Einführung in die Topologie

E
T
inführung in die
opologie
Christoph Bock
Vorlesung
an der
Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg
Version vom 4. März 2016
Vorwort
Der Begriff Topologie leitet sich von den griechischen Worten τ óπoς (dt.: der
Ort) und λóγoς (dt.: das Wort, die Lehre) ab. Die Topologie, als Teilgebiet der
Mathematik, beschäftigt sich mit der relativen Lage – dem Ort –, die Punktmengen – sog. Räume – zueinander einnehmen; hierbei spielen im Gegensatz zur
Geometrie quantitative Größen wie Abstände oder Winkel keine Rolle. Konkreter gesprochen, handelt es sich um die Lehre von Räumen zwischen denen man
den Begriff der stetigen Abbildung definieren kann und das Studium letzterer.
Natürlich soll der Begriff der Stetigkeit dabei so eingeführt werden, daß im Spezialfall die in der Analysis I eingeführten stetigen Abbildungen von Teilmengen
von R wiedererkannt werden. Eng verbunden mit der Definition der Stetigkeit
ist die der Folgenkonvergenz. Auch diese läßt sich auf topologischem Niveau
einführen.
Das vorliegende Skriptum gibt den Inhalt meiner Vorlesung Einführung in
die Topologie aus dem WS 2009/2010 an der Universität Erlangen-Nürnberg und
Teile des zugehörigen Seminares aus dem SS 2010 wieder. Das Skriptum gliedert
sich in drei Teile. Im ersten Teil wird eine Einführung in die allgemeine Topologie gegeben, in der der Begriff des topologischen Raumes im Mittelpunkt steht.
Das Thema des zweiten Teiles wird die elementare Homotopietheorie sein. Die
Fundamentalgruppe, eine Homöomorphie-Invariante – d.h., daß sie unter einem
Homöomorphismus1 erhalten bleibt –, wird eingeführt und die Existenz der universellen Überlagerung bewiesen. Im dritten Teil werden differenzierbare Mannigfaltigkeiten und differenzierbare Abbildungen zwischen solchen studiert. Wir
definieren ferner den Tangentialraum an eine differenzierbare Mannigfaltigkeit,
dessen Kenntnis es uns ermöglicht, von Immersionen und Untermannigfaltigkeiten zu sprechen. Zum Abschluß beweisen wir den Einbettungssatz von Whitney
für kompakte Mannigfaltigkeiten.
Ich habe mich bei der Ausarbeitung der o.g. Vorlesung sehr eng an verschiedenen Kapiteln aus Vorlesungen meines Diplomvaters W. Henke orientiert.
Für Hinweise auf Fehler, Kritik oder Lob bin ich dankbar. Kontakten können
Sie mich per E-Mail an bock at mi.uni-erlangen.de.
Ich sollte an dieser Stelle anmerken, daß das vorliegende Skriptum nicht
gegengelesen wurde. Ich kann nicht ausschließen, daß sich beim Übertrag meiner
handschriftlichen Notizen auf die folgenden Seiten Fehler eingeschlichen haben.
Ich entdecke bei jeder Durchsicht kleinere Ungenauigkeiten – sprich Fehler. Aber
auch dies sollte für den Leser lehrend sein: Nicht sämtliche Resultate, die in der
Literatur – egal, ob Skriptum oder Buch – angegeben sind, sind wahr. Der Leser
sollte sich von jedem Beweis selbst überzeugen.
C€hrist‚oph Bok
Erlangen, im August 2014
1
d.i. eine bijektive stetige Abbildung mit stetiger Umkehrabbildung
i
Inhaltsverzeichnis
1 Topologische Räume
Topologische, metrische und Hausdorff-Räume . . . . . . . . . . . . . .
Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Topologische Teiläume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenhang und Wegzusammenhang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Offener Kern und abgeschlossene Hülle sowie innere, Berührungs- und
Häufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Satz von Bolzano-Weierstraß und Äquivalenz von Normen . . . . .
Folgenkompaktheit und der Satz von Heine-Borel . . . . . . . . . . . . .
Vollständige metrische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gleichmäßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
17
21
25
28
29
2 Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie
Homotopien rel {0, 1} und Fundamentalgruppe . . . .
Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Monodromiesatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Decktransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Universelle Überlagerungen . . . . . . . . . . . . . . . .
Anhang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
32
37
39
49
50
55
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1
1
4
5
7
8
11
3 Mannigfaltigkeiten
59
Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . 59
Tangentialräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Immersionen und Untermannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
A Differenzierbare Überlagerungstheorie
91
Index
96
ii
1
Topologische Räume
Topologische, metrische und Hausdorff-Räume
Definition 1.1 (Topologischer Raum).
(i) Seien M eine Menge und T eine Teilmenge von P(M ).
T heißt eine Topologie für M genau dann, wenn gilt
(T1) ∅ ∈ T ∧ M ∈ T .
(T2) Ist I eine beliebige Indexmenge und für jedes i ∈ I die Menge Ui ein
Element von T , so gilt ⋃i∈I Ui ∈ T .
(T3) U1 , U2 ∈ T Ô⇒ U1 ∩ U2 ∈ T .
(ii) Ein Paar (M, T ), bestehend aus einer Menge M und einer Topologie T
für M , heißt ein topologischer Raum. Die Elemente von T heißen dann die
offenen Mengen des topologischen Raumes (M, T ).
Beispiel.
1.) Ist M eine Menge, so hat man die folgenden Topologien für M :
T1 ∶= P(M ), die sog. diskrete Topologie für M , (alle Teilmengen von M
sind offen).
T2 ∶= {∅, M }, die sog. triviale Topologie für M .
T3 ∶= {∅} ∪ {U ∈ P(M ) ∣ M ∖ U endlich}, (nur ∅ und die Komplemente
endlicher Mengen sind offen).
2.) (Die kanonische Topologie für R)
Wir definieren T ⊂ P(R) durch
∀U ⊂R (U ∈ T ∶⇐⇒ ∀t0 ∈R ∃ε∈R+ ]t0 − ε, t0 + ε[ ⊂ U ) .
Nach Übung 1.1 ist T eine Topologie für R, die sog. kanonische Topologie
für R.
Wir betrachten R im folgenden stets als topologischen Raum mit dieser
Topologie.
Bemerkung. Oft werden wir einen topologischen Raum mit einem einzigen
Symbol – z.B. M – bezeichnen. Wir schreiben dann ∣M ∣ (oder auch einfach
M ) für die M zugrundeliegende Menge und Top(M ) für die Topologie für M ,
also
M = ( ∣M ∣ , Top(M )).
°
=M
Definition 1.2. Seien M ein topologischer Raum, N ⊂ M und p ∈ M .
1
(i) N heißt offen ∶⇐⇒ N ∈ Top(M ), vgl. 1.1(ii).
N heißt abgeschlossen ∶⇐⇒ M ∖ N offen.
Warnung. „Abgeschlossen“ bedeutet nicht das Gegenteil von „offen“. Z.B.
sind ∅ und ∣M ∣ = M stets sowohl offen als auch abgschlossen. Dagegen
ist die Teilmenge ]0, 1] von R weder offen noch abgeschlossen (in dem
topologischen Raum R).
(ii) N heißt Umgebung von p in M ∶⇐⇒ N offen und p ∈ N .
Die Menge aller Umgebungen von p ∈ M bezeichnen wir mit U ○(p, M ) .
Definition 1.3 (Metrischer Raum).
(i) Sei M eine Menge. Eine Funktion d∶ M × M → R, die je zwei Punkten
p, q ∈ M ihren sog. Abstand d(p, q) bzgl. d zuordnet, heißt eine Metrik 2
(oder Abstandsfunktion) für M genau dann, wenn für alle p, q, r ∈ M gilt
(D1) d(p, q) ≥ 0 ∧ (d(p, q) = 0 ⇐⇒ p = q) (Positiv-Definitheit),
(D2) d(p, q) = d(q, p)
(Symmetrie),
(D3) d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) (Dreiecksungleichung).
(ii) Ein Paar (M, d), bestehend aus einer Menge M und einer Metrik d für M
heißt ein metrischer Raum.
(iii) Ist (M, d) ein metrischer Raum, so definieren wir für alle p ∈ M die εUmgebung von p (zur Nahmenswahl s.u. 1.4) durch
Uε (p) ∶= {q ∈ M ∣ d(p, q) < ε}.
Beispiel.
1.) d∶ R × R → R, (t, s) ↦ ∣t − s∣, ist offenbar eine Metrik für R.
2.) Sei V ein R-Vektorraum mit Norm ∥ . . . ∥ → R, d.h. per definitionem, daß
für alle v, w ∈ V und λ ∈ R gilt
(N1) ∥v∥ ≥ 0 ∧ (∥v∥ = 0 ⇐⇒ v = 0)
(N2) ∥λv∥ = ∣λ∣∥v∥
(Positiv-Definitheit),
(Homogenität),
(N3) ∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥ (Dreiecksungleichung).
Dann ist V in kanonischer Weise ein metrischer Raum mit der Metrik
d∶ V × V → R, (v, w) ↦ ∥v − w∥.
3.) Für eine beliebige Menge M ist d∶ M × M → R, defiert durch
eine Metrik für M .
2
⎧
⎪
⎪0 für p = q,
d(p, q) ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩1 für p ≠ q,
vom griechischen µετρικoς (dt.: aus dem Meter)
2
Bemerkung. Auch einen metrischen Raum schreiben wir ofr mit einem einzigen Symbol, z.B. M . Wir schreiben dann wieder ∣M ∣ (oder einfach M ) für die
M zugrundeliegende Menge und dM (oder einfach d) für die Metrik für M ,
also
M = (∣M ∣, dM ).
Satz 1.4.
Vor.: Sei M ein metrischer Raum mit Metrik d.
Beh.: M ist in kanonischer Weise ein topologische Raum mit der Topologie
Td ∶= {N ∈ P(M ) ∣ ∀p∈M ∃ε∈R+ Uε (p) ⊂ N } .
(1)
Ferner gilt für alle p ∈ M und ε ∈ R+
Uε (p) ∈ Td .
Beweis. 1.) Td ist eine Topologie:
Ad (T1): ∅, M ∈ Td ist klar.
Ad (T2): Seien I eine Menge und Ui ∈ Td für jedes i ∈ I. Zu zeigen ist
⋃i∈I Ui ∈ Td.
Zum Beweis hiervon sei p ∈ ⋃i∈I Ui ∈ Td . Dann existiert i0 ∈ I mit p ∈ Ui0 .
Wegen Ui0 ∈ Td existiert weiter eine Zahl ε ∈ R+ mit
Uε (p) ⊂ Ui0 ⊂ ⋃ Ui .
i∈I
Damit ist gezeigt: ⋃i∈I Ui ∈ Td .
Ad (T3): Seien U1 , U2 ∈ Td und sei p ∈ U1 ∩ U2 beliebig. Für i ∈ {1, 2}
existiert wegen p ∈ Ui ∈ Td eine reelle Zahl εi ∈ R+ mit Uεi (p) ⊂ Ui . Setzt man
ε ∶= min{ε1 , ε2 }, so folgt
Uε (p) ⊂ U1 ∩ U2 .
Damit ist gezeigt: U1 ∩ U2 ∈ Td .
2.) Für p ∈ M und ε ∈ R+ gilt Uε (p) ∈ Td :
Sei q ∈ Uε (p), also gilt d(p, q) < ε. Wir setzen δ ∶= ε − d(p, q) ∈ R+ und
behaupten Uδ (q) ⊂ Uε (p).
Beweis hiervon: Sei r ∈ Uδ (q), d.h. d(q, r) < δ. Dann folgt
d(p, r) ≤ d(p, q) + d(q, r) < ε − δ + δ = ε,
d.h. r ∈ Uε (p).
2
Definition 1.5 (Hausdorff-Raum). Ein topologischer Raum M heißt hausdorffsch (oder Hausdorff-Raum) genau dann, wenn je zwei verschiedene Punkte
disjunkte Umgebungen besitzen. D.h. genau
∀p,q∈M,p≠q ∃U ∈U ○(p,M )∃V ∈U ○(q,M ) U ∩ V = ∅.
Beispiel. Seien M eine mindestens zweipunktige Menge und T die triviale
Topologie für M . Dann ist (M, T ) nicht hausdorffsch.
3
Satz 1.6. Ist M ein Hausdorff-Raum, so ist für jedes p ∈ M die Menge {p}
abgeschlossen.
Beweis. Sei p ∈ M fest gewählt. Zu zeigen ist, daß M ∖ {p} offen ist.
Zu jedem ∈ M ∖ {p} existieren nach Voraussetzung disjunkte Umgebungen
Uq und Vq von p und q. Wegen q ∈ Vq gilt insbesondere p ∉ Vq , d.h. Vq ⊂ M ∖ {p}.
Hieraus folgt:
M ∖ {p} = ⋃ Vq .
q∈M ∖{p}
Mit (T2) folgt die Behauptung.
2
Satz 1.7. Jeder metrische Raum ist als topologischer Raum hausdorffsch.
Beweis. Sei M ein metrischer Raum mit Metrik d und seien p, q ∈ M mit
p ≠ q. Setze ε ∶= 21 d(p, q) ∈ R+ . Nach 1.4 sind U ∶= Uε (p) und V ∶= Uε (q) offene
Teilmengen von M . Dann gilt U ∩ V = ∅:
Angenommen es existiert r ∈ U ∩ V , d.h. d(p, r) < ε und d(q, r) < ε. Dann
folgt
2 ε = d(p, q) ≤ d(p, r) + d(r, q) < ε + ε = 2 ε,
Widerspruch!
2
Bemerkung 1.8. Jeder normierte R-Vektorraum (V, ∥ . . . ∥) ist in kanonischer
Weise ein metrischer Raum mit Metrik d, definiert durch d(p, q) ∶= ∥p−q∥ . Jeder
metrische Raum (M, d) ist in kanonischer Weise ein hausdorffscher topologischer
Raum mit der Topologie Top(M ) wie in (1).
Also kurz: normierte R-Vektorräume ⊂ metrische Räume ⊂ hausdorffsche
topologische Räume.
Alle Begriffe, die für Objekte einer dieser Klassen definiert sind, sind daher
automatisch auch für Objekte einer enthaltenen Klasse definiert.
Konvergenz von Folgen
1.9 (Konvergenz von Folgen in topologischen Räumen).
Definition 1. Seien M ein topologischer Raum, (pn )n∈N eine Folge in M und
sei p ∈ M . Wir definieren dann:
(pn )n∈N konvergiert (in M ) gegen p ∶⇐⇒ ∀U ∈U ○(p,M ) ∃n0 ∈N ∀n∈N,n≥n0 pn ∈ U
Lemma. Sind M ein Hausdorff-Raum und (pn )n∈N eine Folge in M , die sowohl
gegen p ∈ M als auch gegen q ∈ M konvergiert, so gilt p = q.
Beweis. Angenommen p ≠ q. Nach Voraussetzung existieren U ∈ U ○(p, M )
und V ∈ U ○(q, M ) mit U ∩ V = ∅. Weiter existieren n1 , n2 ∈ N mit
∀n∈N,n≥n1 pn ∈ U
und ∀n∈N,n≥n2 pn ∈ V,
also folgt für n0 ∶= max{n1 , n2 }: pn0 ∈ U ∩ V , Widerspruch!
2
Warnung. Das Lemma ist i.a. falsch, wenn M nicht hausdorffsch ist. Ist z.B.
M ein topologischer Raum, der mit der trivialen Topologie Top(M ) = {∅, M }
4
versehen ist, so konvergiert jede Folge in M gegen jedes Element von M .
Definition 2. Sind daher M ein Hausdorff-Raum und (pn )n∈N eine Folge in M ,
die gegen p ∈ M konvergiert, so ist p mit dieser Eigenschaft (nach dem Lemma)
eindeutig bestimmt, und wir setzen
lim pn ∶= p
n→∞
und nennen p den Grenzwert oder Limes von (pn )n∈N für n gegen unendlich.
Übungsaufgabe. Seien A eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen
Raumes M und (pn )n∈N eine Folge in A. Ist dann p ∈ M derart, daß (pn )n∈N
gegen p konvergiert, so gilt p ∈ A.
Beweis. Da A abgeschlossen ist, ist M ∖ A offen. Angenommen p ∈ M ∖ A.
Dann existiert n0 ∈ N derart, daß ∀n∈N,n≥n0 pn ∈ M ∖ A, im Widerspruch zur
Voraussetzung.
2
Satz 1.10 (Konvergenz von Folgen in metrischen Räumen). Sei M ein metrischer Raum mit Metrik d, (also M hausdorffsch nach 1.7.) Dann gilt für alle
Folgen (pn )n∈N in M und alle p ∈ M :
lim pn = p ⇐⇒ ∀ε∈R+ ∃n0 ∈N ∀n∈N (n ≥ n0 ⇒
n→∞
pn ∈ Uε (p) ).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⇔ d(pn , p) < ε
(2)
Die rechte Seite von (2) besagt gerade, daß limn→∞ d(pn , p) = 0 im Sinne der
Analysis I gilt.
Beweis. „⇒“ ist klar, da jede ε-Umgebung nach 1.4 offen ist.
Zu „⇐“: Sei U ∈ U ○(p, M ). Nach Definition der Topologie von M (vgl. 1.4)
existiert dann ε ∈ R+ mit Uε (p) ⊂ U . Nach Voraussetzung gilt daher für fast alle
n ∈ N: pn ∈ Uε (p) ⊂ U .
2
Bemerkung. Die Aussage (2) zeigt, daß die Definition in 1.9 im Spezialfalle
eines metrischen Raumes mit der Definition der Konvergenz der Analysis übereinstimmt.
Stetigkeit
Definition 1.11 (Stetigkeit). Seien M, N topologische Räume und f ∶ M → N
eine Abbildung.
(i) Sei p ∈ M .
f heißt stetig in p ∶⇐⇒ ∀U ∈U ○(f (p),N ) ∃V ∈U ○(p,M ) f (V ) ⊂ U.
Es gilt:
f stetig in p Ô⇒ Für jede Folge (pn )n∈N , die in M gegen p kon-
vergiert, konvergiert auch die Folge (f (pn ))n∈N(3)
in N gegen f (p).
[ Denn sind U ∈ U ○(f (p), N ) beliebig und V ∈ U ○(p, M ) wie oben gewählt,
so gilt für fast alle n ∈ N: pn ∈ V , also auch f (pn ) ∈ f (V ) ⊂ U . ]
5
Bemerkung. Wir erwähnen ohne Beweis, daß in (3) i.a. nicht „⇔“ anstelle von „⇒“ gilt. Dagegen gilt stets „⇔“, falls M und N sogar metrische
Räume sind, s.u. 1.14.
(ii) f heißt stetig ∶⇐⇒ ∀p∈M f ist stetig in p.
C(M, N ) bezeichne die Menge aller stetigen Abbildungen M → N .
Beispiel. Ist q ∈ N , so ist die konstante Abbildung f ∶ M → N vom Wert q
stetig.
[ Denn sind p ∈ M und U ∈ U ○(f (p) , N ), so gilt zum einen M ∈ U ○(p, M )
±
und zum anderen f (M ) = {q} ⊂ U . ]
=q
Satz 1.12. Seien M, N topologische Räume (mit Topologien Top(M ), Top(N ))
und f ∶ M → N eine Abbildung. Dann gilt:
f ist stetig
⇐⇒ ∀U ∈Top(N ) f (U ) ∈ Top(M )
1
(4)
⇐⇒ ∀A⊂N abgeschlossen f (A) abgeschlossen in M
1
(5)
Beweis. Zu (4): „⇒“ Sei U offen in N . Wegen der Stetigkeit von f existiert
1
zu jedem p ∈ f (U ) – d.h. U ∈ U ○(f (p), N ) – ein Vp ∈ U ○(p, M ) mit f (Vp ) ⊂ U ,
1
d.h. Vp ⊂ f (U ). Dann folgt
f (U ) =
1
⋃
(6)
Vp ,
1
p∈f (U )
und die rechte Seite von (6) ist offen nach (T2).
1
[ (6) „⊂“ gilt wegen ∀p∈f 1 (U ) p ∈ Vp und „⊃“ wegen ∀p∈f 1 (U ) Vp ⊂ f (U ). ]
„⇐“ Sei p ∈ M und U ∈ U ○(f (p), N ).
1
1
Dann gilt p ∈ f (U ) und nach Voraussetzung ist f (U ) offen in M , also
1
1
V ∶= f (U ) ∈ U ○(p, M ) und f (V ) = f (f (U )) ⊂ U .
Zu (5): Für jede Teilmenge A von N gilt
A abgeschlossen ⇐⇒ N ∖ A ∈ Top(N )
Daher folgt (5) aus (4).
und f (N ∖ A) = M ∖ f (A).
1
1
2
Satz 1.13. Es seien M1 , M2 , M3 topologische Räume sowie f ∶ M2 → M3 und
g∶ M1 → M2 zwei Abbildungen. Ferner sei p ∈ M1 . Dann gilt:
(i) g stetig in p und f stetig in g(p) Ô⇒ f ○ g stetig in p.
(ii) g stetig und f stetig Ô⇒ f ○ g stetig.
Beweis. Zu (i): Zu U3 ∈ U ○((f ○ g)(p), M3 ) existiert zunächst wegen der
Stetigkeit von f in g(p) ein U2 ∈ U ○(g(p), M2 ) mit f (U2 ) ⊂ U3 und sodann
wegen der Stetigkeit von g in p ein U1 ∈ U ○(p, M1 ) mit g(U1 ) ⊂ U2 , also folgt
(f ○ g)(U1 ) = f (g(U1 )) ⊂ f (U2 ) ⊂ U3 .
Aus der Beliebigkeit von U3 folgt die Behauptung von (i).
(ii) folgt trivial aus (i).
6
2
Satz 1.14 (Stetige Abbildungen zwischen metrischen Räumen). Seien M , N
metrische Räume und f ∶ M → N eine Abbildung sowie p ∈ M . Dann sind die
folgenden drei Aussagen paarweise äquivalent:
(i) f ist stetig in p.
(ii) ∀ε∈R+ ∃δ∈R+ ∀q∈M (d(p, q) < δ ⇒ d(f (p), f (q)) < ε).
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
⇔ f (Uδ (p)) ⊂ Uε (f (p))
(iii) Für jede Folge (pn )n∈N in M mit limn→∞ pn = p gilt limn→∞ f (pn ) = f (p).
Beweis. „(i) ⇒ (iii)“ gilt nach (3).
Zu „(iii) ⇒ (ii)“: Angenommen (ii) ist falsch. Dann existieren ε ∈ R+ und eine
Folge (pn )n∈N in M mit
∀n∈N (d(pn , p) <
1
∧ d(f (pn ), f (p)) ≥ ε) ,
n+1
und dies widerspricht (iii).
Zu „(ii) ⇒ (i)“: Sei U ∈ U ○(f (p), N ). Nach Definition der Topologie von N
existiert ε ∈ R+ mit Uε (f (p)) ⊂ U . Wähle zu ε ein δ ∈ R+ gemäß (ii). Dann gilt
Uδ (p) ∈ U ○(p, M ) (vgl. 1.4) und
∀q∈Uδ (p) d(q, p) < δ, also nach (ii): d(f (q), f (p)) < ε,
d.h. ∀q∈Uδ (p) f (q) ∈ Uε (f (p)) ⊂ U , also f (Uδ (p)) ⊂ U . Damit ist (i) gezeigt.
2
Bemerkung.
1.) Die Eigenschaft (iii) nennt man Folgenstetigkeit von f in p.
2.) Der letzte Satz zeigt, daß Definition 1.11 im Spezialfall metrischer Räume
mit der Definition der Stetigkeit der Analysis II übereinstimmt.
Ist speziell N = R und M ⊂ R, jeweils versehen mit der Metrik
(t1 , t2 ) z→ ∣t1 − t2 ∣,
so zeigt der Satz, daß die Stetigkeitsdefinition 1.11 mit der der Analysis I
übereinstimmt.
Topologische Teilräume
Definition 1.15 (Teilraumtopologie). Seien M ein topologischer Raum und N
eine Teilmenge von M sowie G eine Teilmenge von N .
G heißt offen im Teilraum N von M genau dann, wenn eine in M offene
Menge H existiert mit
G = H ∩ N.
Satz. Seien M ein topologischer Raum (mit Topologie Top(M )) und N eine
Teilmenge von M . Dann ist
TopM (N ) ∶= {G ⊂ N ∣ G offen im Teilraum N von M }
eine Topologie für N , die sog. Teilraumtopologie von N bzgl. M .
7
Beweis als Übung.
2
Wir betrachten eine Teilmenge eines topologischen Raumes stets als topologischen Raum mit der durch den umgebenden Raum induzierten Teilraumtopologie.
Sofern keine Verwechslungen auftreten können, schreiben wir auch Top(N )
anstelle von TopM (N ).
Beispiel.
1.) Für n ∈ N+ betrachten wir den Rn als Hausdorff-Raum mit der Topologie,
die durch die Maximumsnorm ∥ . . . ∥∞ (vgl. Übung 2.1) induziert wird, vgl.
1.8. Wir betrachten dann weiter jede Teilmenge des Rn als topologischen
Teilraum mit der Teilraumtopologie bzgl. Rn .
2.) ]0, 1] ist offene Teilmenge des topologischen Teilraumes ] − 1, 1] von R.
3.) Die Teilraumtopologie von Z oder N bzgl. R ist die diskrete Topologie für
Z oder N.
Satz 1.16. Seien M, N topologische Räume und f ∶ M → N eine Abbildung.
Dann folgt:
̃ von M und alle p ∈ M
̃ gilt:
(i) Für jede Teilmenge M
̃
f ∶ M → N stetig in p Ô⇒ f ∣M
̃∶ M → N stetig in p.
̃ von N mit f (M ) ⊂ N
̃ und alle p ∈ M gilt:
(ii) Für jede Teilmenge N
̃ stetig in p.
f ∶ M → N stetig in p ⇐⇒ f ∶ M → N
Beweis als Übung.
̃=∅
Bemerkung. Die Richtung „⇐“ in (i) ist i.a. falsch, wie das Beispiel M
zeigt.
Satz 1.17. Seien M ein hausdorffsch topologischer Raum und N ⊂ M . Dann
ist der topologische Teilraum N von M hausdorffsch.
Beweis. Seien p, q ∈ N ⊂ M mit p ≠ q. Dach Voraussetzung U, V ∈ Top(M )
mit p ∈ U , q ∈ V und U ∩V = ∅ existieren, folgt U ∩N, V ∩N ∈ Top(N ), p ∈ U ∩N ,
q ∈ V ∩ N und (U ∩ N ) ∩ (V ∩ N ) = (U ∩ V ) ∩ N = ∅.
2
Kompaktheit
Definition 1.18 (Kompaktheit). Sei M ein topologischer Raum.
(i) M heißt kompakt genau dann, wenn jede Überdeckung von M durch offene
Teilmengen von M besitzt eine endliche Teilüberdeckung; d.h. genauer:
Zu jeder Abbildung I → Top(M ), i ↦ Ui , einer beliebigen Menge I mit
⋃i∈I Ui ⊃ M existieren endlich viele i1 , . . . , ik ∈ I mit Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ⊃ M .
8
(ii) Sei N ⊂ M .
N heißt kompakte Teilmenge von M genau dann, wenn der Teilraum N
von M kompakt ist. D.h. genau, daß jede Überdeckung von N durch offene
Mengen des Teilraumes N von M eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
Es gilt:
N ist kompakt ⇐⇒ Jede Überdeckung von N durch
offene Teilmengen von M besitzt
(7)
eine endliche Teilüberdeckung.
[ Zu (7): „⇒“ Sei (Ui )i∈I eine Überdeckung von N durch offene Teilmengen von M . Dann ist (Ui ∩ N )i∈I eine Überdeckung von N durch offene
Teilmengen des Teilraumes N von M , welche nach Voraussetzung eine
endliche Teilüberdeckung
(Ui1 ∩ N ) ∪ . . . ∪ (Uik ∩ N ) ⊃ N
besitzt, d.h. (Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ) ∩ N ⊃ N .
„⇐“ Sei (Vi )i∈I eine Überdeckung von N durch offene Teilmengen des
Teilraumes N von M . Nach Definition der Teilraumtopologie existiert für
jedes i ∈ I eine offene Menge Ui von M mit Vi = Ui ∩ N . Dann ist (Ui )i∈I
eine Überdeckung von N durch offene Teilmengen von M , welche nach
Voraussetzung eine endliche Teilüberdeckung Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ⊃ N besitzt,
und es gilt auch Vi1 ∪ . . . ∪ Vik ⊃ N . ]
Beispiel.
1.) Jeder topologische Raum M mit #∣M ∣ < ∞ ist trivialerweise kompakt.
2.) R ist nicht kompakt, da die Überdeckung (] − n, n[)n∈N von R keine endliche Teilüberdeckung besitzt.
3.) Eine Teilmenge N von Rn , n ∈ N+ , ist genau dann kompakt, wenn sie
beschränkt und abgeschlossen ist, s. u. 1.47.
̂ = R∪{∞, −∞} ist kompakt, vgl. Übung 3.4(iii).
4.) Der Topologische Raum R
̂
R heißt deshalb auch die Zweipunkt-Kompaktifizierung von R.
Satz 1.19 (Abgeschlossene Teilmengen von Kompakta sind kompakt). Seien
M ein topologischer Raum, K eine kompakte Teilmenge von M und A eine abgeschlossene Teilmenge von M mit A ⊂ K. Dann ist A eine kompakte Teilmenge
von M .
Beweis. Sei (Ui )i∈I eine Überdeckung von A durch offene Teilmengen von
M . Dann ist (Ui )i∈I zusammen mit der offenen Menge M ∖ A eine offene Überdeckung von K (sogar von M ) durch offene Teilmengen von M . Wegen der
Kompaktheit von K existieren daher endlich viele i1 , . . . , ik ∈ I mit
K ⊂ Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ∪ (M ∖ A),
9
also gilt auch (wegen A ⊂ K)
A ⊂ Ui1 ∪ . . . ∪ Uik .
Nach (7) ist damit die Kompaktheit von A gezeigt.
2
Satz 1.20 (Kompaktheitstreue stetiger Abbildungen). Seien f ∶ M → N eine
stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen und K eine kompakte Teilmenge von M . Dann ist f (K) eine kompakte Teilmenge von N .
Beweis. Sei (Vi )i∈I eine Überdeckung von f (K) durch offene Teilmengen
1
von N . Wegen der Stetigkeit von f ist Ui ∶= f (Vi ) für jedes i ∈ I eine offene
Teilmenge von M , und es gilt
⋃ Ui = ⋃ f (Vi ) = f (⋃ Vi ) ⊃ f (f (K)) ⊃ K.
1
i∈i
i∈I
1
1
i∈I
Daher ist (Ui )i∈I eine Überdeckung von K durch offene Teilmengen von M .
Wegen der Kompaktheit von K existieren i1 , . . . , ik ∈ I mit
Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ⊃ K,
also gilt auch
Vi1 ∪ . . . ∪ Vik ⊃ f (Ui1 ) ∪ . . . ∪ f (Uik ) = f (Ui1 ∪ . . . ∪ Uik ) ⊃ f (K),
d.h. f (K) ist kompakt.
2
Satz 1.21 (Kompakte Teilmengen von Hausdorff-Räumen sind abgeschlossen).
Vor.: Sei M ein Hausdorff-Raum.
Beh.: Ist K eine kompakte Teilmenge von M , so ist K abgeschlossen in M .
Beweis. Zu zeigen ist, daß M ∖ K eine offene Teilmenge von M ist. Wir
zeigen
∀p∈M ∖K ∃Wp ∈U ○(p,M ) Wp ∈ M ∖ K.
(8)
Aus (8) folgt offenbar M ∖ K = ⋃p∈M ∖K Wp , und diese Menge ist nach (T2) offen
in M .
Zu (8): Sei p ∈ M ∖ K fest gewählt. Da M hausdorffsch ist, existieren zu
jedem q ∈ K
Uq ∈ U ○(q, M ) und Vq ∈ U ○(p, M )
mit Uq ∩ Vq = ∅.
(Uq )q∈K ist eine Überdeckung von K durch offene Teilmengen von M . Wegen
der Kompaktheit von K existieren daher endlich viele Punkte q1 , . . . , qk ∈ K mit
Uq1 ∪ . . . ∪ Uqk ⊃ K. Nach (T3) gilt
und es folgt
Wp ∶= Vq1 ∪ . . . ∪ Vqk ∈ U ○(p, M ),
K ∩ Wp ⊂ (Uq1 ∪ . . . ∪ Uqk ) ∩ Wp = ( Uq1 ∩ Wp ) ∪ . . . ∪ ( Uqk ∩ Wp ) = ∅,
°
°
⊂Vq1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⊂Uq1 ∩Vq1 =∅
d.h. es gilt (8).
⊂Vqk
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
⊂Uqk ∩Vqk =∅
2
10
Satz 1.22 (Über die Stetigkeit der Umkehrabbildung).
Vor.: Sei f ∶ M → N eine bijektive stetige Abbildung zwischen topologischen
Räumen. Zusätzlich sei M kompakt und N hausdorffsch.
Beh.: Die Umkehrabbildung f −1 ∶ N → M ist stetig.
Beweis. Sei A ⊂ M eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von M . Nach
(5) genügt es zu zeigen, daß dann auch das Urbild von A unter f −1 eine abgeschlossene Teilmenge von N ist. Dieses Urbild ist gleich
{q ∈ N ∣ f −1 (q) ∈ A} = f (A).
f bij.
Wegen der Kompaktheit von M ist A nach 1.19 eine kompakte Teilmenge von
M , also ist nach 1.20 f (A) eine kompakte Teilmenge von N . Aus der HausdorffEigenschaft von N folgt schließlich mit 1.21, daß f (A) eine abgeschlossene Teilmenge von N ist.
2
Definition 1.23 (Homöomorphismus). Seien M und N topologische Räume.
(i) Sei f ∶ M → N eine Abbildung.
f heißt Homöomorphismus von M auf N genau dann, wenn f bijektiv und
stetig mit stetiger Umkehrabbildung ist.
(ii) M und N heißen zueinander homöomorph genau dann, wenn ein Homöomorphismus von M auf N existiert.
Zusammenhang und Wegzusammenhang
Definition 1.24 (Zusammenhang). Sei M ein topologischer Raum.
(i) M heißt zusammenhängend
∶⇐⇒ ∀U1 ,U2 ∈Top(M ) (M = U1 ⊍ U2 ⇒ U1 = ∅ ∨ U2 = ∅)
(ii) Sei N ⊂ M
N heißt zusammenhängende Teilmenge von M
∶⇐⇒ Der Teilraum N von M ist zusammenhängend.
⇐⇒ ∀U1 ,U2 ∈Top(M ) (N = (N ∩ U1 ) ⊍ (N ∩ U2 ) ⇒ N ∩ U1 = ∅ ∨ N ∩ U2 = ∅)
Beispiel.
1.) Die Teilmenge R∗ = R+ ⊍ R− von R ist nicht zusammenhängend.
2.) Die zusammenhängenden Teilmengen von R sind gerade die Intervalle, s.u.
1.26.
