Lineare Algebra II

Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare Algebra II
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Christian Ebert & Fritz Hamm
2. Dezember 2011
Übersicht
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Lineare Algebra I
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Gruppen & Körper
Matrizen
Vektorräume, Basis & Dimension
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Lineare Algebra II
Skalarprodukt, Norm & Metrik
Lineare Abbildung & Matrizen
Lineare Algebra III
Eigenwerte, Eigenwertzerlegung
Singulärwertzerlegung
Das Skalarprodukt I
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Definition (Skalarprodukt)
Sei K ∈ {R, C} und V ein K-Vektorraum. Eine Abbildung
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
h·, ·i : V × V → K,
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
(v, w) 7→ hv, wi
heißt Skalarprodukt, wenn sie folgende Eigenschaften erfüllt:
S1
hv + v0 , wi =
hλv, wi =
hv, wi + hv0 , wi
λhv, wi
S2
hv, w + w0 i = hv, wi + hv, w0 i
hv, λwi = λhv, wi
S3 hv, wi = hw, vi
S4 hv, vi > 0R für alle v 6= 0V
Hierbei ist λ die zu λ konjugiert komplexe Zahl:
(a + ib) = a − ib
Das Skalarprodukt II
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Ein Skalarprodukt ist eine
positiv definite (S4)
hermitesche (S3)
Sesquilinearform, d.h.
linear im ersten Argument (S1) und
semilinear im zweiten Argument (S2)
Ist K = R, dann ist λ = λ und das Skalarprodukt damit eine
positive definite symmetrische Bilinearform
Wegen (S3) ist hv, vi ∈ R (also insbes. auch für K = C)
Ein R-Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer
Vektorraum, ein C-Vektorraum mit Skalarprodukt unitärer
Vektorraum
Norm & Metrik I
Lineare Algebra
II
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Definition (Norm)
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Sei V ein reeller oder komplexer Vektorraum. Eine Abbildung
Matrizen
k · k : V → R,
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
v 7→ kvk
heißt Norm auf V, falls für alle v, w ∈ V und alle λ ∈ K gilt:
N1 kλvk = |λ|kvk
N2 kv + wk ≤ kvk + kwk
(Dreiecksungleichung)
N3 kvk = 0K gdw. v = 0V
Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter
Vektorraum
Für alle v ∈ V gilt: kvk ≥ 0
Norm & Metrik II
Lineare Algebra
II
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Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Bemerkung
Für einen euklidischen bzw. unitären Vektorraum V definiert
man eine Norm mittels
p
kvk := hv, vi
für alle v ∈ V
Für einen normierten Vektorraum V definiert man eine Metrik
mittels
d(v, v0 ) := kv − v0 k
für alle v ∈ V
Euklidischer/unitärer VR ⇒ normierter VR ⇒ metrischer VR
Orthonormalbasis
Lineare Algebra
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Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Sie V ein euklidischer bzw. unitärer Vektorraum.
Zwei Vektoren v, w ∈ V heißen orthogonal falls hv, wi = 0.
Eine Familie von Vektoren (vi )i∈I aus V heißt orthogonal, falls
je zwei Vektoren vi , vj ; i, j ∈ I, i 6= j orthogonal sind.
Eine Familie von Vektoren (vi )i∈I aus V heißt orthonormal,
falls sie orthogonal ist und kvi k = 1 für alle i ∈ I.
Eine Familie von Vektoren (vi )i∈I aus V heißt
Orthonormalbasis, falls sie Basis von V und orthonormal ist.
Jeder endlich-dimensionale euklidische bzw. unitäre
Vektorraum besitzt eine Orthonormalbasis
Hilbertraum
Lineare Algebra
II
Definition
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Ein Vektorraum mit Skalarprodukt heißt
Prähilbertraum/Skalarproduktraum/Innenproduktraum.
Ein Prähilbertraum heißt Hilbertraum, wenn er bzgl. der
induzierten Metrik vollständig ist.
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Sei (M, d) ein metrischer Raum mit Metrik d.
(M, d) heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge
konvergiert, d.h. ihr Grenzwert in M liegt.
Eine Folge (ai )i∈N heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0
ein N ∈ N existiert, sodass
d(an , am ) < ε
für alle n, m ≥ N
Der Begriff der Matrix I
Lineare Algebra
II
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
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
am3
...
amn


A=

Lineare
Abbildungen und
Matrizen





A ist eine m × n-Matrix.
Kurzschreibweise:
(aij ), i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n
Der Begriff der Matrix II
Lineare Algebra
II
Reihen und Spalten
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
1. Spalte
Matrizen

