Facharbeit im Grundkurs Mathematik Fraktale Geometrie

Gymnasium Norf
Jgst.12
Facharbeit
im Grundkurs Mathematik
Fraktale Geometrie
Verfasser/in: Walter Wißdorf
Kursleiter/in: Horst Fischer
Abgabetermin: 28.02.2001
Gliederung
1. Einleitung
1.1 Begründung der Themenwahl
1.2.Zielsetzung der Arbeit
1.3.Überblick über den Aufbau der Arbeit
2 Was ist ein Fraktal ?
2.1.Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen
2.1.1. Entstehung durch Iteration
2.1.2. Selbstähnlichkeit
2.1.3. Komplexität
2.1.4. Gebrochene Dimension
2.1.5.Empfindlichkeit auf die Startbedingungen
2.2.Erläuterung der Eigenschaften am Beispiel der Kochschen Kurve
2.3.Die fraktale Dimension und ihre Berechnung
3. Erzeugung von Fraktalen
3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von
Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.1.1. Der Mangel der Menge Doppelstrich R
3.1.2. die Imaginäre Zahl
3.1.3. Operationsregeln komplexer Zahlen
3.1.4. Doppelstrich C, die Komplexe Ebene
3.1.5. Iterationen in der Komplexen Ebene
3.2.Julia- und Mandelbrotmengen
3.2.1. Die Julia Mengen
3.2.2. Die Mandelbrotmengen (Parameterräume)
4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht ?
4.1.Die Menschen hinter den Bildern
4.1.1. Gaston Julia
4.1.2. Benoit Mandelbrot
4.2.Computer, essentielles Werkzeug.
4.2.1. Ohne Computer keine Fraktale
4.2.2. Entwicklung der Computertechnologie
5. Anwendung von Fraktalen
5.1. Fraktale in der Graphik
5.1.1. Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung natürlicher Fraktale
5.1.2. Fraktale in der Bildkompression
5.2 Physikalische Anwendungen
6. Einordnung der Fraktalen Geometrie in der klassischen Mathematik
7. Schluß
8. Anhang
8.1. Literatur und Quellenverzeichnis
8.2. Bildverzeichnis
8.3 Sonstige Hilfsmittel
8.4 Erklärung
-31. Einleitung
1.1 Begründung der Themen Wahl
Fraktale sind faszinierende Objekte, die einen schon fast
mystischen
Charakter
unbegreiflich
aus,
haben.
Sie
entstehen
sehen
aber
mit
kompliziert
Hilfe
und
einfacher
mathematischer Verfahren. Diese einfache Erzeugung, die hoch
komplexe Ergebnisse hervorbringt ist das, was die fraktale
Geometrie von der klassischen Mathematik abhebt. Objekte wie
die Mandelbrotmenge kennen viele Menschen, doch nur wenige
wissen wie sie entsteht. Dieser Umstand reizt mich und ist
der Grund für meine Themenwahl
1.2 Zielsetzung der Arbeit
Die vorliegende Facharbeit soll eine Einführung in die Welt
der Fraktale und der fraktalen Geometrie ermöglichen. Auf
Grund des gegebenen Umfangs der Arbeit ist es nicht möglich,
auf alle mathematischen Einzelheiten gezielt einzugehen.
Einige Zusammenhänge würden den Umfang deutlich sprengen, wie
zum
Beispiel
die
genaue
Herleitung
des
Hausdorffschen
Dimensionsbegriffs. In solchen Fällen muß eine vereinfachte
Schilderung zur Verständnissicherung genügen. Die Arbeit soll
und kann nur eine oberflächliche Einführung in die fraktale
Geometrie darstellen, die allerdings das Interesse an der
Thematik wecken soll.
1.3 Überblick über den Aufbau der Arbeit
Die Arbeit ist thematisch in vier Kapitel gegliedert: die
Definition eines Fraktals, die Erzeugung von Fraktalen, ein
Exkurs über die Voraussetzungen, die die fraktale Geometrie
möglich
gemacht
Geometrie.
hat,
und
die
Anwendung
der
fraktalen
-42. Was ist ein Fraktal?
2.1 Allgemeine Eigenschaften von Fraktalen
Das Wort „Fraktal“ wurde von Benoit Mandelbrot geprägt und
stammt von „fractus“, was aus dem Lateinischen kommt und
„gebrochen“
bedeutet.
Fraktale
sind
Kurven,
Körper
oder
Mengen, die mit ihren besonderen Eigenschaften Zusammenhänge
beschreiben, die mit Hilfe der klassischen Geometrie nicht,
oder
nur
mit
großen
Schwierigkeiten
beschrieben
werden
können. Fraktale findet man vor allem in der Natur. Benoit
Mandelbrot
eröffnet
sein
berühmtes
Buch:
„Die
fraktale
Geometrie der Natur“, mit der Feststellung, dass Wolken oder
Berge nicht aus euklidischen Körpern bestehen. Diese Strukturen sind gebrochen, eben Fraktale. Im folgenden werden die
typischen Eigenschaften von Fraktalen näher erläutert:
2.1.1 Iterative Erzeugung
Fraktale
entstehen
durch
Iteration.
Iterieren
bedeutet
wiederholen, was sich auf eine normalerweise recht einfache
Rechenvorschrift bezieht, die wiederholt durchgeführt wird.