3.) Eine Teilmenge N des Teilraumes Q von R ist genau dann zusammenhängend, wenn #N ≤ 1, d.h. N = ∅ oder N einpunktig. (Beweis als Übung.)
Satz 1.25.
Vor.: Seien M ein topologischer Raum und (Ni )i∈I eine Familie zusammenhängender Teilmengen von M mit ⋂i∈I Ni ≠ ∅.
Beh.: Dann ist auch die Teilmenge ⋃i∈I Ni von M zusammenhängend.
11
Beweis. Seien U1 , U2 ∈ Top(M ) mit
⋃ Ni = ((⋃ Ni ) ∩ U1 ) ⊍ ((⋃ Ni ) ∩ U2 ) ⊂ U1 ∪ U2 .
i∈I
i∈I
i∈I
Nach Voraussetzung existiert p ∈ M mit p ∈ ⋂i∈I Ni ⊂ U1 ∪ U2 . Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen, daß p ∈ U1 . Dann folgt offenbar
∀i∈I Ni = (Ni ∩ U1 ) ⊍ (Ni ∩ U2 ),
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
p∈
also wegen des Zusammenhanges von Ni (nach Voraussetzung)
∀i∈I Ni ∩ U2 = ∅,
d.h. (⋃i∈I Ni ) ∩ U2 = ∅.
2
Satz 1.26. Für jede Teilmenge N von R gilt:
N zusammenhängende Teilmenge von R ⇐⇒ N ist ein Intervall.
Beweis. „⇒“ Angenommen N ist kein Intervall, d.h. es existieren t1 , t2 ∈ N
und c ∈ R ∖ N mit t1 < c < t2 . Dann sind U1 ∶= ] − ∞, c[ und U2 ∶= ]c, ∞[ zwei
offene Teilmengen von R mit
N ⊂ R ∖ {c} = U1 ⊍ U2 .
Dann gilt N = (N ∩ U1 ) ⊍ (N ∩ U2 ), d.h. N ist nicht zusammenhängend.
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
t1 ∈
t2 ∈
„⇐“ Angenommen N ist ein Intervall und N ist nicht zusammenhängend,
d.h. es existieren U1 , U2 ∈ Top(R) mit
N = (N ∩ U1 ) ⊍ (N ∩ U2 ).
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
≠∅
(9)
≠∅
Wir wählen a ∈ N ∩ U1 und b ∈ N ∩ U2 . Ohne Einschränkung gelte a < b. Wegen
der Intervalleigenschaft von N gilt
[a, b] ⊂ N.
Wir setzen
(10)
M ∶= {t ∈ [a, b] ∣ [a, t] ⊂ U1 } ∋ a
sowie c ∶= sup M ∈ [a, b] ⊂ N. Dann folgt zunächst
(10)
[a, c[ ⊂ U1 .
(11)
[ Zu (11): Angenommen es existiert ein s ∈ [a, c[ mit s ∉ U1 . Dann gilt
einerseits s < c und andererseits (nach Definition von M )
s > t für alle t ∈ M,
´¹¹ ¹¸ ¹ ¹ ¶
⇒[a,t]⊂U1
12
insbesondere ist s obere Schranke von M und s < c = sup M , Widerspruch! ]
Wir behaupten, daß dann gilt
c ∉ U1 ,
(12)
c ∉ U2 .
(13)
Aus (12), (13), c ∈ N und (9) ergibt sich ein Widerspruch.
[ Zu (12): Angenommen c ∈ U1 . Dann folgt aus (9) wegen c ∈ N : c ∉ U2 , also
wegen c ∈ [a, b] und b ∈ U2 : c ∈ [a, b], insbesondere c < b.
Hieraus folgt weiter wegen c ∈ U1 und der Offenheit von U1 in R die Existenz
einer Zahl ε ∈ R+ mit c + ε ≤ b und [c, c + ε] ⊂ U1 , also gilt auch nach (11):
[a, c + ε] = [a, c[ ∪ [c, c + ε] ⊂ U1 , also (nach Definition von M ) c + ε ∈ M , im
Widerspruch dazu, daß c obere Schranke von M ist. Damit ist (12) gezeigt.
Zu (13): Angenommen c ∈ U2 . Dann folgt aus (9) wegen c ∈ N : c ∉ U1 ,
also wegen a ∈ U1 : c ∈ ]a, b], insbesondere c > a. Hieraus folgt weiter wegen
c ∈ U2 und der Offenheit von U2 in R die Existenz einer Zahl c − ε ≥ a und
c − ε ∈ U2 , also auch nach (11): c − ε ∈ [a, c[ ⊂ U1 . Daher gilt c − ε ∈ U1 ∩ U2 und
c − ε ∈ [a, c] ⊂ [a, b] ⊂ N , im Widerspruch zu (9). Damit ist (13) gezeigt. ] 2
(10)
Definition 1.27 (Wegzusammenhang). Sei M ein topologischer Raum.
(i) Ein Weg in M ist per definitionem eine stetige Abbildung J → M eines
Intervalles J von R in M .
(ii) M heißt wegzusammenhängend genau dann, wenn zu je zwei Punkten
p, q ∈ M ein Weg c∶ [0, 1] → M in M mit c(0) = p und c(1) = q existiert.
(iii) Sei N ⊂ M .
N heißt wegzusammenhängende Teilmenge von M genau dann, wenn der
topologische Teilraum N von M wegzusammenhängend ist, d.h. genau,
daß zu je zwei Punkten p, q ∈ N ein Weg c∶ [0, 1] → N in N mit c(0) = p
und c(1) = q existiert. Nach 1.16(ii) ist dies genau dann der Fall, wenn zu
je zwei Punkten p, q ∈ N ein Weg c∶ [0, 1] → M in M mit c([0, 1]) ⊂ N ,
c(0) = p und c(1) = q existiert.
Bemerkung. Seien p, q ∈ M . Äquivalent zur Forderung der Existenz eines
Weges c∶ [0, 1] → M mit c(0) = p und c(1) = q ist die Forderung, daß a, b ∈ R
mit a < b und ein Weg c̃∶ [a, b] → M mit c̃(a) = p und c̃(b) = q existieren.
[ Definiere c ∶= c̃ ○ (a + (b − a)x). ]
Satz 1.28 ((Weg-)Zusammenhangstreue stetiger Abbildungen). Sei f ∶ M → N
eine stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen. Dann gilt:
(i) Ist Z eine zusammenhängende Teilmenge von M , so ist f (Z) eine zusammenhängende Teilmenge von N .
(ii) Ist W eine wegzusammenhängende Teilmenge von M , so ist f (W ) eine
wegzusammenhängende Teilmenge von N .
13
Beweis. Zu (i): Seien Z eine zusammenhängende Teilmenge von M und
U1 , U2 ∈ Top(N ) mit f (Z) = (f (Z) ∩ U1 ) ⊍ (f (Z) ∩ U2 ). Da f stetig ist, folgt
1
1
1
1
f (U1 ), f (U2 ) ∈ Top(M ). Weiterhin gilt Z = (Z ∩f (U1 ))⊍(Z ∩f (U2 )). Wegen
1
des Zusammenhanges von Z existiert daher i ∈ {1, 2} mit Z ∩ f (Ui ) = ∅, also
f (Z) ∩ Ui = ∅.
Zu (ii): Seien W eine wegzusammenhängende Teilmenge von M und
p̃, q̃ ∈ f (W ), etwa p̃ = f (p), q̃ = f (q) mit p, q ∈ W . Wegen des Wegzusammenhanges von W existiert ein Weg c∶ [0, 1] → M mit c([0, 1]) ⊂ W , c(0) = p
und c(1) = q. Dann ist f ○ c∶ [0, 1] → N ein Weg mit (f ○ c)([0, 1]) ⊂ f (W ),
(f ○ c)(0) = p̃ und (f ○ c)(1) = q̃.
2
Satz 1.29. Sei M ein topologischer Raum. Dann gilt:
(i) M wegzusammenhängend Ô⇒ M zusammenhängend.
(ii) N wegzusammenhängende Teilmenge von M
Ô⇒ N zusammenhängende Teilmenge von M .
Beweis. (ii) folgt sofort aus (i) durch Anwendung auf den Teilraum N von
M.
Zu (i): Sei also M wegzusammenhängend und seien U1 , U2 ∈ Top(M ) mit
M = U1 ⊍ U2 . Zu zeigen ist U1 = ∅ oder U2 = ∅. Angenommen dies ist falsch,
dann existieren p1 ∈ U1 und p2 ∈ U2 . Wegen des Wegzusammenhanges von M
existiert ein Weg c∶ [0, 1] → M mit c(0) = p1 und c(1) = p2 . Da [0, 1] nach 1.26
zusammenhängend ist, folgt nach 1.28, daß auch c([0, 1]) eine zusammenhängende Teilmenge von M ist. Andererseits gilt wegen M = U1 ⊍ U2
c([0, 1]) = (c([0, 1]) ∩ U1 ) ⊍ (c([0, 1]) ∩ U2 ),
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
p2 ∈
p1 ∈
also ist c([0, 1]) nicht zusammenhängend, Widerspruch!
2
Bemerkung.
1.) Eine Teilmenge von R ist genau dann wegzusammenhängend, wenn sie
zusammenhängend ist, d.h. genau (nach 1.26), wenn sie ein Intervall ist.
[ Intervalle sind nämlich offenbar wegzusammenhängende Teilmengen von
R. ]
2.) Eine offene Teilmenge eines normierten R-Vektorraumes ist ebenfalls genau dann wegzusammenhängend, wenn sie zusammenhängend ist, vgl.
Übung 4.4(iii).
3.) N ∶= Graph(sin( x1 ∣R+ )) ∪ ({0} × [−1, 1]) ist eine zusammenhängende aber
nicht wegzusammenhängende Teilmenge des R2 , vgl. Übung 3.5.
14
Offener Kern und abgeschlossene Hülle sowie innere, Berührungs- und Häufungspunkte
Definition 1.30 (offener Kern, abgeschlossene Hülle). Seien M ein topologischer Raum und N ⊂ M .
(i) Wir definieren den offenen Kern von N in M als
○
N ∶=
⋃
U.
U ∈Top(M ),U ⊂N
○
○
Nach (T2) ist N offen in M , also ist N offenbar die größte offene Teilmenge
von M , die in N enthalten ist.
(ii) Die abgeschlossene Hülle von M in N ist definiert als
N ∶=
⋂
A.
A⊂M abgeschlossen,A⊃N
Nach Übung 1.3 ist N abgeschlossen in M , also ist N offenbar die kleinste
abgeschlossene Teilmenge von M , die N umfaßt.
(iii) Aus der obigen Definition folgt sofort
○
N ⊂ N ⊂ N,
N offen in M ⇐⇒ N = N ,
○
N abgeschlossen in M ⇐⇒ N = N .
Beispiel. M = R, N = ]0, 1] Ô⇒ N = ]0, 1[ ∧ N = [0, 1]
○
Satz 1.31. Seien M ein topologischer Raum und N ⊂ M . Dann gilt:
(i) N = {p ∈ M ∣ ∃U ∈U ○(p,M ) U ⊂ N }.
○
Einen Punkt p ∈ M mit ∃U ∈U ○(p,M ) U ⊂ N nennen wir einen inneren Punkt
von N in M .
(ii) N = {p ∈ M ∣ ∀U ∈U ○(p,M ) U ∩ N ≠ ∅}.
Einen Punkt p ∈ M mit ∀U ∈U ○(p,M ) U ∩ N ≠ ∅ nennen wir einen Berührungspunkt von N in M .
Beweis. Zu (i): „⊂“ Sei p ∈ N . Dann existiert nach 1.30(i) ein U ∈ Top(M )
mit U ⊂ N und p ∈ U , also U ∈ U ○(p, M ) mit U ⊂ N , d.h. p ist innerer Punkt
von N in M .
„⊃“ Sei p ein innerer Punkt von N in M . Dann existiert U ∈ U ○(p, M ) mit
○
○
U ⊂ M , also p ∈ N .
Zu (ii): „⊂“ Sei p ∈ N . Angenommen p ist kein Berührungspunkt von N in
M , d.h. es existiert U ∈ U ○(p, M ) mit U ∩ N = ∅. Dann ist A ∶= M ∖ U eine
15
abgeschlossene Teilmenge von M mit A ⊃ N , folglich nach 1.30(ii): N ⊂ A,
insbesondere wegen p ∈ N : p ∈ A = M ∖ U , im Widerspruch zu U ∈ U ○(p, M ).
„⊃“ Sei p Berührungspunkt von N in M . Zu zeigen ist p ∈ N , d.h. für jede
abgeschlossene Teilmenge A von M mit A ⊃ N gilt p ∈ N . Angenommen dies ist
falsch, d.h. es existiert eine abgeschlossene Teilmenge A von M mit A ⊃ N und
p ∉ A. Dann ist U ∶= M ∖ A offen in M , und es gilt p ∈ U , also U ∈ U ○(p, M ),
folglich (da p Berührungspunkt von N in M ): U ∩ N ≠ ∅, im Widerspruch zu
N ⊂ A.
2
Satz 1.32. Seien M ein topologischer Raum und N eine zusammenhängende
Teilmenge von M . Dann ist auch N eine zusammenhängende Teilmenge von
M.
Beweis. Seien U1 , U2 ∈ Top(M ) mit N = (N ∩ U1 ) ⊍ (N ∩ U2 ). Wegen N ⊂ N
gilt dann auch N = (N ∩ U1 ) ⊍ (N ∩ U2 ). Da N nach Voraussetzung zusammenhängend ist, existiert i ∈ {1, 2} mit N ∩ Ui = ∅. Dann ist A ∶= M ∖ Ui eine
abgeschlossene Teilmenge von N mit A ⊃ N , also nach Definition von N
N ⊂ A = M ∖ Ui ,
d.h. genau N ∩ Ui = ∅.
2
Definition 1.33 (Häufungspunkt). Seien M ein topologischer Raum, N ⊂ M
und p ∈ N .
p heißt Häufungspunkt von N (in M ) ∶⇐⇒ ∀U ∈U ○(p,M ) U ∩ (N ∖ {p}) ≠ ∅.
Bemerkung.
1.) p Häufungspunkt von N Ô⇒ p ∈ N.
Die Rückrichtung ist i.a. falsch.
2.) Ein Element von N braucht nicht Häufungspunkt von N zu sein.
3.) Ein Häufungspunkt von N braucht nicht Element von N zu sein.
4.) Im Spezialfall M = R stimmt obige Definition mit der Definition der Analysis I überein.
Beispiel.
1.) Die Menge aller Häufungspunkte von Z in R ist gleich ∅ ⫋ Z = Z.
2.) Die Menge aller Häufungspunkte von Q in R ist gleich R = Q.
Satz 1.34. Seien M ein topologischer Raum und N ⊂ M . Dann gilt:
N abgeschlossene Teilmenge von M
⇐⇒ ∀p∈M (p Häufungspunkt von N ⇒ p ∈ N ).
Beweis. „⇒“ Angenommen es existiert ein Häufungspunkt p von N derart,
daß gilt p ∉ N . Dann folgt p ∈ M ∖N und M ∖N ist wegen der Abgeschlossenheit
von N offen in M , also
M ∖ N ∈ U ○(p, M )
und
(M ∖ N ) ∩ (N ∖ {p}) = ∅,
16
im Widerspruch dazu, daß p ein Häufungspunkt von N ist.
„⇐“ Sei p ∈ M ∖ N beliebig. Nach Voraussetzung ist p nicht Häufungspunkt
von N , also existiert U ∈ U ○(p, M ) mit U ∩N = U ∩(N ∖{p}) = ∅, d.h. U ⊂ M ∖N ,
folglich ist p innerer Punkt von M ∖ N in M .
̂
Damit ist gezeigt (vgl. 1.30) M ∖ N = M
∖ N , d.h. M ∖ N ist offen in M ,
also ist N abgeschlossen in M .
2
○
Der Satz von Bolzano-Weierstraß und Äquivalenz von Normen
Satz 1.35. Sei V ein normierter R-Vektorraum (mit Norm ∥ . . . ∥), (also ist
V auch metrischer Raum sowie hausdorff topologischer Raum nach 1.8.)
(i) ∥ . . . ∥∶ V → R ist stetig.
(ii) Die Addition sowie die Subtraktion . . . ± . . . ∶ V × V → V und die skalare
Multiplikation . . . ⋅ . . . ∶ R × V → V sind stetig.
Wir bereiten den Beweis von 1.35 durch das folgende Lemma vor:
Lemma. Sei V ein normierter R-Vektorraum. Für alle v, w ∈ V gilt
∥v∥ − ∥w∥ ≤ ∣∥v∥ − ∥w∥∣ ≤ ∥v − w∥.
Beweis. Die erste Ungleichung ist trivial, und die zweite gilt, weil aus
∥v∥ = ∥(v − w) + w∥ ≤ ∥v − w∥ + ∥w∥,
∥w∥ = ∥(w − v) + v∥ ≤ ∥w − v∥ + ∥v∥ = ∥v − w∥ + ∥v∥
sowohl ∥v∥ − ∥w∥ ≤ ∥v − w∥ als auch − (∥v∥ − ∥w∥) ≤ ∥v − w∥ folgt.
2
Beweis des Satzes. Wir verwenden 1.14. Seien v, w ∈ V und (vn )n∈N , (wn )n∈N
Folgen in V mit limn→∞ vn = v sowie limn→∞ wn = w. Ferner sei λ ∈ R und
(λn )n∈N eine reelle Folge mit limn→∞ λn = λ.
(i) gilt, da aus dem Lemma für alle n ∈ N folgt
∣∥vn ∥ − ∥v∥∣ ≤ ∥vn − v∥ Ð→ 0,
n→∞
d.h. es gilt limn→∞ ∥vn ∥ = ∥v∥.
Zu (ii): Für n ∈ N gilt
∥(vn ± wn ) − (v ± w)∥ = ∥(vn − v) ± (wn − w)∥ ≤ ∥(vn − v)∥ + ∥(wn − w)∥ Ð→ 0
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n→∞
n→∞
n→∞
Ð→ 0
Ð→ 0
und
∥λn vn − λ v∥ = ∥λn (vn − v) + (λn − λ) v∥
≤ ∥λn (vn − v)∥ + ∥(λn − λ) v∥ = ∣λn ∣ ∥vn − v∥ + ∣λn − λ∣ ∥v∥ .
° ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
n→∞
n→∞
n→∞
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n→∞
Ð→ 0
Ð→ λ
Hieraus folgt die Behauptung.
17
Ð→ 0
Ð→ 0
2
Bemerkung. Wir rufen uns kurz die folgende Definition der Beschränktheit
einer Teilmenge eines normierten R-Vektorraumes aus der Analysis in Erinnerung:
Sei V ein normierter R-Vektorraum (mit Norm ∥ . . . ∥).
(i) Eine Teilmenge M von V heißt beschränkt genau dann, wenn C ∈ R existiert mit ∀p∈M ∥p∥ ≤ C.
(ii) Eine Folge in V heißt beschränkt genau dann, wenn die Menge ihrer Folgenglieder beschränkt ist.
Lemma 1.36 (Satz von Bolzano-Weierstraß für (Rn , ∥ . . . ∥∞ )). Sei n ∈ N+ .
(i) (Folgenversion)
Jede beschränkte Folge in (Rn , ∥ . . . ∥∞ ) besitzt eine konvergente Teilfolge.
(ii) (Teilmengenversion)
Jede beschränkte unendliche Teilmenge von (Rn , ∥ . . . ∥∞ ) besitzt (mindestens) einen Häufungspunkt.
Beweis. (i) ist Übung 2.1(iii).
Zu (ii): Sei M eine beschränkte unendliche Teilmenge von (Rn , ∥ . . . ∥∞ ). Die
Unendlichkeit von M bedeutet genau die Existenz einer injektiven Abbildung
N Ð→ M, k z→ pk .
(14)
Da M beschränkt ist, so auch (pk )k∈N , also besitzt (pk )k∈N nach (i) eine
gegen ein p ∈ Rn bzgl. ∥ . . . ∥∞ konvergente Teilfolge (pi(k) )k∈N .
Wir behaupten, daß p Häufungspunkt von M in Rn ist.
Beweis hiervon: Sei U ∈ U ∈ U ○(p, Rn ) beliebig. Wegen limk→∞ pi(k) = p
existiert k0 ∈ N mit ∀k∈N,k≥k0 pik ∈ U . Aus der Injektivität der Abbildung (14)
folgt, daß pi(k1 ) = p für höchstens ein k1 ∈ N gilt, also existiert pik2 ∈ U ∖ {p},
d.h. U ∩ (M ∖ {p}) ≠ ∅.
2
Definition 1.37 (Äquivalenz von Normen). Sei V ein R-Vektorraum. Für je
zwei Normen ∥ . . . ∥, ∥ . . . ∥∗ für V definieren wir
∥ . . . ∥ ∼ ∥ . . . ∥∗ (in Worten ∥ . . . ∥ ist äquivalent zu ∥ . . . ∥∗ )
∶⇐⇒ Top(V, ∥ . . . ∥) = Top(V, ∥ . . . ∥∗ ). 3
Bemerkung. ∼ ist offenbar eine Äquivalenzrelation in der Menge aller Normen
für V .
Satz 1.38. Seien V ein R-Vektorraum und ∥ . . . ∥, ∥ . . . ∥∗ zwei Normen für V .
Dann gilt:
∥ . . . ∥ ∼ ∥ . . . ∥∗
(i)
⇐⇒ idV ∶ (V, ∥ . . . ∥) Ð→ (V, ∥ . . . ∥∗ ) ist ein Homöomorphismus
3
D.h. (V, ∥ . . . ∥) und (V, ∥ . . . ∥∗ ) induzieren auf V dieselbe Topologie, d.h. (V, ∥ . . . ∥) und
(V, ∥ . . . ∥∗ ) haben dieselben offenen Mengen, stimmen also als topologische Räume überein.
18
(ii)
⇐⇒ ∃C,D∈R+ ∀v∈V ∥v∥∗ ≤ C ∥v∥ ∧ ∥v∥ ≤ D ∥v∥∗ .
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
1
⇔D
∥v∥≤∥v∥∗ ≤C∥v∥
1
⇔ C ∥v∥∗ ≤∥v∥≤D∥v∥∗
Beweis. Zu (i): Nach Definition der Äquivalenz von Normen bedeutet die
linke Seite genau
Top(V, ∥ . . . ∥) ⊂ Top(V, ∥ . . . ∥∗ ) ∧ Top(V, ∥ . . . ∥∗ ) ⊂ Top(V, ∥ . . . ∥),
d.h. genau, daß idV ∶ (V, ∥ . . . ∥∗ ) → (V, ∥ . . . ∥), idV ∶ (V, ∥ . . . ∥) → (V, ∥ . . . ∥∗ ) stetig sind, d.h. genau, daß idV ∶ (V, ∥ . . . ∥) → (V, ∥ . . . ∥∗ ) ein Homöomorphismus
ist.
Zu (ii): Nach Übung 3.1(i) ist die linke Seite von (ii) äquivalent zu
∃D∈R+ ∀v∈V ∥v∥ ≤ D ∥v∥∗ ∧ ∃C∈R+ ∀v∈V ∥v∥∗ ≤ C ∥v∥,
beachte, daß idV ∶ V → V linear ist.
2
Lemma 1.39. Sei n ∈ N+ . Je zwei Normen für Rn sind äquivalent.
Beweis. Da ∼ eine Äquivalenzrelation ist, genügt es zu zeigen, daß jede Norm
∥ . . . ∥ für Rn äquivalent zur Maximumsnorm ∥ . . . ∥∞ für Rn ist, welches nach
1.38 genau heißt, daß gilt
∃C∈R+ ∀a∈Rn ∥a∥ ≤ C ∥a∥∞ ,
∃D∈R+ ∀a∈Rn ∥a∥∞ ≤ D ∥a∥.
(15)
(16)
Zu (15): Sei {e1 , . . . , en } die kanonische Basis für Rn . Dann folgt für alle
a = ∑ni=1 ai ei ∈ Rn mit C ∶= ∑ni=1 ∥ei ∥ ∈ R+
n
n
i=1
i=1
∥a∥ ≤ ∑ ∣ai ∣∥ei ∥ ≤ ∥a∥∞ ∑ ∥ei ∥ = C ∥a∥∞ .
Zu (16): Wir setzen
δ ∶= inf{∥b∥ ∣ b ∈ Rn ∧ ∥b∥∞ = 1}
(17)
und zeigen zunächst, daß gilt
δ > 0.
mit
(18)
[ Zu (18): Nach Definition von δ existiert offenbar eone Folge (bk )k∈N in Rn
∀k∈N ∥bk ∥∞ = 1 und δ = lim ∥bk ∥.
(19)
lim bk = b in (Rn , ∥ . . . ∥∞ )
(20)
k→∞
Als beschränkte Folge in Rn bzgl. ∥ . . . ∥∞ besitzt (bk )k∈N nach 1.36(i) eine in
(Rn , ∥ . . . ∥∞ ) konvergente Teilfolge. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß b ∈ Rn mit
k→∞
19
existiert. Da wir (15) bereits gezeigt haben, folgt dann auch
lim bk = b in (Rn , ∥ . . . ∥).
k→∞
(21)
Nach 1.35(i) sind ∥ . . . ∥∞ ∶ (Rn , ∥ . . . ∥∞ ) → R und ∥ . . . ∥∶ (Rn , ∥ . . . ∥) → R stetig,
also folgt zunächst aus (20) ∥b∥∞ = limk→∞ ∥bk ∥∞ = 1, insbesondere also b ≠ 0,
und sodann aus (21)
(19)
0 < ∥b∥ = lim ∥bk ∥ = δ.
(19)
k→∞
Damit ist (18) gezeigt. ]
Sei nun a ∈ Rn ∖ {0} beliebig. Dann folgt aus (17) wegen ∥ ∥a∥a∞ ∥∞ = 1
δ≤∥
also wegen (18)
∥a∥
a
∥=
,
∥a∥∞
∥a∥∞
∥a∥∞ ≤
1
∥a∥.
δ
Damit ist gezeigt, daß (16) mit D ∶= 1δ R+ gilt.
2
Satz 1.40. Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum. Dann sind je zwei
Normen für V äquivalent.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei n ∶= dim V ∈ N+ . Wie oben
bezeichne {e1 , . . . , en } die kanonische Basis von Rn . Wähle eine Basis {b1 , . . . , bn }
von V . Dann ist
Rn Ð→ V,
n
n
i=1
i=1
∑ λi ei z→ ∑ λi bi
ein R-Vektorraum-Isomorphismus. Unter diesem Isomorphismus entsprechen offenbar den Normen für Rn umkehrbar eindeutig die Normen für V , wobei äquivalente Normen für Rn äquivalenten Normen für V entsprechen. Damit folgt
1.40 aus 1.39.
2
Bemerkung. Sei V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum.
1.) V besitzt aufgrund des letzten Satzes eine kanonische Topologie, definiert
durch
Top(V ) ∶= Top(V, ∥ . . . ∥), wobei ∥ . . . ∥ beliebige Norm für V.
Top(V ) heißt die kanonische Topologie oder auch die Normtopologie von
V . Wir betrachten im folgenden jeden endlich-dimensionalen R-Vektorraum als topologischen Raum mit dieser Topologie.
2.) Sei M ⊂ V .
M heißt beschränkte Teilmenge von V genau dann, wenn M eine beschränkte Teilmenge von (V, ∥ . . . ∥) ist, wobei ∥ . . . ∥ eine beliebige Norm
für V sei. Diese Definition ist nach dem letzten Satz und 1.38 unabhängig
von der speziellen Wahl von ∥ . . . ∥.
20
3.) Eine Folge in V heißt genau dann beschränkt , wenn die Menge ihrer Folgenglieder eine beschränkte Teilmenge von V ist.
Satz 1.41 (Satz von Bolzano-Weierstraß).
R-Vektorraum.
Sei V ein endlich-dimensionaler
(i) (Folgenversion)
Jede beschränkte Folge in V besitzt eine konvergente Teilfolge.
(ii) (Teilmengenversion)
Jede beschränkte unendliche Teilmenge von V besitzt (mindestens) einen
Häufungspunkt.
Beweis. Klar nach 1.36 und 1.40.
2
Folgenkompaktheit und der Satz von Heine-Borel
Definition 1.42 (Folgenkompaktheit). Sei M ein topologischer Raum.
(i) M heißt folgenkompakt genau dann, wenn jede Folge in M eine in M
konvergente Teilfolge besitzt.
(ii) Sei N ⊂ M .
N heißt folgenkompakte Teilmenge von M genau dann, wenn der Teilraum
N von M folgenkompakt ist, d.h. genau, daß jede Folge in N eine in N
konvergente Teilfolge besitzt.
Definition 1.43. Sei M ein metrischer Raum mit Metrik d.
(i) Sei N eine nicht-leere Teilmenge von M . Wir definieren den Durchmesser
von N als
diam(M ) ∶= sup{d(p, q) ∣ p, q ∈ N } ∈ [0, ∞].
N heißt beschränkt ∶⇐⇒ diam(N ) < ∞.
Im Spezialfalle eines normierten oder endlich-dimensionalen R-Vektorraumes stimmt diese Definition der Beschränktheit offenbar mit den obigen
überein.
(ii) Seien N1 , N2 zwei nicht-leere Teilmengen von M . Wir definieren dann den
Abstand von N1 und N2 als
d(N1 , N2 ) ∶= inf{d(p1 , p2 ) ∣ p1 ∈ N1 ∧ p2 ∈ N2 } ∈ [0, ∞[.
Satz 1.44 (Lebesgue-Lemma).
Vor.: Seien M ein metrischer Raum, K eine folgenkompakte Teilmenge von
M , I eine beliebige Menge und (Gi )i∈I eine Überdeckung von M durch offene
Teilmengen von M .
Beh.: Es existiert eine Zahl ε ∈ R+ mit
∀p∈K ∃i∈I Uε (p) ⊂ Gi .
(22)
Jedes ε ∈ R+ mit (22) heißt eine Lebesguesche Zahl der offenen Überdeckung
(Gi )i∈I .
21
Bemerkung. Aus (22) folgt insbesondere
∀A⊂K,A≠∅ (diam(A) < ε Ô⇒ ∃i∈I A ⊂ Gi )
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
(23)
⇒∀p∈A A⊂Uε (p)
und Uε (K) ∶= ⋃p∈K Uε (p) ⊂ ⋃i∈I Gi .
Uε (K) heißt die ε-Umgebung von K.
Beweis. Angenommen die Behauptung ist falsch, d.h.
∀ε∈R+ ∃p∈K ∀i∈I Uε (p) ⊄ Gi .
Dann existiert zu jedem n ∈ N+ ein Punkt pn ∈ K mit
∀i∈I U 1 (pn ) ⊄ Gi .
(24)
n
Wegen der Folgenkompaktheit von K können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß p ∈ K mit
lim pn = p
(25)
n→∞
existiert.
(Gi )i∈I ist eine Überdeckung von K ∋ p, also existiert j ∈ I mit p ∈ Gj , und
wegen der Offenheit von Gj existiert weiter eine Zahl δ ∈ R+ mit
Uδ (p) ⊂ Gj .
(26)
Wegen limn→∞ n1 = 0 und (25) existiert m ∈ N+ mit
1 δ
δ
<
und d(pm , p) < .
m 2
2
(27)
Hieraus folgt schließlich
∀q∈U 1 (pm ) d(q, p) ≤ d(q, pm ) + d(pm , p) <
m
(27)
1
+ d(pm , p) < δ,
m
also U 1 (pm ) ⊂ Uδ (p) ⊂ Gj , im Widerspruch zu (24).
(26)
m
2
Lemma 1.45. Seien M ein metrischer Raum und K eine folgenkompakte Teilmenge von M . Dann ist K präkompakt, d.h. per definitionem
∀ε∈R+ ∃N ⊂K,#N <∞ K ⊂ ⋃ Uε (p).
p∈N
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gelte K ≠ ∅. Wir bezeichnen
̃
mit P(K)
⊂ P(K) die Menge aller endlichen Teilmengen von K.
Angenommen das Lemma gilt nicht, d.h. es existiert ε ∈ R+ mit
∀N ∈P(K)
K ⊄ ⋃ Uε (p) .
̃
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
p∈N
⇔K∖⋃p∈N Uε (p)≠∅
22
̃
Nach dem Auswahlaxiom existiert dann eine Abbildung ϕ∶ P(K)
→ K mit
∀N ∈P(K)
ϕ(N ) ∈ K ∖ ⋃ Uε (p).
̃
(28)
p∈N
Wir wählen p0 ∈ K und definieren rekursiv
∀n∈N pn+1 ∶= ϕ({p0 , . . . , pn }) ∈ K.
(29)
∀j,k∈N (j < k Ô⇒ d(pj , pk ) ≥ ε) .
(30)
Dann ist (pn )n∈N eine Folge in K, und es gilt
[ Denn für j < k gilt j ≤ k − 1 und daher
pk = ϕ({p0 , . . . , pk−1 }) ∈ (K ∖ ⋃ Uε (pi )) ⊂ K ∖ Uε (pj ),
k−1
(28)
(29)
i=0
also d(pk , pj ) ≥ ε. ]
Aufgrund der Folgenkompaktheit können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß p ∈ K mit limn→∞ pn = p existiert. Dann existiert ein
n0 ∈ N mit
ε
∀n∈N,n≥n0 d(pn , p) < ,
2
also auch
∀ m,n∈N d(pn , pm ) ≤ d(pn , p) + d(p, pm ) < ε,
n0 ≤n<m
im Widerspruch zu (30).
2
Satz 1.46.
Vor.: Seien M ein metrischer Raum und K eine Teilmenge von M .
Beh.: K kompakt ⇐⇒ K folgenkompakt.
Beweis. „⇒“ Sei K kompakt und angenommen K ist nicht folgenkompakt.
Dann existiert eine Folge (pn )n∈N in K derart, daß keine ihrer Teilfolgen gegen
ein Element von K konvergiert. Wir behaupten
∀q∈K ∃ε∈R+ #{r ∈ N ∣ pr ∈ Uε (q)} < ∞.
(31)
[ Zu (1): Angenommen es existiert q ∈ K mit
∀ε∈R+ #{r ∈ N ∣ pr ∈ Uε (q)} = ∞.
Wir definieren dann rekursiv eine Teilfolge (in )n∈N+ von (n)n∈N durch
i1 ∶= min {r ∈ N ∣ pr ∈ U1 (q)}
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
(32)
≠ ∅
und
∀n∈N+ in+1 ∶= min {r ∈ N ∣ r > in ∧ pr ∈ U 1 (q)} .
n+1
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
(32)
≠ ∅
23
(32)
Dann ist (pin )n∈N+ eine Teilfolge von (pn )n∈N , und wegen pin ∈ U 1 (q) für alle
n
n ∈ N+ konvergiert diese Teilfolge gegen q ∈ K im Widerspruch zu oben. ]
Zu jedem q ∈ K können wir gemäß (31) eine Zahl εq ∈ R+ wählen mit
#{r ∈ N ∣ pr ∈ Uεq (q)} < ∞.