Lineare
Abbildungen




Lineare
Abbildungen und
Matrizen
a11
a21
..
.





am1
2. Reihe
(a21 , a22 , . . . , a2n )
aij ist die ij-te Komponente der Matrix.
Der Begriff der Matrix III
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Ai = (ai1 , ai2 , . . . , ain )
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen



Aj = 

a1j
a2j
..
.
amj





Der Begriff der Matrix IV
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Beispiel
1
−1
1 −2
4 −5
Spezielle Matrizen I
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Ein (Reihen-)Vektor
(x1 , . . . , xn )
Matrizen
Lineare
Abbildungen
ist eine 1 × n Matrix.
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Ein (Spalten-)Vektor

x1
 .. 
 . 
xn

ist eine n × 1 Matrix.
Spezielle Matrizen II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Falls n = m wird die Matrix quadratische Matrix genannt. Beispiele
sind:
Beispiel
1
−1
2
0

1 −1
 2 1
3 1

5
−1 
−1
Spezielle Matrizen III
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Für die Nullmatrix O gilt aij = 0 für alle i, j.
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen



O=

0
0
..
.
0
0
..
.
0
0
..
.
...
...
..
.
0
0
..
.
0
0
0
...
0





Addition von Matrizen I
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Seien A = (aij ) und B = (bij ) zwei m × n-Matrizen.
A+B
ist diejenige Matrix, die die Komponente aij + bij in der i-ten Reihe
und der j-ten Spalte besitzt.
Addition von Matrizen II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Beispiel
Matrizen
Lineare
Abbildungen
A=
1
2
−1
3
0
4
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
A+B=
B=
6
4
0
4
5
2
−1
3
Es gilt:
O+A=A+O=A
1
1
−1
−1
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar I
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Sei c eine Zahl und A = (aij ) eine Matrix. cA ist diejenige Matrix,
deren ij-te Komponente gleich caij ist.
Matrizen
cA = (caij )
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Beispiel
Seien A und B wie oben. Sei c = 2.
2 −2 0
10
2A =
2B =
4 6 8
4
2 −2
2 −2
Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
(−1)A = −A =
−1
−2
1
−3
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Es gilt für alle Matrizen A:
A + (−1)A = O
0
−4
Der Raum der Matrizen
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Die Matrizen (einer gegebenen Größe m × n) mit Komponenten
aus einem Körper K bilden einen Vektorraum über K, der mit
Matm×n (K) bezeichnet wird.
Die transponierte Matrix I
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Sei A = (aij ) eine m × n-Matrix. Die n × m-Matrix B mit bji = aij wird
die transponierte Matrix von A genannt und durch t A bezeichnet.


a11 a12 a13 . . . a1n
 a21 a22 a23 . . . a2n 


A= .
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
. 

t


A=

am1
am2
am3
...
amn
a11
a12
..
.
a21
a22
..
.
a31
a32
..
.
...
...
..
.
am1
am2
..
.
a1n
a2n
a3n
...
amn





Die transponierte Matrix II
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Beispiel
A=
2
1
1
3
0
5

2
t
A= 1
0

1
3 
5
Die transponierte Matrix III
Lineare Algebra
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Fritz Hamm
Eine Matrix A wird symmetrisch genannt, falls gilt:
t
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
A=A
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Eine symmetrische Matrix ist immer eine quadratische Matrix.
Beispiel
Die Matrix

1
 −1
2
ist symmetrisch.
−1
0
3

2
3 
7
Die transponierte Matrix IV
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Sei A = (aij) eine quadratische Matrix. Die Einträge
a11 , a22 , . . . , ann werden die diagonalen Komponenten von A
genannt. Eine quadratische Matrix heißt Diagonalmatrix, falls
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
alle Komponenten außer (möglicherweise) den diagonalen
Komponenten gleich 0 sind; also aij = 0, falls i 6= j.


a11 0 0 . . . 0
 0 a22 0 . . . 0 


 ..
..
..
..
.. 
 .
.
.
.
. 
0
0 0 . . . ann
Die transponierte Matrix V
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Die Einsmatrix In ist diejenige n × n-Diagonalmatrix, deren
diagonale Komponenten gleich 1 sind.


