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AxisWM 2010 – Lösung Wettbewerb
Aufgabe und Lösung
Frage - Wieviele 5-Ecke hat der Fussball?
Antwort – 12 × 5-Ecke
Um die 5-Ecke anhand der nebenstehenden Abbildung zu
zählen, kann folgendermassen vorgegangen werden.
• ein 5-Eck liegt ganz oben
• jede Ecke dieses 5-Ecks zeigt auf ein weiteres 5-Eck
weiter unten. Damit sind in der oberen Hälfte des Balls
6 × 5-Ecke.
• Die untere Hälfte des Balls ist symmetrisch zur oberen.
Der Ball hat insgesamt 12 × 5-Ecke.
Abgestumpftes Ikosaeder
Der Fussball ist ein geometrischer Körper, welcher als "abgestumpftes Ikosaeder" bezeichnet wird. Bei
einem 'richtigen' Fussball wölben sich die Flächen infolge des Innendrucks nach aussen, sodass –
geometrisch betrachtet – eine Projektion des abgestumpften Ikosaeders auf eine Kugeloberfläche entsteht.
Das Ikosaeder ist ein platonischer Körper (oder reguläres Polyeder) mit 20 Seitenflächen (siehe Abbildung
unten links). Es existieren insgesamt 5 platonische Körper (Tetraeder, Hexaeder = Würfel, Oktaeder,
Dodekaeder, Ikosaeder) mit folgenden definierenden Eigenschaften.
• Konvex
• alle Kanten sind gleich lang
• alle Winkel einer Seitenfläche sind identisch
• alle Seitenflächen sind Deckungsgleich
• in jeder Ecke stossen gleich viele Flächen zusammen.
Ein abgestumpftes Ikosaeder (auch als 'Ikosaederstumpf' bezeichnet) entsteht durch abschneiden der Ecken
eines Ikosaeders. Damit alle Kanten des Fussballs die gleiche Länge besitzen, müssen die Seiten des
Ikosaeders jeweils in den Drittelspunkten geteilt und die Ecken durch diese Punkte abgeschnitten werden.
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08.07.2010
Weitere Informationen zum abgestumpften Ikosaeder
Eigenschaften
Seitenlänge des abgestumpften Ikosaeders
a
Volumen
V=
Oberfläche
A = 3⋅a 2⋅10  3  2510  5 ≈ 72.61⋅a 2
a
R =  5818  5 ≈ 2.48⋅a
4
eine
Inkugel
existiert
nicht,
da
der
Abstand
gegenüberliegender 5- und 6-Ecke unterschiedlich ist.
3
Umkugel
Inkugel
a
3
⋅12543  5 ≈ 55.29⋅a
4



3
⋅125 43  5 ≈ 2.36⋅a
16⋅
Volumengleiche Kugel
RK = a⋅3
Abstand gegenüberliegender 5-Ecke
d5 = a⋅
1
⋅12541  5  ≈ 4.66⋅a
10
Abstand gegenüberliegender 6-Ecke
d6 = a⋅
3
⋅73  5 ≈ 4.54⋅a
2
Flächenwinkel zwischen zwei 6-Ecken
1
1 = arcos − ⋅ 5 ≈ 138.2 °
3
Flächenwinkel zwischen 5- und 6-Ecken
2 = arcos −



52  5
15

≈ 142.6 °
Abwickung
Die Abwicklung des Fussballs ist wie in der
nebenstehenden Abbildung gezeigt eher kompliziert.
Um einen Fussball selber zu bauen, ist es
wesentlich einfacher die 5-Ecke weg zu lassen und
die untere Abwicklung zu verwenden. Die hellen 6Ecke
dienen
dabei
als
Laschen
zum
zusammenkleben.
Weitere Informationen finden Sie unter www.mathematische-basteleien.de/fussball.htm
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