(33)
Dann ist (Uεq (q))q∈K eine offene Überdeckung von K. Wegen der Kompaktheit
von K existieren endlich viele Punkte q1 , . . . , qm ∈ K mit
K ⊂ ⋃ Uεqj (qj ).
m
j=1
Hieraus folgt
N = ⋃ {r ∈ N ∣ pr ∈ Uεqj (qj )},
m
j=1
und die rechte Seite ist nach (33) eine endliche Menge, im Widerspruch dazu,
daß N bekanntlich eine unendliche Menge ist.
„⇐“ Seien K folgenkompaktund (Gi )i∈I eine beliebige Überdeckung von K
durch offene Teilmengen von M . Wähle gemäß 1.44 eine Lebesgue Zahl ε ∈ R+
dieser Überdeckung, d.h.
∀p∈K ∃i∈I Uε (p) ⊂ Gi .
(34)
Nach 1.45 ist K präkompakt, d.h. es existieren p1 , . . . , pm ∈ K mit
K ⊂ ⋃ Uε (pj ).
m
(35)
j=1
Wähle zu jedem j ∈ {1, . . . , m} gemäß (34) ein ij ∈ I mit Uε (pj ) ⊂ Gij . Dann
folgt aus (35)
m
K ⊂ ⋃ Gij .
j=1
Damit ist die Kompaktheit von K bewiesen.
2
Übungsaufgabe.
Vor.: Seien M ein metrischer Raum und K ⊂ M .
Beh.: K kompakt Ô⇒ K beschränkt und abgeschlossen.
Beweis. Da M als metrischer Raum insbesondere hausdorffsch ist, folgt aus
1.21, daß K eine abgeschlossene Teilmenge von M ist. Zu zeigen bleibt, daß K
beschränkt ist.
Wäre K nicht beschränkt, so existierten Folgen (pn )n∈N , (qn )n∈N in K mit
limn→∞ d(pn , qn ) = ∞. Da K nach 1.46 folgenkompakt ist, können wir zunächst
ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß (pn )n∈N gegen ein p ∈ K
konvergiert. Sodann können wir ebenfalls annehmen, daß (qn )n∈N gegen ein q ∈ K
konvergiert. Nun folgt für jedes n ∈ N
d(pn , qn ) ≤ d(pn , p) + d(p, q) + d(q, qn ) Ð→ d(p, q) < ∞,
n→∞
im Widerspruch zu limn→∞ d(pn , qn ) = ∞.
24
2
Satz 1.47 (Satz von Heine-Borel).
Vor.: Seien V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und K ⊂ V .
Beh.: K kompakt ⇐⇒ K beschränkt und abgeschlossen.
Beweis. „⇒“ vgl. obige Übungsaufgabe.
„⇐“ Nach 1.46 genügt es zu zeigen, daß K folgenkompakt ist. Sei (vn )n∈N eine
Folge in K. Dann ist (vn )n∈N nach Voraussetzung beschränkt, besitzt also nach
Bolzano-Weierstraß 1.41(i) eine konvergente Teilfolge (vin )n∈N , d.h. es existiert
v ∈ V mit limn→∞ vin = v. Wegen der Abgeschlossenheit von K gilt dann auch
v ∈ K, vgl. die Übungsaufgabe auf Seite 5. Damit ist die Folgenkompaktheit von
K bewiesen.
2
Bemerkung. In der Funktionalanalysis beweist man, daß für einen normierten
R-Vektorraum V die folgenden drei Aussagen paarweise äquivalent sind:
(i) dim V < ∞.
(ii) Die Einheitsvollkugel {v ∈ V ∣ ∥v∥ = 1} ist kompakt.
(iii) In V gilt der Satz von Heine-Borel, d.h.
∀K⊂V K kompakt ⇐⇒ K beschränkt und abgeschlossen.
Vollständige metrische Räume
Definition 1.48 (Cauchy-Folge, vollständiger metrischer Raum, R-Banachraum).
(i) Seien M ein und (pn )n∈N eine Folge in M .
(pk )k∈N heißt Cauchy-Folge (in M )
∶⇐⇒ ∀ε∈R+ ∃n0 ∈N ∀n,m∈N (n ≥ n0 ∧ m ≥ n0 ⇒ d(pn , pm ) < ε).
Dann folgt:
(pn )n∈N konvergiert in M Ô⇒ (pn )n∈N Cauchy-Folge in M .
[ Denn sind p in M , (pn )n∈N konvergent gegen p und ε ∈ R+ beliebig, so
existiert n0 ∈ N mit ∀n≥n0 d(pn , p) < 2ε , also folgt für alle n, m ∈ N mit
n, m ≥ n0
ε ε
d(pn , pm ) ≤ d(pn , p) + d(p, pm ) < + = ε. ]
2 2
M heißt vollständig ∶⇐⇒ Jede Cauchy-Folge in M konvergiert in M .
(ii) Ein normierter R-Vektorraum, der als metrischer Raum vollständig ist,
heißt ein (R-)Banachraum.
Beispiel.
1.) R ist als normierter R-Vektorraum mit Norm ∣ . . . ∣ ein Banachraum (nach
Cauchyschem Konvergenzkriterium der Analysis I).
25
2.) Q ist als Teilmenge von R ein metrischer Raum, der nicht vollständig ist.
−i
[ Sei ∑∞
i=1 ai 10 die dekadische Entwicklung einer nicht-rationalen reellen
Zahl a ∈ [0, 1]. Dann ist die rationale Folge (pn )n∈N , die gegeben ist durch
∀n∈N pn ∶= ∑ni=1 ai 10−i , offenbar eine Cauchy-Folge in Q, die nicht in Q
konvergiert. ]
Satz 1.49. Jeder endlich-dimensionale normierte R-Vektorraum ist ein Banachraum.
Beweis. Zunächst gilt für jedes n ∈ N+
(Rn , ∥ . . . ∥∞ ) ein Banachraum.
(36)
[ Zu (36): Sei ( (a1,k , . . . , an,k ) )k∈N eine Cauchy-Folge in (Rn , ∥ . . . ∥∞ ), d.h.
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=ak
∀ε∈R+ ∃k0 ∈N ∀k,l∈N (k ≥ k0 ∧ l ≥ k0 ⇒ ∥ak − al ∥∞ < ε) .
Dann folgt für jedes i ∈ {1, . . . , n}
∀ε∈R+ ∃k0 ∈N ∀k,l∈N (k ≥ k0 ∧ l ≥ k0 ⇒ ∥ai,k − ai,l ∥∞ < ε) ,
d.h. nach dem Cauchyschen Konvergenzkriterium der Analysis I
(ai,k )k∈N ist konvergent in R.
Nach Übung 2.1(ii)(a), ist dann auch (ak )k∈N konvergent in (Rn , ∥ . . . ∥∞ ). ]
Wir folgern aus (36):
Für jede Norm ∥ . . . ∥ für Rn ist (Rn , ∥ . . . ∥) ein Banachaum.
(37)
[ Zu (37): ∥ . . . ∥ und ∥ . . . ∥∞ sind nach 1.39 zueinander äquivalent, und die
Begriffe „Cauchy-Folge“ ( Cε -Argument) und „Konvergenz“ hängen von der Norm
offenbar nur bis auf Äquivalenz ab, also folgt (37) aus (36). ]
Aus (37) folgt die Behauptung des Satzes, vgl. den Beweis von 1.40).
2
Satz 1.50. Sei V ein normierter R-Vektorraum. Dann sind die folgenden beiden
Aussagen äquivalent:
(i) V ist ein Banachraum.
(ii) Für jede Folge (vi )i∈N in V gilt:
∞
∑ ∥vi ∥ konvergiert in R
i=0
4
∞
Ô⇒ ∑ vi konvergiert in V .
i=0
∞
k
i=0
i=0
Hierbei ist ∑ vi definiert als Partialsummenfolge (∑ vi )
4
d.h. per definitionem ∑∞
i=0 vi ist absolut konvergent.
26
k∈N
.
∞
Beweis. „(i) ⇒ (ii)“ Aus der Konvergenz von ∑ ∥vi ∥ in R folgt nach dem
i=0
Cauchyschen Konvergenzkriterium für Reihen der Analysis I
l
∀ε∈R+ ∃k0 ∈N ∀k,l∈N (l > k ≥ k0 Ô⇒ ∑ ∥vi ∥ < ε) .
i=k+1
Da nach Dreiecksungleichung stets für l > k gilt
l
k
l
l
i=0
i=0
i=k+1
i=k+1
∥ ∑ vi − ∑ vi ∥ = ∥ ∑ vi ∥ ≤ ∑ ∥vi ∥,
k
so ist (∑ vi )
eine Cauchy-Folge in V , die wegen (i) in V konvergiert.
„(ii) ⇒ (i)“ Sei (wi )i∈N eine Cauchy-Folge in V . Dann existiert zu jedem i ∈ N
eine ki ∈ N mit
i=0
k∈N
∀k,l∈N (k ≥ ki ∧ l ≥ ki Ô⇒ ∥wk − wl ∥ <
und (wki )i∈N ist eine Folge in V mit
∀i∈N ∥wki − wki+1 ∥ <
1
),
2i
1
.
2i
∞
Für i ∈ N sei vi ∶= vki+1 − vki , also gilt ∑ ∥vi ∥ ≤ 2 < ∞. Wegen (ii) existiert
i=0
dann v ∈ V mit
l
lim
l→∞
∑ vi
±
= wkl+1 − wk0
= v,
i=0
und es folgt liml→∞ wkl = v + wk0 .
Schließlich gilt auch limk→∞ wk = v + wk0 , d.h. (1) ist gezeigt.
[ Sei nämlich ε ∈ R+ . Da (wk )k∈N Cauchy-Folge ist, existiert i0 ∈ N mit
ε
∀k,l∈N (k ≥ i0 ∧ l ≥ i0 Ô⇒ ∥wk − wl ∥ < ) ,
2
und wegen liml→∞ wkl = v + wk0 existiert i1 ∈ N mit i1 ≥ i0 und
ε
∀l∈N (l ≥ i1 Ô⇒ ∥wkl − (v + wk0 )∥ < ) .
2
Daher folgt für für jedes k ∈ N mit k ≥ i1 (≥ i0 )
∥wk − (v + wk0 )∥ ≤ ∥wk − wki1 ∥ + ∥wki1 − (v + wk0 )∥ < ε. ]
2
Satz 1.51.
Vor.: Seien M ein metrischer Raum und K ⊂ M .
Beh.: K folgenkompakt Ô⇒ K vollständig.
27
Beweis. Sei (pn )n∈N eine Cauchy-Folge in K. Nach Voraussetzung existieren
eine Teilfolge (pin )n∈N von (pn )n∈N und p ∈ K mit
lim pin = p,
n→∞
und wir behaupten, daß auch (pn )n∈N gegen p konvergiert.
Hierzu sei ε ∈ R+ .
Da (pn )n∈N eine Cauchy-Folge ist, so existiert n0 ∈ N mit
ε
∀n,m∈N,n,m≥n0 d(pn , pm ) < .
2
Es existiert weiter m0 ∈ N derart, daß gilt
ε
∀m∈N,m≥m0 im ≥ n0 ∧ d(pim , p) < .
2
Somit ergibt sich für jedes n, m ∈ N mit n ≥ n0 und m ≥ m0
d(pn , p) ≤ d(pn , pim ) + d(pim , p) < ε,
womit die Behauptung bewiesen ist.
2
Bemerkung. In der Funktionalanalysis zeigt man, daß in einem metrischen
Raum M die folgenden drei Aussagen für eine Teilmenge K von M äquivalent
sind:
(1) K ist kompakt.
(2) K ist folgenkompakt.
(3) K ist präkompakt und vollständig.
Wir haben „(1) ⇔ (2)“ in 1.46 gezeigt und „(2) ⇒ (3)“ soeben bewiesen.
Gleichmäßige Stetigkeit
Definition 1.52 (gleichmäßige Stetigkeit). Seien M, N metrische Räume und
f ∶ M → N eine Abbildung.
f heißt gleichmäßig stetig genau dann, wenn gilt
∀ε∈R+ ∃δ∈R+ ∀p,q∈M (d(p, q) < δ ⇒ d(f (p), f (q)) < ε) .
Bemerkung.
f stetig ⇐⇒ ∀p∈M f stetig in p
⇐⇒ ∀p∈M ∀ε∈R+ ∃δ∈R+ ∀q∈M (d(p, q) < δ ⇒ d(f (p), f (q)) < ε)
⇐⇒ ∀ε∈R+ ∀p∈M ∃δ∈R+ ∀q∈M (d(p, q) < δ ⇒ d(f (p), f (q)) < ε) .
Satz 1.53.
Vor.: Seien M, N metrische Räume, K eine kompakte Teilmenge von M und
f ∶ K → N eine stetige Abbildung.
Beh.: f stetig ⇐⇒ f gleichmäßig stetig.
28
Beweis. „⇒“ ist trivial.
„⇐“ Angenommen f ist nicht gleichmäßig stetig. Dann gibt es eine Zahl
ε ∈ R+ derart, daß gilt
∀δ∈R+ ∃p,q∈K (d(p, q) < δ ∧ d(f (p), f (q)) ≥ ε) .
Hieraus folgt die Existenz von Folgen (pn )n∈N+ , (qn )n∈N+ in K mit
∀n∈N+ d(pn , qn ) <
1
∧ d(f (pn ), f (qn )) ≥ ε.
n
(38)
K ist kompakt, also besitzt (pn )n∈N+ nach 1.46 eine etwa gegen p ∈ K konvergente Teilfolge (pin )n∈N+ . Aus ∀n∈N+ d(pin , qin ) < i1n folgt dann wegen
d(qin , p) ≤ d(qin , pin ) + d(pin , p),
daß auch (qin )n∈N gegen p konvergiert, also ergibt die Stetigkeit von f in p
lim f (pin ) = f (p) = lim f (qin ),
n→∞
d.h.
n→∞
d(f (pin ), f (qin ))
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
lim
n→∞
= 0,
≤d(f (pin ),f (p))+d(f (p),f (qin ))
im Widerspruch zu (38).
2
Lineare Abbildungen
Satz 1.54.
Vor.: Seien V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum – also V topologischer
Raum mit der Normtopologie – und W ein normierter R-Vektorraum.
Beh.: Jede lineare Abbildung V → W ist stetig.
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei n ∶= dim V ∈ N+ und
sei {b1 , . . . , bn } eine Basis von V . Wir wählen auf V die Maximumsnorm bzgl.
{b1 , . . . , bn }, die gegeben ist durch
∀v=∑ni=1 λi bi ∈V ∥v∥ ∶= max{∣λ1 ∣, . . . , ∣λn ∣}.
Die Norm auf W sei ebenfalls mit ∥ . . . ∥ bezeichnet.
Sei f ∶ V → W eine lineare Abbildung. Dann folgt für alle v = ∑ni=1 λi bi ∈ V
mit C ∶= ∑ni=1 ∥f (bi )∥ ∈ R+
n
n
∥f (v)∥ = ∥ ∑ λi f (bi )∥ ≤ ∑ ∣λi ∣ ∥f (bi )∥ ≤ C ∥v∥,
i=1 °
i=1
≤∥v∥
also ist f nach Übung 3.1(i) stetig.
2
Korollar. Jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen R-Vektorräumen ist stetig.
2
29
Definition 1.55.
(i) Seien V, W zwei R-Vektorräume. Wir setzen
L(V, W ) ∶= {f ∣ f ∶ V → W linear}.
L(V, W ) ist in kanonischer Weise ein R-Vektorraum. (Für f, g ∈ L(V, W )
und λ ∈ R sind die Abbildungen f + g, λ f ∈ L(V, W ) punktweise zu definieren.)
(ii) Seien V, W normierte R-Vektorräume. Wir setzen
Lc (V, W ) ∶= {f ∣ f ∶ V → W linear und stetig}.
Lc (V, W ) ist nach 1.14 und 1.35(ii) ein Untervektorraum von L(V, W ).
Bemerkung. Nach 1.54 gilt
dim V < ∞ Ô⇒ L(V, W ) = Lc (V, W ).
Satz 1.56 (Operatornorm). Seien V, W normierte R-Vektorräume, und es gelte
dim V > 0.
(i) Durch
∀f ∈Lc (V,W ) ∥f ∥ ∶= sup {
∥f (v)∥
∣ v ∈ V ∖ {0}}
∥v∥
wird eine Norm, die sog. Operatornorm auf Lc (V, W ), definiert.
(ii) Für jedes f ∈ Lc (V, W ) gilt
∥f ∥ = sup{∥f (v)∥ ∣ v ∈ V ∖ {0} ∧ ∥v∥ ≤ 1} = sup{∥f (v)∥ ∣ v ∈ V ∧ ∥v∥ = 1}
(39)
sowie
∀v∈V ∥f (v)∥ ≤ ∥f ∥∥v∥.
(40)
Darüber hinaus ist ∥f ∥ die kleinste reelle Zahl mit der Eigenschaft (40).
Beweis. Zu (i): Übung 3.1(i) ergibt die Wohldefiniertheit von ∥f ∥ als reelle
Zahl für f ∈ Lc (V, W ).
Beweis, daß ∥ . . . ∥ eine Norm für Lc (V, W ) ist:
(N1) ist trivial. Weiter gilt für alle f, g ∈ Lc (V, W ), λ ∈ R und v ∈ V ∖ {0}
∥f (v)∥
∥(λ f )(v)∥
= ∣λ∣
,
∥v∥
∥v∥
∥(f + g)(v)∥ ∥f (v)∥ ∥g(v)∥
≤
+
≤ ∥f ∥ + ∥g∥,
∥v∥
∥v∥
∥v∥
also folgen (N2) und (N3).
30
Zu (ii): Zu (39): Sei f ∈ Lc (V, W ). Für alle v ∈ V ∖ {0} mit ∥v∥ ≤ 1 gilt
∥f (v)∥ ≤
∥f (v)∥
≤ ∥f ∥,
∥v∥
weshalb
sup{∥f (v)∥ ∣ v ∈ V ∧ ∥v∥ = 1} ≤ sup{∥f (v)∥ ∣ v ∈ V ∧ ∥v∥ ≤ 1} ≤ ∥f ∥
folgt.
Andererseits gilt für v ∈ V ∖ {0}
∥f (v)∥
v
= ∥f (
)∥ ≤ sup{∥f (ṽ)∥ ∣ ṽ ∈ V ∧ ∥ṽ∥ = 1},
∥v∥
∥v∥
also folgt auch ∥f ∥ ≤ sup{∥f (ṽ)∥ ∣ ṽ ∈ V ∧ ∥ṽ∥ = 1}. Damit ist (39) gezeigt.
(40) folgt trivial aus der Definition in (i).
Sei schließlich C ∈ R beliebig mit ∀v∈V ∥f (v)∥ ≤ C ∥v∥. Dann folgt
∀v∈V ∖{0}
und somit ∥f ∥ ≤ C.
∥f (v)∥
≤ C,
∥v∥
2
Satz 1.57.
Vor.: Es seien V1 , V2 , V3 normierte R-Vektorräume sowie f ∈ Lc (V1 , V2 ) und
g ∈ Lc (V2 , V3 ).
Beh.: g ○ f ∈ Lc (V1 , V3 ) und ∥g ○ f ∥ ≤ ∥g∥ ∥f ∥.
Beweis. Für jedes v1 ∈ V1 gilt nach (40)
∥(g ○ f )(v1 )∥ = ∥g(f (v1 ))∥ ≤ ∥g∥ ∥f (v1 )∥ ≤ ∥g∥ ∥f ∥ ∥v1 ∥.
´¹¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∶=C
Nach Übung 3.1(i) ist daher g ○ f stetig, und aus der letzten Aussage in 1.56(ii)
folgt ∥g ○ f ∥ ≤ C = ∥f ∥ ∥g∥.
2
31
2
Fundamentalgruppe und Überlagerungstheorie
Homotopien rel {0, 1} und Fundamentalgruppe
Definition 2.1 (Homotopie von Wegen rel {0, 1}). Seien X ein topologischer
Raum und c, c̃∶ [0, 1] → X zwei Wege in X mit c(0) = c̃(0) und c(1) = c̃(1).
(i) Eine Homotopie von c nach c̃ rel {0, 1} ist per definitionem eine stetige
Abbildung H∶ [0, 1] × [0, 1] → X, (t, s) ↦ Hs (t), mit H0 = c und H1 = c̃
sowie ∀s∈[0,1] Hs (0) = c(0) = c̃(0) ∧ Hs (1) = c(1) = c̃(1).
(ii) c und c̃ heißen homotop rel {0, 1} (i.Z. c ∼ c̃ ) genau dann, wenn eine
Homotopie von c nach c̃ rel {0, 1} existiert.
Satz 2.2.
Vor.: Seien X ein topologischer Raum und x0 , x1 ∈ X. Wir setzen
Ωx0 ,x1 ∶= {c ∣ c∶ [0, 1] → X Weg von x0 nach x1 5 }.
Beh.: ∼ ist eine Äquivalenzrelation in Ωx0 ,x1 .
Beweisskizze. 1.) c ∼ c: H(t, s) ∶= c(t).
2.) c ∼ c̃ via H ⇒ c̃ ∼ c: H̃(s, t) ∶= H(t, 1 − s).
⎧
⎪
0 ≤ s ≤ 21 ,
⎪H(t, 2s),
̃
̃
̃
˜
3.) c ∼ c̃ via H ∧ c̃ ∼ c̃ via H: H(t, s) ∶= ⎨
̃ 2s − 1), 1 ≤ s ≤ 1.
⎪H(t,
⎪
2
⎩
2
̂ x ,x die Menge der Äquivalenzklassen bzgl.
Definiton. Wir bezeichnen mit Ω
0 1
der Äquivalenzrelation ∼.
̂ x ,x von c auch die
Ist c ∈ Ωx0 ,x1 , so heißt die Äquivalenzklasse [c] ∈ Ω
0 1
Homotopieklasse von c rel {0, 1}.
Definition 2.3. Sei X ein topologischer Raum.
(i) Für alle x0 , x1 , x2 ∈ X definieren wir eine Abbildung
Ωx0 ,x1 × Ωx1 ,x2 Ð→ Ωx0 ,x2 , (c, c̃) z→ c c̃
durch
⎧
⎪
0 ≤ t ≤ 21 ,
⎪c(2t),
∀t∈[0,1] (c c̃)(t) ∶= ⎨
1
⎪
⎪
⎩c̃(2t − 1), 2 ≤ t ≤ 1.
(ii) Für alle x0 , x1 ∈ X definieren wir eine Abbildung
Ωx0 ,x1 Ð→ Ωx1 ,x0 , c z→ cv
durch
∀t∈[0,1] cv (t) ∶= c(1 − t).
cv steht für „c vertatur“. Oft schreibt man für cv auch c−1 .
5
d.h. per definitionem c(0) = x0 und c(1) = x1
32
Satz 2.4.
Vor.: Seien X ein topologischer Raum und xi ∈ X für i ∈ {0, 1, 2, 3}.
Beh.:
(i) Die Abbildung Ωx0 ,x1 × Ωx1 ,x2 Ð→ Ωx0 ,x2 wie in 2.3(i) induziert eine Abbildung der Homotopieklassen
̂ x ,x × Ω
̂ x ,x Ð→ Ω
̂ x ,x , ([c], [c̃]) z→ [c] [c̃] ∶= [c c̃].
Ω
0 1
1 2
0 2
(ii) Die Abbildung Ωx0 ,x1 Ð→ Ωx1 ,x0 wie in 2.3(ii) induziert eine Abbildung der
Homotopieklassen
̂ x ,x Ð→ Ω
̂ x ,x , [c] z→ [c]v ∶= [cv ].
Ω
0 1
1 0
Oft schreibt man für [c]v auch [c]−1 .
(iii) Für alle c ∈ Ωx0 ,x1 , c̃ ∈ Ωx1 ,x2 und c̃˜ ∈ Ωx2 ,x3 gilt
˜ = [c] ([c̃] [c̃])
˜ ∈ Ωx0 ,x3 .
([c] [c̃]) [c̃]
(iv) Bezeichnet man den konstanten Weg [0, 1] → X, t ↦ x, vom Wert x ∈ X
mit x, so gilt für alle c ∈ Ωx0 ,x1
̂ x ,x ,
[x0 ] [c] = [c] = [c] [x1 ] ∈ Ω
0 1
v
̂
[c] [c] = [x0 ] ∈ Ωx ,x ,
̂ x ,x .
[c]v [c] = [x1 ] ∈ Ω
1 1
0
0
Beweis. Zu (i): Seien c1 , c2 ∈ Ωx0 ,x1 mit [c1 ] = [c2 ] und c̃1 , c̃2 ∈ Ωx1 ,x2 mit
[c̃1 ] = [c̃2 ]. Zu zeigen ist [c1 c̃1 ] = [c2 c̃2 ].
̃ Homotopien von c1 nach c2 bzw. von
Zum Beweis hiervon seien H bzw. H
c̃1 nach c̃2 rel {0, 1}. Dann wird durch
̃
̃s ∶= Hs H
̃s
∀s∈[0,1] H
eine Homotopie von c1 c̃1 nach c2 c̃2 rel {0, 1} definiert.
Zu (ii): Seien c1 , c2 ∈ Ωx0 ,x1 mit [c1 ] = [c2 ]. Zu zeigen ist [c1 v ] = [c2 v ].
Zum Beweis hiervon sei H eine Homotopien von c1 nach c2 rel {0, 1}. Dann
wird durch
̃s ∶= Hs v
∀s∈[0,1] H
eine Homotopie von c1 v nach c2 v rel {0, 1} definiert.
Zu (iii): Die stetige6 Abbildung F ∶ [0, 1]2 → [0, 1] sei definiert als die eindeutig bestimmte Projektion des Quadrates [0, 1]2 längs der durchgezogenen
Geraden auf die untere Quadratseite [0, 1] × {0} ≅ [0, 1] wie in der folgenden
Skizze:
6
Offenbar gilt für alle (t1 , s1 ), (t2 , s2 ) ∈ [0, 1]2 : ∣F (t1 , s1 ) − F (t2 , s2 )∣ ≤ 2 ∣t1 − t2 ∣.
33
˜ ○ F , eine Homotopie von
Dann ist H∶ [0, 1]2 → X, definiert durch H ∶= ((c c̃) c̃)
˜ rel {0, 1}.
(c c̃) c̃˜ nach c (c̃ c̃)
Zu (iv): a) Beweis von [x0 c] = [c]: Analog zum Beweis von (iii) sei jetzt
F ∶ [0, 1]2 → [0, 1] die Projektion auf die untere Quadratseite gemäß der folgenden Skizze:
A
A
A
A
C
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
C
C
C
AA
C
C
C
C
C
C
CC
Dann ist H∶ [0, 1]2 → X, definiert durch H ∶= (x0 c) ○ F , eine Homotopie von
x0 c nach c rel {0, 1}.
b) Beweis von [c cv ] = [x0 ]: Definiere H∶ [0, 1]2 → X durch
⎧
c(2t),
0 ≤ t ≤ 1−s
⎪
⎪
2 ,
⎪
⎪
1−s
1+s
v
H(t, s) ∶= ⎨c(1 − s) = c (s),
2 ≤t≤ 2 ,
⎪
⎪
1+s
⎪
v
⎪
⎩c (2t − 1) = c(2(1 − t)),
2 ≤ t ≤ 1.
Offenbar ist H eine Homotopie von c cv nach x0 rel {0, 1}.
Die übrigen Aussagen von (iv) zeigt man analog.
2
Hauptsatz 2.5. Sei (X, x0 ) ein punktierter topologischer Raum, d.h. per dê x ,x bzgl. der
finitionem X ist ein topologischer Raum und x0 ∈ X. Dann ist Ω
0 0
Verknüpfung
([c], [c̃]) z→ [c] [c̃],
vgl. 2.4, eine Gruppe, die sogenannte Fundamentalgruppe von X im Punkte x0 .
Diese Gruppe bezeichnet man mit
π1 (X, x0 ).
Das Einselement von π1 (X, x0 ) ist die Homotopieklasse des konstanten Weges
vom Wert x0 . Das zu [c] inverse Element in π1 (X, x0 ) ist gleich [c]v .
Beweis. 2.5 folgt sofort aus 2.4 mit x0 = x1 = x2 = x3 .
34
2
Satz 2.6.
Vor.: Seien X ein topologischer Raum, x0 , x1 ∈ X und d∶ [0, 1] → X ein Weg in
X von x0 nach x1 .
Beh.: π1 (X, x0 ) und π1 (X, x1 ) sind isomorph; genauer ist
π1 (X, x0 ) Ð→ π1 (X, x1 ), [c] z→ [d]v [c] [d]
ein Gruppenisomorphismus.
Beweis als Übung 6.1.
2
Korollar. Ist X ein wegzusammenhängender topologischer Raum, so sind alle
Fundamentalgruppen π1 (X, x0 ) für x0 ∈ X bis auf Isomorphie einander gleich.
Dann ist π1 (X) , die sogenannte Fundamentalgruppe von X, bis auf Isomorphie eindeutig definiert.
Definition 2.7. Sei X ein topologischer Raum.
X heißt einfach-zusammenhängend genau dann, wenn gilt:
1.) X ist wegzusammenhängend,
2.) π1 (X) ≅ {1}.
Satz.
Vor.: Sei X ein wegzusammenhängender topologischer Raum.
Beh.: Folgende fünf Aussagen sind paarweise äquivalent:
(1) X ist einfach-zusammenhängend.
(2) ∃x0 ∈X π1 (x, x0 ) = {1}.
(3) ∀x0 ∈X π1 (x, x0 ) = {1}.
(4) Es existiert ein x0 ∈ X derart, daß für je zwei Wege c, c̃∶ [0, 1] → X mit
c(0) = c̃(0) = x0 und c(1) = c̃(1) gilt [c] = [c̃].
(5) Für je zwei Wege c, c̃∶ [0, 1] → X mit c(0) = c̃(0) und c(1) = c̃(1) gilt
[c] = [c̃].
Beweis als Übung 6.2.
2
Beispiel 2.8.
a) Ist X eine sternförmige Teilmenge eines endlich-dimensionalen R-Vektorraumes V , so ist X einfach-zusammenhängend (als topologischer Teilraum
von V ).
[ Beweis: Sei x0 ∈ X ein Sternpunkt von X, d.h. per definitionem
∀x∈X ∀s∈[0,1] (1 − s) x + s x ∈ X.
Wir zeigen π1 (X, x0 ) = {1}.
(41)
Sei c∶ [0, 1] → X stetig mit c(0) = c(1) = x0 . Dann ist H∶ [0, 1]2 → X,
definiert durch
H(t, s) ∶= (1 − s) c(t) + s x0 ∈ X
(41)
eine Homotopie von c nach x0 rel {0, 1}, also [c] = [x0 ] = 1. ]
35
b) S m ist einfach-zusammenhängend für m ∈ N mit m ≥ 2.
[ Beweis: Seien p0 ∈ S m und c∶ [0, 1] → S m ⊂ Rm+1 ein Weg in S m mit
c(0) = c(1) = p0 . Zu zeigen ist [c] = [p0 ]. Die Schwierigkeit besteht darin,
daß c([0, 1]) = S m sein kann7 , denn sonst wäre die Aussage trivial, da
S m ∖ {Pkt.} homöomorph zu Rm ist.
Nach 1.53 ist c gleichmäßig stetig, folglich existiert δ ∈ R+ mit
∀t,t̃∈[0,1] (∣t − t̃∣ < δ Ô⇒ ∥c(t) − c(t̃)∥ < 2) .
(42)
∀j∈{1,...,k} ∣tj − jj−1 ∣ < δ.
(43)
Wähle eine Zerlegung 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 von [0, 1] mit
Sei c̃∶ [0, 1] → S m ein Weg in S m mit c̃(0) = c̃(1) = p0 derart, daß gilt:
c̃∣[tj−1 ,tj ] parametrisiert für jedes j ∈ {1, . . . , k} einen Großkreis
(d.i. der Schnitt von S m mit einem m-dimensionalen Untervektorraum des Rm ) der Länge < π von c(tj−1 ) nach c(tj ).
(44)
(Beachte, daß c(tj−1 ) und c(tj ) nach (42), (43) nicht antipodisch sind.)
Dann existiert für jedes j ∈ {1, . . . , k} eine Abbildung
Hj ∶ [tj−1 , tj ] × [0, 1] Ð→ S m stetig mit
∀t∈[tj−1 ,tj ] Hj (t, 0) = c(t) ∧ Hj (t, 1) = c̃(t) und
∀s∈[0,1] Hj (tj−1 , s) = c(tj−1 ) ∧ Hj (tj , s) = c(tj ).
(45)
(Beachte, daß für alle t ∈ [tj−1 , tj ] gilt ∣t − tj−1 ∣ ≤ ∣tj − tj−1 ∣ < δ, also
nach (42) c(t) nicht antipodisch zu c(tj−1 ), und ferner nach (44) auch c̃(t)
nicht antipodisch zu c(tj−1 ). Daher sind c∣[tj−1 ,tj ] und c̃∣[tj−1 ,tj ] Wege in
S m ∖ {−c(tj−1 )}, und S m ∖ {−c(tj−1 )} ist via steogrphischer Projektion
homöomorph zu Rm , also ebenso wie (vgl. a)) einfach-zusammenhängend.
Hieraus folgt offenbar die Existenz die Existenz von Hj wie in (45) durch
Anwendung von „(1) ⇒ (5)“ des Satzes aus 2.7 und Umbarametrisierung
von c∣[tj−1 ,tj ] und c̃∣[tj−1 ,tj ] auf [0, 1].)
(43)
Aus (45) folgt, daß
H∶ [0, 1]2 Ð→ S m , ∀j∈{1,...,k} H∣[tj−1 ,tj ]×[0,1] ∶= Hj ,
eine Homotopie von c nach c̃ ist, also [c] = [c̃]. Zu zeigen bleibt schließlich
[c̃] = [p0 ].
(Beweis hiervon: Da c̃ stückweise ein Großkreis ist, so existiert wegen m ≥ 2
offenbar ein Punkt p1 ∈ S m mit
∀t∈[0,1] c̃(t) ∈ S m ∖ {p1 },
also insbesondere p1 ≠ c̃(0) = p0 . Da S m ∖ {p1 } einfach-zusammenhängt,
ist daher c̃ homotop zum konstanten Weg p0 rel {0, 1}.) ]
c) π1 (S 1 ) = Z.
Der Beweis erfolgt später mittels Monodromiesatz 2.15.
7
Es gibt solche Wege!
36
Überlagerungen
Übungsaufgabe. Sei X ein topologischer Raum. Für jedes x ∈ X definieren
wir
Z und Wx ∶=
W.
Zx ∶=
⋃
⋃
Z⊂X wegzusammenhängend,x∈W
Z⊂X zusammenhängend,x∈Z
(i) Zeige für alle x ∈ X:
Zx (bzw. Wx ) ist die größte zusammenhängende (bzw. wegzusammenhängende) Teilmenge von X, die x enthält. Zx (bzw. Wx ) heißt daher die
Zusammenhangskomponente (bzw. Wegzusammenhangskomponente) von
x ∈ X.
Zeige ferner: Wx ⊂ Zx und Zx ist eine abgeschlossene Teilmenge von X.
Eine Teilmenge Y von X heißt eine Zusammenhangskomponente (bzw.