Beispielsweise: xn = xn −1 + c . Bei dieser Gleichung wird eine
Zahl X mit einer positiven Konstante C addiert und dann das
Ergebnis
wieder
in
die
Gleichung
eingesetzt.
Bei
jedem
Iterationsschritt steigt X um C. Um die Vorgabe der unendlichen Komplexität zu erfüllen, müßten bei der Generierung
eines
Fraktals
unendlich
viele
Iterationen
durchgeführt
werden, was praktisch unmöglich ist. Folglich ist jedes
Fraktal nur eine näherungsweise Darstellung des theoretischen
Fraktals, die durch mehr Iterationen genauer gemacht werden
kann.
-5-
2.1.2 Selbstähnlichkeit
Fraktale
sind
selbstähnlich.
Selbstähnlichkeit
bedeutet,
dass, egal in welcher Vergrößerung man ein Fraktal betrachtet, es immer gleich oder wenigstens ähnlich aussieht. Dieses
wichtige Phänomen entsteht durch die iterative Generierung
von Fraktalen. Ein und dieselbe Vorschrift wird im Idealfall
unendlich
oft,
ansonsten
mehrmals,
durchgeführt.
Dieses
einfache Prinzip erzeugt oft gleiche oder ähnliche Ergebnisse, auch dann, wenn der Betrachtungsausschnitt kleiner
wird.
2.1.3 Komplexität
Fraktale sind unendlich komplex. Ein Kreis wird bei Betrachtung eines unendlich kleinen Ausschnittes zu einer Geraden.
Ein Fraktal hingegen
mündet nie in eine euklidische Figur
wie beispielsweise eine Gerade. Egal wie klein der Betrachtungsausschnitt auch wird, ein Fraktal behält seine Komplexität bei. Auch hier liegt die Begründung im iterativen
Charakter verborgen: Ein ideales Fraktal ist unendlich oft
iteriert. Jede einzelne Iteration erzeugt ein komplexeres
Bild. Folglich wird man immer, auch wenn der Ausschnitt
unendlich klein ist, noch ein iteratives also ein komplexes
Bild erhalten. Ein weiteres Phänomen von Fraktalen ist die
unendliche
Länge
dieser
Figuren.
Fraktale
werden
durch
Iteration immer komplexer, das ist allerdings auch zwangsläufig mit einer Längenzunahme verbunden. Fast alle Fraktale
werden mit jedem Iterationsschritt um einen bestimmten Betrag
länger. Iterieren wir ein Fraktal unendlich oft wird es auch
unendlich lang.
2.1.4 Fraktale sind stark abhängig von den
Startbedingungen
-6Durch Iteration gewinnt nach wenigen Schritten auch schon
eine
minimale
Änderung
der
Startbedingungen
schnell
an
Bedeutung. Durch diesen Effekt sind Fraktale enorm abhängig
von den Startbedingungen. Diese starke Abhängigkeit, die mit
dem sogenannten „Schmetterlingseffekt“ verwandt ist, hat eine
tragende Rolle bei der Verknüpfung von Chaostheorie und
fraktaler Geometrie.
2.1.5 Gebrochene Dimension
Der topologische Dimensionsbegriff ist in der Mathematik und
auch im alltäglichen Leben weit verbreitet. Die topologischen
Dimensionen
sind
geradzahlig.
Eine
Gerade
besitzt
die
topologische Dimension 1, weil sie sich nur in einer Richtung
ausbreitet.
Eine
theoretische
ideale
Gerade
hat
keine
Breite. Eine Ebene ist zweidimensional, da sie sich in zwei
Richtungen ausbreitet. Punkte werden auf ihr durch zwei
Koordinaten lokalisiert, bei einer Geraden hingegen reicht
eine
einzige. Ein dreidimensionaler Körper, beispielsweise
ein Würfel, besitzt eine weitere Ausbreitungsrichtung. Punkte
haben infolgedessen drei Koordinaten. Fraktale zeichnen sich
nun dadurch aus, das sie keine gerade, topologische sondern
eine gebrochene, fraktale Dimension besitzen. Die Idee und
die mathematischen Grundlagen einer gebrochenen Dimension
stammen von Felix Hausdorff. Die fraktale Dimension ist ein
Maß dafür wie „zerklüftet“ oder „gebrochen“ eine Figur oder
ein Körper
ist. Fraktale Dimensionen liegen zwischen Gerade
und Würfel, also zwischen 1 und 3. Besitzt eine Figur eine
Dimension die nahe bei 1 liegt, ist sie fast eine Gerade. Je
zerklüfteter sie wird desto höher wird ihre Dimension, bis
sie bei 2 schließlich unendlich verwinkelt ist und zu einer
Ebene wird. Besitzt eine Figur eine Dimension die zwischen 2
und 3 liegt geht sie in einen Raum über. Beispielsweise
besitzen Wolken eine durchschnittliche Dimension von 2,35,
also befinden sie sich zwischen einer Ebene und einem Raum.
-7-
2.2 Erläuterung der Eigenschaften an der Kochschen Kurve
Die Kochsche Kurve geht auf den Mathematiker Helge von Koch
zurück, der sie 1904 entwickelte.
