Methodenlehre - Johannes Gutenberg
Werbung
Statistik & Methodenlehre e ode e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 ((Raum 06-206)) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. g Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike [email protected] http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/methods/ SS 2010 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsexperimente Wk-Theorie Experimente Von Variablen zu Zufallsvariablen Eine Variable wird zur Zufallsvariablen, wenn ihre A Ausprägungen ä als l F Folge l eines i Z f ll Zufallsexperimentes i t gemessen werden. (Zufalls )experiment = Ein Satz von Regeln, (Zufalls-)experiment Regeln unter denen eine bestimmte Handlung ausgeführt wird (Bedingungskomplex Ξ, „Xi“) Der konkrete Ausgang eines Zufallsexperimentes ist apriori unbestimmt, nicht aber seine möglichen Augänge. Trial = Eine Durchführung des Experimentes Ergebnis = Mögliches Resultat der Durchführung Ereignis = Jede beliebige Kombination von Ergebnissen Zufallsvariablen (Ereignisse sind immer aus Ergebnissen zusammengesetzt) Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Zufallsexperimente Wk-Theorie Experimente Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel I: Experiment = Einmaliger Münzwurf Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Definition eines Zufallsexperimentes: Mögliche Ergebnisse eines T i l Kopf, Trials: K f Z Zahl, hl Seite S it Durchführung eines Trials und Feststellung des Ergebnisses: g Zahl Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Experimente Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel II: Würfelwurf Zufallsexperiment (Ξ): Ein sechsseitiger Würfel ist einmal zu werfen. Er kann nicht auf einer Kante liegen bleiben. E b i iistt di Ergebnis die A Augenzahl hl d der oben b liliegenden d S Seite. it Trial: Der einmalige Wurf des Würfels Ergebnis: Die beobachtete Augenzahl (1 bis 6) Ereignisse: „1 1“, „4 4“, „Augenzahl Augenzahl ≤ 3 3“, „ungerade ungerade Zahl“ Zahl , „irgendeine Zahl“ Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Experimente Von Variablen zu Zufallsvariablen Beispiel III: Zulassung zum Psychologiestudium Zufallsexperiment (Ξ): Aus 782 Bewerbern werden 44 verschiedene Personen zufällig ausgewählt. Ergebnis ist die Menge der 44 Personen Personen. Trial: Die einmalige Auswahl von 44 Personen Ergebnis: Die ausgewählte Menge von 44 Personen Ereignisse: Kombinationen aus allen möglichen Mengen „ 44 Besten“,, „die „ 44 Besten von 44 Personen,, z.B. „die oder die 44 Schlechtesten“, „jede Auswahl von 44 Personen aus den besten 371“ Achtung: A ht Di D Die Durchführung hfüh von 44 T Trials i l d des Zufallsexperimentes „Aus 742 Bewerbern wird 1 Person ausgewählt“ ist ein anderes Experiment. Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ergebnisse eines Zufallsexperimentes sind immer M Mengen. Di Diese M Mengen kö können auch h nur aus einem i Element bestehen. Beispiel I: I Ergebnisse eine einmaligen Würfel Würfelwurfes rfes {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Beispiel II: Ergebnisse eine zweimaligen Würfelwurfes {1,1}, {1,2},…, {2,1}, {2,2},…, {6,5}, {6,6} Beispiel III: Ergebnisse eines IQ-Tests {0}, {1}, {2}, …, {100}, {101}, … Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Ergebnisse sind konkrete Beobachtungen in einem Zufallsexperiment Ein mögliches Ergebnis aus der Menge aller möglichen Ergebnisse heißt Elementarereignis Definition: Elementarereignis = die kleinste Einheit j Ereignisse, g , in die sich mögliche g disjunkter Ergebnisse eines Zufallsexperimentes zerlegen lassen Zwei Ereignisse g E1 und E2 heißen disjunkt j ((paarweise unvereinbar), wenn gilt E1 E2 „unmögliches Ereignis“ Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Beispiel I: Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Beim Wurf eines Würfels sind die Ereignisse {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6} Elementarereignisse, nicht aber {2, Elementarereignisse {2 4, 4 6} und {1, {1 4, 4 5}, 5} denn 2,4,6 1,4,5 4 Beispiel II: Beim Wurf zweier Würfel sind die Ereignisse {1,1}, {1,2},…, {2,1}, {2,2},…, {6,5}, {6,6} Elementarereignisse. Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Die vollständige Menge der Elementarereignisse eines Z f ll Zufallsexperimentes i t heißt h ißt Stichprobenraum Sti h b Ω Ω. Der Stichprobenraum umfasst alle Elementarereignisse (also alle möglichen Ergebnisse) eines Zufallsexperimentes Der Stichprobenraum ist eine Menge Beispiel: Der Stichprobenraum beim einmaligen Würfelwurf ist Zufallsvariablen Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hinweis: Eigentlich müsste man schreiben: Ω = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}} Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre Die Potenzmenge zum Stichprobenraum heißt SigmaAlgebra σ σ enthält alle möglichen Kombinationen aus allen Elementarereignissen Zusätzlich enthält σ noch das unmögliche Ereignis Beispiel: Einmaliger Münzwurf Ausprägungen: K, Z, S Stichprobenraum: Ω = {K, Z, S} Sigma-Algebra: σ = {, K, Z, S, {K,Z}, {K S {Z {K,S, {Z,S}, S} {K {K,Z,S}} Z S}} Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Zufallsexperimente Wk-Theorie Ergebnisse & Ereignisse Verbindung zur Mengenlehre ,0 ,1 ,2 ,0,1 ,0,2 ,1,2 ,0,1,2 Die σ–Algebra erfüllt das Kriterium der Abgeschlossenheit für das betrachtete Zufallsexperiment. Es erfüllt folgende Axiome (E sei ein Ereignis aus σ ): 1. Ω σ und σ Sicheres/unmögliches Ereignis in σ 2. Wenn E σ, dann auch Ω \ E σ 3. E1 E2 … En σ und E1 E2 … En σ Komplementereignis in σ Vereinigungs-/Schnittmenge in σ Also: Alle denkbaren Ausgänge des Zufallsexperimentes und Kombinationen daraus sind in σ enthalten. Frage: Was ist hier die Zufallsvariable? Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Zufallsexperimente Wk-Theorie Zufallsvariablen Definitionen Ereignisse g & Algebren Eine Zufallsvariable ist eine 1:1 Abbildung („bijektiv“) der Elemente des Stichprobenraums auf eine Menge von Zahlen. Zufallsvariablen Zufallsvariablen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet (X, Y, …) Eine Zufallsvariable wird z.B. als X() geschrieben, wobei das „ ()“ oft weggelassen wird. X() kann als mathematische Funktion aufgefasst werden, die jedem möglichen Elementarereignis eine Zahl zuordnet Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Zufallsexperimente Wk-Theorie Zufallsvariablen Definitionen Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Beispiel: K , Z , S 0, wenn "K" X 1, 1 wenn "Z" Z 2, wenn "S" Die Menge der möglichen Funktionswerte X(Ω) ist damit der Wertebereich der Zufallsvariablen. Die Feststellung einer Ausprägung von X(Ω) wird als Messung bezeichnet, die gemessenen Zahlen als Messwerte Statistik & Methodenlehre e ode e e Grundlagen Zufallsexperimente Wk-Theorie Zufallsvariablen Prinzip Ereignisse g & Algebren Zufallsvariablen Beispiel: p Experiment p = Eimaliger g Münzwurf Definition eines Zufallsp experimentes: Mögliche Ergebnisse eines Trials: Kopf, Zahl, Seite Durchführung eines Trials und Feststellung der Realisation: Zahl Definition des Stichprobenraums Definition einer Zufallsvariablen X() Messung: X = 1 Frage: Was bedeutet „zufällig“? Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Kolmogoroff Zufallsexperimente Wk-Theorie Geschichte der WT Anfänge Mitte des 17. Jh. (Huygens, Pascal, Fermat, Bernoulli). Aufgaben des Glücksspiels. Nur Arithmetik und K bi Kombinatorik. ik Weiterentwicklungen im 18.-19. Jh. durch Laplace, Gauss, P i Poisson: F Fehlertheorie, hl th i B Ballistik, lli tik P Pop.stat. t t Durchbruch zu Beginn des 20. Jh: Entwicklung der WTheorie Fundament in axiomatischen Aufbau Theorie, (Kolmogoroff). Theorie der stochastischen Prozesse (Wiener, Markoff, Chintchin). Heute zentraler Bestandteil wiss. Betätigung: Informationstheorie, Physik, Bevölkerungsstatistik, Epidemiologie Materialprüfung Epidemiologie, Materialprüfung, Statik Statik, Personalauswahl Personalauswahl, psychologische Testung, Versuchsplanung und Stichprobentheorie. Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Kolmogoroff Zufallsexperimente Wk-Theorie Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits definition von Laplace Grundannahme: Alle Elementarereignisse in Ω sind gleichmöglich. Jedem Ereignis E, E welches der σ-Algebra Algebra angehört angehört, kann so eine Wahrscheinlichkeit zugewiesen werden. m = Mächtigkeit der Menge an m p( E ) n gleichmöglichen Elementarereignissen aus Ω, die Teilereignis von E sind. n = Mächtigkeit des Stichprobenraumes (also Anzahl aller Elementarereignisse aus Ω) Die Wahrscheinlichkeit ist demnach eine auf der σ-Algebra definierte mathematische Funktion p(E). Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Zufallsexperimente Wk-Theorie Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits definition von Laplace Folgerungen aus der Definition von p(E) 1. Für jedes Ereignis E aus der σ-Algebra gilt: p(E) ≥ 00, weil weder m noch n negativ werden können Kolmogoroff 2. Für das sichere Ereignis gilt: p(Ω) = 1, weil hier m = n 3 Ist ein Ereignis E zerlegbar in die Elementarereignisse A1, 3. A2, … Ai so gilt: p(E) = p(A1) + p(A2) + … + p(Ai) Additionstheorem der Wahrscheinlichkeiten Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Zufallsexperimente Wk-Theorie Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits definition von Laplace Folgerungen aus der Definition von p(E) 4. Für E g gilt also: Kolmogoroff 0 ≤ p(E) ≤ 1 5. Für das Komplement E von E gilt: p(E) = 1 – p(E) 6. Für die Wahrscheinlichkeit von E oder E gilt: p(E) + p(E) = 1 Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Zufallsexperimente Wk-Theorie Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits definition von Laplace Beispiele Summe von 2 Würfelwürfen Kolmogoroff Anzahl von „Zahl“ bei 3 Münzwürfen Frage g des Landsknechts an Huygens yg Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Abzählprinzipien Kolmogoroff Zufallsexperimente Wk-Theorie Die WahrscheinlichkeitsWahrscheinlichkeits definition von Laplace Abzählprinzipien Kann man einen Vorgang k-mal wiederholen, und zwar zunächst auf n1 Weisen, Weisen danach auf n2 Weisen, Weisen zuletzt auf nk Weisen ausführen, dann gibt es insgesamt N= n1 · n2 · … · nk verschiedene Möglichkeiten für die gesamte Sequenz. Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien b ä p pe Permutationen – Beachtung der Reihenfolge Abzählprinzipien Kolmogoroff Für die Fü di Anordnung A d von n unterscheidbaren t h idb El Elementen t in einer Reihe mit Zurücklegen gibt es N = nk = n · n · … · n Reihenfolgen. k mal k-mal Für die Anordnung von n unterscheidbaren Elementen in einer Reihe ohne Zurücklegen gibt es N = n · n-1 · n-2 · … · 1 Reihenfolgen. Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien b ä p pe Permutation und der Fakultätsbegriff Abzählprinzipien Permutation können in Fakultätsnotation geschrieben werden als: N = n! = n · n-1 · n-2 · … · 1 Kolmogoroff Oder kurz: n n! i i 1 sprich: „n Fakultät“ Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien b ä p pe Permutationen mit Restriktion Abzählprinzipien Sollen nur k der n Elemente angeordnet werden, gibt es N = n · n-1 n 1 · n-2 n 2 · … · (n – k + 1) Reihenfolgen Reihenfolgen. Kolmogoroff Dies kann einfacher berechnet werden als n! N (n k )! Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien b ä p pe Kombination – keine Beachtung der Reihenfolge Abzählprinzipien Kolmogoroff Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen ohne Zurücklegen gab es n! N (n k )! Reihenfolgen. Ohne Beachtung g der Reihenfolge g g gibt es nur noch N N' k! Möglichkeiten Möglichkeiten. Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien Kombination und der Binomialkoeffizient Abzählprinzipien Kolmogoroff Für die Anordnung von k Elementen aus einer Menge von n unterscheidbaren Elementen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge ( Kombination“) gibt es also („Kombination“) n n! N k k !(n k )! n N k Reihenfolgen. (lies: „n über k) heißt Binomialkoeffizient Statistik & Methodenlehre e ode e e Laplace Zufallsexperimente Wk-Theorie Abzählprinzipien Zusammenfassung Abzählprinzipien Wiederholung Kolmogoroff Reihenfolge mit ohne wichtig nk n! (n − k)! egal n + k− 1 k = (n + k− 1)! k!(n − 1)! n k = n! k!(n − k)! Statistik & Methodenlehre e ode e e Relevante Excel Funktionen Kombinatorik • FAKULTÄT() • KOMBINATIONEN()