Wegzusammenhangskomponente) von X, falls ein Punkt x ∈ X existiert
mit Y = Zx (bzw. Y = Wx ).
(ii) Zeige: X ist disjunkte Vereinigung seiner Zusammenhangskomponenten,
und jede Zusammenhangskomponente von X ist disjunkte Vereinigung von
Wegzusammenhangskomponenten von X.
Beweis. Zu (i): Sei x ∈ X. Der Zusammenhang von Zx folgt sofort aus der
Definition von Zx und Satz 1.25. Der Wegzusammenhang von Wx ist klar.
Aus 1.29 folgt Wx ⊂ Zx . Außerdem gilt Zx = Zx .
[ „⊂“ ist klar, und mit Zx ist nach 1.32 auch Zx zusammenhängend, also folgt
wegen x ∈ Zx aus der Definition von Zx : Zx ⊂ Zx . ]
Zu (ii): Durch x ∼ y ∶⇐⇒ ∃Z ⊂ X zusammenhängend x ∈ Z ∧ y ∈ Z wird
offenbar eine Äquivalenzrelation auf X definiert, deren Äquivalenzklassen genau die Zusammenhangskomponenten von X sind. Da X disjunkte Vereinigung
seiner Äquivalenzklassen ist, folgt auch, daß X disjunkte Vereinigung seiner
Zusammenhangskomponenten ist.
Für die zweite Aussage betrachte man die folgende Äquivalenzrelation ∼ auf
Zx (x ∈ X)
y ∼ z ∶⇐⇒ ∃W ⊂Zx wegzusammenhängend y ∈ W ∧ z ∈ W
und argumentiere analog.
2
Definition 2.9. Sei X ein topologischer Raum.
(i) X heißt lokal-wegzusammenhängend
∶⇐⇒ ∀x0 ∈X ∃U ∈U ○(x0 ,X) ∃V ∈U ○(x0 ,X),V ⊂U V wegzusammenhängend.
⇐⇒
klar
Jede in X offene Menge ist Vereinigung wegzusammenhängender offener Mengen.
37
(ii) X heißt lokal-einfach-zusammenhängend
∶⇐⇒ ∀x0 ∈X ∃U ∈U ○(x0 ,X) ∃V ∈U ○(x0 ,X),V ⊂U V einfach-zusammenhängend.
⇐⇒
klar
Jede in X offene Menge ist Vereinigung einfach-zusammenhängender offener Mengen.
Bemerkung.
1.) X einfach-zusammenhängend Ô⇒ X wegzusammenhängend.
2.) X lokal-einfach-zusammenhängend Ô⇒ X lokal-wegzusammenhängend.
3.) X ∶= Graph(sin( x1 ∣]0, 2 [ ))∪({0}×[−2, 1])∪({ π2 }×[−2, 1])∪([0, π2 ]×{−2}) ist
π
als Teilraum von R2 zusammenhängend und sogar einfach-zusammenhängend, aber nicht lokal-wegzusammenhängend, also erst recht nicht lokaleinfach-zusammenhängend.
Lemma 2.10. Sei X ein topologischer Raum. Dann gilt:
(i) Ist X lokal-wegzusammenhängend, so gilt für jede offene Teilmenge G von
X: Jede Zusammenhangskomponente von G ist offen in X und wezusammenhängend, also eine Wegzusammenhangskomponente.
(ii) X zusammenhängend und lokal-wegzusammenhängend
Ô⇒ X wegzusammenhängend.
Beweis. Zu (i): Seien X lokal-wegzusammenhängend, G ⊂ X offen und sei Z
eine Zusammenhangskomponente von G. Sei x0 ∈ Z. Wir definieren
Z1 ∶= {x ∈ Z ∣ Es existiert ein Weg in X von x0 nach x.},
Z2 ∶= Z ∖ Z.
Zu jedem x ∈ Z existiert wegen des lokalen Wegzusammenhangs von X eine
wegzusammenhängende – also auch zusammenhängende – Umgebung Vx von
x ∈ X mit Vx ⊂ G, also nach Definition der Zusammenhangskomponente Vx ⊂ Z
und darüberhinaus offenbar
x ∈ Z1 Ô⇒ Vx ⊂ Z1 ,
x ∈ Z2 Ô⇒ Vx ⊂ Z2 .
Daher sind Z, Z1 und Z2 offen in X, d.h. offen in G, und es gilt Z = Z1 ⊍ Z2 ,
x0 ∈ Z1 . Hieraus folgt wegen des Zusammenhangs von Z, daß Z = Z1 , d.h. mit
Z1 ist auch Z wegzusammenhängend.
(ii) folgt aus dem Beweis von (i) mit G ∶= X.
2
Definition 2.11 ((Universelle) Überlagerung). Es seien E, B topologische Räume und π∶ E → B eine Abbildung.
(i) π∶ E → B heißt Überlagerung genau dann, wenn gilt:
38
1.) π∶ E → B ist stetig und surektiv.
2.) Zu jedem b ∈ B existiert ein zusammenhängendes U ∈ U ○(b, B) derart,
daß U (durch π) schlicht überlagert ist. Letzteres heißt per definitionem, daß für jede Zusammenhangskomponente Z von π 1 (U ) in E die
Abbildung π∣Z ∶ Z → U ein Homöomorphismus ist.
Bemerkung. Ist E zusätzlich lokal-wegzusammenhängend, so ist Z
wie oben nach 2.10(i) offen in E, also ist π∣Z ∶ Z → U ein Homöomorphismus zwischen offenen Teilmengen von E und B. Daher ist
π lokal-homöomorph sowie offene Abbildung und folglich ist mit E
auch B lokal-wegzusammenhängend.
(ii) Eine Überlagerung π∶ E → B heißt universell genau dann, wenn E einfachzusammenhängend ist.
Beispiel 2.12.
a) R → S 1 , t ↦ eit ist universelle Überlagerung.
b) Sei E ∶= (x − cos(z), y − sin(z)) (0R3 ) = {(cos(t), sin(t), t) ∣ t ∈ R}. E heißt
Schraubenlinie. Die Projektion E → S 1 auf die ersten beiden Komponenten
ist universelle Überlagerung.
1
c) Für jedes n ∈ N+ ist z n ∣S 1 ∶ S 1 → S 1 eine Überlagerung.
d) S m → P m (R), p ↦ [p], vgl. Übung 5.3, ist für m ∈ N+ eine Überlagerung,
die im Falle m ≥ 2 universell ist.
e) Seien m ∈ N+ und T m ∶= Rm /Zm ∶= Rm / ∼, wobei
∀a,b∈Rm a ∼ b ∶⇐⇒ a − b ∈ Zm ,
vgl. Übung 5.2, der m-dimensionale Torus. Die Projektion Rm → T m ist
universelle Überlagerung.
Der Monodromiesatz
Hauptsatz 2.13.
Vor.: Seien E, B topologische Räume, e0 ∈ E, b0 ∈ B und π∶ (E, e0 ) → (B, b0 )
eine Überlagerung, d.h. per definitionem π∶ E → B Überlagerung derart, daß
π(e0 ) = b0 . Ferner sei E lokal-wegzusammenhängend, also nach 2.11(i) auch B
lokal-wegzusammenhängend und π lokal-homöomorph.
Beh.: Sind X ein zusammenhängender topolgischer Raum sowie x0 ∈ X und
ist f ∶ (X, x0 ) → (B, b0 ) eine stetige Abbildung punktierter topologischer Räume, d.h. per definitionem f ∶ X → B stetig derart, daß f (x0 ) = b0 , so existiert
höchstens eine stetige Abbildung fˆ∶ (X, x0 ) → (E, e0 ) mit π ○ fˆ = f , d.h. daß das
39
folgende Diagramm kommutiert:
fˆ
-
(E, e0 )
(X, x0 )
π
f-
?
(B, b0 )
Eine Abbildung fˆ∶ X → E mit π ○ fˆ = f heißt π-Lift von f .
Beweis. Seien fˆ1 , fˆ2 ∶ (X, x0 ) → (B.b0 ) zwei stetige π-Lifte von f . Wir setzen
̃
̃
̃ ∶= {x ∈ X ∣fˆ1 (x) = fˆ2 (x)} und X
̃ ∶= X ∖ X.
̃ Dann gilt x0 ∈ X,
̃ X =X
̃ ⊍ X,
̃
X
̃
̃ offen sind. Hieraus folgt dann wegen des
̃ und X
und wir werden zeigen, daß X
̃ d.h. fˆ1 = fˆ2 .
Zusammenhanges von X sofort X = X,
Sei x1 ∈ X. Zu zeigen ist, daß eine Umgebung W von x1 in X existiert mit
̃
̃ oder W ⊂ X.
̃
W ⊂X
Hierzu sei U eine schlicht überlagerte zusammenhängende Umgebung von
f (x1 ) ∈ B in B. Für i ∈ {1, 2} sei Zi die Zusammenhangskomponente von π 1 (U )
mit fˆi (x1 ) ∈ Zi (beachte, (π ○ fˆi )(x1 ) = f (x1 ) ∈ U ) , also Zi offen in E (da E
lokal-wegzusammenhängend, vgl. die Bemerkung in 2.11). Dann ist
W ∶= fˆ1 (Z1 ) ∩ fˆ2 (Z2 )
1
1
eine Umgebung von x1 in X, und es gilt für i ∈ {1, 2} f ∣W = π∣Zi ○ fˆi ∣W , d.h.
fˆi ∣W = (π∣Zi )−1 ○ f ∣W .
(46)
̃ d.h. fˆ1 (x1 ) = fˆ2 (x1 ). Dann folgt Z1 = Z2 , also nach (46)
1. Fall: x1 ∈ X,
ˆ
ˆ
̃
f1 ∣W = f2 ∣W , d.h. W ⊂ X.
̃
̃ d.h. fˆ1 (x1 ) ≠ fˆ2 (x1 ). Dann folgt Z1 ≠ Z2 . (denn fˆi (x1 ) ist das
2. Fall: x1 ∈ X,
einzige Element von π 1 ({f (x1 )}) in Zi ), also auch Z1 ∩ Z2 = ∅. (Beachte, daß
Zusammenhangskomponenten stets übereinstimmen oder disjunkt sind.) Daher
̃
ergibt (46) fˆ1 (W ) ∩ fˆ2 (W ) = ∅, also W ⊂ ̃
X.
2
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶ ´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹¶
⊂Z1
⊂Z2
Satz 2.14.
(i) Seien X, Y topologische Räume. x0 ∈ X und y0 ∈ Y . Dann induziert jede
stetige Abbildung f ∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) einen Gruppenhomomorphismus
π1 (f )∶ π1 (X, x0 ) Ð→ π1 (Y, y0 ), [c] z→ [f ○ c].
Bemerkung. Ist f ∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) eine stetige Abbildung zwischen
punktierten topologischen Räumen, so schreibt man auch häufig f∗ für
π1 (f ).
40
(ii) π1 ist ein kovarianter Funktor der Kategorie aller Paare (X, x0 ), wobei X
ein topologischer Raum und x0 ∈ X, (mit den stetigen Abbildungen als
Morphismen) in die Kategorie aller Gruppen (mit den Gruppenhomomorphismen als Morphismen), d.h. per definitionem:
Für alle topologischen Räume X, Y, Z, alle x0 ∈ X, y0 ∈ Y , z0 ∈ Z und alle
stetigen Abbildungen f ∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) sowie g∶ (Y, y0 ) → (Z, z0 ) gilt
und
π1 (g ○ f ) = π1 (g) ○ π1 (f )
(47)
π1 (id(X,x0 ) ) = idπ1 (X,x0 ) .
(48)
Beweis als einfache Übung.
2
Hauptsatz 2.15 (Monodromiesatz).
Vor.: Seien E, B topologische Räume, e0 ∈ E, b0 ∈ B und π∶ (E, e0 ) → (B, b0 )
eine Überlagerung. E sei lokal-wegzusammenhängend. Seien X ein weiterer topologischer Raum derart, daß X zusammenhängend und lokal-wegzusammenhängend (also auch wegzusammenhängend nach 2.10(ii)) ist, x0 ∈ X sowie
f ∶ (X, x0 ) → (B, b0 ) eine stetige Abbildung.
Beh.: Es existiert genau dann genau ein stetiger π-Lift fˆ∶ (X, x0 ) → (E, e0 )
von f ,
fˆ
-
(E, e0 )
(X, x0 )
wenn gilt
π
f-
?
(B, b0 )
f∗ (π1 (X, x0 )) ⊂ π∗ (π1 (E, x0 )) .
(Letzteres ist z.B. stets erfüllt, falls X sogar einfach-zusammenhängend ist.)
Die Eindeutigkeitsaussage in der Behauptung des Monodromiesatzes folgt
aus 2.13. Wir führen den Beweis der Existenzaussage später (nach 2.22) und
zeigen nun unter Verwendung von 2.15, daß 2.8 c) gilt.
2.16 (π1 (S 1 ) ≅ Z).
1.) Sei c∶ [0, 1] → C ein Weg mit c(0) = c(1) = 1 ∈ C. Da [0, 1] einfachzusammenhängend ist, existiert nach 2.15 genau eine stetige Funktion
ϕc ∶ [0, 1] → R derart, daß das folgende Diagramm kommutiert:
(R, 0)
-
ϕc
([0, 1], 0)
c41
eix
?
(S 1 , 1)
(Beachte, daß eix ∶ R → S 1 nach 2.12 a) eine Überlagerung ist.)
Wegen c(1) = 1 gilt ϕc (1) ∈ 2πZ, also können wir die Umlaufszahl von c
definieren als
ϕc (1)
Uml(c) ∶=
∈ Z.
2π
(Es gilt also Uml(c) = Uml(c, 0) im Sinne der Funktionentheorie.)
2.) Seien c, c̃∶ [0, 1] → S 1 zwei Wege mit c(0) = c(1) = 1 und c̃(0) = c̃(1) = 1,
die zueinander homotop rel {0, 1} sind. Sei dann H∶ [0, 1]2 → S 1 eine Homotopie rel {0, 1} von c nach c̃. Nach dem Monodromiesatz existiert dann
eine stetige Funktion Φ∶ [0, 1] → R, die das folgende Diagramm kommutieren läßt:
(R, 0)
-
Φ
([0, 1]2 , (0, 0))
eix
H-
(49)
?
(S 1 , 1)
Aus (49) folgt, daß Φ(0, . . .)∶ [0, 1] → R, s ↦ Φ(0, s), stetig ist und den
Wert 0 für s = 0 sowie Werte in 2πZ hat (wegen eiΦ(0,s) = Hs (0) = 1.)
Folglich gilt
∀s∈[0,1] Φ(0, s) = 0.
(50)
Ebenso ist auch Φ(1, . . .)∶ [0, 1] → R, s ↦ Φ(1, s), stetig und hat Werte in
2πZ (wegen eiΦ(1,s) = Hs (1) = 1,) also ist
s z→ Φ(1, s) konstant auf [0, 1].
(51)
Für alle s ∈ [0, 1] gilt Φ(0, s) = 0 und ∀t∈[0,1] eiΦ(t,s) = Hs (t), also nach
Definition der Umlaufszahl
(50)
(50)
Uml(Hs ) =
Φ(1, s)
.
2π
(52)
Nach (51), (52) ist daher s ↦ Uml(Hs ) konstant auf [0, 1], insbesondere
gilt wegen H0 = c, H1 = c̃
Uml(c) = Uml(c̃).
3.) Aufgrund von 2.) können wir h∶ π1 (S 1 , 1) → Z durch
h([c]) ∶= Uml([c]) ∶= Uml(c)
definieren.
a) h ist ein Homomorphismus:
Seien dazu [c], [c̃] ∈ π1 (S 1 , 1), wobei c, c̃∶ [0, 1] → S 1 Wege mit Anfangs- und Endpunkt 1 seien.
42
Nach (49) gilt mit ϕ ∶= ϕc und ϕ̃ ∶= ϕc̃
∀t∈[0,1] c(t) = eiϕ(t) ∧ c̃(t) = eiϕ̃(t) .
˜ [0, 1] → S 1 stetig, und definieren
Wir setzen c̃˜ ∶= c c̃, also ist auch c̃∶
˜
ϕ̃∶ [0, 1] → R durch
⎧
⎪
⎪ϕ(2t),
∀s∈[0,1] ϕ̃˜ ∶= ⎨
⎪
⎪
⎩ϕ̃(2t − 1) + 2πUml(c),
t ∈ [0, 21 ],
t ∈ [ 12 , 1].
(Beachte dabei ϕ(1) = ϕ̃(0) +2πUml(c).)
±
=0
Dann folgt offenbar die Stetigkeit von ϕ̃˜ sowie
˜
˜
ϕ̃(0)
= ϕ(0) = 0 ∧ ∀t∈[0,1] c̃˜ = eiϕ̃(t) ,
weshalb
¬
ϕ̃(1) +2πUml(c)
= Uml(c) + Uml(c̃) .
2π
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=2πUml(c̃)
˜
ϕ̃(1)
Uml( c̃˜ ) =
=
®
2π
=c c̃
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
=h([c])+h([c̃])
=h([c] [c̃])
b) h ist injektiv:
Sei [c] ∈ π1 (S 1 , 1) derart, daß h([c]) = Uml(c) = 0, also gilt mit
ϕ ∶= ϕc ∶ [0, 1] → R
∀t∈[0,1] c(t) = eiϕ(t) ∧ ϕ(0) = ϕ(1) = 0.
Definiere die stetige Abbildung H∶ [0, 1]2 → S 1 durch
H(t, s) ∶= eisϕ(t) .
Dann ist H eine Homotopie von rel {0, 1} von H0 = 1 nach H1 = c,
also [c] = [1].
c) h ist surjektiv:
Für jedes k ∈ Z ist ck ∶ [0, 1] → S 1 , t ↦ ei
und Endpunkt 1, und es gilt
=ϕc (t)
k
h([ck ]) = Uml(ck ) =
­
2πkt
, ein Weg mit Anfangs-
2πk
= k.
2π
Damit ist gezeigt
π1 (S 1 , 1) Ð→ Z, [c] z→ Uml(c), ist ein Gruppenhomomorphismus.
43
Definition 2.17 (Homotopie von stetigen Abbildungen punktierter topologischer Räume). Es seien (X, x0 ) und (Y, y0 ) punktierte topologische Räume sowie f, f˜∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) stetige Abbildungen.
(i) Eine Homotopie von f nach f˜ rel (x0 , y0 ) ist per definitionem eine stetige
Abbildung
F ∶ X × [0, 1] Ð→ Y, (x, s) z→ Fs (x)
mit F0 = f , F1 = f˜ und ∀s∈[0,1] Fs (x0 ) = y0 .
Insbesondere ist also Fs ∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) für jedes s ∈ [0, 1] stetig.
(ii) f und f˜ heißen homotop rel (x0 , y0 ) (i.Z. f ∼ f˜ ) genau dann, wenn eine
Homotopie von f nach f˜ rel (x0 , y0 ) existiert.
Satz 2.18. Es seien (X, x0 ) und (Y, y0 ) zwei punktierte topologische Räume
sowie f, f˜∶ (X, x0 ) → (Y, y0 ) zwei stetige Abbildungen mit f ∼ f˜ im Sinne von
2.17. Dann gilt f∗ = f˜∗∶ π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ).
Beweis. Seien [c] ∈ π1 (X, x0 ) und F wie in 2.17(i). Dann ist H∶ [0, 1]2 → Y ,
definiert durch
H(t, s) ∶= F (c(t), s) = Fs ○ c(t),
eine Homotopie von f ○ c nach f˜ ○ c ref {0, 1}, also gilt
f∗ [c] = [f ○ c] = [f˜ ○ c] = f˜∗[c].
2
Wir beweisen nun den Monodromiesatz im Spezialfalle (X, x0 ) = ([0, 1], 0).
Satz 2.19.
Vor.: Es seien (E, e0 ), (B, b0 ) punktiere topologische Räume, E lokal-wegzusammenhängend und π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine Überlagerung.
Beh.: Jeder Weg c∶ [0, 1] → B mit c(0) = b0 liftet eindeutig zu einem Weg
ĉe0 ∶ [0, 1] → E mit π ○ ĉe0 = c und ĉe0 (0) = e0 .
ĉe
0
-
(E, e0 )
([0, 1], 0)
c-
π
?
(B, b0 )
Beweis. Wähle zu jedem t ∈ [0, 1] eine schlicht überlagerte Umgebung U(t)
von c(t) in B. Seien ε ∈ R+ eine Lebsguesche Zahl der offenen Überdeckung
(c1 (U(t) ))t∈[0,1] von [0, 1] und 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 eine endliche Zerlegung
von [0, 1] mit ti − ti−1 < ε für i ∈ {1, . . . , k}. Also existiert für jedes i ∈ {1, . . . , k}
eine schlicht überlagerte zusammenhängende offene Teilmenge Ui von B mit
[ti−1 , ti ] ⊂ c1 (Ui ), also c([ti−1 , ti ]) ⊂ Ui .
44
Wir zeigen, daß für jedes i ∈ {1, . . . , k} gilt:
Es existiert ein stetiger π-Lift ĉ(i) ∶ [0, ti ] → E mit ĉ(i) (0) = e0 .
(53)
Dann hat ĉe0 ∶= ĉ(k) alle in der Behauptung für ĉe0 ausgesagten Eigenschaften.
Die Einzigkeit von ĉe0 folgt weiter aus 2.13.
Zu (53): Der Fall i = 0 ist trivial.
Angenommen i ∈ {1, . . . , k} und ĉ(i−1) ∶ [0, ti−1 ] → E sei bereits konstruiert. Es gilt π ○ ĉ(i−1) (ti−1 ) = c(ti−1 ) ∈ Ui und c([ti−1 , ti ]) ⊂ Ui . Sei Z die
Zusammenhangskomponente von π 1 (Ui ) mit ĉ(i−1) (ti−1 ) ∈ Z. Definiere dann
ĉ(i) ∶ [0, ti ] → E durch
ĉ(i) ∣[0,ti−1 ] ∶= ĉ(i−1)
und ĉ(i) ∣[ti−1 ,ti ] ∶= (π∣Z )−1 ○ c∣[ti−1 ,ti ] .
Offenbar leistet ĉ(i) das Gewünschte.
2
Hauptsatz 2.20.
Vor.: Seien (E, e0 ), (B, b0 ) punktierte topologische Räume, E sei lokal-wegzusammenhängend und sei π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine Überlagerung. Sei (X, x0 ) ein
weiterer punktierter topologischer Raum derart, daß X lokal-wegzusammenhängend ist.
Beh.: Ist f ∶ (X, x0 ) → (B, b0 ) eine stetige Abbildung, die einen stetigen
π-Lift fˆ∶ (X, x0 ) → (B, b0 ) besitzt, so besitzt auch jede stetige Abbildung
F ∶ X × [0, 1] → B mit F (. . . , 0) = f einen stetigen π-Lift F̂∶ X × [0, 1] → E
mit F̂(. . . , 0) = fˆ.
Beweis. Seien f, fˆ, F wie oben. Angenommen F̂∶ X × [0, 1] → E ist eine
stetige Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften. Dann ist für jedes x ∈ X
F̂(x, . . .)∶ [0, 1] → E ein Weg in E derart, daß π ○ F̂(x, . . .) = F (x, . . .) und
F̂(x, 0) = fˆ(x), also F̂(x, . . .) = F ̂
(x, . . .)fˆ(x) , vgl. 2.19. Daher gilt
∀(x,t)∈X×[0,1] F̂(x, t) = F ̂
(x, . . .)fˆ(x) (t),
(54)
insbesondere ist F̂ eindeutig bestimmt.
Sei im folgenden F̂∶ X × [0, 1] → E durch (54) definiert. Dann gilt offenbar
π ○ F̂ = F
und F̂(. . . , 0) = fˆ.
Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von F .
Sei x1 ∈ X beliebig gewählt. Wir zeigen die Stetigkeit von F̂ auf einer Umgebung von {x1 } × [0, 1] in X × [0, 1].
Zunächst existieren eine wegzusammenhängende Umgebung W von x1 in X
und eine endliche Zerlegung 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 von [0, 1] derart, daß für
alle i ∈ {1, . . . , k} gilt
F (W × [ti−1 , ti ]) ⊂ Ui ,
(55)
wobei Ui eine schlicht überlagerte zusammenhängende offene Teilmenge von B
ist.
[ Beweis hiervon: Wähle zu jedem t ∈ [0, 1] zunächst eine schlicht überlagerte
zusammenhängende Umgebung Ut von F (x1 , t) in B und sodann (aufgrund der
45
Stetigkeit von F in (x1 , t)) Umgebungen Wt von x1 in X und It von t in [0, 1] mit
F (Wt × It ) ⊂ Ut . Seien ε ∈ R+ eine Lebesguesche Zahl der offenen Überdeckung
(It )t∈[0,1] und 0 = t0 < t1 < . . . < tk = 1 eine endliche Zerlegung von [0, 1]
mit ti − ti−1 < ε für i ∈ {1, . . . , k}. Zu jedem i ∈ {1, . . . , k} existiert daher ein
̃ ∶= Wλ ∪ . . . ∪ Wλ eine Umgebung
λi ∈ [0, 1] mit [ti−1 , ti ] ⊂ Iλi . Dann ist W
1
k
von x1 in X, und wegen des lokalen Wegzusammenhanges von X existiert eine
̃. Dann folgt für
wegzusammenhängende Umgebung W von x1 in X mit W ⊂ W
i ∈ {1, . . . , k}: F (W × [ti−1 , ti ]) ⊂ F (Wλi × Iλi ) ⊂ Ui . ]
Wir folgern nun weiter, daß für alle i ∈ {0, . . . , k} gilt:
F̂∣W ×[0,ti ] ∶ W × [0, ti ] Ð→ E ist stetig.
(56)
[ Beweis von (56): Für alle x ∈ W gilt (s.o.) F̂(x, 0) = f̂(x) = fˆ(pr1 (x, 0)),
wobei pr1 ∶ X × [0, 1] → X die kanonische Projektion bezeichnet, also ist
F̂∣W ×{0} = fˆ ○ pr1 ∣W ×{0} ∶ W × {0} Ð→ E
stetig als Komposition stetiger Abbildungen.
Sei i ∈ {1, . . . , k} und bereits gezeigt, daß F̂∣W ×[0,ti−1 ] ∶ W ×[0, ti−1 ] → E stetig
ist. Dann folgt zunächst:
F̂(W × [ti−1 , ti ]) ist wegzusammenhängend.
(57)
(Zu (57): Seien (x, t), (x̃, t̃) ∈ W × [ti−1 , ti ]. Wegen des Wegzusammenhanges von W existiert ein Weg in W von x nach x̃. Wegen der Stetigkeit von
F̂∣W ×{ti−1 } lassen sich daher auch F̂(x, ti−1 ) und F̂(x̃, ti−1 ) durch einen Weg in
der Obermenge F̂(W × [ti , ti−1 ]) von F̂(W × {ti−1 }) verbinden. Nach (54) sind
F̂(x, . . .)∣[ti−1 ,ti ] bzw. F̂(x̃, . . .)∣[ti−1 ,ti ] Wege in F̂(W × [ti , ti−1 ]) von F̂(x, ti−1 )
nach F̂(x, ti ) bzw. von F̂(x̃, ti−1 ) nach F̂(x̃, ti ). Daher sind auch F̂(x, t) und
F̂(x̃, t̃) durch einen Weg verbindbar, d.h. es gilt (57).)
Wegen (57) und π ○ F̂ = F ist F̂(W × [ti−1 , ti ]) eine zusammenhängende
Teilmenge von π 1 (F (W × [ti−1 , ti ])) ⊂ π 1 (Ui ). Sei Zi die eindeutig bestimmte
(in E offene) Zusammenhangskomponente von π 1 (Ui ) mit F̂(W ×[ti−1 , ti ]) ⊂ Zi .
Dann gilt
F ∣W ×[ti−1 ,ti ] = π∣Zi ○ F̂∣W ×[ti−1 ,ti ] ,
(55)
d.h.
F̂∣W ×[ti−1 ,ti ] = (π∣Zi )−1 ○ FW ×[ti−1 ,ti ] ,
also ist F̂∣W ×[ti−1 ,ti ] stetig als Komposition stetiger Abbildungen. Hieraus und
aus der Stetigkeit von F̂∣W ×[0,ti−1 ] folgt offenbar die Stetigkeit von F̂∣W ×[0,ti ] ,
womit (56) für i gezeigt ist. ]
Schließlich ergibt (56) für i = k: F̂∣W ×[0,1] ist stetig, wobei W × [0, 1] eine
Umgebung von {x1 } × [0, 1] in X × [0, 1] ist.
2
Satz 2.21.
Vor.: Seien (E, e0 ), (B, b0 ) punktierte topologische Räume, E sei lokal-wegzusammenhängend und sei π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine Überlagerung. Seien ferner
c, d∶ [0, 1] → B zwei Wege in B mit c(0) = d(0) und c(1) = d(1).
Beh.: Ist c homotop zu d rel {0, 1}, so gilt ĉe0 (1) = dˆe0 (1) und ĉe0 ist homotop
zu dˆe0 ref {0, 1}.
46
Beweis. Es existiere also eine stetige Abbildung
H∶ [0, 1]2 Ð→ B, (t, s) z→ Hs (t)
mit
H0 = c, H1 = d, ∀s∈[0,1] Hs (0) = c(0) = d(0) = b0 ∧ Hs (1) = c(1) = d(1).
(58)
Nach 2.20 (mit (X, x0 ) ∶= ([0, 1], 0), f ∶= c, fˆ ∶= ĉe0 , F ∶= H) existiert ein
̂ [0, 1]2 → E mit
stetiger π-Lift H∶
̂ . . , 0) = ĉe .
H(.
0
(59)
Wir behaupten
̂ . . , 1) = dˆe und ∀s∈[0,1] H(0,
̂ s) = ĉe (0) = e0 ∧ H(1,
̂ s) = ĉe (1).
H(.
0
0
0
(60)
̂ . . .) bzw. H(1,
̂ . . .) ist stetiger π-Lift von H(0, . . .) = b0 bzw.
[ Zu (60): H(0,
̂ 0) (59)
̂ 0) (59)
H(1, . . .) = c(1) mit H(0,
= ĉe0 (0) = e0 bzw. H(1,
= ĉe0 (1). Hieraus
folgt zunächst die zweite Aussage von (60) wegen der Eindeutigkeit des Liftes
̂ . . , 1) ein stetiger π-Lift von H(. . . , 1) = H1 = d mit
nach 2.19. Ferner ist H(.
̂ 1) = ĉe (0) = e0 (das haben wir gerade gezeigt), also folgt wiederum nach
H(0,
0
2.19 auch die erste Aussage von (60). ]
̂ 1) = ĉe (1), und H
̂ ist nach (59), (60) eine
Wegen (60) gilt dˆe0 (1) = H(1,
0
ˆ
Homotopie von ĉe0 nach de0 .
2
Satz 2.22.
Vor.: Seien (E, e0 ), (B, b0 ) punktierte topologische Räume, E sei lokal-wegzusammenhängend und sei π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine Überlagerung.
Beh.: π∗ ∶ π1 (E, e0 ) Ð→ π1 (B, b0 ) ist injektiv.
ˆ ∈ π1 (E, e0 ) mit [π ○ ĉ] = π∗ [ĉ] = π∗ [d]
ˆ = [π ○ d],
ˆ wobei
Beweis. Seien [ĉ], [d]
ˆ [0, 1] → E Wege in E von e0 nach e0 . Dann sind c ∶= π○ĉ, d ∶= π○d∶
ˆ [0, 1] → B
ĉ, d∶
Wege in B von b0 nach b0 , und nach Voraussetzung sind c, d homotop rel {0, 1}
in B. Nach 2.21 folgt hieraus, daß ĉe0 und dˆe0 homotop rel {0, 1} sind. Aber
wegen der Eindeutigkeit des Liftes bei vorgegebenem Anfangspunkt (nach 2.19)
gilt offenbar ĉ = ĉe0 und dˆ = dˆe0 , folglich sind ĉ und dˆ homotop rel {0, 1}, d.h.
ˆ
[ĉ] = [d].
2
Wir kommen nun zum Beweis des Monodromiesatzes. Seien also (E, e0 ),
(B, b0 ), (X, x0 ) punktierte topologische Räume, E lokal-wegzusammenhängend,
X zusammenenhängend und lokal-wegzusammenhängend, π∶ (E, e0 ) → (B, b0 )
eine Überlagerung und f ∶ (X, x0 ) → (B, b0 ) eine stetige Abbildung.
Wir wollen zeigen:
Es existiert ein stetiger π-Lift fˆ∶ (X, x0 ) Ð→ (E, e0 )
⇐⇒ f∗ (π1 (X, x0 )) ⊂ π∗ (π1 (E, e0 )).
47
„⇒“ Aus f = π ○ fˆ und 2.14(i) folgt
f∗ (π1 (X, x0 )) ⊂ π∗ (fˆ∗ (π1 (X, x0 ))) ⊂ π∗ (π1 (E, e0 )).
„⇐“ Wir definieren fˆ∶ X → E durch
∀x∈X
fˆ(x) ∶= (f̂
○ c)e0 (1), wobei c∶ [0, 1] Ð→ X beliebiger Weg
in X von x0 nach x, (also f ○ c Weg
in B von b0 nach f (x).)
(61)
(Bemerkung: Falls überhaupt ein fˆ der gewünschten Art existiert, so muß für
jeden Weg c∶ [0, 1] → X mit c(0) = x0 nach 2.19 fˆ ○ c = (f̂
○ c)e0 gelten. Daher
ist (61) die einzig mögliche Definition für fˆ.)
[ Zur Wohldefiniertheit von fˆ: Seien c, d∶ [0, 1] → X zwei Wege in X von
x0 nach x. Dann ist c dv ∶ [0, 1] → X ein Weg in X von x0 nach x0 , also gilt
[c dv ] ∈ π1 (X, x0 ) und daher
f∗ [c dv ] ∈ f∗(π1 (X, x0 )) ⊂ π∗ (π1 (E, e0 )).
Vor.
Folglich existiert [γ̂] ∈ π1 (E, e0 ), wobei γ̂∶ [0, 1] → E ein Weg in E von e0 nach
e0 ist, mit
[f ○ c] [f ○ d]v = [ f ○ (c dv ) ] = π∗ [γ̂] = [π ○ γ̂].
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=(f ○c) (f ○dv )
Hieraus folgt weiter
[f ○ c] = [f ○ c] [f ○ d]v [f ○ d] = [π ○ γ̂] [f ○ d] = [(π ○ γ̂) (f ○ d)],
d.h. f ○ c ist homotop zu (π ○ γ̂) (f ○ d) rel {0, 1}. Dies wiederum bedeutet nach
2.21
̂
(f̂
○ c)e0 (1) = ((π
○ γ̂)e0 (f̂
○ d)(π○γ̂)
̂ e
0 (1)
2.19
)(1) = (γ̂ (f̂
○ d)γ̂(1) )(1)
±
=e0
= (f̂
○ d)e0 (1).
Daher ist die Definition in (61) unabhängig von der speziellen Wahl von c.
