Primkörper

Primkörper
Für jede Primzahl p ist die Menge
Zp = {0, 1, . . . , p − 1}
ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo p.
Primkörper
1-1
Primkörper
Für jede Primzahl p ist die Menge
Zp = {0, 1, . . . , p − 1}
ein Körper unter der Addition und Multiplikation modulo p.
Allgemeiner existieren endliche Körper mit p k Elementen für jedes k ∈ N,
die sogenannten Galois-Körper.
Primkörper
1-2
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
Primkörper
2-1
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
Primkörper
2-2
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
ai 6= 0 mod p
∀i ∈ N ,
denn
ai = np
=⇒
p teilt a
Primkörper
2-3
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
ai 6= 0 mod p
∀i ∈ N ,
denn
ai = np
=⇒
p teilt a
=⇒
Widerspruch zu a < p
Primkörper
2-4
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
ai 6= 0 mod p
∀i ∈ N ,
denn
ai = np
=⇒
p teilt a
=⇒
Widerspruch zu a < p
betrachte die Folge
ai mod p,
i = 0, . . . , p − 1 .
Primkörper
2-5
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
ai 6= 0 mod p
∀i ∈ N ,
denn
ai = np
=⇒
p teilt a
=⇒
Widerspruch zu a < p
betrachte die Folge
ai mod p,
i = 0, . . . , p − 1 .
mindestens ein Rest tritt zweimal auf:
ai1 = ai2 mod p ,
i1 < i2
Primkörper
2-6
Beweis:
Rechenregeln für Addition und Multiplikation in Körpern gelten in den
ganzen Zahlen
Gültigkeit der Rechenregeln für Zp
zeige die Existenz eines inversen Elementes a−1 für a ∈ {2, . . . , p − 1}:
ai 6= 0 mod p
∀i ∈ N ,
denn
ai = np
=⇒
p teilt a
=⇒
Widerspruch zu a < p
betrachte die Folge
ai mod p,
i = 0, . . . , p − 1 .
mindestens ein Rest tritt zweimal auf:
ai1 = ai2 mod p ,
i1 < i2
Division durch ai1
1 = ai2 −i1 mod p = ai2 −i1 −1 a mod p
=⇒Primkörper
a−1 = ai2 −i1 −1 mod p
2-7
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
Primkörper
3-1
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
Primkörper
3-2
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
4−1 = 4 mod 5
Primkörper
3-3
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
4−1 = 4 mod 5
Beispielsweise gilt
(2 + 4)
1
mod 5 = mod 5 = 2
3
3
Primkörper
3-4
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
4−1 = 4 mod 5
Beispielsweise gilt
(2 + 4)
1
mod 5 = mod 5 = 2
3
3
im Einklang mit
2 4
+ mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5
3 3
Primkörper
3-5
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
4−1 = 4 mod 5
Beispielsweise gilt
(2 + 4)
1
mod 5 = mod 5 = 2
3
3
im Einklang mit
2 4
+ mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5
3 3
= 12 mod 5
Primkörper
3-6
Beispiel:
inverse Elemente im Primkörper Z5
2−1 = 3 mod 5
3−1 = 2 mod 5
4−1 = 4 mod 5
Beispielsweise gilt
(2 + 4)
1
mod 5 = mod 5 = 2
3
3
im Einklang mit
2 4
+ mod 5 = 2 · 2 + 4 · 2 mod 5
3 3
= 12 mod 5
= 2
Primkörper
3-7
Beispiel:
In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9
Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden“ spielen.
”
Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden,
die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen.
Primkörper
4-1
Beispiel:
In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9
Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden“ spielen.
”
Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden,
die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen.
Mathematische Formulierung:
S0,k ∪ S1,k ∪ S2,k = {1, . . . , 9},
k = 0, . . . , 3 ,
| Sj,k ∩ Sj 0 ,k 0 |≤ 1,
mit drei-elementigen Mengen Sj,k .
Primkörper
4-2
Beispiel:
In Stuttgart, München und Berlin soll an 4 Terminen ein Turnier unter 9
Mannschaften ausgetragen werden. Dabei soll jeder gegen jeden“ spielen.
”
Es sind also an jedem Termin 3 Gruppen aus je 3 Mannschaften zu bilden,
die jeweils in einer der Städte ihre Spiele untereinander austragen.
Mathematische Formulierung:
S0,k ∪ S1,k ∪ S2,k = {1, . . . , 9},
k = 0, . . . , 3 ,
| Sj,k ∩ Sj 0 ,k 0 |≤ 1,
mit drei-elementigen Mengen Sj,k .
Konstruktion mit Hilfe des Primkörpers Z3 :
Identifiziere die Mannschaften 1, . . . , 9 mit Punkten der Ebene Z23 , d.h.
{1, 2, ..., 9} 3 γ
Mengen
↔ (α, β),
↔
α, β ∈ Z3
Geraden
Primkörper
4-3
Geraden in Z23 haben die Form
Sj,k
= {(α, k · α + j mod 3) : α = 0, 1, 2},
(Steigung k = 0, 1, 2)
Sj,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden)
Primkörper
4-4
Geraden in Z23 haben die Form
Sj,k
= {(α, k · α + j mod 3) : α = 0, 1, 2},
(Steigung k = 0, 1, 2)
Sj,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden)
Primkörper
4-5
Geraden in Z23 haben die Form
Sj,k
= {(α, k · α + j mod 3) : α = 0, 1, 2},
(Steigung k = 0, 1, 2)
Sj,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden)
Paarungstabelle für 16 Mannschaften, 4 Städte und 5 Termine basierend
auf 4-elementigen Galois-Körper GF[22 ]
1.
2.
3.
4.
5.
Spieltag
Spieltag
Spieltag
Spieltag
Spieltag
Spielort 1
1,2,3,4
1,6,11,16
1,10,15,8
1,14,7,12
1,5,9,13
Spielort 2
5,6,7,8
5,2,15,12
5,14,11,4
5,10,3,16
2,6,10,14
Spielort 3
9,10,11,12
9,14,3,8
9,2,7,16
9,6,15,4
3,7,11,15
Primkörper
Spielort 4
13,14,15,16
13,10,7,4
13,6,3,12
13,2,11,8
4,8,12,16
4-6
Geraden in Z23 haben die Form
Sj,k
= {(α, k · α + j mod 3) : α = 0, 1, 2},
(Steigung k = 0, 1, 2)
Sj,3 = {(j, α) : α = 0, 1, 2} (senkrechte Geraden)
Paarungstabelle für 16 Mannschaften, 4 Städte und 5 Termine basierend
auf 4-elementigen Galois-Körper GF[22 ]
1.
2.
3.
4.
5.
Spieltag
Spieltag
Spieltag
Spieltag
Spieltag
q Primzahlpotenz
Spielort 1
1,2,3,4
1,6,11,16
1,10,15,8
1,14,7,12
1,5,9,13
Spielort 2
5,6,7,8
5,2,15,12
5,14,11,4
5,10,3,16
2,6,10,14
Spielort 3
9,10,11,12
9,14,3,8
9,2,7,16
9,6,15,4
3,7,11,15
Spielort 4
13,14,15,16
13,10,7,4
13,6,3,12
13,2,11,8
4,8,12,16
GF[q] Paarungstabelle für q 2 Mannschaften, q Städte
Primkörper
4-7