1 0 0 ... 0
 0 1 0 ... 0 


In =  . . .
..
.. 
.
.
.
 . . .
.
. 
0 0 0 ... 1
Multiplikation von Matrizen I
Lineare Algebra
II
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Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Sei A = (aij ), i = 1, . . . , m und j = 1, . . . , n eine m × n-Matrix. Sei
B = (bjk ), j = 1, . . . , n und k = 1, . . . , s eine n × s-Matrix.




a11 . . . a1n
b11 . . . b1s
 B=

...
...
A=
am1 . . . amn
bn1 . . . bns
Das Produkt AB ist die m × s-Matrix, deren ik-te Koordinate durch
n
X
j=1
gegeben ist.
aij bjk = ai1 b1k + ai2 b2k + . . . + ain bnk
Multiplikation von Matrizen II
Lineare Algebra
II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Beispiel
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
A=
2
1
1
3
5
2

3
B =  −1
2
AB ist die 2 × 2-Matrix mit
AB =
15
4
15
12

4
2 
1
Multiplikation von Matrizen III
Lineare Algebra
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Beispiel
Sei
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
C=
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
und A, B wie oben.

3
BC =  −1
2
1
−1
3
−1


4
−1
1
3
−2 
=  −3
−1 −1
1
1

5
−5 
5
und
A(BC) =
2
1
1
3
5
2

−1
 −3
1

5
0
−5  =
−8
5
30
0
Multiplikation von Matrizen IV
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Sei A eine m × n-Matrix und B eine n × 1-Matrix; d.h. B ist ein
Spaltenvektor. Dann ist das Produkt von A und B:


 

a1 . . . a1n
b1
c1
 ..
..   ..  =  .. 
 .
.  .   . 
am1
mit
ci =
...
n
X
j=1
amn
bn
cm
aij bj = ai1 b1 + . . . + ain bn
Multiplikation von Matrizen V
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Sei X = (x1 , . . . , xm ) ein Reihenvektor; d.h. eine 1 × m-Matrix. Das
Produkt XA wird dann wie folgt gebildet:


a1 . . . a1n

..  = (y , . . . , y )
(x1 , . . . , xm )  ...
1
n
. 
am1
...
amn
mit
yk = x1 a1k + . . . + xm amk
Multiplikation von Matrizen VI
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Seien A, B, C Matrizen. Angenommen A, B und A, C können
multipliziert werden und B, C können addiert werden. Dann
können A und B + C multipliziert werden und es gilt:
A(B + C) = AB + AC
Falls x eine Zahl ist, gilt ferner:
A(xB) = x(AB)
Multiplikation von Matrizen VII
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Seien A, B, C Matrizen. Angenommen A, B und B, C können
multipliziert werden. Dann kann A mit BC und AB mit C
multipliziert werden und es gilt:
(AB)C = A(BC)
Multiplikation von Matrizen VIII
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Sei A eine quadratische n × n-Matrix. A heißt invertierbar oder
nicht-singulär falls eine n × n-Matrix B existiert mit
AB = BA = In
B wird die zu A inverse Matrix genannt und durch A−1
bezeichnet.
Multiplikation von Matrizen IX
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Seien A, B Matrizen, die multipliziert werden können. Dann
können t B und t A multipliziert werden und es gilt:
t
(AB) = t Bt A
Der Begriff der Linearen Abbildung I
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Seien V und V 0 Vektorräume über einem Körper K. Eine lineare
Abbildung
F : V → V0
ist eine Abbildung, die die folgenden Eigenschaften hat:
1
für beliebige Elemente u, v ∈ V gilt:
F(u + v) = F(u) + F(v)
2
für alle c ∈ K und v ∈ V gilt:
F(cv) = cF(v)
Der Begriff der Linearen Abbildung II
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Beispiel
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über K und sei
{v1 , . . . , vn } eine Basis von V. Definiere
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
F : V → Kn
durch Abbildung von v auf den Koordinatenvektor X bezüglich der
Basis. Also falls
v = x1 v1 + . . . + xn vn
ist, mit xi ∈ K dann ist
F(v) = (x1 , . . . , xn )
Die Abbildung F ist eine lineare Abbildung.
Der Raum der Linearen Abbildung I
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Seien V, V 0 Vektorräume über einem Körper K. Die Abbildung O,
die jedem Element v ∈ V das Element 0 in V 0 zuordnet ist eine
lineare Abbildung.
Seien T : V → V 0 und F : V → V 0 lineare Abbildungen. Definiere
die Summe T + F für ein Element u ∈ V durch:
(T + F)(u) = T(u) + F(u)
Die Abbildung T + F ist dann linear.
Der Raum der Linearen Abbildung II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Sei a ∈ K und T : V → V 0 eine lineare Abbildung. Definiere für
u ∈ V eine Abbildung aT durch:
(aT)(u) = aT(u)
aT ist dann eine lineare Abbildung.
Die Menge L der linearen Abbildungen von V nach V 0 bildet
bezüglich dieser Operationen einen Vektorraum.
Kern und Bild einer Linearen Abbildung I
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Seien V und W Vektorräume über einem Körper K und sei
F : V → W eine lineare Abbildung. Der Kern von F ist die Menge
aller v ∈ V mit F(v) = O. Der Kern von F wird durch Ker F
bezeichnet.
Der Kern von F ist ein Teilraum von V.
Kern und Bild einer Linearen Abbildung II
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Beispiel
Sei L : R3 → R die Abbildung mit
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
L(x, y, z) = 3x − 2y + z
Falls A = (3, −2, 1) kann L wie folgt geschrieben werden:
L(X) = X · A
Der Kern von L ist die Menge aller Lösungen der Gleichung:
3x − 2y + z = 0
Kern und Bild einer Linearen Abbildung III
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Lemma
Die folgenden Aussagen sind äquivalent.
1
Der Kern von F ist gleich {O}.
2
Falls v, w Elemente von V mit F(v) = F(w) sind, dann ist
v = w, d.h. F ist injektiv.
Kern und Bild einer Linearen Abbildung IV
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Theorem
Sei F : F → W eine lineare Abbildung mit Kern gleich {O}. Falls
v1 , . . . , vn linear unabhängige Elemente aus V sind, dann sind
F(v1 ), . . . , F(vn ) linear unabhängige Elemente von W.
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Definition
Sei F : V → W eine lineare Abbildung. Das Bild von F ist die
Menge der Elemente w ∈ W für die ein Element v ∈ V existiert mit
F(v) = w. Das Bild von F wird durch Im F bezeichnet.
Das Bild von F ist ein Teilraum von W.
Kern und Bild einer Linearen Abbildung V
Lineare Algebra
II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Sei V ein Vektorraum. Sei L : V → W eine lineare Abbildung von
V in einen anderen Raum W. Sei n die Dimension von V, q die
Dimension des Kerns von L und s die Dimension des Bildes von
L. Dann ist n = q + s. Also:
dimV = dim Ker L + dim Im L
Die einer Matriz entsprechende Lineare
Abbildung I
Lineare Algebra
II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Definition
Sei

Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen


A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
a13
a23
..
.
...
...
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
am3
...
amn





eine m × n-Matrix. Die A entsprechende lineare Abbildung
LA : Rn → Rm
ist definiert durch:
LA (X) = AX
für jeden Spaltenvektor X in Rn .
Die einer Matriz entsprechende Lineare
Abbildung II
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Es gilt:
A(X + Y) = AX + AY und A(cX) = cAX
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Beispiel
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
A=
2
−1
1
5
und
X=
3
7
Dann
2
−1
1
5
3
7
=
6+7
−3 + 35
=
13
32
Die einer Matriz entsprechende Lineare
Abbildung III
Lineare Algebra
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Theorem
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Falls A, B m × n-Matrixen sind und falls LA = LB , dann A = B. Falls
also zwei Matrizen dieselbe lineare Abbildung induzieren, sind sie
gleich.
Die einer Linearen Abbildung entsprechende
Matriz I
Lineare Algebra
II
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Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Zuerst ein Spezialfall: Sei
L : Rn → R
eine lineare Abbildung. Zu zeigen: Es existiert ein Vektor A in Rn
mit der Eigenschaft L = LA , d.h. für jedes X gilt:
LA (X) = AX
Die einer Linearen Abbildung entsprechende
Matriz II
Lineare Algebra
II
Generalisierung
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Theorem
Sei L : K n → K m eine lineare Abbildung. Dann gibt es eine
(eindeutig bestimmte) Matrix A mit L = LA .

a11
 ..
 .
am1
...
...

a1n
..  
. 
amn
 
x1
a11 x1 +
..  = 
.  
xn
am1 x1 +
...
..
.
+ a1n xn
...
+ amn xn



Die einer Linearen Abbildung entsprechende
Matriz III
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Beispiel
Matrizen
Sei F : R3 → R2 eine Projektion, d.h. die Abbildung mit:
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
F(x1 , x2 , x3 ) = (x1 , x2 )
Die mit F assoziierte Matrix ist dann:
1 0 0
0 1 0
Die einer Linearen Abbildung entsprechende
Matriz IV
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Beispiel
Eine lineare Abbildungh L : R2 → R2 wir eine Rotation genannt,
falls ihre Matrix in der folgenden Form geschrieben werden kann:
cosθ −sinθ
sinθ cosθ
Die einer Linearen Abbildung entsprechende
Matriz V
Lineare Algebra
II
Christian Ebert &
Fritz Hamm
Skalarprodukt,
Norm, Metrik
Matrizen
Lineare
Abbildungen
Lineare
Abbildungen und
Matrizen
Es gilt:
LA+B = LA + LB und LcA = cLA