Beachte außerdem, daß wegen des Wegzusammenhanges von X zu jedem x ∈ X
ein Weg c wie in (61) existiert. ]
Aus (61) folgt
π ○ fˆ = f und fˆ(x0 ) = e0 .
(62)
Zu zeigen bleibt die Stetigkeit von fˆ∶ X → E. Wir folgern aus (61) zunächst
die folgende allgemeinere Aussage:
∀x1 ,x∈X
fˆ(x) ∶= (f̂
○ c)fˆ(x1 ) (1), wobei c∶ [0, 1] Ð→ X beliebiger Weg
in X von x1 nach x, (also f ○ c Weg (63)
in B von f (x1 ) nach f (x).)
48
[ Zu (63): Seien x1 , x ∈ X und c wie in (63). Wegen des Wegzusammenhanges
von X können wir einen Weg d∶ [0, 1] → X von x0 nach x1 wählen. Dann ist
d c∶ [0, 1] → X ein Weg von x0 nach x, also gilt nach (61)
fˆ(x) = (f ̂
○ (d c))e0 (1) = ((f ○̂
d) (f ○ c))e0 (1)(1)
̂
̂
̂
= ((f ○ d)e0 (f ○ c)(f̂
○d)e (1) ) = (f ○ c)fˆ(x1 ) (1),
0
d.h. (63) ist gezeigt. ]
Wir zeigen schließlich
∀x1 ∈X fˆ∶ X Ð→ E ist stetig in x1 .
Hierzu sei x1 ∈ X beliebig. Wir werden zeigen, daß eine Umgebung W von
x1 in X existiert derart, daß fˆ∣W stetig ist.
Sei U eine schlicht überlagerte zusammenhängende Umgebung von f (x1 ) in
B und sei Z die Zusammenhangskomponente von π 1 (U ) mit fˆ(x1 ) ∈ Z, also ist
1
π∣Z ∶ Z → U ein Homöomorphismus. Wegen der Stetigkeit von f ist f (U ) eine
Umgebung von x1 in X, also existiert wegen des lokalen Wegzusammenhanges
1
von X eine wegzusammenhängende Umgebung W von x1 in X mit W ⊂ f (U ),
also f (W ) ⊂ U .
Wir behaupten
fˆ(W ) ⊂ Z.
(64)
(62)
[ Zu (64): Wegen (π○fˆ)(W ) ⊂ f (W ) ⊂ U folgt zunächst fˆ(W ) ⊂ π 1 (U ). Sei
x ∈ W . Wegen des Wegzusammenhanges von W existiert ein Weg c∶ [0, 1] → X
von x1 nach x mit c([0, 1]) ⊂ W , also ist f ○c∶ [0, 1] → B ein Weg in B von f (x1 )
nach f (x) mit (f ○ c)([0, 1]) ⊂ f (W ) ⊂ U . Dann ist (f̂
○ c)fˆ(x1 ) ∶ [0, 1] → E ein
Weg in E von fˆ(x1 ) nach fˆ(x) (vgl. (63)) mit (f̂
○ c) ˆ ([0, 1]) ⊂ π 1 (U ), also
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
f (x1 )
fˆ(x1 )∈
auch (f̂
○ c)fˆ(x1 ) ([0, 1]) ⊂ Z, insbesondere fˆ(x) ∈ Z. Damit ist (64) gezeigt. ]
Aus (64) folgt schließlich
(62)
f ∣W = (π ○ fˆ)∣W = π∣Z ○ fˆ∣W ,
fˆ = (π∣Z )−1 ○ f ∣W ,
also ist fˆ∣W stetig als Komposition stetiger Abbildungen.
2
Decktransformationen
Definition 2.23 (Decktransformation). Seien E, B topologische Räume und
π∶ E → B eine Überlagerung.
Eine Abbildung f ∶ E → E heißt eine Decktransformation von π genau dann,
wenn f stetig mit π ○ f = π ist.
Mit D(π) bezeichnen wir die Menge aller Decktransformationen von π.
49
Satz 2.24.
Vor.: Seien (E, e0 ), (B, b0 ) punktierte topologische Räume, E lokal-wegzusammenhängend und π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine universelle Überlagerung.
Beh.: Die Decktransformationen bilden eine zur Fundamentalgruppe von B isomorphe Untergruppe der Gruppe aller Homöomorphismen von E auf sich; genauer gilt:
(i) ∀e1 ,e2 ∈π1 ({b0 }) ∃!f ∈D(π) f (e1 ) = e2 .
(ii) Jedes f ∈ D(π) ist ein Homöomorphismus von E auf sich.
D(π) ist eine Untergruppe der Gruppe aller Homöomorphismen von E auf
sich, die sogenannte Decktransformationsgruppe von π.
(iii) Durch Φ∶ D(π) → π1 (B, b0 ), f ↦ [π ○ ĉ], wobei ĉ∶ [0, 1] → E beliebiger Weg
von e0 nach f (e0 ) sei, wird ein Gruppenisomorphismus definiert.
Für [c] ∈ π1 (B, b0 ) ist Φ−1 ([c]) das eindeutig bestimmte f ∈ D(π) mit
f (e0 ) = ĉe0 (1).
Beweis. Zu (i): Die Existenzaussage folgt sofort aus dem Monodromiesatz
2.15, und die Eindeutigkeitsaussage folgt aus 2.13.
f
-
(E, e2 )
(E, e1 )
π
π-
?
(B, b0 )
Zu (ii): Sei f ∈ D(π) und sei e1 ∶= f (e0 ), also e0 , e1 ∈ π 1 ({b0 }). Wegen der
Existenzaussage in (i) existiert f˜ ∈ D(π) mit f˜(e1 ) = e0 . Dann sind offenbar
f˜ ○ f bzw. f ○ f˜ sowie idE Elemente von D(π) die e0 in e0 bzw. e1 in e1 sowie
e0 in e0 und e1 in e1 überführen. Wegen der Einzigkeitsaussage in (i) folgt
daher f˜ ○ f = f ○ f˜ = idE , d.h. f ist ein Homöomorphismus von E auf sich und
f −1 = f˜ ∈ D(π). Hieraus folgt offenbar (ii).
(iii) ist Übung 9.1.
2
Universelle Überlagerungen
Hauptsatz 2.25 (Existenz einer universellen Überlagerung).
Vor.: Sei B ein zusammenhängender und lokal-einfach-zusammenhängender topologischer Raum, (also B auch lokal-wegzusammenhängend und wegzusammenhängend.)
Beh.: Es existieren ein einfach-zusammenhängender und lokal-wegzusammenhängender topologischer Raum E und eine Überlagerung π∶ E → B.
Beweis. Wähle b0 ∈ B. Wir definieren
̂ b ,b
E ∶= {[c] ∣ c∶ [0, 1] Ð→ B stetig mit c(0) = b0 } ⊂ ⋃ Ω
0
b∈B
50
(65)
(hier ist
[c] ∶= {c̃ ∣ c̃∶ [0, 1] Ð→ B stetig mit c̃(0) = c(0) = b0 ∧ c̃(1) = c(1) ∧ c̃ ∼ c},
wobei ∼ homotop rel {0, 1} bedeutet,)
sowie π∶ E → B durch
∀e∈E π(e) ∶= c(1), falls e = [c],
(66)
also ist π∶ E → B wegen des Wegzusammenhanges von B surjektiv.
Wir definieren weiter für alle e = [c] ∈ E und jede zusammenhängende (d.h.
wegzusammenhängende) Umgebung U von π(e) = c(1) in B
ª
Ue ∶= {[c] [d] ∣ d∶ [0, 1] Ð→ U stetig ∧ d(0) = π(e) = c(1)} ⊂ E,
also gilt offenbar stets e ∈ Ue und π(Ue ) = U.
=e
(67)
Wir zeigen, daß für alle solchen e, U gilt
∀ẽ∈Ue Uẽ = Ue .
(68)
[ Zu (68): Sei ẽ ∈ Ue . Dann gilt nach (67) π(ẽ) ∈ U , also ist Uẽ gemäß (67)
definiert. Wähle c mit c = [e]. Wegen ẽ ∈ Ue existiert ein d∶ [0, 1] → U stetig mit
d(0) = c(1) derart, daß ẽ = [c d], also π(ẽ) = d(1) ∈ U .
˜ [0, 1] → U stetig mit d(0)
˜ = π(ẽ) = d(1)
„⊂“ Sei e1 ∈ Uẽ . Dann existiert also d∶
derart, daß
˜ = [c] [d d]
˜ ∈ Ue ,
e1 = [c d] [d]
¯
±
=e
=ẽ
˜ [0, 1] → U stetig mit (d d)(0)
˜
beachte, daß d d∶
= d(0) = c(1).
˜˜
˜˜
= π(e) = c(1)
„⊃“ Sei e2 ∈ Ue . Dann existiert d∶ [0, 1] → U stetig mit d(0)
derart, daß
˜˜ ∈ U ,
˜
˜˜ = [c d] [dv d]
˜ = ([c] ([d] [d]v )) [d]
e2 = [c] [d]
ẽ
¯
±
=e
=ẽ
˜
˜˜
˜ [0, 1] → U stetig mit (dv d)(0)
= dv (0) = d(1) = π(ẽ). ]
beachte, daß dv d∶
Wir behaupten weiter, daß durch
∀G⊂E (G offen in E ∶⇐⇒ ∀e∈G ∃U ∈U ○(π(e),B) zusammenhängend Ue ⊂ G)
(69)
eine Topologie für E definiert wird.
[ Beweis hiervon: Trivialerweise sind ∅, E und Vereinigungen offener Mengen
offen.
Seien G1 , G2 offen und e ∈ G1 ∩ G2 . Dann existiert zu i ∈ {1, 2} eine zusammenhängende Umgebung Ui von π(e) in B mit (Ui )e ⊂ Gi . U1 ∩ U2 ist
eine Umgebung von π(e) in B, folglich existiert wegen des lokalen Wegzusammenhanges von B eine zusammenhängende Umgebung U von π(e) in B mit
U ⊂ U1 ∩ U2 . Für i ∈ {1, 2} folgt aus U ⊂ Ui offenbar Ue ⊂ (Ui )e ⊂ Gi , also gilt
auch Ue ⊂ (G1 ∩ G2 ). Damit ist gezeigt, daß G1 ∩ G2 offen ist. ]
51
Im folgenden betrachten wir E stets als topologischen Raum mit der in (69)
gegebenen Topologie.
Aus (68) folgt sofort, falls e, U wie in (67)
∀e∈E ∀U ∈U ○(π(e),B) zusammenhängend Ue ist offen in E.
(70)
Wir zeigen als nächstes
π∶ E Ð→ B ist stetig.
(71)
π∶ E Ð→ B ist Überlagerung, lokaler Homöomorphismus
und E ist lokal-wegzusammenhängend.
(72)
[ Zu (71): Sei V offen in B. Zu zeigen ist die Offenheit von π 1 (V ) in E.
Sei e ∈ π 1 (V ), also π(e) ∈ V . Wegen des lokalen Wegzusammenhanges von B
existiert eine zusammenhängende Umgebung U von π(e) in B mit U ⊂ V . Dann
ist nach (70) Ue eine Umgebung von e in E mit π(Ue ) = U ⊂ V , also Ue ⊂ π 1 (V ).
Daher ist π 1 (V ) offen in E. ]
Darüber hinaus gilt:
[ Zu (72): Sei b ∈ B. Da B lokal-einfach-zusammenhängend ist, existiert eine
einfach-zusammenhängende (also auch zusammenhängende) Umgebung U von
b in B.
Wir zeigen zunächst
∀e∈π1 (U ) π∣Ue ∶ Ue Ð→ U ist Homöomorphismus,
(73)
beachte, daß für e ∈ π 1 (U ) folgt, daß U ∈ U ○(π(e), B) zusammenhängend ist.
(Beweis von (73): Nach (70) ist Ue offen in E, und nach (71), (67) ist
π∣Ue ∶ Ue → U stetig und surjektiv.
Zur Injektivität von π∣Ue : Seien e1 , e2 ∈ Ue mit π(e1 ) = π(e2 ). Sei e = [c]
und seien e1 = [c] [d1 ], e2 = [c] [d2 ], wobei d1 , d2 ∶ [0, 1] → U Wege in U mit
d1 (0) = d2 (0)(= π(e) = c(1)) sind. π(e1 ) = π(e2 ) bedeutet genau d1 (1) = d2 (1),
d.h. die Wege d1 und d2 haben gleichen Anfangs- und gleichen Endpunkt. Wegen
des einfachen Zusammenhanges von U folgt hieraus nach 2.7 [d1 ] = [d2 ] und
daher e1 = e2 .
Zur Offenheit von π∣Ue : Sei G offen in Ue , also wegen (70) G auch offen in
̃
E. Sei ẽ ∈ G. Dann existiert nach (69) eine zusammenhängende Umgebung U
̃ẽ ⊂ G, und mit (67) folgt
von π(ẽ) in B mit U
̃ = π(U
̃ẽ ) ⊂ π(G) ⊂ π(Ue ) = U,
U
̃ ∈ U ○(π(ẽ), U ) mit U
̃ ⊂ π(G).
also ist U
Damit ist (73) vollständig bewiesen.)
Wir folgern aus (73):
∀e∈π1 (U ) Ue ist die Zusammenhangskomponente von π 1 (U ),
die e enthält.
52
(74)
(Beweis von (74): Ue ist offen in π 1 (U ), und nach (73) ist Ue homöomorph
zu U , also ist Ue mit U zusammenhängend. Ferner gilt
π 1 (U ) ∖ Ue =
= Uẽ ,
⋃
ẽ∈π 1 (U )∖Ue
denn „⊂“ ist trivial und „⊃“ ergibt sich folgendermaßen: Sei ẽ ∈ π 1 (U ) ∖ Ue und
sei e1 ∈ Uẽ . Nach (67) gilt e1 ∈ π 1 (U ). Angenommen e1 ∈ Ue . Dann folgt mit (68)
ẽ ∈ Uẽ = Ue1 Ue , im Widerspruch zu ẽ ∉ Ue .
Aus der letzten Aussage und (70) folgt, daß außer Ue auch π 1 (U ) ∖ Ue offen
in π 1 (U ) ist. Hieraus folgt offenbar (74).)
Wegen (73), (74) ist die Überlagerungseigenschaft von π∶ E → B gezeigt.
Die lokale Homöomorphie von π folgt aus (73). Da B nach Voraussetzung lokalwegzusammenhängend ist, so folgt aus der lokalen Homöomorphie von π, daß
auch E lokal-wegzusammenhängend ist. Damit ist (72) bewiesen. ]
Zu zeigen bleibt:
E ist einfach-zusammenhängend.
(75)
Den Beweis von (75) bereiten wir durch den Beweis der folgenden Aussage
(76) vor:
Sei c∶ [0, 1] Ð→ B ein Weg in B mit c(0) = b0 . Dann ist ĉ∶ [0, 1] Ð→ E,
definiert durch
∀s∈[0,1] ĉ(s) ∶= [cs ], wobei cs ∶ [0, 1] → B, t ↦ c(st),
ein stetiger π-Lift von c mit ĉ(0) = [b0 ] und ĉ(1) = [c].
(76)
[ Zu (76): π ○ ĉ = c gilt wegen π(ĉ(s)) = π([cs ]) = cs (1) = c(s) für alle
s ∈ [0, 1].
Sei s0 ∈ [0, 1]. Wir wollen zeigen, daß ĉ∶ [0, 1] → E in s0 stetig ist. Sei hierzu
G eine Umgebung von ĉ(s0 ) = [cs0 ] in E. Dann existiert nach (69) eine zusammenhängende Umgebung U von π(ĉ(s0 )) = c(s0 ) in B mit U[cs0 ] ⊂ G. Wegen
der Stetigkeit von c∶ [0, 1] → B in s0 existiert weiter eine Intervall-Umgebung J
von s0 in [0, 1] mit c(J) ⊂ U . Dann gilt
∀s1 ∈J [ cs1 ] = [cs0 d], wobei d∶ [0, 1] → U, t ↦ c(s0 + t (s1 − s0 )).
¯
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=ĉ(s1 )
∈J
(Denn H∶ [0, 1]2 → B definiert durch
³¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ·¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹µ
∈[0,1]
¬
«
t ∈ [0, 21 ],
c((1 − s) t s1 +s 2 t s0 ),
H(t, s) ∶= { c((1 − s) t s +s(s + (2 t − 1) (s − s ))), t ∈ [ 1 , 1],
1
0
1
0
2
°
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
∈[0,1]
∈[0,1]
∈[0,1]
∈[0,1]
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
∈[0,1]
ist eine Homotopie von cs1 nach cs0 d rel {0, 1}.)
53
Nach (67) folgt hieraus ĉ(J) ⊂ U[cs0 ] ⊂ G, womit (76) bewiesen ist. ]
Wir folgern aus (76) zunächst, daß E wegzusammenhängend ist. Dazu genügt
es zu zeigen, daß sich jedes e ∈ E durch einen Weg in E mit [b0 ] ∈ E verbinden
läßt. Dies folgt aber sofort aus (76): Denn ist e = [c], so ist ĉ gemäß (76) ein
Weg in E von [b0 ] nach [c] = e.
Seien nun γ1 , γ2 ∶ [0, 1] → E zwei Wege in E mit γ1 (0) = γ2 (0) = [b0 ] und
γ1 (1) = γ2 (1). Wir werden zeigen, daß dann γ1 homotop zu γ2 rel {0, 1} ist. Ist
dies gezeigt, so folgt der einfache Zusammenhang von E nach 2.7 „(4) ⇒ (1)“.
Für i ∈ {1, 2} definieren wir den (nach (71) stetigen) Weg ci ∶ [0, 1] → B durch
ci ∶= π ○ γi und sodann den stetigen π-Lift ĉi ∶ [0, 1] → E von ci gemäß (76).
Dann sind γi und ĉi zwei stetige π-Lifte von ci mit demselben Anfangspunkt
[b0 ], folglich gilt nach (72) und 2.19: γi = ci . Hieraus folgt
[c1 ] = ĉ1 (1) = γ1 (1) = γ2 (1) = ĉ2 (1) = [c2 ],
(76)
(76)
d.h. c1 ist homotop zu c2 rel {0, 1} (in B), also nach 2.21: γ1 homotop zu γ2 rel
{0, 1} (in E).
Damit ist auch (75) bewiesen.
2
Hauptsatz 2.26 (Eindeutigkeit der universellen Überlagerung).
̃ ẽ0 ), (B, b0 ) punktierte topologische Räume, E, E
̃ lokalVor.: Seien (E, e0 ), (E,
̃ ẽ0 ) → (B, b0 ) zwei uniwegzusammenhängend und π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ), π̃∶ (E,
verselle Überlagerungen.
̃ mit
Beh.: Die nach 2.15 eindeutige bestimmten stetigen Abbildungen g∶ E → E
g(e0 ) = ẽ0
g
-
̃ ẽ0 )
(E,
π-
?
(B, b0 )
(E, e0 )
g̃
-
̃ → E mit g̃(ẽ0 ) = e0
und g̃∶ E
(E, e0 )
π̃
̃ ẽ0 )
(E,
π̃-
π
?
(B, b0 )
sind zueinander inverse Homöomorphismen.
Beweis. g̃ ○ g∶ (E, e0 ) → (E, e0 ) ist eine stetige Abbildung mit
π ○ (g̃ ○ g) = (π ○ g̃) ○ g = π̃ ○ g = π.
54
Daher sind g̃ ○ g und idE zwei stetige Lifte von π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ),
π
g̃
○g
, id
E
-
(E, e0 )
(E, e0 )
π-
?
(B, b0 )
also nach 2.13: g̃ ○ g = idE .
Völlig analog zeigt man g ○ g̃ = idẼ , also folgt die Behauptung.
2
Satz 2.27. Sei B ein einfach-zusammenhängender lokal-wegzusammenhängender topologischer Raum.
Dann ist jede Überlagerung π∶ E → B, wobei E ein zusammenhängender
lokal-wegzusammenhängender topologischer Raum ist, ein Homöomorphismus.
Beweis. Seien E, π wie angegeben. Wähle e0 ∈ E und setze b0 ∶= π(e0 ), also
ist π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine Überlagerung. Nach 2.10(ii) ist E wegzusammenhängend, und nach 2.22 ist
π∗ ∶ π1 (E, e0 ) Ð→ π1 (B, b0 ) = {1} injektiv,
Vor.
also gilt auch π1 (E, e0 ) = {1}.
Damit ist gezeigt, daß E einfach-zusammenhängend ist, d.h. daß die Abbildung π∶ (E, e0 ) → (B, b0 ) eine universelle Überlagerung ist. Da trivialerweise
auch idB ∶ (B, b0 ) → (B, b0 ) eine universelle Überlagerung ist, folgt aus 2.26 die
Homöomorphie von π∶ E → B.
2
Anhang
Der folgende Hauptsatz ermöglicht es, viele unterschiedliche Resultate über
einfach-zusammenhängende Räume nach einem einheitlichen Verfahren zu beweisen.
Hauptsatz 2.28.
Vor.: Seien M ein einfach-zusammenhängender lokal-wegzusammenhängender
topologischer Raum, E eine Menge und π∶ E → M eine surjektive Abbildung.
Ferner sei F eine Menge auf Gebieten8 definierter Abbildungen ϕ∶ Gϕ → E
derart, daß gilt:
(0) ∀ϕ∈F π ○ ϕ = idGϕ ∶ Gϕ֒Ð→M .
(1) ∀ϕ∈F ∀U ⊂GϕTeilgebiet ϕ∣U ∈ F.
(2) ∀ϕ∶ Gϕ→E, Gϕ⊂M Gebiet ((∀p∈Gϕ ∃U ⊂GϕTeilgebiet ϕ∣U ∈ F) Ô⇒ ϕ ∈ F).
(3) ∀ϕ,ψ∈F mit Gϕ=Gψ ((∃p∈Gϕ ϕ(p) = ψ(p)) Ô⇒ ϕ = ψ).
8
Eine Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Gebiet genau dann, wenn sie offen und
zusammenhängend ist.
55
(4) Es existiert eine Basis G der Topologie9 von M , bestehend aus Gebieten
in M , mit
∀G∈G∀p∈G ∀e∈π1 ({p}) ∃ϕ∈F Gϕ = G ∧ ϕ(p) = e.
Beh.: ∀p0 ∈G ∀e0 ∈π1 ({p0 }) ∃!ϕ∈F Gϕ = M ∧ ϕ(p0 ) = e0 .
Beweis. Als erstes zeigen wir, daß durch
⎛
⎞
∀H⊂E H ∈ T ∶⇐⇒ ∃FH ⊂F H = ⋃ ϕ(Gϕ)
⎝
⎠
ϕ∈FH
(77)
eine Topologie T für M definiert wird.
[ Zu (77): 1.) ∅ ∈ T ist trivial.
2.) E ∈ T ist klar nach Vor. (4).
3.) Daß die Vereinigung von zu T gehörenden Mengen wieder zu T gehört,
ist ebenfalls trivial.
4.) Seien H1 , H2 ∈ T . Zu zeigen ist H1 ∩ H2 ∈ T . Seien e ∈ H1 ∩ H2 und
p ∶= π(e) ∈ M . Für i ∈ {1, 2} existiert wegen Hi ∈ T und e ∈ Ti ein ϕi ∈ F mit
e ∈ ϕi (Gϕi ) ⊂ Hi , also p ∈ Gϕ1 ∩ Gϕ2 (vgl. Vor. (0)) und e = ϕi (pi ) mit gewissem
pi ∈ Gϕi , d.h. (erneut nach Vor. (0)) p = pi und somit e = ϕ1 (p) = ϕ2 (p).
Da Gϕ1 ∩ Gϕ2 ∈ U ○(p, M ), so existieren nach Vor. (4) sowohl G ∈ G mit
p ∈ G ⊂ Gϕ1 ∩ Gϕ2 als auch ϕ ∈ F mit Gϕ = G und ϕ(p) = e. Setzt man für
i ∈ {1, 2} ϕ̃i ∶= ϕi ∣G , so folgt nach Vor. (1), daß auch ϕ̃i ∈ F, Gϕ̃i = G und
ϕ̃i (p) = e. Aus Vor. (3) folgt daher ϕ = ϕ̃i und somit
e ∈ ϕ̃1 (Gϕ̃1 ) = ϕ̃1 (G) ∩ ϕ̃2 (G) ⊂ ϕ1 (Gϕ1 ) ∩ ϕ2 (Gϕ2 ) ⊂ H1 ∩ H2 .
¯
∈F
Da e ∈ H1 ∩ H2 beliebig gewählt war, folgt hieraus offenbar H1 ∩ H2 ∈ T . ]
Wir betrachten im folgenden E stets als topologischen Raum mit der in (77)
definierten Topologie. Dann gilt weiter:
π∶ E Ð→ M ist stetig.
(78)
[ Zu (78): Seien e ∈ E und V eine Umgebung von p ∶= π(e) in M . Nach
Vor. (4) existieren G ∈ G mit p ∈ G ⊂ V und ϕ ∈ F mit Gϕ = G und ϕ(p) = e.
Dann gilt nach (77) ϕ(Gϕ) ∈ U ○(e, E) und außerdem π(ϕ(Gϕ)) = Gϕ = G ⊂ V .
Damit ist die Stetigkeit von π in e gezeigt. ]
(0)
Lemma. Zusätzlich zu den Voraussetzungen des Hauptsatzes seien G0 ∈ G und
p0 ∈ G0 fest gewählt. Für jedes e0 ∈ π 1 ({p0 }) sei ϕe0 ∈ F das nach Vor. (4),
(3) eindeutig bestimmte Element von F mit Gϕe0 = G0 und ϕe0 (p0 ) = e0 . Dann
folgt:
(i) Für jedes e0 ∈ π 1 ({p0 }) ist ϕe0 ∶ G0 → E stetig, und ϕe0 (G0 ) ist ein Gebiet
in E.
9
Eine Teilmenge B der Topologie eines topologischen Raumes heißt Basis der Topologie
genau dann, wenn sich jede offene Menge als Vereinigung von Elementen aus B darstellen
läßt.
56
(ii) π 1 (G0 ) = ⊍e0 ∈π1 ({p0 }) ϕe0 (G0 ) ist die disjunkte Vereinigung durch die Zusammenhangskomponenten von π 1 (G0 ).
(iii) Für jedes e0 ∈ π 1 ({p0 }) ist π∣ϕe0 (G0 ) ∶ ϕe0 (G0 ) → G0 ein Homöomorphismus mit Umkehrabbildung ϕe0 ∶ G0 → ϕe0 (G0 ).
[ Beweis des Lemmas. Zu (i): Sei e0 ∈ π 1 ({p0 }). Seien p ∈ G0 und H eine
Umgebung von e ∶= ϕe0 (p) in E. Nach (77) existiert dann ein ϕ ∈ F derart, daß
e ∈ ϕ(Gϕ) ⊂ H, also p = π(e) ∈ Gϕ und ϕ(p) = e. Wegen Vor. (4) existiert G ∈ G
mit p ∈ G ⊂ G0 ∩Gϕ. Dann gilt nach Vor. (1) ϕe0 ∣G ∈ F, Gϕe0 ∣G = G, ϕe0 ∣G (p) = e
und auch ϕ∣G ∈ F, Gϕ∣G = G, ϕ∣G (p) = e, also nach Vor. (3) ϕe0 ∣G = ϕ∣G . Daher
ist G ∈ U ○(p, G) mit ϕe0 (G) = ϕ(G) ⊂ ϕ(Gϕ) ⊂ H. Damit ist die Stetigkeit von
ϕe0 gezeigt.
Die Offenheit von ϕe0 (G0 ) = ϕe0 (Gϕe0 ) ist klar nach (77), und der Zusammenhang von ϕe0 (G0 ) folgt aus dem Zusammenhang von G0 und der Stetigkeit
von ϕe0 .
Zu (ii): „⊃“ ist klar wegen (π ○ ϕe0 )(G0 ) = G0 .
„⊂“ Sei e ∈ π 1 (G0 ), also p ∶= π(e) ∈ G0 . Wegen G0 ∈ G existiert nach Vor. (4)
ein ϕ ∈ F mit Gϕ = G0 und ϕ(p) = e. Dann gilt für e0 ∶= ϕ(p0 ): e0 ∈ π 1 ({p0 }),
also ϕ, ϕe0 ∈ F, Gϕ = Gϕe0 = G und ϕ(p0 ) = ϕe0 (p0 ) = e0 . Daher gilt nach Vor.
(3) ϕ = ϕe0 und folglich e = ϕ(p) = ϕe0 (p) ∈ ϕe0 (G0 ).
Zur Disjunktheit: Es seien e0 , e1 ∈ π 1 ({p0 }) beliebig und es existiere ein
Punkt e ∈ ϕe0 (G0 ) ∩ ϕe1 (G0 ). Dann folgt für p ∶= π(e) ∈ M : e = ϕe0 (p) = ϕe1 (p),
also wegen ϕe0 , ϕe1 ∈ F, Gϕe0 = Gϕe1 = G0 nach Vor. (3) ϕe0 = ϕe1 , insbesondere
e0 = ϕe0 (p0 ) = ϕe1 (p0 ) = e1 . Damit ist die Disjunktheit der Vereinigung in (ii)
bewiesen.
Die restliche Aussage in (ii) über die Zusammenhangskomponenten ist klar,
da alle ϕe0 (G0 ) offen in E und nach (i) zusammenhängend sind.
Zu (iii): Wegen (78) und (i) sind sowohl π∣ϕe0 (G0 ) ∶ ϕe0 (G0 ) → G0 als auch
ϕe0 ∶ G0 → ϕe0 (G0 ) stetig.
π∣ϕe0 (G0 ) ○ ϕe0 = idG0 ist klar. Zu zeigen bleibt ϕe0 ○ π∣ϕe0 (G0 ) = idϕe0 (G0 ) . Sei
also e ∈ ϕe0 (G0 ), e = ϕe0 (p) mit p ∈ G0 . Dann folgt
(ϕe0 ○ π∣ϕe0 (G0 ) )(e) = (ϕe0 ○ π∣ϕe0 (G0 ) ○ ϕe0 )(p) = ϕe0 (p) = e,
(0)
womit auch (iii) vollständig nachgewiesen ist. ]
Wir folgern mithilfe des Lemmas:
π∶ E Ð→ M ist eine Überlagerung.
(79)
[ Zu (79): π∶ E → M ist nach (78) stetig und nach Voraussetzung surjektiv.
Sei nun p0 ∈ M . Da G eine Basis der Topologie von M ist, existiert G0 ∈ G mit
p0 ∈ G. Nach Lemma (ii), (iii) ist dann G0 eine zusammenhängende Umgebung
von p0 ∈ M derart, daß jede Zusammenhangskomponente von π 1 (G0 ) durch π
homöomorph auf G0 abgebildet wird. Damit ist (79) gezeigt. ]
Ferner gilt:
E ist lokal-wegzusammenhängend.
(80)
57
[ Zu (80): M ist nach Voraussetzung lokal-wegzusammenhängend, und aus
dem Lemma folgt offenbar, daß π∶ E → M ein lokaler Homöomorphismus ist.
Hieraus folgt offenbar (80). ]
Nun existiert nach Monodromiesatz 2.15 (beachte (80), (79) und, daß M
einfach-zusammenhängend und lokal-wegzusammenhängend ist) eine
stetige Abbildung ϕ∶ (M, p0 ) Ð→ (E, e0 ) mit π ○ ϕ = idM .
ϕ
-
(E, e0 )
(81)
Wir wollen zeigen
(M, p0 )
π
idM
-
?
(M, p0 )
ϕ ∈ F.
(82)
[ Zu (82): Nach Vor. (2) genügt es zu zeigen, daß ϕ∣G0 ∈ F für alle G0 ∈ G.
Sei also G0 ∈ G. Aus (81) folgt ϕ(G0 ) ⊂ π 1 (G0 ) und ϕ(G0 ) ist nach (81) mit G0
zusammenhängend, also ist ϕ(G0 ) zusammenhängende Teilmenge von π 1 (G0 ).
Nach Lemma (ii) existiert daher ein ψ ∈ F mit Gψ = G0 und ϕ(G0 ) ⊂ ψ(G0 ). Ist
daher p ∈ G0 , so existiert q ∈ G0 mit ϕ(p) = ψ(q), also p = π(ϕ(p)) = π(ψ(p)) = q
und folglich ϕ(p) = ψ(p). Damit ist gezeigt: ϕ∣G0 = ψ, also wegen ψ ∈ F auch
ϕ∣G0 ∈ F. ]
Aus (81), (82) folgt ϕ ∈ F, Gϕ = M und ϕ(p0 ) = e0 . Die Einzigkeit eines
solchen ϕ folgt schließlich aus Vor. (3).
2
Wir geben ein Beispiel einer Anwendung von 2.28: In der Analysis beweist
man den folgenden Satz im Spezialfalle einer sternförmigen Menge G.
Hauptsatz 2.29 (Poincarésches Lemma für 1-Formen).
Vor.: Es seien n ∈ N+ , G ⊂ Rn ein einfach-zusammenhängendes Gebiet sowie
k ∈ N+ ∪ {∞} und ω eine C k -Differentialform ersten Grades auf G, d.h. es
existieren F1 , . . . , Fk ∈ C k (G) mit ω = ∑ni=1 Fi dxi . Ferner gelte dω = 0, d.h.
∂F
∂Fi
= ∂xji .
∀i,j∈{1,...,n} ∂x
j
∧ ψ(p0 ) = α0 .
Beh.: ∀p0 ∈G ∀α0 ∈R ∃!ψ∈C k+1 (G)
dψ = ω
´¹¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
∂ψ
=Fi
⇔∀i∈{1,...,n} ∂x
i
Beweis. Wir setzen E ∶= G × R, M ∶= G und definieren π ∶= π1 ∶ G × R → G
als die Projektion auf die erste Komponente. Des weiteren sei F die Menge aller
Abbildungen ϕ∶ Gϕ → G × R eines Teilgebietes Gϕ von G derart, daß
π1 ○ ϕ = idGϕ ∶ Gϕ֒Ð→G ∧ π2 ○ ϕ ∈ C k+1 (Gϕ) ∧ d(π2 ○ ϕ) = ω∣Gϕ ,
wobei π2 ∶ G × R → R die Projektion auf die zweite Komponente bezeichne. G sei
die Menge aller sternförmigen Teilgebiete von G.
Auf dieses „Lexikon“ wenden wir 2.28 an. Die Gültigkeit der dortigen Voraussetzungen zeigt man in der Analysis. Daher existiert zu jedem p0 ∈ G und jedem
α0 ∈ R ein eindeutig bestimmtes ϕ ∈ F mit Gϕ = G und ϕ(p0 ) = (p0 , α0 ). Dann
erfüllt ψ ∶= π2 ○ ϕ die Behauptung. (Die Eindeutigkeit ist klar nach Analysis.) 2
58
3
Mannigfaltigkeiten
Topologische und differenzierbare Mannigfaltigkeiten
Definition 3.1 ((Abzählbare) Basis). Sei M ein topologischer Raum. Eine Teilmenge B von Top(M ) heißt Basis der Topologie von M genau dann, wenn sich
jede offene Menge von M als Vereinigung von zu B gehörenden Menge darstellen
läßt, d.h. genau
∀U ∈Top(M ) ∀p∈U ∃Vp ∈B Vp ⊂ U.