Sie entsteht in drei Schritten: Der erste Schritt ist eine
Strecke, die die willkürliche Länge l besitzt. Diese Strecke,
trägt den Namen Initiator. Dann wird ein gleichseitiges
Dreieck mit der Seitenlänge
das
ursprüngliche
Teilstück
l
3
in der Mitte angefügt, das
der
Strecke
ersetzt.
Dieser
Schritt heißt Erzeuger oder Konstruktor. Bei jedem Iterationsschritt werden die Strecken der vorangegangenen Figur
durch den jeweils verkleinerten Konstruktor ersetzt. Das
Ergebnis ist die Kochsche Kurve. Bei jeder Iteration wird sie
um ein Drittel länger als sie bei der vorhergegangenen
Iterationsstufe war. Durch eine Änderung am Initiator, indem
man ihn durch ein gleichseitiges Dreieck ersetzt, entsteht
die Kochsche Schneeflocke. Sie ist geschlossen und schließt
eine definierte Fläche ein. Trotzdem ist sie unendlich lang,
da sie bei jeder Iteration länger wird und im Idealfall
unendlich oft iteriert wurde. Weiterhin ist sie selbstähnlich
-8und komplex. Betrachtet man nur einen Ausschnitt, egal wie
klein, so ist er komplex und nicht von anderen Vergrösserungsstufen zu unterscheiden. Durch die Komplexität ist auch
zu erklären, warum die Koch-Kurve an keiner Stelle eine
Ableitung besitzt. Man kann an keiner Stelle eine Tangente
anlegen, da sie an jeder Stelle gebrochen ist.
Initiator
Nach 2
Iterationen
Nach 5
Iterationen
(Bild 2,3,4:
Die Kochsche Schneeflocke in
verschiedenen Iterationsstufen )
2.3. Die fraktale Dimension und ihre Berechnung
Es gibt viele Methoden zur Berechnung der fraktalen Dimension, doch sind sie oft hoch kompliziert und nur auf ein
bestimmtes Fraktal anwendbar. Eine der einfachsten Varianten
basiert auf der sogenannten Hausdorff Dimension. Die genaue
Einführung in diese Theorie allerdings würde den Rahmen
dieser Arbeit sprengen. Man betrachtet
zunächst bekannte
Objekte der topologischen Dimension 1, 2 und 3, zum Beispiel
Strecke, Ebene oder Kubus. Nun teilt man diese Objekte
regelmäßig in N gleichgroße Teile. Um einen der N gleichen
Teile einer Strecke zu erhalten, muß man sie selbst mit r =
1
N
skalieren. Analog dazu muß man um eins von N Teilquadraten zu
1
1
erhalten das Ausgangsquadrat mit r =
und Quadrate mit r = 2
N
N
1
skalieren. Daraus ergibt sich ein Potenzgesetz: N = D
r
Bei diesem Ausdruck ist D die Dimension des Objekts.
-9Formt man den Ausdruck um, so kann man D durch
D=
log N
1 berechnen.
log
r
Auch für die Kochsche Kurve gilt dieses Potenzgesetz. Jedes
Segment der Kurve besteht aus 4 Teilsegmenten, die durch eine
1
Skalierung mit dem Faktor
aus einem vorhergegangenen
3
Segment entsteht. Die Dimension der Kochschen Kurve berechnet
sich
daher
folgendermaßen:
D=
log 4
= 1,26 .
log 3
Diese
Dimension
deutet auf die relative Nähe zu einer Geraden hin. Die
Kochsche Kurve ist im Vergleich zu anderen Fraktalen wenig
verzweigt.
3. Erzeugung von Fraktalen
Im folgenden möchte ich auf die Erzeugung der beiden bekanntesten Fraktale, die Julia- und Mandelbrotmengen, eingehen.
3.1 Mathematische Voraussetzungen für die Erzeugung von
Juila- und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.1.1 Der Mangel der Menge Doppelstrich R
Eine quadratische Gleichung vom Typ
Element aus Doppelstrich R
ax 2 + bx + c = 0 (mit a,b
und a ungleich 0), ist in
Doppelstrich R, also der Menge der reellen Zahlen, normalerweise lösbar. Es gibt jedoch auch quadratische Gleichungen,
2
die nicht lösbar sind, wie z.B. x = − 1 , weil Quadrate reeller
Zahlen nie negativ sind. Allerdings besitzt 4x = 5 in der
Menge der ganzen Zahlen auch keine Lösung. Durch die Erweiterung von den ganzen auf die rationalen Zahlen wird die
Gleichung lösbar. Die Frage liegt nahe, ob Doppelstrich R
nicht auch derart erweitert werden kann, dass sämtliche
quadratische Gleichungen lösbar werden.
-10-
3.1.2 Die imaginäre Einheit und Imaginärzahlen
Leonard Euler (1707-1783) war einer der Ersten, der sich mit
dem Problem der nicht definierten quadratischen Gleichungen
befasste. Er führte eine neue „Zahl“ ein: i. Diese Zahl
sollte die Lösung für die Gleichung
x2 = −1
sein, folglich
gilt:
i 2 = − 1 . I wird als „imaginäre Einheit“ bezeichnet.
