiten?
Aufgabe 44. Ist Gleiches immer gleich?
Gegeben seien die beiden reellen Polynome p, q ∈ R[X] durch
p(X) = an X n + an−1 X n−1 + · · · + a1 X + a0
q(X) = bn X n + bn−1 X n−1 + · · · + b1 X + b0 .
Für alle α ∈ R gelte p(α) = q(α).
a) Zeigen Sie, dass die Polynome übereinstimmen, d.h., dass für alle Koeffizienten ai = bi , i ∈ {0, 1, . . . , n}, gilt.
(Hinweis: Betrachten Sie p − q.)
b) Stimmt dies auch für Polynome p, q aus dem Polynomring (Z/2Z)[X]?
Aufgabe 45. Pyramidenbau: Theorie und Praxis.
Kaiserin C LEOPATRA hat den Bau einer Pyramide befohlen. Dafür wurden in den Steinbrüchen am oberen Nil Steinquader mit einem Gesamtvolumen von V = 625000 m3 (Kubikmeter) abgebaut. Um die mathematischen Fähigkeiten
der zum Bau der Pyramide beauftragten Konstrukteure auf die Probe zu stellen, hat sich die Kaiserin eine Aufgabe
überlegt:
Die Pyramide soll, entgegen der damals üblichen Bauauflagen, mit einer rechteckigen Grundfläche gebaut werden.
Insbesondere soll die eine Grundflächenseite um 25 m länger, die andere Grundflächenseite um 25 m kürzer als die
Höhe der Pyramide sein. Wie hoch ist diese Pyramide unter strikter Verwendung aller bereits abgebauten Steinquader?
Wie lauten die Abmessungen der Pyramidengrundfläche?
Hinweis: Das Volumen V einer Pyramide der Höhe h mit rechteckiger Grundfläche, deren Seitenlängen a und b sind,
ist:
1
a·b·h.
3
Diese Formel führt mit den obigen Angaben zu der polynomialen Gleichung
V =
h3 − 252 · h − 3V = 0.
(Warum?). Eine der Nullstellen dieses Polynoms liefert die gesuchte Höhe der C LEOPATRAschen Pyramide.
Abgabe der Hausaufgaben:
bis Mittwoch, 5.12.2001, spätestens 19:30 Uhr, in den Briefkästen bei S0320.
Name und Gruppennummer bitte nicht vergessen!