Falls eine höchstens abzählbare abzählbare derartige Teilmenge B von Top(M )
existiert, so sagen wir: M besitzt eine abzählbare Basis.
Beispiel. Für n ∈ N+ besitzt Rn eine abzählbare Basis, nämlich z.B.
{Ur (p) ∣ p ∈ Qn ∧ r ∈ Q+ }.
Definition 3.2 (Karte, Atlas, topologische Mannigfaltigkeit). Seien M ein topologischer Raum und n ∈ N.
(i) u heißt n-dimensionale Karte für M genau dann, wenn u∶ Gu → u(Gu) ein
Homöomorphismus eines offenen Teilraumes Gu von M auf einen offenen
Teilraum u(Gu) von Rn ist.10
(ii) A heißt n-dimensionaler Atlas für M genau dann, wenn A eine Menge von
n-dimensionalen Karten für M mit M = ⋃u∈A Gu ist.
(iii) M heißt n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit genau dann, wenn
gilt:
1.) M ist hausdorffsch.
2.) M besitzt eine abzählbare Basis.
3.) Es existiert ein n-dimensionaler Atlas für M .
Beispiel 3.3.
a) Rn ist für n ∈ N n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit (mit {idRn }
als Atlas.)
b) S n (mit Teilraumtopologie bzgl. Rn+1 ) ist für n ∈ N eine n-dimensionale
topologische Mannigfaltigkeit.
c) Die Teilräume Torus, Möbiusband, Zylinder und Kegel von R3 sind 2dimensionale topologische Mannigfaltigkeiten.
d) Der topologische Teilraum 8 von R2 ist keine 1-dimensionale topologische
Mannigfaltigkeit.
e) Der topologische Teilraum von R3 , der entsteht, indem man zwei Kegel
derart vereinigt, daß sie nur ihre Spitze als gemeinsamen Punkt haben, ist
keine 2-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
10
Man definiert R0 ∶= {0}.
59
f) 0-dimensionale topologische Mannigfaltigkeiten sind genau die höchstens
abzählbaren Mengen mit diskreter Topologie.
Satz 3.4. Seien n ∈ N und M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
Dann gilt:
(i) Für jede n-dimensionale Karte für M und jede offene Menge U von M ist
u∣Gu∩U eine n-dimensionale Karte für M .
(ii) Jede offene Menge M ist als Teilraum von M eine eine n-dimensionale
topologische Mannigfaltigkeit.
(iii) Zu jedem p ∈ M und jedem U ∈ U ○(p, M ) existiert eine n-dimensionale
Karte u von M mit p ∈ Gu ⊂ U , u(p) = 0 und u(Gu) = Rn .
(iv) Die Zusammenhangskomponenten von M sind offen und wegzusammenhängend und stimmen mit den Wegzusammenhangskomponenten überein.
(v) (Invarianz der Dimension)
Ist M ≠ ∅, so existiert zu jedem m ∈ N∖{n} keine m-dimensionale Karte u
für M mit Gu ≠ ∅, insbesondere ist M keine m-dimensionale topologische
Mannigfaltigkeit.
Beweis. (i) ist trivial, (ii) sowie (iii) zeige der Leser als Übung und (iv) folgt
aus 2.10. Der Beweis von (v) wird z.B. in der algebraischen Topologie geführt. 2
Wir wiederholen die folgende Definition der Analysis.
Definition 3.5. Seien n ∈ N und U ⊂ Rn offen.
(i) Wir definieren für r ∈ N ∪ {∞} eine Teilmenge C r (U ) von RU wie folgt:
1. Fall: n = 0. Dann gilt U = ∅ oder U = {0}, und wir setzen
∀r∈N∪{∞} C r (U ) ∶= RU .
2. Fall: n ∈ N+ . Dann setzen wir
C 0 (U ) ∶= {ϕ ∣ ϕ∶ U Ð→ R stetig},
∀r∈N+ C r (U ) ∶= {ϕ ∣ ϕ∶ U Ð→ R r-mal stetig (partiell) differenzierbar},
C ∞ (U ) ∶=
r
⋂ C (U ).
r∈N
(ii) Sind k ∈ N und r ∈ N ∪ {∞}, so definieren wir
C r (U, Rk ) ∶= {f = (f1 , . . . , fk ) ∣ ∀i∈{1,...,k} fi ∈ C r (U )}.
Definition 3.6 (C r -Atlas, C r -Struktur). Seien n ∈ N, M eine n-dimensionale
topologische Mannigfaltigkeit und r ∈ N ∪ {∞}.
60
(i) Seien u, v zwei n-dimensionale Karten für M . Dann ist offenbar v ○ u−1
ein Homöomorphismus des offenen Teilraumes u(Gu ∩ Gv) des Rn auf den
offenen Teilraum v(Gu ∩ Gv) von Rn . v ○ u−1 heißt der Kartenwechsel von
u nach v.
u und v heißen genau dann C r -verträglich, wenn v ○ u−1 ein C r -Diffeomorphismus ist, d.h. genau
v ○ u−1 ∈ C r (u(Gu ∩ Gv), Rn ) ∧ u ○ v −1 ∈ C r (v(Gu ∩ Gv), Rn ).
(ii) Ein n-dimensionaler Atlas A für M heißt n-dimensionaler C r -Atlas für M
genau dann, wenn je zwei Elemente von A C r -verträglich sind.
(iii) Ein n-dimensionaler C r -Atlas für M heißt maximal oder eine n-dimensionale C r -Struktur für M genau dann, wenn für alle n-dimensionalen C r ̃ für M aus A
̃ ⊂ A bereits A
̃ = A folgt, d.h. genau:
Atlanten A
Für alle n-dimensionalen Karten u für M gilt:
(∀v∈A u, v C r -verträglich) Ô⇒ u ∈ A.
(Denn beide Aussagen besagen, daß sich A nicht durch Hinzunahme einer
nicht zu A gehörenden Karte zu einem größeren C r -Atlas erweitern läßt.)
Satz 3.7.
Vor.: Seien n ∈ N, M eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit und
r ∈ N ∪ {∞}. Ferner sei A ein n-dimensionaler C r -Atlas für M .
Beh.: Es existiert genau eine n-dimensionale C r -Struktur Amax für M derart,
daß A ⊂ Amax , nämlich
Amax ∶= {u n-dimensionale Karte für M ∣ ∀v∈A u, v C r -verträglich} .
(83)
Amax heißt die von A erzeugte C r -Struktur für M .
Beweis. Wir definieren Amax durch (83), also ist Amax ein n-dimensionaler
C r -Atlas für M mit A ⊂ Amax . Wir behaupten:
Amax ist C r -Atlas.
(84)
[ Zum Beweis von (84) seien u, ũ ∈ Amax . Zu zeigen ist
ũ ○ u−1 ∈ C r (u(Gu ∩ Gũ), Rn ).
Nach Analysis ist dies gleichbedeutend mit
∀q∈u(Gu∩Gũ) ∃U ∈U ○(q,u(Gu∩Gũ)) ũ ○ u−1 ∣U ∈ C r (U, Rn ).
Beweis hiervon: Sei q ∈ u(Gu ∩ Gũ). Da A ein C r -Atlas ist, existiert v ∈ A
mit u−1 (q) ∈ Gv, d.h. q ∈ u(Gv). Dann folgt nach Definition von Amax mit
U ∶= u(Gu ∩ Gũ ∩ Gv) = u(Gu ∩ Gũ) ∩ u(Gu ∩ Gv) ∈ U ○(q, u(Gu ∩ Gũ))
u inj.
ũ ○ u−1 ∣U = (ũ ○ v −1 ) ○ (v ○ u−1 ) ∣U ∈ C r (U, Rn ),
61
womit (84) bewiesen ist. ]
Trivialerweise folgt aus der Definition von Amax und 3.6(ii) wegen (84) weiter:
Amax ist maximaler C r -Atlas,
(85)
also bleibt die Einzigkeit von Amax mit (85) und A ⊂ Amax zu zeigen.
̃ ebenfalls diese Eigenschaft. Zu zeigen ist A
̃ = Amax . Hierzu sei
Habe also A
r
̃ Dann folgt – da A
̃ ein C -Atlas ist –
u ∈ A.
r
∀v∈A⊂A
̃ u, v C -verträglich,
̃ ⊂ Amax , und
also nach Definition von Amax : u ∈ Amax . Damit ist gezeigt, daß A
̃
̃
hieraus folgt wegen der Maximalität von A sofort A = Amax .
2
Definition 3.8 (C r -Mannigfaltigkeit). Seien n ∈ N und r ∈ N ∪ {∞}.
(i) Eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit M ist ein Paar (Mtop , AM ), bestehend aus einer n-dimensionalen topologischen Mannigfaltigkeit Mtop
und einer n-dimensionalen C r -Struktur AM für Mtop .
(ii) Sei M = (Mtop , AM ) eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit. Dann heißt
Mtop die M zugrundeliegende topologische Mannigfaltigkeit und AM die
C r -Struktur von M . Die zu AM gehörenden Karten heißen die C r -Karten
von M . Jeder aus C r -Karten von M bestehende Atlas für Mtop heißt ein
C r -Atlas von M .
I.a. schreiben wir einfach M für Mtop .
Definition 3.9 (C r -Abbildung). Seien m, n ∈ N, r ∈ N ∪ {∞}, M eine mdimensionale und N eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit.
(i) f ∶ M → N heißt eine C r -Abbildung oder r-mal stetig differenzierbar genau
dann, wenn f ∶ M → N stetig ist und
∀u∈AM ∀v∈AN v ○ f ○ u ∈ C r (u(Gu ∩ f (Gv)), Rn ).
1
(Beachte, daß f (Gv) offen ist, da f stetig ist.)
1
(ii) f ∶ M → N heißt ein C r -Diffeomorphismus genau dann, wenn f ∶ M → N
bijektiv ist und sowohl f ∶ M → N als auch f −1 ∶ N → M C r -Abbildungen
sind.
M und N heißen C r -diffeomorph, falls ein C r -Diffeomorphismus M → N
existiert.
Beispiel 3.10. Seien r ∈ N ∪ {∞} und n ∈ N.
a) Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum, also ist V n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit mit der kanonischen Topologie. Dann ist
A ∶= {u∶ V → Rn ∣ u R-Vektorraum-Isomorphismus}
offenbar ein n-dimensionaler C r -Atlas für V , erzeugt also nach 3.7 eine
n-dimensionale C r -Struktur für V . Die so definierte C r -Mannigfaltigkeit V
heißt die kanonische C r -Mannigfaltigkeit V .
62
b) Seien M eine n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit und U ⊂ M offen in M ,
also ist U , betrachtet als topologischer Teilraum von M , nach 3.4 selbst
eine n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit. Dann ist
AU ∶= {u ∈ AM ∣ Gu ⊂ U }
eine n-dimensionale C r -Struktur für U . Wir nennen die C r -Mannigfaltigkeit (U, AU ) in Zukunft die offene C r -Untermannigfaltigkeit U von M .
c) S n ist als Teilraum des Rn+1 ein hausdorffscher topologischer Raum mit
abzählbarer Basis. Wir betrachten Rn+1 als Rn × R. N ∶= (0, 1) heißt Nordpol, S ∶= (0, −1) heißt Südpol.
Wir definieren PN ∶ S n ∖{N } → Rn bzw. PS ∶ S n ∖{S} → Rn , die sogenannte
steographische Projektion vom Nord- bzw. Südpol aus, als die eindeutig
bestimmte Abbildung mit
∀a∈S n ∖{N } (PN (a), 0) = (Gerade des Rn+1 durch N und a) ∩ (Rn × {0})
bzw.
∀a∈S n ∖{S} (PS (a), 0) = (Gerade des Rn+1 durch S und a) ∩ (Rn × {0}).
Zeige als Übung 9.3, daß PN und PS n-dimensionale Karten für S n sind.
Für die Kartenwechsel gilt
PN ○ PS −1 = PS ○ PN −1 = R,
wobei R∶ Rn+1 ∖ {0} → Rn+1 ∖ {0} die Abbildung durch reziproke Radien
sei, welche gegeben ist durch
R(b) =
b
.
∥b∥
Hier bezeichnet ∥ . . . ∥ die euklidische Norm.
Es gilt R ∈ C r (Rn+1 ∖ {0}, Rn ), also ist {PN , PS } ein n-dimensionaler C r Atlas für S n und erzeugt daher nach 3.7 eine eindeutig bestimmte C r Struktur für S n .
Lemma 3.11 (Differenzierbarkeitstest mit wenigen Karten).
Vor.: Seien r ∈ N ∪ {∞}, m, n ∈ N sowie M eine m-dimensionale und N eine
n-dimensionale C r -Mannigfaltigkeit.
Beh.: f ∶ M → N ist genau dann r-mal stetig differenzierbar, wenn f stetig ist
und zu jedem p ∈ M Karten u ∈ AM mit p ∈ Gu sowie v ∈ AN mit f (p) ∈ Gv
existieren derart, daß
v ○ f ○ u−1 ∶ u(Gu ∩ f (Gv)) Ð→ Rn
1
r-mal stetig differenzierbar ist.
63
Beweisskizze. „⇒“ ist trivial.
Zum Nachweis von „⇐“ seien ũ ∈ AM und ṽ ∈ AN . Zu zeigen ist, daß ṽ○f ○ ũ−1
1
in jedem q ∈ ũ(Gũ ∩ f (Gṽ)) lokal r-mal stetig differenzierbar ist. Wähle zu
p ∶= ũ−1 (q) Karten u ∈ AM und v ∈ AN gemäß der rechten Seite der Behauptung.
1
1
1
Dann gilt U ∶= ũ(Gu ∩ Gũ ∩ f (Gv) ∩ f (Gṽ)) ∈ U ○(q, ũ(Gũ ∩ f (Gṽ))), und
(ṽ ○ f ○ ũ−1 )∣U = (ṽ ○ v −1 ) ○ (v ○ f ○ u−1 ) ○ (u ○ ũ−1 )∣U
ist r-mal stetig differenzierbar.
2
Satz 3.12 (Eigenschaften von C r -Abbildungen). Seien r ∈ N∪{∞} und L, M, N
C r -Mannigfaltigkeiten der Dimension l, m, n ∈ N. Dann gilt:
(i) f ∶ M Ð→ N konstant Ô⇒ f ∶ M Ð→ N C r -Abbildung.
(ii) Die C r -Mannigfaltigkeiten mit ihren C r -Abbildungen bilden eine Kategorie,
d.h.
a) g∶ L Ð→ M C r -Abbildung und f ∶ M Ð→ N C r -Abbildung
Ô⇒ f ○ g∶ L Ð→ N C r -Abbildung,
b) idM ∶ M Ð→ M C r -Abbildung.
̃ von M gilt:
Zusatz. Für jede offene C r -Untermannigfaltigkeit M
̃ Ð→ N C r -Abbildung
g∶ L Ð→ M C r -Abbildung und f ∶ M
̃) Ð→ N C r -Abbildung
Ô⇒ f ○ g∶ g1 (M
(iii) (Beschränkungseigenschaften)
a) f ∶ M Ð→ N C r -Abbildung Ô⇒ ∀U ∈Top(U ) f ∣U ∶ U Ð→ N C r -Abbildung,
b) f ∶ M Ð→ N C r -Abbildung Ô⇒ ∀V ∈Top(N ) f ∣U ∶ U Ð→ V C r -Abbildung.
f (M )⊂V
(iv) (Lokalitätseigenschaft)
Ist f ∶ M → N eine Abbildung derart, daß
∀p∈M ∃U ∈U ○(p,M ) f ∣U ∶ U Ð→ N C r -Abbildung,
so ist f ∶ M → N eine C r -Abbildung.
(v) Ist U ⊂ Rm offen, so ist eine Abbildung f ∶ U → Rn genau dann r-mal stetig
differenzierbar als Abbildung der offenen C r -Untermannigfaltigkeit U von
Rm in die C r -Mannigfaltigkeit Rn , wenn sie r-mal stetig differenzierbar im
Sinne der Analysis ist.
(vi) Es gilt genau dann u ∈ AM , wenn u∶ Gu → u(Gu) ein C r -Diffeomorphismus
der offenen C r -Untermannigfaltigkeit Gu von M auf die offene C r -Untermannigfaltigkeit u(Gu) von Rm ist.
Beweis als Übung.
2
Generalvoraussetzung. In Zukunft bedeutet Differenzierbarkeit stets C ∞ Differenzierbarkeit, falls nicht ausdrücklich etwas anderes vermerkt ist.
64
Tangentialräume
Sind V , W endlich-dimensionale R-Vektorräume und ist f ∶ V → W eine differenzierbare Abbildung, so ist nach Analysis für jedes p ∈ V das Differential
dp f ∶ V Ð→ W
definiert.
Unser nächstes Ziel ist es, für differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n und differenzierbare Abbildungen f ∶ M → N etwas Entsprechendes zu definieren:
Tp f ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N,
wobei Tp M , der Tangentialraum von M an p, ein m-dimensionaler R-Vektorraum und Tf (p) N , der Tangentialraum von N an f (p), ein n-dimensionaler
R-Vektorraum ist, und zwar so, daß im Spezialfalle M = V , N = W Tp f und
dp f in kanonischer Weise miteinander identifiziert werden können.
Zunächst wollen wir den Tangentialraum Tp M von M an p für eine beliebige
Mannigfaltigkeit M und p ∈ M definieren. Die Definition wird so erfolgen, daß
für alle p, q ∈ M mit p ≠ q gilt Tp M ∩ Tq M ≠ ∅. (Die in der Analysis definierten Tangentialräume an differenzierbare Untermannigfaltigkeiten von Rm haben
diese Eigenschaft nicht!)
Als Vorbereitung führen wir zunächst einige Bezeichnungen ein.
Definition 3.13. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
(i) Ist G ⊂ M offen, so setzen wir
∞
CM
(G) ∶= {ϕ∶ G → R ∣ ϕ differenzierbar}.
(ii) Ist p ∈ M , so setzen wir
∞
CM
(p) ∶=
⋃
G∈U ○(p,M )
∞
CM
(G).
(iii) Zusätzlich setzen wir
∞
CM
∶=
⋃
G∈Top(M )
∞
(G).
CM
Bemerkung 3.14.
a) Seien n ∈ N+ , V ein n-dimensionaler R-Vektorraum, I ⊂ R ein Intervall und
c∶ I → V ein differenzierbar Weg11 . Ferner sei t0 ∈ I und p ∶= c(t0 ) ∈ V .
Dann ist c′ (t0 ), der Geschwindigkeitsvektor von c zur Zeit t0 im Sinne der
Analysis, definiert durch
c′ (t0 ) ∶= lim
t→t0
c(t) − c(t0 )
∈ V.
t − t0
(86)
11
d.h. per definitionem, daß sich c zu einem auf einem I umfassenden offenen Intervall
definierten differenzierbaren Weg fortsetzen läßt
65
Diesem Element von V entspricht umkehrbar eindeutig die folgende Funktion
ċ(t0 )∶ CV∞ (p0 ) Ð→ R, ϕ z→ ċ(t0 ) ⋅ ϕ ∶= (ϕ ○ c)′ (t0 ) = dp0 ϕ(c′ (t0 )). (87)
Es ist klar, daß ċ(t0 ) durch c′ (t0 ) eindeutig bestimmt ist. Umgekehrt gewinnt man c′ (t0 ) aus ċ(t0 ) wie folgt:
Sei {v1 , . . . , vn } eine Basis von V und {v1∗ , . . . , vn∗ } die dazu duale Basis
von V ∗ ⊂ CV∞ (p0 ). Dann gilt
n
c′ (t0 ) = ∑
i=1
vi∗ (c′ (t0 ))
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
n
vi = ∑(ċ(t0 ) ⋅ vi∗ ) vi .
i=1
v ∗ lin.
i
= dp0 vi∗ (c′ (t0 ))
b) Seien nun n ∈ N, M allgemeiner eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, I ⊂ R ein Intervall und c∶ I → M ein differenzierbar Weg12 .
Ferner sei erneut t0 ∈ I und p ∶= c(t0 ) ∈ M . Dann läßt sich kein Geschwindigkeitsvektor wie in (86) definieren, wohl aber eine Funktion wie in (87).
Wir definieren daher den Geschwindigkeitsvektor von c zur Zeit t0 als
∞
(p0 ) Ð→ R, ϕ z→ ċ(t0 ) ⋅ ϕ ∶= (ϕ ○ c)′ (t0 ).
ċ(t0 )∶ CM
(88)
Man rechnet unmittelbar nach, daß ċ(t0 ) die folgenden Derivationseigenschaften hat
∞ (p ) ∀α,β∈R ċ(t0 ) ⋅ (α ϕ + β ψ) = α (ċ(t0 ) ⋅ ϕ) + β (ċ(t0 ) ⋅ ψ),
(Der 1) ∀ϕ,ψ∈CM
0
∞ (p ) ċ(t0 ) ⋅ (ϕ ψ) = (ċ(t0 ) ⋅ ϕ) ψ(p0 ) + ϕ(p0 ) (ċ(t0 ) ⋅ ψ).
(Der 2) ∀ϕ,ψ∈CM
0
Definition 3.15 (Tangentenvektor, Tangentialraum). Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und p0 ∈ M .
∞
(i) Ein Tangentenvektor von M in p oder eine Derivation von CM
(p0 ) ist per
definitionem eine Funktion
∞
v∶ ∶ CM
(p) Ð→ R, ϕ z→ v ⋅ ϕ
mit den folgenden Eigenschaften
∞ (p) ∀α,β∈R v ⋅ (α ϕ + β ψ) = α (v ⋅ ϕ) + β (v ⋅ ψ),
(Der 1) ∀ϕ,ψ∈CM
∞ (p) v ⋅ (ϕ ψ) = (v ⋅ ϕ) ψ(p) + ϕ(p) (v ⋅ ψ).
(Der 2) ∀ϕ,ψ∈CM
(ii) Wir setzen Tp M als die Menge aller Tangentenvektoren von M in p und
nennen Tp M den Tangentialraum von M in p.
12
d.h. wieder per definitionem, daß sich c zu einem auf einem I umfassenden offenen Intervall
definierten differenzierbaren Weg fortsetzen läßt
66
Tp M ist als Menge R-wertiger Funktionen in kanonischer Weise ein RVektorraum, also gilt
∞ (p) (v + w) ⋅ ϕ = v ⋅ ϕ + w ⋅ ϕ,
∀v,w∈Tp M ∀ϕ∈CM
∀v∈Tp M ∀α∈R (α v) ⋅ ϕ = α (v ⋅ ϕ).
Wir haben in 3.14 gesehen, daß für jeden differenzierbaren Weg c∶ I → M
und jedes t ∈ I, p ∶= c(t) gilt ċ(t) ∈ Tp M . Wir werden später sehen, daß
auch alle Tangentenvektoren v ∈ Tp M Geschwindigkeitsvektoren sind, d.h.
v = ċ(t) für geeignete c, t.
Definition 3.16.
(i) Seien n ∈ N+ , M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit
sowie p ∈ M und u ∈ AM mit p ∈ Gu. Wir definieren dann für jedes
i ∈ {1, . . . , n}
∂
∣ ∶ C ∞ (p) Ð→ R durch
∂ui p M
∂
∂ϕ
∣ ⋅ ϕ ∶=
(p)
∂ui p
∂ui
∶= ∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p))
=
=
(t z→ (ϕ ○ u−1 )(u(p) + t ei )) (0)
′
(89)
(ϕ ○ c)′ (0) = ċ(0) ⋅ ϕ,
wobei c(t) ∶= u−1 (u(p) + t ei ),
(88)
es gilt also
∂
∣ = ċ(0).
∂ui p
(Hierbei bezeichnet ∂i die i-te partielle Ableitung und ei den i-ten Einheitsvektor des Rn .)
Aus (89) und 3.14 folgt
∀i∈{1,...,n}
∂
∣ ∈ Tp M.
∂ui p
(90)
∀i,j∈{1,...,n}
∂uj
(p) = δij ,
∂ui
(91)
Ferner gilt
∂
∂
∣ ,...,
∣ sind R-linear unabhängig in Tp M .
∂u1 p
∂un p
[ (91) gilt wegen
∂uj
(89)
©
′
(p) = (t z→ ( uj ○u−1 )(u(p) + t ei ) ) (0) = δij ,
∂ui
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
=xj ○u
=uj (p)+t δij
67
(92)
und da für alle α1 , . . . , αn ∈ R aus
n
∂
∣ = 0Tp M
∂ui p
∑ αi
i=1
für jedes j ∈ {1, . . . , n}
n
∂
∣ ⋅ uj = 0
∂ui p
∑ αi
i=1
folgt, ergibt (91), daß αj = 0, also gilt auch (92). ]
(ii) Wähle in (i) speziell M = Rn und u ∶= x ∶= idRn . Dann ist nach (89) für
alle p ∈ Rn und i ∈ {1, . . . , n}
∂
∣ ∈ Tp Rn
∂xi p
(93)
charakterisiert durch
∀ϕ∈CR∞n (p)
∂ϕ
∂
∣ ⋅ϕ=
(p) = ∂i ϕ(p),
∂xi p
∂xi
∂
∣ ∈ Tp Rn ist also i-te partielle Ableitung in p i. S. d. Analysis. (94)
∂xi p
Ist zusätzlich n = 1, so schreiben wir einfach
d
∂
∣ für
∣ , also
dx p
∂x1 p
d
∣ ∈ Tp R ist die übliche Ableitung in p i. S. d. Analysis.
dx p
(95)
Lemma 3.17. Es seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, p ∈ M und
∞
v ∈ Tp M . Seien ferner G ∈ U ○(p, M ) und ϕ ∈ CM
(G). Dann gilt:
(i) ϕ∶ G Ð→ R konstant Ô⇒ v ⋅ ϕ = 0.
(ii) U ∈ U ○(p, M ) Ô⇒ v ⋅
= v ⋅ ϕ.
ϕ∣U
°
=ϕ 1U ∶ G∩U →R
Beweis. Zunächst gilt
∀U ∈U ○(p,M ) v ⋅ 1U = 0.
(96)
[ Aus
v ⋅ 1U
= v ⋅ (1U 1U )
= 2 (v ⋅ 1U )
(Der 2)
=
(v ⋅ 1U ) 1U (p) + 1U (p) (v ⋅ 1U )
folgt (96). ]
Zu (i): Ist ϕ konstant vom Wert α ∈ R, so folgt
v ⋅ ϕ = v ⋅ (α 1G )
Zu (ii): v ⋅ (ϕ 1U )
(Der 1)
=
(Der 1)
=
α (v ⋅ 1G ) = 0.
(96)
(v ⋅ ϕ) 1U (p) + ϕ(p) (v ⋅ 1U ) = v ⋅ ϕ.
(96)
68
2
Bemerkung 3.18. Ist M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine
offene differenzierbare Untermannigfaltigkeit von M , so identifizieren wir für
alle p ∈ U die Tangentialräume Tp U und Tp M miteinander, d.h. wir fassen den
kanonischen R-Vektorraum-Isomorphismus
Tp U
Ð→ Tp M
∞
v z→ CM
(p) → R, ϕ ↦ v ⋅ ϕ∣U
mit Umkehrabbildung
Ð→ Tp U
Tp M
w z→ w∣CU∞ (p)
als Identität auf.
Satz 3.19.
Vor.: Seien n ∈ N, M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und
p ∈ M.
Beh.: Tp M ist in kanonischer Weise ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Genauer ist für u ∈ AM mit p ∈ Gu
{
∂
∂
∣ ,...,
∣ }
∂u1 p
∂un p
eine Basis von Tp M über R, die sogenannte Gaußsche Basis von Tp M bzgl. u,
und es gilt:
n
∂
∣ .
(97)
∀v∈Tp M v = ∑(v ⋅ ui )
∂ui p
i=1
Beweis. Sei u ∈ AM mit p ∈ Gu. Nach (92) genügt es zu zeigen, daß (97) gilt.
∞
Sei also v ∈ Tp M und seien G ∈ U ○(p, M ) sowie ϕ ∈ CM
(G). Zu zeigen ist
n
v ⋅ ϕ = ∑(v ⋅ ui )
i=1
∂
∣ ⋅ ϕ.
∂ui p
(98)
Wir werden beweisen, daß
n
∞ (U )
∃U ∈U ○(p,Gu∩G) ∃ϕ1 ,...,ϕn ∈CM
ϕ∣U = ϕ(p) 1U + ∑(ui − ui (p) 1U ) ϕi
i=1
und ∀i∈{1,...,n} ϕi (p) =
∂
∣ ⋅ ϕ.
∂ui p
(99)
Die Taylor-Entwicklung von ϕ ○ u−1 in u(p) besagt übrigens für Punkte q in
einer Umgebung von p
ϕ(q)
=
=
=
(ϕ ○ u−1 ) (u(q))
(ϕ ○ u−1 ) (u(p)) + du(p) (ϕ ○ u−1 ) (u(q) − u(p)) + . . . + Restglied
n
(ϕ ○ u−1 ) (u(p)) + du(p) (ϕ ○ u−1 ) (∑(ui (q) − ui (p)) ei ) + . . .
i=1
69
+ . . . + Restglied
n
ϕ(p) + ∑(ui (q) − ui (p))∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p)) + . . . + Restglied
=
3.16
=
i=1
n
ϕ(p) + ∑(ui (q) − ui (p))
i=1
∂
∣ ⋅ ϕ + . . . + Restglied.
∂ui p
Aus (99) ergibt sich
3.17(ii)
=
v⋅ϕ
v ⋅ ϕ∣U
n
v ⋅ (ϕ(p) 1U ) + ∑ ( (v ⋅ ui − v ⋅ (ui (p) 1∣U )) ϕi (p)
(Der 1),(Der 2)
=
i=1
+(ui (p) − ui (p)) (v ⋅ ϕi ))
n
n
i=1
i=1
∑(v ⋅ ui ) ϕi (p) = ∑(v ⋅ ui )
3.17(i)
=
∂
∣ ⋅ ϕ,
∂ui p
d.h. es gilt (98).
Zu (99): Sei V eine offene Vollkugel um u(p) in Rn mit V ⊂ u(Gu ∩ G)
und sei U ∶= u1 (V ), also U ∈ U ○(p, Gu ∩ G). Wir definieren für jedes q ∈ U die
differenzierbare Funktion ψq ∶ [0, 1] → R durch
ψq (t) ∶= (ϕ ○ u−1 ) (u(p) + t (u(q) − u(p))).
(100)
Dann folgt
ϕ(q) − ϕ(p) = (ϕ ○ u−1 ) (u(q)) − (ϕ ○ u−1 ) (u(p))
= ψq (1) − ψq (0) = ∫
1
(100)
=∫
0
1 n
0
ψq ′ (t) dt
∑ ∂i (ϕ ○ u ) (u(p) + t (u(q) − u(p))) (ui (q) − ui (p)) dt.
(101)
−1
i=1
Wir definieren weiter für jedes i ∈ {1, . . . , n} ϕ̃i ∶ V → R durch
ϕ̃i (a) ∶= ∫
0
1
∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p) + t (a − u(p))) dt.
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶
(102)
differenzierbar in (a,t)∈V ×[0,1]
Nach dem Satz über die differenzierbare Abhängigkeit des Integrales von einem
differenzierbaren Parameter im Integranden gilt ϕ̃i ∈ CR∞n (V ), also auch
∞
ϕi ∶= ϕ̃i ○ u ∈ CM
(U ).
(103)
Nun gilt für alle q ∈ U aus (101), (103) und (102)
n
ϕ(q) = ϕ(p) + ∑(ui (q) − ui (p)) ∫
i=1
n
1
0
∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p) + t (u(q) − u(p))) dt
= ϕ(p) + ∑(ui (q) − ui (p)) ϕi (q)
i=1
70
sowie für i ∈ {1, . . . , n} aus (103) und (102)
ϕi (p) = ϕ̃i (u(p)) = ∫
0
1
∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p)) dt
´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶
konstant
= ∂i (ϕ ○ u−1 ) (u(p)) =
3.16
∂
∣ ⋅ ϕ,
∂ui p
womit (99) bewiesen ist.
2
Bemerkung 3.20. Sei M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann gilt
Tp M = {ċ(t) ∣ c∶ I Ð→ M differenzierbarer Weg mit t ∈ I und c(t) = p},
m. a. W.: Alle Tangentenvektoren sind Geschwindigkeitsvektoren.
[ Beweis: „⊃“ haben wir bereits in 3.15 eingesehen.
Zu „⊂“: Sei v ∈ Tp M . Wähle u ∈ AM mit p ∈ Gu und setze
a ∶= (v ⋅ u1 , . . . , v ⋅ un ) ∈ Rn ,
wobei n ∶= dim M . Dann wird durch
c(t) ∶= u−1 (u(p) + t a)
ein differenzierbarer Weg c∶ ] − ε, ε[ → M definiert (wobei ε ∈ R+ hinreichend
klein) mit c(0) = p und
ċ(0)
(97)
=
=
n
∑(ċ(0) ⋅ ui )
i=1
n
n
∂
∂
∣ = ∑(ui ○ c)′ (0)
∣
∂ui p i=1
∂ui p
−1
∑ (t ↦ (xi ○ u ○ u )(u(p) + t a)) (0)
′
i=1
n
∂
∂
∣ = ∑ (v ⋅ ui )
∣ ,
∂ui p i=1
∂ui p
beachte hierbei die Definition von a. ]
Definition 3.21 (Tangentialabbildung). Seien f ∶ M → N eine differenzierbare Abbildung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten und p ∈ M . Wir
definieren dann die R-lineare Abbildung
Tp f ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N,
die sogenannte Tangentialabbildung von f in p, durch
∀v∈Tp M ∀ϕ∈CN∞ (f (p)) Tp f (v) ⋅ ϕ ∶= v ⋅ (ϕ ○ f ).
(104)
Zeige als Übung, daß Tp f (v) tatsächlich die Derivationseigenschaften erfüllt,
d.h. Tp f (v) ∈ Tf (p) M .
Wir schreiben im folgenden auch f∗p anstelle von Tp f . f∗p wird auch die
von f in p induzierte Abbildung genannt.
71
Beispiel.
a) Seien f ∶ M → N wie oben und c∶ I → M ein differenzierbarer Weg in M .
Dann ist f ○ c∶ I → N ein differenzierbarer Weg in N mit
˙
∀t∈I f∗p ċ(t) = f̂
○ c(t).
(105)
∞
Denn für alle t ∈ I und alle ϕ ∈ CN
(f (p)) gilt
(104)
(88)
˙
f∗c(t) ċ(t) = ċ(t) ⋅ (ϕ ○ f ) = (ϕ ○ f ○ c)′ (t) = f̂
○ c(t)ϕ.
b) Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und c∶ I → M ein differenzierbarer Weg in M . Dann gilt
∀t∈I c∗t (
d
∣ ) = ċ(t).
dx t
(106)
∞
Denn für alle t ∈ I und alle ϕ ∈ CM
(c(t)) gilt
c∗t (
d
d
∣ )⋅ϕ=
∣ (ϕ ○ c) = (ϕ ○ c)′ (t) = ċ(t) ⋅ ϕ.
dx t
dx t
Satz 3.22.