Durch
Verknüpfung
mittels
Multiplikation
entstehen
aus
reellen Zahlen b und der imaginären Einheit i Imaginärzahlen
bi. Die Operationsregeln sind sie gleichen, als ob i eine
durch eine Variable vertretene reelle Zahl wäre. Zum Beispiel: 2i + 3i = 5i. Die imaginäre Zahl hat es möglich
gemacht, dass die Gleichung x 2 = − a lösbar wird.
3.1.3 Komplexe Zahlen
Löst man mit Hilfe der imaginären Zahl gemischte quadratische
Gleichungen, kommt es zu Summen aus reellen und imaginären
Zahlen.
x 2 − 12 x + 25 = 0
( x − 6) 2 = 36 − 52
Beispielsweise:
( x − 6) 2 = − 16
x − 6 = ± 4i
x = 6 + 4i ∨ x = 6 − 4i
Die beiden Lösungen setzen sich jeweils aus einem reellen und
einem imaginären Teil zusammen. Zahlen der Form a+bi mit a,b
Element
aus
Doppelstrich
R
werden
als
komplexe
Zahlen
(Doppelstrich C ) bezeichnet. Dabei nennt man a Realteil und
b Imaginärteil. Sie werden entweder in der Form (a,b) oder in
der Form a+bi geschrieben. Komplexe Zahlen, die sich nur im
Vorzeichen unterscheiden, nennt man konjugiert zueinander.
-11Die Konjugierte von z=a+bi wird als z = a − bi bezeichnet. ( z
wird als „z quer“ gelesen.) Manchmal findet man auch z* (z
Stern) anstatt z .
3.1.4 Operationsregeln komplexer Zahlen
Komplexe Zahlen folgen den der reellen Zahlen ähnlichen aber
nicht gleichen Rechenregeln. Bei der Addition und Subtraktion
werden der reelle Anteil und der imaginäre Anteil getrennt
addiert oder subtrahiert. Als allgemeiner Ausdruck formuliert: (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d). Beispiel: (2,5) + (1,-7) =
(3,-2). Die Subtraktion erfolgt analog. Wenn wir die komplexen
Zahlen
(3,4)
und
(1,-5)
multiplizieren
wollen,
bedienen wir uns des Distributivgesetzes:
(3 + 4i ) *(1 − 5i ) = 3 *(1 − 5i ) + 4i *(1 − 5i ) =
3 − 15i + 4i − 20i 2 = 3 − 11i + 20 =
23 *11i
Hinweis:i 2 = − 1
Als allgemeiner Ausdruck formuliert lautet die Multiplikationsregel:
(a + bi ) *(c + di ) = a *(c + di ) + bi *(c + di ) =
ac + adi + cbi − bd = ac − bd + adi + cbi
oder
(a , b) *(c, d ) = (ac − bd , ad + cb)
Die Quadrierung funktioniert analog zur Multiplikation:
(a , b) *(a , b) = (aa − bb, ab + ab) = (a 2 − b 2 ,2ab)
3.1.5 Die Gausssche Zahlenebene
Reelle Zahlen kann man auf einer Geraden, dem Zahlenstrahl,
anordnen, somit sind reelle Zahlen eindimensional. Zwischen
-12zwei reellen Zahlen liegen jeweils unendlich viele weitere
Zahlen. Komplexe Zahlen hingegen können nicht auf einer
Geraden angeordnet werden. Sie bestehen aus zwei Komponenten,
sie sind zweidimensional, folglich kann man komplexe Zahlen
auf einer Ebene anordnen. Auf dieser sogenannten Gaussschen
Zahlenebene erhält der Imaginärteil die X-Achse und der
Realanteil wird auf der Y-Achse aufgetragen. Eine komplexe
Zahl kann nun als Punkt in diesem Koordinatensystem dargestellt werden.
Rechts ist die komplexe
Zahl 1+3i (1;3) in der
Gaussschen
Zahlenebene
dargestellt.
Bild 5
3.1.6 Iterationen in der Zahlenebene
Um die bekannten Fraktale, die Mandelbrot und Juliamengen, zu
verstehen, muß man betrachten was passiert, wenn man komplexe
Zahlen quadratisch iteriert. Zunächst möchte ich die Iteration reeller Zahlen betrachten: In die Iterationsvorschrift,
„Ein Element der Folge (an+1) wird gebildet, indem man das
vorangegangene Element (an) quadriert“, also kurz: an +1 = an
2
wird 2 eingesetzt. Als Ergebnis kommt schon nach wenigen
Iterationen ein sehr hoher Wert heraus, die Folge läuft
schnell gegen +unendlich. Setzen wir in die gleiche Vorschrift 0,5 ein, so strebt sie gegen 0. Bei 1 bleibt das
Ergebnis konstant. Zahlen, die diese Bedingung erfüllen,
nennt man Fixzahlen. Weiterhin existieren Vorfixzahlen, also
Werte welche schon nach einigen Iterationen einen Fixpunkt
liefern, etwa -1. Schon nach einer Quadrierung erhält man 1,
-13also einen Fixpunkt. Wenn man nun die eindimensionale Menge
der reellen Zahlen verläßt und sich die Zahlenebene ansieht,
so fallen einige Analogien auf.
Die Zahl 2+3i wird fortlaufend quadriert:
Element
1
2
3
4
Wert
(2;3)
(-5;12) (-119;-120) (-239;28560)
Die Folge wächst rapide an, sie strebt gegen unendlich.