Vor.: Seien m, n ∈ N, M eine m-dimensionale und N eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, f ∶ M → N eine differenzierbare Abbildung sowie
p ∈ M . Ferner seien u ∈ AM mit p ∈ Gu und v ∈ AN mit f (p) ∈ Gv.
Beh.: Die Matrix der R-linearen Abbildung
f∗p ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N
bzgl. der geordneten Basen ( ∂u∂ 1 ∣ , . . . ,
p
∂
∂um ∣p )
und ( ∂v∂ 1 ∣
Tp M und Tf (p) N ist gleich der Funktionalmatrix
f (p)
,...,
∂
∂vn ∣f (p) )
von
(∂j (vi ○ f ○ u−1 ) (u(p)))i∈{1,...,n},j∈{1,...,m}
von v ○ f ○ u−1 in u(p).
Beweis. Für j ∈ {1, . . . , m} gilt
f∗p
∂
∣
∂uj p
3.19
=
⎛⎛
∂ ⎞ ⎞ ∂
f∗p
∣ ⋅ vi
∣
∂uj p ⎠ ⎠ ∂vi f (p)
i=1 ⎝⎝
n
∑
⎛ ∂
⎞ ∂
∣ ⋅ (vi ○ f )
∣
⎠ ∂vi f (p)
i=1 ⎝ ∂uj p
n
(97)
∑
(89)
−1
∑ (∂j ⋅ (vi ○ f ○ u ) (u(p)))
=
=
n
i=1
∂
∣
.
∂vi f (p)
2
72
Satz 3.23 (Eigenschaften der Tangentialabbildung). Seien M, N, Q differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f ∶ M → N , g∶ N → Q differenzierbare Abbildungen. Dann gilt
(i) f ∶ M Ð→ N konstant Ô⇒ ∀p∈M f∗p = 0,
(ii) ∀p∈M (g ○ f )∗p = g∗f (p) ○ f∗p ,
(iii) ∀p∈M (idM )∗p = idTp M ,
(iv) f ∶ M Ð→ N Diffeomorphismus
Ô⇒ ∀p∈M f∗p ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N R-Vektorraum-Isomorphismus mit
(f∗p )−1 = (f −1 )∗f (p) .
(v) Seien u ∈ AM und p ∈ Gu ⊂ M . Dann gilt:
∀i∈{1,...,dim M }
d.h. u∗p
∂
∂ui ∣p
=
∂
∂
∣ = (u−1 )∗u(p)
∣
,
∂ui p
∂xi u(p)
∂
∂xi ∣u(p) .
Beweis als Übung 11.1.
2
Satz 3.24.
Vor.: Seien n ∈ N, V ein n-dimensionaler R-Vektorraum und p ∈ V .
Beh.: Ip ∶ V → Tp V, definiert durch
Ip (a) ∶= c˙a (0), wobei ca ∶ R Ð→ V, t z→ p + t a,
ist ein R-Vektorraum-Isomorphismus.
Ip (a) heißt Richtungsableitung im Punkte p in Richtung a. (Bechte, daß für
ϕ ∈ CV∞ (p) gilt Ip (a) = (t ↦ ϕ(p + t a))′ (0) = dp ϕ(a).)
Die Unkehrabbildung Ip −1 ∶ Tp V → V ist gegeben durch
#»
v ∶= Ip −1 (v) = c′ (t0 ), wobei c∶ I Ð→ V beliebiger differenzierbarer Weg mit
t0 ∈ I, c(t0 ) = p und ċ(t0 ) = v.
Beweis. Sei u∶ V → Rn ein R-Vektorraum-Isomorphismus, also nach 3.10 a)
u ∈ AV .
1.) Für alle a ∈ Rn gilt
Ip (a)
=
=
ui linear
=
=
n
∂
∣
∂ui p
i=1
n
∂
′
∣
∑ (t ↦ ui (p + t a)) (0)
∂ui p
i=1
n
∂
′
∣
∑ (t ↦ ui (p) + t ui (a)) (0)
∂ui p
i=1
n
∂
∣ ,
∑ ui (a)
∂ui p
i=1
c˙a (0) = ∑ (c˙a (0) ⋅ ui )
73
(107)
also insbesondere
∀i∈{1,...,n} Ip (a) ⋅ ui = ui (a).
(108)
Ip ∶ V Ð→ Tp V ein R-Vektorraum-Isomorphismus.
(109)
Wegen der R-Linearität der ui und (107) ist Ip R-linear. Ferner ist Ip injektiv,
da aus Ip (a) = 0 nach (108) u(a) = 0 und somit a = 0 (da u injektiv) folgt. Wegen
dim V = dim Tp V ist daher
2.) Zur Wohldefiniertheit von h∶ Tp V → V, v ↦ #»
v : Sei c∶ I → V ein differenzierbarer Weg mit t0 ∈ I und c(t0 ) = p. Dann folgt für jedes i ∈ {1, . . . , n}
ċ(t0 ) ⋅ ui = (ui ○ c)′ (0) = dc(t0 ) ui (c′ (t0 ))
also
ui linear
=
ui (c′ (t0 )),
c′ (t0 ) = u−1 (ċ(t0 ) ⋅ u1 , . . . , ċ(t0 ) ⋅ un ),
und die rechte Seite hängt nur von ċ(t0 ) ∈ Tp V ab.13 Hieraus folgt die Wohldefiniertheit von h und
∀v∈Tp V #»
v = h(v) = u−1 (v ⋅ u1 , . . . , v ⋅ un ).
(110)
3.) Schließlich gilt wegen
∀a∈V h(Ip (a)) = u−1 (Ip (a) ⋅ u1 , . . . , Ip (a) ⋅ un ) = u−1 (u(a)) = a
(110)
(108)
h ○ Ip = idV , also auch nach (109) h = Ip −1 .
2
Satz 3.25.
Vor.: Seien V, W endlich-dimensionale R-Vektorräume, G ⊂ V offen, f ∶ G → W
differenzierbar und p ∈ G.
# »
v ).
Beh.: ∀v∈Tp G=Tp V f∗p v = dp f ( #»
Beweis. Seien v ∈ Tp M und c∶ I → V ein differenzierbarer Weg in V mit
t0 ∈ I, c(t0 ) = p und ċ(t0 ) = v. Dann folgt
»
#
» (105) # ˙
# »
3.24
○ c(t0 ) = (f ○ c)′ (t0 )
f∗p v = f∗p ċ(t0 ) = f̂
# »
3.24
= dp f (c′ (t0 )) = dp f (ċ(t0 )) = dp f ( #»
v ).
2
Mit 3.24 und 3.25 ist das zu Beginn dieses Abschnittes formulierte Ziel erreicht.
Hauptsatz 3.26 (Umkehrsatz).
Vor.: Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten, f ∶ M → N eine differenzierbare Abbildung und p ∈ M derart, daß f∗p ∶ Tp M → Tf (p) N ein R-VektorraumIsomorphismus ist.
Beh.: Es existiert eine Umgebung U von p ∈ M derart, daß f ∣U ∶ U → f (U ) ein
Diffeomorphismus ist.
13
A priori hängt die rechte Seite auch von u ab. Da aber die linke Seite nicht von u abhängt,
gilt dies auch für die rechte Seite.
74
Beweis als Übung.
2
Bemerkung 3.27. Seien M eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, G ⊂ M offen, p ∈ G und v ∈ Tp G = Tp V . Dann gilt:
#» 3.25 # »
∞ (G) dp ϕ( v ) = ϕ∗p v = v ⋅ ϕ =∶ dp ϕ(v) , also ist dp ϕ∶ Tp M → R eine
(i) ∀ϕ∈CM
R-lineare Abbildung, das sogenannte Differential von ϕ in p.
Denn seien c∶ I → V ein differenzierbarer Weg in G und t0 ∈ I mit c(t0 ) = p
und ċ(t0 ) = v, so folgt
#
»
#
» (105) ̂
3.24
˙
′
# »
ϕ
∗p v = f∗p ċ(t0 ) = f ○ c(t0 ) = (f ○ c) (t0 ) = ċ(t0 ) ⋅ ϕ = v ⋅ ϕ.
(ii) Allgemeiner gilt für alle k ∈ N+ und alle differenzierbaren Abbildungen
h = (h1 , . . . , hk )∶ G → Rk
# »
h∗p v = (v ⋅ h1 , . . . , v ⋅ hk ) =∶ v ⋅ h.
Denn sind c, t0 wie oben, so gilt
# »
h∗p v = . . . = (h ○ c)′ (t0 ) = ((h1 ○ c)′ (t0 ), . . . , (hk ○ c)′ (t0 ))
= . . . = (v ⋅ h1 , . . . , v ⋅ hk ).
c) Auch im Falle eines beliebigen Vektorraumes W mit dim W ∈ N+ definieren
wir für alle differenzierbaren Abbildungen h∶ G → W
# »
h∗p v =∶ v ⋅ h.
Hauptsatz 3.28.
Vor.: Seien n ∈ N+ und M eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit.
π∶ ⊍ Tp M Ð→ M
p∈M
bezeichne die Abbildung, die jedem Tangentenvektor seinen Fußpunkt zuordnet.
Beh.: Es existiert genau eine differenzierbare Mannigfaltigkeit T M mit zugrundeliegender Menge ⊍p∈M Tp M derart, daß u ∈ AT M für jedes u ∈ AM , wobei
u∶ Gu ∶= π 1 (Gu) → u(Gu) × Rn ⊂ Rn × Rn definiert ist durch
u(z) ∶= ((u ○ π)(z), z ⋅ u) = (u1 (π(z)), . . . , un (π(z)), z ⋅ u1 , . . . z ⋅ un ).
(u1 (π(z)), . . . , un (π(z))) heißen Fußpunktskoordinaten und (z ⋅u1 , . . . z ⋅un )
Richtungskoordinaten von z bzgl. u.
Für (a, (b1 , . . . , bn )) ∈ u(Gu) × Rn gilt ferner
n
u−1 (a, (b1 , . . . , bn )) = ∑ bi
i=1
∂
∣
.
∂ui u−1 (a)
u heißt die zu der Karte u von M assoziierte Bündelkarte von T M .
T M heißt das Tangentialbündel von M .
Beweis als Übung 11.2.
2
75
Immersionen und Untermannigfaltigkeiten
Definition 3.29 (Immersion, Submersion, Einbettung). Seien M , N differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
(i) Eine differenzierbare Abbildung f ∶ M → N heißt Immersion bzw. Submersion, wenn für jedes p ∈ M die Tangentialabbildung f∗p ∶ Tp M → Tf (p) N
injektiv bzw. surjektiv ist. In diesem Falle gilt also dim M ≤ dim N bzw.
dim M ≥ dim N .
(ii) Eine Immersion f ∶ M → N heißt differenzierbare Einbettung, wenn M
durch f homöomorph auf den Teilraum f (M ) von N abgebildet wird.
Beispiel 3.30.
a) Seien n, m ∈ N+ und G ⊂ Rm offen. Dann ist nach 3.22 f ∶ G → Rn genau dann eine Immersion bzw. Submersion, wenn f ∶ G → Rn eine C ∞ Abbildung im Sinne der Analysis ist und (∂j fi (p))i∈{1,...,n},j∈{1,...,m} für
jedes p ∈ G Rang m bzw. n hat.
b) c∶ R → R2 , t ↦ (sin(t), sin(2t)), ist eine Immersion.
[ Denn für jedes t ∈ R hat (
cos(t)
cos(t)
)=(
) Rang 1. ]
2 cos(2t)
4 cos2 (t) − 2
Immersionen brauchen also nicht injektiv zu sein.
Ferner ist c∣]−π,π[ eine injektive Immersion, aber keine differenzierbare Einbettung. c(R) = c(] − π, π[) heißt Lemniskate.
[ Z.B. weil ] − π, π[ im Gegensatz zu c(] − π, π[) nicht kompakt ist. ]
c∣]−π+ε,π−ε[ ist jedoch für jedes ε ∈ ]0, π[ eine differenzierbare Einbettung.
Hauptsatz 3.31.
Vor.: Seien m, n ∈ N, M und N m- bzw. n-dimesnionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f ∶ M → N eine Immersion, also gilt m ≤ n.
Beh.: Zu jedem p ∈ M existieren eine Umgebung U ∈ U ○(p, M ) und eine Karte
v ∈ AN (mit f (p) ∈ Gv 14 ) derart, daß gilt
1.) f (U ) = {q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0} (= Gv im Falle m = n),
2.) u ∶= (v1 ○ f, . . . , vm ○ f )∣U ∈ AM ,
3.) ∀i∈{1,...,m} ∀p̃∈U f∗p̃
∂
∂ui ∣p̃
=
∂
∂vi ∣f (p̃)
und
4.) f ∣U ∶ U Ð→ N ist differenzierbare Einbettung.
Insbesondere ist jede Immersion lokal eine differenzierbare Einbettung.
14
dies folgt auch aus 1.)
76
Beweis. Wir wählen ũ ∈ AM mit p ∈ Gũ und ũ(p) = 0 sowie ṽ ∈ AN mit
f (p) ∈ Gṽ und ṽ(f (p)) = 0. Dann ist ṽ ○ f ○ ũ−1 eine differenzierbare Abbildung
von ũ(Gũ) ∈ U ○(0, Rm ) in ṽ(f (Gũ) ∩ Gṽ) ∈ U ○(0, Rn ) mit (ṽ ○ f ○ ũ−1 ))(0) = 0
und
(ṽ ○ f ○ ũ−1 )∗0 = ṽ∗f (p) ○ f∗p ○ (ũ−1 )∗0 injektiv,
d.h. nach 3.25: d0 (ṽ ○ f ○ ũ−1 ) ∈ L(Rm , Rn ) ist injektiv.
In der Analysis beweist man, daß dann ein Diffeomorphismus g einer Umgebung von 0 in Rn auf eine Umgebung von 0 in Rn und eine Umgebung V von
0 ∈ Rm existieren derart, daß
g ○ (ṽ ○ f ○ ũ−1 )∣U = ι∣V mit ι ∶= (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0)∶ Rm Ð→ Rn ≅ Rm × Rn−m .
(111)
1
Dann ist U ∶= ũ (V ) eine Umgebung von p in M und v∶ Gv → v(Gv),
definiert durch
v ∶= g ○ ṽ∣g○ṽ1 (V ×Rn−m ) ,
ist eine differenzierbare Karte von N .
Nun verifizieren wir 1.) bis 4.):
Zu 1.): Wegen (Rm × {0}) ∩ v(Gv) = ι(V )15 ist die rechte Seite in 1.) gleich
v 1 (ι(V )) = g ○ ṽ (ι(V )) = (f ○ ũ−1 )(V ) = f (U ).
1
(111)
Zu 2.): Für jedes i ∈ {1, . . . , m} und jedes p̃ ∈ U ⊂ Gũ gilt nach Definition
von u (in 2.))
ui (p̃)
=
Def. v
=
(111)
=
(vi ○ f ) ○ (ũ−1 ○ ũ)(p̃) = (xi ○ v ○ f ○ ũ−1 )(ũ(p̃))
(xi ○ g ○ ṽ ○ f ○ ũ−1 )(ũ(p̃))
(xi ○ ι)(ũ(p̃)) = ui (p̃).
Daher haben wir u = ũ∣U gezeigt, also folgt wegen ũ ∈ AM auch u ∈ AM und
u(U ) = ũ(U ) = V .
Zu 3.): Für i ∈ {1, . . . , m} und j ∈ {1, . . . , n} gilt
also
∂
∂ui ∣p̃
⎧
⎪
⎪uj , j ≤ m
(vj ○ f ∣U ) = ⎨
⎪
⎪
⎩0, j > m,
⋅ (vj ○ f ∣U ) = δij und somit
f∗p̃
15
n
∂
∂
∂
∂
∣ = ∑ ((f∗p̃
∣ ) ⋅ vj )
∣
=
∣
.
∂ui p̃ j=1
∂ui p̃
∂vj f (p̃) ∂vi f (p̃)
„⊂“ (Rm × {0}) ∩ v(Gv) ⊂ (Rm × {0}) ∩ (V × Rn−m ) ⊂ V × {0} = ι(V ).
(111)
„⊃“ ι(V ) ⊂ Bild(g ○ ṽ) und ι(V ) = V × {0} ⊂ V × Rn−m , also
ι(V ) ⊂ Bild(g ○ ṽ) ∩ (V × Rn−m ) = v(Gv).
Ferner ι(V ) = V × {0} ⊂ Rm × {0}.
77
Zu 4.): f ∣U = v −1 ○ (v ○ f ○ ũ−1 ) ○ ũ∣U
=
v −1 ○ ι ○ ũ∣U und ũ bildet
U homöomorph auf V ab, ι bildet V homöomorph auf ι(V ) = V × {0} ab,
und v −1 bildet ι(V ) homöomorph auf f (U ) ab. Daher ist f ∣U ∶ U → f (U ) ein
Homöomorphismus und somit eine differenzierbare Einbettung.
2
(111), Def. v
Satz 3.32 (Eigenschaften von Immersionen). Seien M, N, Q differenzierbare
Mannigfaltigkeiten und m ∶= dim M , n ∶= dim N . Dann gilt:
(i) f ∶ M Ð→ N Immersion und g∶ N Ð→ Q Immersion
Ô⇒ g ○ f ∶ M Ð→ Q Immersion,
(ii) idM ∶ M Ð→ M Immersion,
(iii) f ∶ M Ð→ N Immersion Ô⇒ f lokal injektiv,
(iv) m = n und f ∶ M Ð→ N Immersion Ô⇒ f offene Abbildung.
(v) Im Falle m = n ist f ∶ M → N genau dann eine bijektive Immersion, wenn
f ∶ M → N ein Diffeomorphismus ist.
Beweis. (i), (ii) und (iii) sind klar nach 3.23(ii), 3.23(iii) und 3.31.
Zu (iv): Nach dem Unkehrsatz 3.26 (oder nach 3.31) existiert zu jedem p ∈ M
eine Umgebung Up ∈ U ○(p, M ) derart, daß f (Up ) eine offene Teilmenge von N
ist. Ist dann G ⊂ M offen, so folgt, daß auch f (G) = ⋃p∈G f (G ∩ Up ) offen in N
ist.
Zu (v): „⇐“ Für alle p ∈ M gilt nach 3.23
idTp M = (idM )∗p = (f −1 )∗f (p) ○ f∗p ,
folglich ist f∗p injektiv.
„⇒“ Zu zeigen ist, daß f −1 ∶ N → M differenzierbar ist.
Seien q ∈ N und p ∶= f −1 (q) ∈ M . Da f Immersion ist und m = n, so ist
f∗p ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N
ein R-Vektorraum-Isomorphismus. Daher existiert nach dem Umkehrsatz eine
Umgebung U ∈ U ○(p, M ) derart, daß
f ∣U ∶ U Ð→ f (U )
ein Diffeomorphismus ist. Somit ist
f −1 ∣f 1 (U ) ∶ f (U ) Ð→ U
1
differenzierbar, also auch (da U ↪ M differenzierbar ist)
f −1 ∣f 1 (U ) ∶ f (U ) Ð→ M.
1
Wegen f (U ) ∈ U ○(f (p), N ) ist damit gezeigt, daß f −1 ∶ N → M lokal differenzierbar ist, also nach 3.12(iv) auch differenzierbar.
2
78
Definition 3.33 (Untermannigfaltigkeiten). Seien m, n ∈ N und M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m bzw. n.
(i) M heißt differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N , wenn gilt:
1.) M ⊂ N und
2.) die Inklusion M ֒Ð→N ist eine Immersion.
(ii) M heißt reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N , wenn gilt:
1.) M ⊂ N und
2.) die Inklusion M ֒Ð→N ist eine differenzierbare Einbettung.
1.) und 2.) sind offenbar genau dann erfüllt, wenn M eine differenzierbare
Untermannigfaltigkeit von M ist und die Topologie von M die Teilraumtopologie bzgl. N ist.
Satz 3.34.
Vor.: Seien m, n ∈ N, M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
m bzw. n und f ∶ M → N eine differenzierbare Einbettung.
Beh.: Zu jedem p ∈ M existiert eine Karte v ∈ AN mit f (p) ∈ Gv und
1.) Gv ∩ f (M ) = {q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0} und
2.) u ∶= (v1 ○ f, . . . , vm ○ f ) ∈ AM .
Beweis. Sei p ∈ M . Nach 3.31 existieren U ∈ U ○(p, M ) und ṽ ∈ AN mit
f (p) ∈ Gṽ sowie
f (U ) = {q ∈ Gṽ ∣ ṽm+1 (q) = . . . = ṽn (q) = 0} und (ṽ1 ○ f, . . . , ṽm ○ f ) ∈ AM . (112)
Nach Voraussetzung ist f ein Homöomorphismus von M auf den topologischen Teilraum f (M ) von N . Daher ist f (U ) offen im Teilraum f (M ) von N ,
also existiert V ∈ U ○(f (p), N ) mit
f (U ) = V ∩ f (M ).
(113)
v ∶= ṽ∣Gṽ∩V ,
(114)
Wir setzen
also v ∈ AN mit f (p) ∈ Gv. Dann gilt
Gv ∩ f (M ) = Gṽ ∩ V ∩ f (M ) = Gṽ ∩ f (U ) = f (U ),
(115)
f (U ) ⊂ Gv ⊂ Gṽ.
(116)
(113)
also auch
(115)
(112)
(114)
Wir beweisen nun 1.) und 2.):
Gv ∩ f (M )
(115)
=
(114)
=
f (U )
(116),(112)
=
{q ∈ Gv ∣ ṽm+1 (q) = . . . = ṽn (q) = 0}
{q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0},
79
also ist 1.) gezeigt.
Des weiteren gilt
Gu
Def. u
=
f (Gv) = f (Gv ∩ f (M )) = f (f (U )) = U
1
(115)
1
1
f inj.
und für jedes i ∈ {1, . . . , m} und jedes p̃ ∈ U
ui (p̃)
Def. u
=
vi (f (p̃)) = ṽi (f (p̃)),
(114)
also u = (ṽ1 ○ f, . . . , ṽm ○ f )∣U ∈ AM .
2
Bemerkung 3.35. Seien V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und M
eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit der Dimension m ∈ N von V . Es
bezeichne i∶ M ↪ V die (immersive) Inklusion. Dann gilt trivialerweise für jedes
p ∈ M:
#
»
# »
jp ∶ Tp M Ð→ {p} + i∗p (Tp M ), v z→ p + i∗p v,
ist eine kanonische Bijektion von Tp M auf einen m-dimensionalen affinen Untervektorraum von V , den sogenanten Tangentialraum von M in p im anschaulichen Sinne.
Ist c∶ I → M ein differenzierbarer Weg mit t∈ I und c(t0 ) = p, so folgt
#
»
jp (ċ(t0 )) = p + i∗p ċ(t0 ) = p + (i ○ c)′ (t0 ).
Satz 3.36. Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten. Dann gilt:
̃ eine differen(i) Ist f ∶ M → N differenzierbar bzw. eine Immersion und M
̃
zierbare Untermannigfaltigkeit von M , so ist auch f ∣M
̃∶ M → N differenzierbar bzw. eine Immersion.
̃ eine reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N sowie
(ii) Ist N
̃ , so ist f ∶ M → N genau dann
f ∶ M → N eine Abbildung mit f (M ) ⊂ N
̃ differenzierbar bzw.
differenzierbar bzw. eine Immersion, wenn f ∶ M → N
eine Immersion ist.
̃ ↪ N ist eine Immersion. AuBeweis. Zu (i): Die Inklusionsabbildung i∶ M
ßerdem gilt f ∣M
̃ = f ○ i. Hieraus folgt die Behauptung, vgl. 3.32(i).
̃ ↪ N ist eine differenzierbare Einbettung und
Zu (ii): Die Inklusion j∶ N
̃ ).
(f ∶ M Ð→ N ) = j ○ (f ∶ M Ð→ N
(117)
„⇐“ folgt sofort aus (117).
̃ stetig, da N
̃ die Teilraumtopologie bzgl. N
„⇒“ Zunächst ist f ∶ M → N
besitzt.
̃ . Da j∶ N
̃ ↪ N eine
Seien p ∈ M , m ∶= dim M , n ∶= dim N und ñ ∶= dim N
̃
differenzierbare Einbettung ist und f (p) ∈ f (M ) ⊂ N , so existiert nach 3.34 eine
Karte v ∈ AN mit j(f (p)) = f (p) ∈ Gv derart, daß
ṽ ∶= (v1 ○ j, . . . , vñ ○ j) = (v1 , . . . , vñ )∣Gv∩Ñ ∈ AÑ .
80
Sei u ∈ AM mit p ∈ Gu und
Gu ⊂ f (Gv)
1
̃
f (M )⊂N
⊂
1
̃ ) = f 1 (Gṽ).
f (Gv ∩ N
Wegen der Differenzierbarkeit von f ist
v ○ f ○ u−1 ∶ u(Gu) Ð→ Rn
differenzierbar, also nach Analysis (wegen der Differenzierbarkeit der kanonischen Projektion Rn → Rñ ) auch
ṽ ○ f ○ u−1 ∶ u(Gu) Ð→ Rñ .
Da ṽ(Gṽ) in Rñ offen ist, ist ṽ ○ f ○ u−1 auch als Abbildung u(Gu) → ṽ(Gṽ)
differenzierbar. Daher ist
f ∣Gu = ṽ −1 ○ (ṽ ○ f ○ u−1 ) ○ u∶ Gu Ð→ Gṽ
̃ , denn Gṽ ist offen in N
̃.
differenzierbar, also auch als Abbildung Gu → N
̃ lokal
Wegen der Beliebigkeit von p ∈ M ist damit gezeigt, daß f ∶ M → M
differenzierbar, also differenzierbar ist.
Ist f ∶ M → N eine Immersion, so folgt offenbar aus (117) indirekt, daß auch
̃ eine Immersion ist.
f∶ M → N
2
Beispiel 3.37.
a) Sei m ∈ N. Jede offene differenzierbare Untermannigfaltigkeit U einer mdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist m-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von M .
b) Sei M ∶= {(sin(t), sin(2t)) ∣ t ∈ R} = {(sin(t), sin(2t)) ∣ t ∈ ] − π, π[} ⊂ R2
und sei i∶ M ↪ R2 die Inklusion.
Definiere g1 ∶ ] − π, π[ → M durch g1 (t) = (sin(t), sin(2t)), also ist g1 bijektiv. Daher existiert offenbar genau eine 1-dimensionale differenzierbare
Mannigfaltigkeit M1 mit zugrundeliegender Menge M derart, daß
g1 ∶ ] − π, π[ Ð→ M1
ein Diffeomorphismus der regulären differenzierbaren Untermannigfaltigkeit ] − π, π[ von R auf M1 ist. Dann ist M1 eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit von R2 , die nicht regulär ist.
[ Denn nach 3.30 b) ist i ○ g1 ∶ ] − π, π[ → R2 eine Immersion, aber keine differenzierbare Einbettung. Wegen der Diffeomorphie der Abbildung
g1 −1 ∶ M1 → ] − π, π[ ist daher auch i = (i ○ g1 ) ○ g1 −1 ∶ M1 ↪ R2 eine Immersion, aber keine differenzierbare Einbettung. ]
Definiere g2 ∶ ]0, 2π[ → M durch g2 (t) = (sin(t), sin(2t)), also ist auch g2
bijektiv. Analog zu oben existiert genau eine 1-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit M2 mit zugrundeliegender Menge M derart, daß
g2 ∶ ]0, 2π[ Ð→ M2
81
ein Diffeomorphismus der regulären differenzierbaren Untermannigfaltigkeit ]0, 2π[ von R auf M2 ist, und M2 ist nicht-reguläre differenzierbare
Untermannigfaltigkeit von R2 .
M1 und M2 sind verschieden als topologische Räume, also erst recht auch
als differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
[ Denn die offene Teilmenge g1 (] − π2 , π2 [) von M1 ist nicht offen in M2 . ]
Wir haben also gezeigt, daß zwei differenzierbare Untermannigfaltigkeiten
einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit derselben zugrundeliegenden
Menge i.a. nicht übereinstimmen.
Hauptsatz 3.38.
Vor.: Seien m, n ∈ N und M eine m-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit,
N eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und f ∶ M → N eine
Abbildung.
Beh.: Es existiert höchstens eine m-dimensionale differenzierbare Struktur A
für M derart, daß f ∶ (M, A) → N eine Immersion ist.
Korollar 1. Zwei m-dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeiten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit derselben zugrundeliegenden topologischen Struktur stimmen überein.
2
Korollar 2. Zwei m-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeiten einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit mit derselben zugrundeliegenden
Menge stimmen überein.
2
Beweis. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit existiere eine m-dimensionale
differenzierbare Struktur A für M derart, daß gilt
f ∶ (M, A) Ð→ N ist Immersion,
(118)
insbesondere also m ≤ n. Seien
π∶ Rn Ð→ Rm , (p1 , . . . , pn ) z→ (p1 , . . . , pm ),
und
ι∶ Rm Ð→ Rn , (p1 , . . . , pm ) z→ (p1 , . . . , pn , 0, . . . , 0),
die kanonischen (differenzierbaren) Abbildungen.
Aus (118) und 3.31 folgt:
f (Up ) = {q ∈ Gv ∣ (vp )m+1 (q) = . . . = (vp )n (q) = 0}
und up ∶= ((vp )1 ○ f, . . . , (vp )m ○ f )∣Up ∈ A
(119)
̃
Sei nun A eine beliebige m-dimensionale differenzierbare Struktur für M
derart, daß gilt
̃ Ð→ N ist Immersion.
f ∶ (M, A)
(120)
∀p∈M ∃Up ∈U ○(p,M ) ∃vp ∈AN
Wir haben zu zeigen
̃ = A.
A
82
(121)
Aus (119) folgt, daß {up ∣ p ∈ M } ein m-dimensionaler topologischer Atlas
für die topologische Mannigfaltigkeit M bestehend aus paarweise differenzierbar
verträglichen Karten (d.h. ein m-dimensionaler differenzierbarer Atlas für M )
mit {up ∣ p ∈ M } ⊂ A ist. Zum Nachweis von (121) genügt es daher nach 3.7 zu
zeigen
̃
{up ∣ p ∈ M } ⊂ A.
(122)
Zu (122): Sei p ∈ M . Wir setzen zur Abkürzung U ∶= Up , v ∶= vp und u ∶= up .
̃ → up (Up ) ein Diffeomorphismus
Wegen 3.12(vi) ist zu zeigen, daß up ∶ (Up , A)
̃ von (M, A)
̃ 16 auf
der offenen differenzierbaren Untermannigfaltigkeit (Up , A)
m
die offene differenzierbare Untermannigfaltigkeit up (Up ) von R ist.
Nach (119) gilt
u = π∣v(Gv) ○ v ○ f ∣U ,
und diese Abbildung ist nach (120), (119) differenzierbar als Abbildung von
̃ auf u(U ), also ist
(U, A)
̃ Ð→ u(U ) differenzierbar.
u∶ (U, A)
Des weiteren gilt
ι∣u(U ) ○ u = ι∣u(U ) ○ π∣v(Gv) ○ v ○ f ∣U = v ○ f ∣U ,
und diese Abbildung ist nach (120), (119) eine Immersion als Abbildung von
̃ auf u(U ), also folgt indirekt
(U, A)
̃ Ð→ u(U ) ist Immersion.
u∶ (U, A)
̃ → u(U ) eine bijektive Immersion zwischen
Damit ist gezeigt, daß u∶ (U, A)
gleichdimensionalen (nämlich m-dimensionalen) Mannigfaltigkeiten ist, also ein
Diffeomorphismus nach 3.32(v). Damit ist (122) bewiesen.
2
Satz 3.39.
Vor.: Seien m, n ∈ N mit m ≤ n, N eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und M eine Teilmenge von N .
Beh.: Es existiert genau dann eine m-dimensionale reguläre differenzierbare
Untermannigfaltigkeit von N mit zugrundeliegender Menge M , die dann nach
3.38 Korollar 2 eindeutig bestimmt ist, wenn gilt
∀p∈M ∃v∈AN p ∈ Gv ∧ Gv ∩ M = {q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0}.
In diesem Falle sagen wir: Die Teilmenge M von N ist m-dimensionale
reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N .
Beweis. „⇒“ ist klar nach 3.34.
„⇐“ Wir betrachten im folgenden M stets als topologischen Raum mit der
Teilraumtopologie bzgl. N . Seien wieder
π∶ Rn Ð→ Rm , (p1 , . . . , pn ) z→ (p1 , . . . , pm ),
16
̃ eine offene differenzierbare Untermannigfaltigkeit von (M, A)
̃ ist, liegt daran,
Daß (Up , A)
̃ als topologische Räume übereinstimmen.
daß (M, A) und (M, A)
83
und
ι∶ Rm Ð→ Rn , (p1 , . . . , pm ) z→ (p1 , . . . , pn , 0, . . . , 0),
die kanonischen (differenzierbaren) Abbildungen.
Nach Voraussetzung gilt
∀p∈M ∃vp ∈AN
Wir setzen
p ∈ Gv ∧ Gv ∩ M = {q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0},
o.B.d.A. existieren Vp ∈ Top(Rn ), Wp ∈ Top(Rm ) mit
vp (Gvp ) = Vp × Wp ,
also vp (Gvp ∩ M ) = Vp × {0} = ι(Vp ).
up ∶= π ○ vp ∣Gvp ∩M = π∣Vp ×{0} ○ vp ∣Gvp ∩M ,
(123)
(124)
also ist up ∶ Gvp ∩ M → Vp ein Homöomorphismus (beachte, daß Vp × {0} durch
π homöomorph auf Vp abgebildet wird) des offenen Teilraumes Gup ∶= Gvp ∩ M
von M auf den offenen Teilraum Vp von Rn .
Folglich ist {up ∣ p ∈ M } ein m-dimensionaler Atlas für M , d.h. M ist topologische Mannigfaltigkeit. (M ist hausdorffsch mit abzählbarer Basis, da M
topologischer Teilraum von N ist.)
Wir behaupten:
{up ∣ p ∈ M } ist m-dimensionaler differenzierbarer Atlas für M .
(125)
[ Zu (125): Seien p, p̃ ∈ M . Wir setzen u ∶= up , ũ ∶= up̃ , v ∶= vp , ṽ ∶= vp̃ , V ∶= Vp
und Ṽ ∶= Vp̃ . Dann folgt
ũ ○ u
(124)
=
=
π∣Ṽ ×{0} ○ ṽ∣Gṽ∩M ○ (v∣Gv∩M )−1 ○ (π∣V ×{0} )
−1
π ○ (ṽ ○ v −1 ) ○ ι∣u(Gu∩Gũ) ,
und dies ist eine differenzierbare Abbildung u(Gu ∩ Gũ) → Rm , womit (125)
gezeigt ist. ]
Sei A die nach (125) und 3.7 eindeutig bestimmte differenzierbare Struktur
für M mit {up ∣ p ∈ M } ⊂ A. i∶ M ↪ N bezeichne die Inklusion. Zu zeigen bleibt:
ι∶ (M, A) ↪ N ist Immersion.