Als zweites Beispiel wird die komplexe Zahl 0,2+0,3i iteriert
Element
1
2
3
Wert
(0,2;0,3)
(-0,05;0,12)
Diese Folge strebt gegen Null.
(-0,0119;-0,012)
Als letztes Beispiel wird 0,707+0,707i betrachtet
Element
1
2
3
4
n
Wert
(0,707;0,707)
(0;1)
(-1;0) (1;0) (1;0)
Diese Zahl ist eine Vorfixzahl , die scheinbar zufällig
ausgewählt wurde. Man kann jedoch eine Begründung finden,
warum gerade diese Zahl eine Vorfixzahl ist. Komplexe Zahlen
kann man in der Zahlenebene auch als Vektor auffassen. Die
Länge dieses Vektors lässt sich mit Hilfe des Satzes des
Pythagoras ermitteln. Die Länge beträgt: L2 = dx 2 + dy 2 , L ist die
Länge des Vektors, dx und dy die Komponenten in x bzw. y
Richtung. Diese Komponenten stellen in der Zahlenebene aber
die reellen und imaginären Anteile dar. Also ergibt sich:
L2 = 0,707 2 + 0,707 2 ≈ 0,5 + 0,5 = 1 und damit L=1. Alle Zahlen deren
Betrag, welcher der Vektorenlänge entspricht, größer 1 ist,
streben bei Iteration gegen unendlich. Zahlen mit einem
Betrag kleiner 1 ergeben eine Folge gegen 0 und Zahlen mit
einem Betrag von genau 1 sind Fix oder Vorfixpunkte. Wenn man
dieses Ergebnis graphisch aufbereitet ergibt sich folgendes
Bild:
-14-
Bild 6 Grafische Zusammenfassung
Die Darstellung nennt sich Fluchtzeitalgorhytmus. Sämtliche
Punkte des Bildes wurden in die Iterationsvorschrift eingesetzt. Die Farbmarkierungen werden in dieser Darstellung nach
dem Verhalten der Punkte gewählt. Die Punkte deren Iteration
gegen 0 strebt und sämtliche Fix- und Vorfixpunkte werden
schwarz markiert. Alle anderen hier in verschiedenen Blautönen markierten Punkte streben mit verschiedenen Geschwindigkeiten gegen unendlich, wobei die Farbe für die Geschwindigkeit steht mit der sie sich gegen unendlich bewegen. Der
Ursprung der Zahlenebene liegt im Mittelpunkt des Kreises.
Der Kreis hat einen Radius von 1.
3.2 Julia und Mandelbrotmengen (Parameterräume)
3.2.1 Die Juliamengen
Im Allgemeinen folgen Juliamengen der Iterationsvorschrift
an +1 = an 2 + c . C ist eine komplexe Konstante, die bei jeder
Iteration addiert wird. Im vorangegangenen Kapitel war diese
Konstante
0
und
das
Ergebnis
war
die
einfachste
aller
denkbaren Juliamengen. Verändert man c so erhält man verschiedenste Gebilde. Diese sehr viel komplexeren Mengen haben
alle
typischen
fraktalen
Eigenschaften.
Sie
sind
selb-
stähnlich, haben eine fraktale Dimension, sind unendlich
komplex und stark abhängig von den Startbedingungen. Zur
-15Veranschaulichung zwei Beispiele:
Bild 7:
Juliamenge C=-0,7+0,15i
Bild 8:
Juliamenge C=-0,85+0,25i
3.3.2 Mandelbrotmengen (Parameterräume)
Die
Mandelbrotmenge1
wird
nach
der
gleichen
Iterationsvorschrift erzeugt wie ihre Juliamenge:
Der
Unterschied
besteht
in
den
Startwerten
a1
an +1 = an + c .
2
und
der
Additionskonstante c. Bei der Juliamenge wird als Startwert
ein Punkt in der Zahlenebene eingesetzt und c ist eine
Konstante, die vor der Berechnung der Juliamenge bestimmt
wird. Bei der Mandelbrotmenge ist der Startwert immer 0+0i.
C ist keine Konstante, sondern die Koordinate des aktuellen
Punktes, an dem sich die Berechnung befindet. Eine Beispielrechnung, um den Unterschied zwischen Julia und Mandelbrotmenge
zu
visualisieren:
(die
Additionskonstante
ist
jeweils in spitze Klammern gesetzt)
Mandelbrot - Menge
a1 = 0
Julia - Menge mit c = -0,32 - 0,043i
a1 = 2 + 3i
2
a 2 = 0 + ⟨ 2 + 3i ⟩ = 2 + 3i
a 2 = − 5 + 12i − ⟨ 0,32 − 0,043i ⟩ = − 5,32 + 11,957i
2
2
a 3 = 2 − 3 + 2 * 2 * 3i + ⟨ 2 + 3i ⟩ = − 3 + 15i a 3 = − 114,987 − 127,266i
a 4 = − 2974,709 + 29267,823i
a 4 = − 216 − 90i + ⟨ 2 + 3i ⟩ = − 214 − 87i
an = ∞
an = ∞
1
Nach ihrem Entdecker: Benoit Mandelbrot
-16-
Führen
wir
den
gorhytmus
Rechenvorschrift
Fluchtzeitalfür
die
der
Mandel-
brotmenge aus, so erhalten wir
folgendes Bild:
Bild 9: Mandelbrotmenge
Diese allgemein auch „Apfelmännchen“ genannte Figur ist die
Mandelbrotmenge der Juliamenge mit der Vorschrift: an +1 = an 2 + c .
Man kann auch andere Polynome als Vorschrift für die Erzeugung
solcher
Mengen
benutzen.
Mit
dem
Begriff
„Mandel-
brotmenge“ ist strenggenommen nur das Iterationsverfahren
gemeint, also dass der Startwert immer 0 und der jeweilige
Punkt die Additionskonstante ist. Meistens findet man den
Begriff Mandelbrotmenge aber für die häufigste ihrer Art,
nämlich dem Apfelmännchen. Im folgenden wird der Begriff
auch so verwendet werden. Es gibt enge Zusammenhänge zwischen
Julia- und Mandelbrotmengen. Die Mandelbrotmenge ist der
Parameterraum der Juliamengen. In der Vorschrift für Mandelbrotmengen fließt der aktuelle Punkt als Additionsparameter
in die Berechnung mit ein, folglich stellt die Mandelbrotmenge (M) dar was passiert, wenn C über die Zahlenebene
wandert. Für jeden Punkt der Mandelbrotmenge lässt sich eine
zugehörige
Juliamenge
(J)
berechnen,
die
immer
anders
aussehen wird. Weiterhin kann man anhand der Position des
Punktes in M auf das Aussehen von J schließen. Liegt der
betrachtete Punkt innerhalb der Mandelbrotmenge, so ist die
Juliamenge immer zusammenhängend. Liegt er in einem der
„Haare“ von M, so wird auch J eine Dendritenform, also eine
-17baumähnliche Form, besitzen. Liegt c in einer der Miniaturkopien von M in den „Haaren“ von M, so wird J eine Dendritenform haben, allerdings mit Kopien derjenigen Juliamengen aus
dem korrespondierenden Hauptteil von M behaftet. In dieser
Art und Weise ließen sich noch viele Beziehungen zwischen der
Mandelbrotmenge und Juliamengen aufzeigen.
4 Exkurs: Was hat Fraktale ermöglicht?
Die fraktale Geometrie ist ein im Vergleich sehr junger Zweig
der Mathematik. Dafür lassen sich eine Reihe von Gründen
aufzeigen.
4.1 Die Menschen hinter den Fraktalen
4.1.1 Gaston Julia
Gaston Maurice Julia wurde am 3. Februar 1893 in Algerien
geboren. Als Soldat im I. Weltkrieg verlor er seine Nase bei
einem Vorstoß der französischen Front. Er unterzog sich
mehrmals schmerzhaften Operationen, dennoch mußte er sein
ganzes Leben einen Lederstreifen über dem Gesicht tragen.
Während seiner langen Lazarettaufenthalte trieb er seine
mathematischen
Arbeiten
voran.
Im
Alter
von
25
Jahren
veröffentlichte er seine bekannteste Arbeit, die „Abhandlung
über
die
Iteration
von
Funktionen“,
welche
heute
eine
Grundlage des Wissens über Fraktale darstellt. Julia wurde
mit
dem
Preis
der
französischen
Wissenschaftsakademie
ausgezeichnet und in Berlin wurden 1925 wissenschaftliche
Seminare zu seinem Werk abgehalten. Dennoch gerieten Julia
und seine Arbeiten in Vergessenheit, bis sie von Benoit
Mandelbrot in den siebziger Jahren wiederentdeckt wurden.
4.1.2 Benoit Mandelbrot
Benoit B. Mandelbrot wurde 1924 in Warschau geboren und
-18emigrierte nach Frankreich, wo ihn sein Onkel Szolem Mandelbrot, der Mathematikprofessor am College de France war,
unterrichtete. 1947 erwarb Benoit ein Diplom an der Ecole
Polytechnique in Paris, 1948 wechselte er zum California
Institute of Technology, wo er an Luftturbulenzen hinter Jets
arbeitete. In der Folgezeit war er bei einigen Instituten
angestellt,
darunter
die
Yale
Fakultät
und
die
Natural
Academy of Science. Er erhielt viele Ehrendoktorate und
Auszeichnungen. Er arbeitete in den siebziger Jahren bei IBM
und danach im T.J. Watson Research Center, wo er Leiter der
Computergraphikabteilung war. Dort kam ihm zufällig die Idee
der natürlichen Fraktale als er eine Hügelkette betrachtete.
Er untersuchte iterative Prozesse und Julias Ergebnisse auf
Computern
und
entdeckte
wiederum
zufällig
die
nach
ihm
benannte fraktale Menge, die Mandelbrotmenge. 1977 schrieb er
sein erstes Buch: „Die fraktale Geometrie der Natur“. Benoit
Mandelbrot und Gaston Julia verdanken wir heute den größten
Teil unseres Wissens über Fraktale.
4.2 Der Computer, essentielles Werkzeug
Ohne den Computer gäbe es keine fraktale Geometrie in der
heutigen Form. Im folgenden möchte ich aufzeigen warum dies
so ist.