(126)
Beweis hiervon: Sei p ∈ M . up ist differenzierbare Karte von (M, A) mit
p ∈ Gup , vp ist differenzierbare Karte von N mit i(p) = p ∈ Gvp , und es gilt
vp ○ i ○ up −1
(124)
=
s.o.
=
=
also
vp ○ i ○ (vp ∣Gvp ∩M )
−1
○ (π∣Vp ×{0} )
−1
vp ○ i ○ vp −1 ∣Vp ×{0} ○ ι∣Vp
ι∣Vp ,
i∣Gvp ∩M = vp −1 ○ (vp ○ i ○ up −1 ) ○ up = vp −1 ○ ι∣Vp ○ up ,
und diese Abbildung ist eine Immersion Gvp ∩ M → N als Komposition von
solchen. (Beachte, daß nach (123) Vp durch ι in Vp × Wp = vp (Gvp ) immersiert
wird.)
Da dies für beliebiges p ∈ M gezeigt ist, haben wir (126) bewiesen.
2
84
Bemerkung. Ist in 3.39 speziell N = V ein endlich-dimensionaler R-Vektorraum und M ⊂ V , so ist gezeigt, daß M genau dann eine m-dimensionale reguläre
differenzierbare Untermannigfaltigkeit von V ist, wenn M eine m-dimensionale
C ∞ -Untermannigfaltigkeit im Sinne der Analysis ist.
Satz 3.40. Seien m, n ∈ N und f ∶ M → N eine injektive Immersion einer mdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M in eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit N . Dann gilt:
(i) f ∶ M Ð→ N differenzierbare Einbettung
⇐⇒ f (M ) ist reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N .
(ii) f ∶ M Ð→ N differenzierbare Einbettung
Ô⇒ f ∶ M Ð→ f (M ) Diffeomorphismus17 .
Beweis. 1.) Sei f ∶ M → N differenzierbare Einbettung. Dann gilt nach 3.34
∀p∈M ∃v∈AN f (p) ∈ Gv ∧ Gv ∩ f (M ) = {q ∈ Gv ∣ vm+1 (q) = . . . = vn (q) = 0},
also ist f (M ) nach 3.39 m-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N .
2.) Sei f (M ) eine m-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N . Dann ist nach 3.36(ii) auch
f ∶ M Ð→ f (M ) eine Immersion,
also eine bijektive Immersion zwischen m-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten, d.h. nach 3.32(v):
f ∶ M Ð→ f (M ) ist Diffeomorphismus,
insbesondere ist f Homöomorphismus von M auf den Teilraum f (M ) von N ,
also auch
f ∶ M Ð→ f (M ) differenzierbare Einbettung.
Mit 1.) und 2.) sind (i) und (ii) gezeigt.
2
Hauptsatz 3.41 (Gleichungsdefinierte Untermannigfaltigkeiten).
Vor.: Seien m, n ∈ N, M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension
m bzw. n, f ∶ M → N eine differenzierbare Abbildung und q ∈ f (M ) ein regulärer
Wert von f , d.h. per definitionem
∀p∈N f∗p ∶ Tp M Ð→ Tf (p) N surjektiv,
also gilt m ≥ n.
1
Beh.: f ({q}) ist eine (m − n)-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit von N .
17
von M auf die m-dimensionale reguläre differenzierbare Untermannigfaltigkeit f (M ) von
N , vgl. (i)
85
Zusatz. Bezeichnet i∶ f ({q}) ↪ M die Inklusion, so gilt
1
∀p∈f 1 ({q}) i∗p (Tp f ({q})) = Kern(f∗ p).
1
Beweis. Seien p ∈ f ({q}), v ∈ AN mit q ∈ Gv und v(q) = 0 sowie u ∈ AM mit
p ∈ Gu, u(p) = 0 und f (Gu) ⊂ Gv. Dann ist
1
v ○ f ○ u−1 ∶ u(Gu) Ð→ Rn
eine differenzierbare Abbildung einer Umgebung von 0 in Rm in den Rn mit
v ○ f ○ u−1 (0) = 0 und
(v ○ f ○ u−1 )∗0 = v∗q ○ f∗p (u−1 )∗0 surjektiv,
also gilt nach 3.25: d0 (v ○ f ○ u−1 ) ∈ L(Rm , Rn ).
In der Analysis beweist man, daß dann ein Diffeomorphismus h einer Umgebung U von 0 in Rm auf eine Umgebung von 0 in Rm existiert derart, daß
(v ○ f ○ u−1 ) ○ h = π∣U mit π ∶= (x1 , . . . , xn )∶ Rm Ð→ Rn .
Dann ist ũ ∶= h−1 ○ u eine differenzierbare Karte von M mit p ∈ Gũ. Wir
behaupten
1
(127)
Gũ ∩ f ({q}) = {p̃ ∈ Gũ ∣ ũ1 (p̃) = . . . = ũn (p̃) = 0}.
[ Zu (127): Für alle p̃ ∈ Gũ gilt
ũ1 (p̃) = . . . = ũn (p̃) = 0 ⇐⇒ (π∣U ○ ũ)(p̃) = 0
⇐⇒ ((v ○ f ○ u−1 ○ h) ○ (h−1 ○ u))(p̃) = 0
⇐⇒ (v ○ f )(p̃) = 0
⇐⇒ f (p̃) = q,
also gilt (127). ]
1
Da p ∈ f ({q}) beliebig gewählt war, folgt aus (127) und 3.39 „⇐“ offenbar
die Behauptung des Hauptsatzes.
1
Zum Beweis des Zusatzes: Da i∗p ∶ Tp f ({q}) → Tp M injektiv ist, gilt
dim i∗p (Tp f ({q})) = m − n = dim Kern(f∗ p),
1
also genügt es zu zeigen, daß
i∗p (Tp f ({q})) ⊂ Kern(f∗ p).
1
Beweis hiervon: Seien v ∈ Tp f ({q}) und c∶ I → f ({q}) ein differenzierbarer
Weg mit t0 ∈ I, c(t0 ) = p und ċ(t0 ) = v. Dann ist f ○ i ○ c konstant vom Wert q,
also gilt
˙
f∗p (i∗p v) = f̂
○ i ○ c(t0 ) = 0.
1
1
2
86
Hauptsatz 3.42 (Whitneyscher Immersions- und Einbettungssatz). Es seien
m ∈ N+ und M eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann
gilt:
(i) Es existiert eine Immersion f ∶ M → R2m−1 derart, daß f (M ) im Falle
m > 1 eine abgeschlossene Teilmenge des R2m−1 ist.
(ii) Es existiert eine differenzierbare Einbettung f ∶ M → R2m so, daß f (M )
eine abgeschlossene Teilmenge des R2m ist.18
Wir geben im folgenden einen Beweis für das „um eine Dimension schwächere
Resultat“ im Falle einer kompakten Mannigfaltigkeit M , d.h. wir beweisen:
Hauptsatz 3.43. Es seien m ∈ N+ und M eine m-dimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann gilt:
(i) Es existiert eine Immersion von M in R2m .
(ii) Es existiert eine differenzierbare Einbettung von M in R2m+1 .
Wir bereiten den Beweis von 3.43 durch die folgenden vier Sätze vor.
Satz 3.44.
Vor.: Sei M eine kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Beh.: Es existieren k ∈ N und eine differenzierbare Einbettung f ∶ M → Rk .
Beweis. Sei m ∶= dim M . Es existiert zu jedem p ∈ M eine Karte up ∈ AM
mit p ∈ Gup , up (Gup ) = Rm und up (p) = 0. Dann ist (up 1 (U1 (0)))p∈M eine
Überdeckung von M durch offene Teilmengen von M . M ist kompakt, also
existieren p1 , . . . pn ∈ M derart, daß mit ui ∶= upi für i ∈ {1, . . . , n} gilt
M = ⋃ ui 1 (U1 (0)).
n
(128)
i=1
In der Analysis beweist man die Existenz einer differenzierbaren19 Funktion
λ∶ Rm → R mit λ(Rm ) ⊂ [0, 1], λ∣U1 (0) = 1 und λ∣Rm ∖U2 (0) = 0.20 Wir definieren
dann für jedes i ∈ {1, . . . , n} eine differenzierbare Funktion ϕi ∶ M → R durch
ϕi ∣Gui ∶= λi ○ ui und ϕi ∣M ∖ui 1 (U2 (0)) ∶= 0 und setzen
Ui ∶= ϕi 1 ({1})
also folgt aus (128)
Def. λ
⊃
n
ui 1 (U1 (0)),
M = ⋃ Ui .
(129)
(130)
i=1
18
Ist M nicht kompakt, so hat Hirsch gezeigt, daß darüber hinaus eine differenzierbare
Einbettung M → R2m−1 existiert.
19
d.h. C ∞
1
20
ϕ∶ R → R, ϕ(t) ∶= e− t für t > 0, ϕ(t) ∶= 0 für t ≤ 0 ist differenzierbar, daher ebenfalls
ϕ(t)
χ∶ R → R, χ(t) ∶= ϕ(t)+ϕ(1−t) , ψ∶ R → R, ψ(t) ∶= χ(t + 2) χ(2 − t). Setze λ(x) ∶= ψ(∣x1 ∣)⋯ψ(∣xn ∣).
87
Wir definieren weiter für jedes i ∈ {1, . . . , n} differenzierbare Abbildungen
gi ∶ M → Rm , fi ∶ M → Rm+1 durch gi ∣Gui ∶= ϕi ui und gi ∣M ∖ui 1 (U2 (0)) ∶= 0 sowie
fi ∶= (gi , ϕi ). Dann ist auch f ∶= (f1 , . . . , fn )∶ M → Rn(m+1) differenzierbar.
Da M kompakt ist, genügt es zum Nachweis des Satzes zu zeigen, daß f eine
injektive Immersion ist.
Zur Injektivität: Seien p, q ∈ M mit f (p) = f (q). Dann folgt aus (130) die
Existenz von i ∈ {1, . . . , n} mit p ∈ Ui , also nach Definition von ϕi : ϕi (p) = 1.
Wegen der Definition von f und f (p) = f (q) folgt weiter 1 = ϕi (p) = ϕi (q),
also nach (129) auch p, q ∈ Ui . fi (p) = fi (q) liefert nun ui (p) = ui (q) (beachte
ϕi (p) = ϕi (q) = 1), also p = q, da ui als Karte injektiv ist.
Zur Immersivität: Sei p ∈ M beliebig. Nach (128) existiert i ∈ {1, . . . , n} mit
p ∈ ui 1 (U1 (0)) ⊂ Ui . Wegen ϕi ∣Ui = 1 ist
(129)
gi ∣ui 1 (U1 (0)) = ϕi ∣ui 1 (U1 (0)) ui ∣ui 1 (U1 (0)) = ui ∣ui 1 (U1 (0)) ∶ ui 1 (U1 (0)) Ð→ U1 (0)
ein Diffeomorphismus, insbesondere ist
(gi )∗p ∶ Tp M Ð→ Tgi (p) Rm injektiv,
also nach Definition von f auch f∗p ∶ Tp M → Tf (p) Rn(m+1) .
2
Definition 3.45 (Nullmenge). Seien m ∈ N+ , M eine differenzierbare Mannig̃ ⊂ M.
faltigkeit und M
̃
M heißt Nullmenge in M genau dann, wenn für jede Karte u ∈ AM die
̃) von Rm eine µm -Nullmenge ist.
Teilmenge u(Gu ∩ M
Satz 3.46 (Mini-Sard).
Vor.: Seien M, N differenzierbare Mannigfaltigkeiten der Dimension m, n ∈ N
mit m < n und f ∶ M → N eine differenzierbare Abbildung.
Beh.: f (M ) ist eine Nullmenge in N .
Beweis. Seien u ∈ AM und v ∈ AN beliebig. Es genügt zu zeigen
(v ○ f ○ u−1 )(u(Gu ∩ f (Gv))) ist eine µn -Nullmenge des Rn .
1
Sei g∶ u(Gu ∩ f (Gv)) × Rn−m → Rn definiert durch g(a, b) ∶= (v ○ f ○ u−1 )(a).
Dann ist g eine C 1 -Abbildung im Sinne der Analysis, also µn -nullmengentreu,
d.h.
1
1
(v ○ f ○ u−1 )(u(Gu ∩ f (Gv))) = g(u(Gu ∩ f (Gv)) × {0})
1
ist mit u(Gu ∩ f (Gv)) × {0} eine µn -Nullmenge.
1
2
Satz 3.47.
Vor.: Seien m, k ∈ N mit k > 2m.
Beh.: Falls eine Immersion von M in Rk existiert, so existiert auch eine Immersion von M in Rk−1 .
88
Beweis. Seien f ∶ M → Rk eine Immersion, π∶ T M → M die Fußpunktsabbildung und g∶ T M → Rk die differenzierbare Abbildung, die durch
#
»
g(z) ∶= f∗π(z) z
gegeben ist.
Wegen dim T M = 2m < k existiert nach 3.46
a ∈ T M ∖ g(T M ),
(131)
also a ≠ 0, da 0 ∈ g(T M ).
p∶ Rk → {b ∈ Rk ∣ a ⊥ b} bezeichne die (differenzierbare) Projektion von Rk
auf das orthogonale Komplement von a (bzgl. des euklidischen Skalarproduktes),
also
Kern(p) = R a.
(132)
Wir zeigen, daß p ○ f ∶ M → {b ∈ Rk ∣ a ⊥ b} ≅ Rk−1 eine Immersion ist:
Angenommen es existieren p ∈ M und z ∈ Tp M ∖ {0} mit (f ○ p)∗p z = 0. Da
p linear ist, gilt dann auch
#
»
# »
p(f∗p z) = p∗f (p) (f∗p z) = 0,
also folgt aus (132) die Existenz von t ∈ R mit
# »
f∗p z = t a,
und es gilt t ≠ 0, da z ≠ 0 und f Immersion.
#
»
Nun gilt g( 1t z) = f∗p ( 1t z) = a, im Widerspruch zu (131).
2
Satz 3.48.
Vor.: Seien m, k ∈ N mit k > 2m + 1.
Beh.: Falls eine injektive Immersion von M in Rk existiert, so existiert auch
eine injektive Immersion von M in Rk−1 .
Beweis. Seien f ∶ M → Rk eine injektive Immersion, π∶ T M → M die Fußpunktsabbildung und g∶ T M → Rk , h∶ M × M × R → Rk die differenzierbaren
Abbildungen, die durch
#
»
g(z) ∶= f∗π(z) z und h(p, q, t) ∶= t (f (p) − f (q))
gegeben sind.
Wegen dim T M = 2m < k und dim M × M × R = 2m + 1 < k existiert nach
3.46
a ∈ T M ∖ (g(T M ) ∪ h(M × M × R)),
(133)
also a ≠ 0, da 0 ∈ g(T M ).
p∶ Rk → {b ∈ Rk ∣ a ⊥ b} bezeichne wieder die (differenzierbare) Projektion
von Rk auf das orthogonale Komplement von a (bzgl. des euklidischen Skalarproduktes), also
Kern(p) = R a.
(134)
89
ist:
Wir zeigen, daß p ○ f ∶ M → {b ∈ Rk ∣ a ⊥ b} ≅ Rk−1 eine injektive Immersion
Die Immersivität beweist man wie im Beweis von 3.47.
Zur Injektivität: Seien p, q ∈ M mit (p ○ f )(p) = (p ○ f )(q), also folgt aus der
Linearität von p und (134) die Existenz von t ∈ R derart, daß
f (p) − f (q) = t a.
(135)
Angenommen p ≠ q. Dann folgt aus der Injektivität von f und (135) t ≠ 0,
also auch h(p, q, 1t ) = 1t (f (p) − f (q)) = a, im Widerspruch zu (133).
(135)
2
Beweis von 3.43. (i) folgt sofort aus 3.44 und 3.47. (ii) folgt sofort aus 3.44
und 3.48.
2
90
A
Differenzierbare Überlagerungstheorie
Definition A.1. Seien E, B differenzierbare Mannigfaltigkeiten und π∶ E → B
eine Abbildung.
π∶ E → B heißt differenzierbare Überlagerung genau dann, wenn gilt:
1.) π∶ E Ð→ B ist Überlagerung der zugrundeliegenden topologischen Räume.
2.) π∶ E Ð→ B ist Immersion.
Satz A.2. Sei π∶ E → B eine Überlagerung zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Dann gilt:
(i) dim E = dim B.
Sind b ∈ B und U ∈ U ○(b, B) zusammenhängend derart, daß U durch π
schlicht überlagert wird, so gilt für jede Zusammenhangskomponente Z von
π 1 (U ) in E: Z ist offen in E, und π∣Z ∶ Z → U ist ein Diffeomorphismus.
Insbesondere ist π ein lokaler Diffeomorphismus.
(ii) Ist f ∶ M → B eine differenzierbare Abbildung bzw. eine Immersion einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit M in B, so ist jeder stetige π-Lift
fˆ∶ M → E von f automatisch eine differenzierbare Abbildung bzw. eine
Immersion.
(iii) Jede Decktransformation f ∶ E → E von π ist automatisch eine Immersion
und, falls E einfach-zusammenhängend ist, sogar ein Diffeomorphismus.
(iv) Ist zusätlich E zusammenhängend und B einfach-zusammenhängend, so
ist π∶ E → B ein Diffeomorphismus.
Beweis. Zu (i): Die erste Aussage gilt z.B. nach 3.31, da π lokal-homöomorphe Immersion ist. Hieraus und aus 2.10 folgt die zweite Aussage, da π∣Z ∶ Z → U
bijektive Immersion zwischen gleichdimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten ist.
Zu (ii): Seien p ∈ M und U eine schlicht überlagerte zusammenhängende
Umgebung von f (p) in B. Sei Z die Zusammenhangskomponente von π 1 (U )
mit fˆ(p) ∈ Z, also ist Z nach (i) offen in E. Wegen der Stetigkeit von fˆ ist dann
1
G ∶= fˆ (Z) eine Umgebung von p in M und
f ∣G = π ○ fˆ∣G = π∣Z ○ fˆ∣G ,
also ist
fˆ∣G = (π∣Z )−1 ○ f ∣G differenzierbar bzw. Immersion.
(iii) folgt aus (ii), da f ein stetiger π-Lift von π ist (wegen π ○ f = π) sowie
aus 2.24(ii).
(iv) folgt aus 2.27 und (i).
2
Hauptsatz A.3. Seien m ∈ N+ , B eine m-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, E ein zusammenhängender und lokal-wegzusammenhängender topologischer Raum sowie π∶ E → B eine Überlagerung. Dann gilt:
91
(i) E ist eine m-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit.
(ii) Ist B sogar eine m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit, so existiert genau eine m-dimensionale differenzierbare Struktur A für die topologische mannigfaltigkeit E derart, daß π∶ (E, A) → B eine Immersion
(also eine differenzierbare Überlagerung) ist.
Beweis. Zu (i): π∶ E → B ist lokal-homöomorph und B ist m-dimensionale
topologische Mannigfaltigkeit, also gilt trivialerweise:
Es existiert ein m-dimensionaler topologischer Atlas für E.
(136)
Wir zeigen:
E ist hausdorffsch.
(137)
[ Zu (137): Seien e1 , e2 ∈ E mit e1 ≠ e2 .
1. Fall: π(e1 ) = π(e2 ). Sei dann U eine schlicht überlagerte zusammenhängende Umgebung von π(e1 ) und sei für i ∈ {1, 2} Zi die Zusammenhangskomponente von π 1 (U ) mit ei ∈ Zi . Dann gilt Zi ∈ U ○(ei , E) und Z1 ∩ Z2 = ∅.
2. Fall: π(e1 ) ≠ π(e2 ). Da B hausdorffsch ist, existieren für i ∈ {1, 2} Umgebungen Ui ∈ U ○(π(ei ), B) mit U1 ∩ U2 = ∅. Dann gilt π 1 (Ui ) ∈ U ○(ei , E) und
π 1 (U1 ) ∩ π 1 (U2 ) = ∅. ]
Ferner gilt:
E besitzt eine abzählbare Basis.
(138)
[ Zu (138): Wähle zu jedem b ∈ B eine schlicht überlagerte zusammenhängende Umgebung Ub von b in B. Dann ist (Ub )b∈B eine offene Überdeckung von B.
Da B eine abzählbare Basis besitzt, überdecken nach dem Satz von Lindelöf21
bereits höchstens abzählbar viele der Mengen Ub – etwa Ui ∶= Ubi , i ∈ I ⊂ N, –
ganz B. Ohne Einschränkung gelte I = N. Wir setzen
Z ∶= {Z ∣ ∃i∈N Z Zusammenhangskomponente von π 1 (Ui )}.
Jedes Z ∈ Z ist also eine nicht-leere offene Teilmenge von E und besitzt als
topologischer Teilraum von E eine abzählbare Basis, (denn Z ist homöomorph
zu einem der offenen Teilräume Ui von B, welcher mit B eine abzählbare Basis
besitzt.)
Wegen E = π 1 (B) = π 1 (⋃i∈N Ui ) = ⋃i∈N π 1 (Ui ) = ⋃Z∈Z Z und da jedes
Z ∈ Z ⊂ Top(E) als Teilraum von E eine abzählbare Basis besitzt, genügt es
zum Nachweis von (138) zu zeigen, daß gilt:
Z ist höchstens abzählbar.
(139)
21
Satz (von Lindelöf). Sei M ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis B. Dann besitzt jede
Überdeckung (Ui )i∈I von M durch offene Mengen eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung.
Beweis. Zu jedem i ∈ I existieren eine höchstens abzählbare Menge Ji und Bi,j ∈ B mit
̃ ∶= {Bi,j ∣ i ∈ I ∧ j ∈ Ji } ist mit B höchstens abzählbar. Zu jedem B ∈ B
̃
Ui = ⋃j∈Ji Bi,j . B
existiert ein iB ∈ I mit B ⊂ UiB , und (UiB )B∈B
̃ ist eine höchstens abzählbare Teilüberdeckung
von (Ui )i∈I .
2
92
(Denn ist (139) gezeigt und ist für jedes Z ∈ Z {HZ,i ∣ i ∈ N} eine abzählbare
Basis von Top(Z), so ist offenbar {HZ,i ∣ Z ∈ Z ∧ i ∈ N} eine abzählbare Basis
von Top(E), da ∀H∈Top(E) H = ⋃Z∈Z(Z ∩ H).)
Sei nun Z0 ∈ Z fest gewählt. Wir definieren eine aufsteigende Folge (Zk )k∈N
von Teilmengen von Z durch
̃ ≠ ∅} .
̃ ∈ Z ∣ ∃Z∈Z Z ∩ Z
Z0 ∶= {Z0 } und ∀n∈N Zn+1 ∶= {Z
n
Wir behaupten:
Z = ⋃ Zn .
(140)
n∈N
(Zu (140): Definiere E1 , E2 ⊂ E durch
E1 ∶=
⋃
Z
und E2 ∶=
Z∈⋃n∈N Zn
⋃
Z.
Z∈Z∖⋃n∈N Zn
Dann sind E1 und E2 offen in E, E1 ≠ ∅ (wegen ∅ ≠ Z0 ∈ E1 ) und E = E1 ∪ E2
(wegen E = ⋃Z∈Z Z). Wir zeigen E1 ∩ E2 = ∅.
Angenommen es existiert e ∈ E1 ∩ E2 . Dann existieren Z ∈ ⋃n∈N Zn – etwa
̃ ∈ Z ∖ ⋃n∈N Zn mit e ∈ Z ∩ Z,
̃ also nach Definition Zk+1 :
Z ∈ Zk mit k ∈ N – und Z
̃
Z ∈ Zk+1 ⊂ ⋃n∈N Zn , Widerspruch!
Nunmehr folgt wegen des Zusammenhanges von E, daß E = E1 , E2 = ∅ und
somit (140).)
Wegen (140) genügt es zum Nachweis von (139) zu zeigen, daß gilt:
∀n∈N Zn ist höchstens abzählbar.
(141)
(Beweis von (141) durch vollständige Induktion nach n ∈ N: Die Behauptung
für n = 0 ist trivial nach Definition von Z0 = {Z0 }. Nehmen wir also für n ∈ N
an, daß Zn höchstens abzählbar ist. Wegen
Zn+1 =
̃ ∈ Z∣Z ∩ Z
̃ ≠ ∅}
⋃ {Z
Z∈Zn
=
̃ ≠ ∅}
̃ Zusammenhangskomponente von π 1 (Ui ) ∣ Z ∩ Z
⋃ ⋃ {Z
Z∈Zn i∈N
genügt es zum Nachweis der Behauptung für n + 1 zu zeigen, daß für jede feste
Wahl von Z ∈ Zn und i ∈ N
̃ Zusammenhangskomponente von π 1 (Ui ) ∣ Z ∩ Z
̃ ≠ ∅}
ZZ,i ∶= {Z
höchstens abzählbar ist. Dies ist aber klar, denn es gilt
̃
Z ∩ π 1 (Ui ) = ⊍ Z ∩ Z,
̃ Z,i
Z∈Z
und die linke Seite besitzt mit Z eine abzählbare Basis während die rechte Seite
die disjunkte Vereinigung von nicht-leeren im offenen Teilraum Z ∩π 1 (Ui ) von E
offenen Mengen ist. Beachte, daß ein topologischer Raum mit abzählbarer Basis
nicht disjunkte Vereinigung überabzählbar vieler nicht-leerer offener Teilmengen
sein kann.
93
Damit ist (141) gezeigt.)
Mit (141) ist auch (138) gezeigt. ]
Wegen (136), (137) und (138) gilt (i).
Zu (ii): Setze
̃ ∶= {u∶ Gu Ð→ Rm ∣ Gu ∈ Top(E), π∣Gu ∶ Gu Ð→ π(Gu) Homöomor- } ,
A
phismus und ∃v∈AB Gv = π(Gu) ∧ u = v ○ π∣Gu
Gu
u
π
?
π(Gu) = Gv
v
-
-
v(Gv) = u(Gu)
beachte, daß π(Gu) mit Gu offen ist, da Gu eine offene Abbildung ist.
Wir behaupten:
̃ ist ein m-dimensionaler differenzierbarer Atlas für E.
A
(142)
̃ ist per definitionem ein Homöomorphismus eines offe[ Zu (142): Jedes u ∈ A
nen Teilraumes Gu von E auf einen Teilraum von Rm . Ferner gilt E = ⋃u∈A
̃ Gu,
da π lokal homöomorph und B differenzierbare Mannigfaltigkeit ist. Damit ist
̃ ein m-dimensionaler topologischer Atlas für E ist.
gezeigt, daß A
Zu zeigen bleibt die C ∞ -Verträglichkeit, d.h.
−1
∀u1 ,u2 ∈A
∈ C ∞ (u2 (Gu1 ∩ Gu2 ), Rm ).
̃ u1 ○ u2
̃ also ist für i ∈ {1, 2} ui ∶ Gui → Rm auf einer in E
Hierzu seien u1 , u2 ∈ A,
offenen Menge Gui definiert, π∣G ui ∶ Gui → π(Gui ) ist ein Homöomorphismus
und es existiert vi ∈ AB mit Gvi = π(Gui ) und ui = vi ○ π∣Gui . Dann folgt
u1 ○ u2 −1 = (v1 ∣π(Gu1 ∩Gu2 ) ) ○ (π∣Gu1 ∩Gu2 ) ○ (π∣Gu1 ∩Gu2 )−1 ○ (v2 ∣π(Gu1 ∩Gu2 ) )
−1
= (v1 ∣π(Gu1 ∩Gu2 ) ) ○ v2 −1 ∣u2 (Gu1 ∩Gu2 )
= (v1 ○ v2 −1 )∣u2 (Gu1 ∩Gu2 ) ∈ C ∞ (u2 (Gu1 ∩ Gu2 ), Rm ),
da v1 , v2 ∈ AB . ]
Aus (i) und (142) folgt mit 3.7: Es existiert genau eine differenzierbare Struk̃ max für E mit A
̃ ⊂ A. Wir behaupten:
tur A = A
π∶ (E, A) Ð→ B ist eine Immersion.
(143)
̃ mit e ∈ Gu, also Gu ∈ U ○(e, E)
[ Zu (143): Sei e ∈ E. Dann existiert u ∈ A
und es existiert v ∈ AB mit Gv = π(Gu) sowie u = v ○ π∣Gu . Daher ist
π∣Gu = (v∶ v(Gv) Ð→ Gv)−1 ○ (u∶ Gu Ð→ u(Gu)) ∶ Gu Ð→ Gv
ein Diffeomorphismus der offenen differenzierbaren Untermannigfaltigkeit Gu
und Gv von (E, A), folglich ist π∶ Gu → B eine (injektive) Immersion. ]
Wegen (142), (143) ist die Existenz von A wie in (ii) bewiesen. Die Einzigkeit
von A ist klar nach 3.38.
2
94
Zusatz. A.3 bleibt richtig, wenn man die Voraussetzung abschwächt, indem
man „E zusammenhängend“ durch „E habe höchstens abzählbar viele Zusammenhangskomponenten und B sei zusammenhängens“ ersetzt.
Wir werden den Zusatz aus dem folgenden Satz folgern:
Satz A.4.
Vor.: Seien E, B topologische Räume, E lokal-wegzusammenhängend, B zusammenhängend und sei π∶ E → B eine Überlagerung, (also ist auch B lokalwegzusammenhängend.)
Beh.: Für jede Zusammenhangskomponente E0 von E, die dann automatisch
offen in E ist, gilt:
π∣E0 ∶ E0 Ð→ B ist eine Überlagerung, (insbesondere π(E0 ) = B.)
Beweis. 1.) Zu π(E0 ) = B. „⊂“ ist trivial. Zum Nachweis von „⊃“ wählen wir
e0 ∈ E0 und setzen b0 ∶= π(e0 ). Sei b ∈ B beliebig. Aus der Voraussetzung folgt,
daß B wegzusammenhängend ist, also existiert ein Weg c∶ [0, 1] → B von b0 nach
b. Dann ist ĉe0 ∶ [0, 1] → E ein Weg, der ganz in der Zusammenhangskomponente
E0 von E verläuft, also folgt
b = c(1) = π(ĉe0 (1)) ∈ π(E0 ).
´¹¹ ¹¸ ¹ ¹ ¶
∈E0
2.) Seien nun b ∈ B und U eine durch π schlicht überlagerte zusammenhängende Umgebung von b in B. Dann ist jede Zusammenhangskomponente von
1
π∣E0 (U ) = E0 ∩ π 1 (U ) auch eine Zusammenhangskomponente von π 1 (U )22 ,
wird also durch π, d.h. durch π∣E0 , homöomorph auf U abgebildet.
Damit ist die Behauptung des Satzes klar.
2
Beweis des Zusatzes zu A.3. Wende A.3 auf die Überlagerung π∣E0 ∶ E0 → B,
vgl. A.4, für alle Zusammenhangskomponenten E0 von E an.
2
Hauptsatz A.5. Sei B eine zusammenhängende m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Dann gilt:
(i) Es existieren eine einfach-zusammenhängende m-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit E und eine (universelle) differenzierbare Überlagerung π∶ E → B.
̃ → B zwei universelle differenzierbare Überlage(ii) Sind π∶ E → B und π̃∶ E
̃ sowie b0 ∈ B mit π(e0 ) = π̃(ẽ0 ) = b0 ,
rungen und sind e0 ∈ E, ẽ0 ∈ E
̃ mit g(e0 ) = ẽ0 und
so existiert genau ein Diffeomorphismus g∶ E → E
π̃ ○ g = π.
Beweis. (i) folgt unmittelbar aus 2.25 und A.3. (ii) folgt unmittelbar aus
2.26 und A.2(ii).
2
̃ eine beliebige Zusammenhangskomponente von π 1 (U ) in E, so gilt entweder
Denn ist Z
̃
̃ ≠ ∅. Im Falle E0 ∩ Z
̃ ≠ ∅ ist E0 ∪ Z
̃ zusammenhängend, also – da E0
E0 ∩ Z = ∅ oder E0 ∩ Z
̃ ⊂ E0 , d.h. Z
̃ ⊂ E0 .
Zusammenhangskomponente von E0 – E0 ∪ Z
22
95
Index
ε-Umgebung, 2
von Wegen rel {0, 1}, 32
Überlagerung
Homotopieklasse rel {0, 1}, 32
differenzierbare, 91
punktierter topologischer Räume, Immersion, 76
innerer Punkt, 15
39
universelle, 39
Karte, 59
differenzierbare, 62
abgeschlossene Hülle, 15
Kartenwechsel,
61
Abstand, 2
Kompaktheit,
8
Atlas, 59
Konvergenz, 4, 5
differenzierbarer, 61, 62
maximaler, 61
Lemma
Lebesgue-, 21
Banachraum, 25
Poincarésches, 58
Basis einer Topologie, 56, 59
Lift, 40
abzählbare, 59
Limes, 5
Berührungspunkt, 15
Cauchy-Folge, 25
Decktransormation, 49
Derivation, 66
Diffeomorphismus, 62
differenzierbare Struktur, 61, 62
Differenzierbarkeit, 62
Durchmesser, 21
einfacher Zusammenhang, 35
Folge
beschränkte, 18, 21
Cauchy-, 25
konvergente, 4, 5
Folgenkompaktheit, 21
Folgenstetigkeit, 7
Fundamentalgruppe, 34, 35
Gaußsche Basis, 69
Gebiet, 55
Geschwindigkeitsvektor, 66
Grenzwert, 5
Mannigfaltigkeit
differenzierbare, 62
topologische, 59
Menge
abgeschlosssene, 2
beschränkte Teil-, 18, 20, 21
kompakte, 8
offene, 1, 2
offene – einer Teilmenge, 7
wegzusammenhängende, 13
zusammenhängende, 11
Metrik, 2
Monodromiesatz, 41
Norm, 2
Normtopologie, 20
Nullmenge, 88
offener Kern, 15
Operatornorm, 30
Präkompaktheit, 22
Raum
Häufungspunkt, 16
Banach-, 25
Homöomorphismus, 11
Hausdorff-, 3
Homotopie
metrischer, 2
von stetigen Abbildungen punktiervollständiger, 25
ter Räume, 44
96
topologischer, 1
punktierter, 34
regulärer Wert, 85
Richtungsableitung, 73
Satz
Monodromie-, 41
Umkehr-, 74
von Bolzano-Weierstraß, 21
von Heine-Borel, 25
von Lindelöf, 92
Whitneyscher Einbettungs-, 87
steographische Projektion, 63
Stetigkeit, 5, 7
Folgen-, 7
gleichmäßige, 28
von Abbildungen punktierter topologischer Räume, 39
Tangentenvektor, 66
Tangentialabbildung, 71
Tangentialbündel, 75
Tangentialraum, 66
Teilraumtopologie, 7
Topologie, 1
diskrete, 1
kanonische – für R, 1
kanonische – für Rn , 20
Norm-, 20
triviale, 1
Umgebung, 2
Umlaufszahl, 42
Untermannigfaltigkeit
differenzierbare, 79
reguläre, 79
offene, 63
Weg, 13
Wegzusammenhang, 13
lokaler, 37
Wegzusammenhangskomponente, 37
Zusammenhang, 11
einfacher, 35
lokaler, 38
Zusammenhangskomponente, 37
97