4.2.1 Ohne Computer keine Fraktale
Der
Computer
ist
das
Werkzeug,
das
Fraktale
Geometrie
ermöglicht hat. Gaston Julia entwickelte zwar schon zu Anfang
des 20. Jahrhunderts Theorien über iterative Funktionen,
jedoch hat er nie eine Juliamenge gesehen. Um eine verwertbare Juliamenge zu erzeugen, sind eine Vielzahl von
Berechnungen
notwendig.
Ein
willkürliche
Juliamenge
berechnen.
Genauigkeit
zu
gewährleisten,
Beispiel:
führt
Um
Man
eine
man
100
möchte
eine
hinreichende
Iterationen
-19durch. Das heißt also 100 mal die gleiche Rechnung ( an +1 = an 2 + c )
und das mit Zahlen, die
bei jedem Schritt extremer werden.
Aber dann wurde nur ein Punkt der Juliamenge errechnet. Das
Ziel ist allerdings eine vollständige Juliamenge. Bei der
noch relativ geringen Auflösung von 300*200 Bildpunkten kommt
man so auf 6 Millionen Rechenschritte. Diese Flut an nötigen
Rechnungen kann kein Mensch im Kopf lösen, auch dann nicht,
wenn ein Mensch in bestimmten Fällen, z.B. bei einem Fixpunkt, die Berechnung vorzeitig abbrechen kann. Die einzige
Möglichkeit, solch eine Aufgabe zu lösen, ist der Computer.
Hier
ist
dies
mit
einem
im
Vergleich
geringen
Aufwand
verbunden, denn programmtechnisch ist die Berechnung einer
Juliamenge kein schwieriges Problem denn die Rechenvorschrift
ist ja immer die gleiche. Die Entwicklung programmgesteuerter
Rechenmaschinen, nämlich der Computer, war nötig, denn ohne
sie wäre die heutige fraktale Geometrie nicht möglich.
4.2.2 Entwicklung der Computertechnologie
Die Computertechnologie macht enorme Fortschritte. Jedes
halbe Jahr wird eine neue Prozessorgeneration für Personal
Computer
entwickelt.
Durchschnittlich
alle
zwei
Jahre
verdoppelt sich die Rechenleistung von PC‘s. Für die Mathematik und speziell für die fraktale Geometrie bedeutet
das, dass immer komplizierte und aufwendigere Aufgaben gelöst
werden können. Immer genauere Fraktale in immer größeren
Auflösungen können berechnet werden. Auch kann man komplexere
Iterationsvorschriften verwenden, die einen enormen Rechenaufwand
erfordern,
was
die
Berechnung
früher
nicht
im
vernünftigen zeitlichen Rahmen ermöglichte.
5 Anwendung von Fraktalen
Fraktale sind rein theoretische Figuren, doch das ist ein
-20idealer Kreis auch. Diesen benötigt man jedoch für eine ganze
Reihe von Anwendungen. Die fraktale Geometrie setzt dort an
wo die klassische Geometrie versagt und zwar im Bereich des
irregulären und gebrochenen. Im folgenden möchte ich auf die
Anwendungen der fraktalen Geometrie eingehen.
5.1 Fraktale in der Graphik
5.1.1 Fraktale als Hilfsmittel zur Darstellung
natürlicher Fraktale
Ein
Großteil
Beispiel:
Strukturen
natürlicher
Bäume,
Wolken
graphisch
Strukturen
oder
Berge.
darstellen,
sind
Fraktale,
Möchte
bieten
man
sich
zum
solche
künstliche
Fraktale, also die fraktale Geometrie, an. Es ist fast
unmöglich die Form einer Wolke mit herkömmlichem Mitteln zu
beschreiben. Bedient man sich jedoch der fraktalen Geometrie
und kennt man die ungefähre fraktale Dimension, so ist es ein
leichtes Strukturen zu erzeugen, die den natürlichen sehr
ähnlich sind. Die Wolken auf der Fernsehwetterkarte beispielsweise werden fraktal modelliert.
5.1.2 Fraktale in der Bildkompression
Die Kompression, also die Datenreduktion, von Bilddaten ist
ein weiteres Anwendungsfeld in dem Fraktale zum Einsatz
kommen. Betrachtet man ein Bild als regelmäßige Anordnung von
Pixeln (Bildpunkte), so muß man sie alle auch speichern um
das Bild wiedergeben zu können. Um Speicher zu sparen, muß
man sich lokale Bildzusammenhänge zu Nutze machen. Oftmals
sind benachbarte Pixel in Farbe und Sättigung ähnlich, was
genutzt werden kann, um das Bild zu komprimieren. Man teilt
das Bild in rechteckige Abschnitte (regions) auf, überprüft
ob Ähnlichkeiten bestehen und nutzt diese gegebenenfalls zur
Kompression. Ein großer schwarzer Bereich, der aus vielen
Pixeln
besteht,
kann
man
beispielsweise
auch
als
eine
-21zusammenhängende Fläche beschreiben. Es gibt aber auch eine
völlig andere Möglichkeit die auf fraktaler Geometrie beruht.
Oft
bestehen
zwischen
verschiedenen
Teilen
des
Bildes
Ähnlichkeitszusammenhänge. Ein Wandteil kommt an verschiedenen Stellen mehrmals vor, ein Felsstück gleicht einem anderen
an anderer Stelle. Die fraktale Bildkompression setzt diese
Beziehungen nun in eine mathematische Beschreibung des Bildes
durch Transformationen um. Dazu teilt man das Bild zweimal in
Segmente auf, in sogenannte „Range Regions“ die dem Bildinhalt angepasst werden und sich auch überlappen dürfen, und
in regelmäßige, recheckige „Domain Regions“ in der gewünschten Auflösung. Nun sucht man für jede „Domain Region“ eine
„Range Region“ die größer ist und durch affine Transformation
in die „Domain Region“ abgebildet werden kann (kontraktive
Transformation). Der Inhalt muß gleich oder sehr ähnlich
sein. Hat man dies für alle „Domain Regions“ durchgeführt,
ist das Bild fraktal beschrieben. Die wenigen Parameter, die
dann noch zur Rekonstruktion des Bildes nötig sind, ergeben
die Informationsersparnis im vergleich zum unkomprimierten
Bild.
5.2 Physikalische Anwendungen
Die fraktale Geometrie kann auch für physikalische Anwendungen genutzt werden. Viele Systeme wachsen in einer fraktalen
Art und Weise: Kupfer in einer Kupfersulfat Elektrolyse,
Bäume oder Gewitterblitze, sie sind alle stark verzweigt und
selbstähnlich. Sie sind Fraktale und lassen sich durch die
fraktale Geometrie ideal beschreiben. Turbulente, hydrodynamische Systeme sind ein weiteres typisches Einsatzfeld der
fraktalen Geometrie.
6 Einordnung der Fraktalen Geometrie in die
klassische Mathematik
Die fraktale Geometrie ist ein noch sehr junger Zweig der
-22Mathematik. Sie kann nicht auf Jahrhunderte voller Entwicklung und neuen Theorien zurückblicken, daher gibt es in ihr
noch viel zu entdecken. Sie setzt Computer als wichtigstes
Werkzeug ein, folglich wirkt sich jede Weiterentwicklung in
der Computertechnologie auch auf die fraktale Geometrie aus.
Sie deckt Zusammenhänge ab und ermöglicht Problemlösungen,
die mit klassischen Mitteln kaum realisierbar waren. Früher
nicht beschreibbare natürliche Strukturen wurden mathematisch
fassbar. Fraktale Geometrie ersetzt die klassische Mathematik
nicht, aber sie ergänzt sie an den Stellen wo die klassischen
Ansätze versagen.
7. Schluß
Die fraktale Geometrie eröffnet neue Wege um Problemstellungen zu lösen. Sie ist zu einem wichtigen Instrument
geworden um Zusammenhänge die sonst nicht, oder nur mit
allergrößten
Schwierigkeiten
beschrieben
werden
könnten
greifbar zu machen. Es wäre sinnvoll diesen faszinierenden
Zweig der Mathematik auch in der Sekundarstufe II einzuführen
und zu erläutern. Die Möglichkeiten der fraktalen Geometrie
sind enorm und wurden erst ansatzweise ausgeschöpft. Die
fraktale Geometrie ist eine ideale Möglichkeit, um Informatik, Mathematik und die klassischen Naturwissenschaften zu
verknüpfen.
8. Anhang
8.1 Literatur und Quellenverzeichnis
Halling H. / Möller R. (1995):Mathematik fürs Auge - Eine
Einführung in die Welt der Fraktale, Heidelberg, Berlin,
Spektrum, Akad. Verl.
Herford P. / Klotz A.(1997): Ornamente und Fraktale, Wiesbaden, Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsges.
Kenneth J. Falconer (1990): Fraktale Geometrie - Mathematische Grundlagen und Anwendungen, Oxford, Spektrum, Akad.
Verl.
Fernkurs Fraktale Geometrie
-23http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/Fraktale/
Komplexe Zahlen - Iteration
Http://www.tohuwabohu.org/docs/iteration.html
Komplexe Zahlen - Was ist das ?
Http://www.tohuwabohu.org/docs/komplzahl.html
Was sind komplexe Zahlen?
Http://www.hh.schule.de/hhs/info11-33/bio-babs/entsteh.htm
8.2 Bildverzeichnis
Bild 1: http://www.informatik.fernuni-hagen.de/import/pi2/
fraktale/koch.jpg
Bild 2,3,4: http://belgarath.esg-guetersloh.mediapoint.de/
uforum/physik-lk-12-1997-1998/fraktale/kochkur_1,2,3.jpg
Bild 5: Corel Qattro Pro
Bild 6,7,8: Fractal Extreme v.1.20
Bild 9: Fractal Explorer v 1.21
8.3 Verzeichnis sonstiger Hilfsmittel
Fraktalprogramme:
Fractal eXtreme v.1.20, Cygnus Software 1997,
Fractal Explorer v.1.21, A. Sirotinsky, O. Fedorenko,
1997-2000, Kiev,
Sonstiges:
Bertelsmann Lexikodisc, Disc 2, Technik und Natur,
Bertelsmann Lexikon Verlag GmbH, Gütersloh 1999
8.4 Erklärung
Ich erkläre, dass ich die Facharbeit ohne fremde Hilfe
angefertigt und nur die im Literatur- und Quellenverzeichnis angeführten Quellen und Hilfsmittel benutzt habe.
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Ort, Datum
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Unterschrift