3. Überblick Differentialrechnung

Vorkurs Mathematik-Physik, Teil 2
c 2016 A. Kersch
1
1.1
Di¤erentialrechnung
De…nition
Geometrische Interpretation Die Ableitung einer Funktion f (x) an einer Stelle x = x0 ist über den
Grenzwert des Di¤erenzenquotienten de…niert. Sei dieser
f (x0 +
y
=
x
x)
x
f (x0 )
Die geometrische Bedeutung ist die Steigung der Sekante durch die Punkte (x0 ; f (x0 )) und (x0 + x; f (x0 +
Im Grenzwert x ! 0 ergibt sich der Di¤erenzialquotient und aus der Sekante wird die Tangente
f 0 (x0 ) =
df
dx
= lim
x=x0
x!0
y
f (x0 +
= lim
x!0
x
x)
x
f (x0 )
(1)
Der Wert f 0 (x0 ) der Ableitung einer Funktion f (x) an einer Stelle x0 entspricht geometrisch der Steigung
der Tangenten.
An jeder Stelle x0 läß
t sich die Tangentensteigung
bestimmen
Die Werte für die Tangentensteigungen lassen sich
zusammenfassen und de…nieren die Ableitungsfunktion
f’(x)
x)).
Die Bilder zeigen die geometrische Konstruktion der Ableitungsfunktion f 0 (x), wenn die Funktion f (x)
gegeben ist.
Selbst bei elementaren Funktionen kann es Ausnahmestellen geben, an denen die Ableitung nicht de…niert
werden kann: Singularitäten wie bei f (x) = 1=x, Knicke wie bei f (x) = jxj oder Sprungstellen wie
bei f (x) = jxj =x. Diese Punkte müssen aus dem De…nitionsbereich der Ableitungsfunktion ausgeschlossen
werden.
Aufgabe: Welche der unteren Graphen ist die Ableitung der oberen Funktion ?
f(x)
g(x)
1
h(x)
0.4
0.2
-6
-4
-2
2
4
6
x
-1.5 -1.0 -0.5
-0.2
2
1
0.5 1.0 1.5
x
-2
-1
1
2
-1
x
-0.4
-1
-2
— — — — — — — — — — —-
f'(x)
— — — — — — — — — — —
— — — — — — — — — — —
g'(x)
1
h'(x)
2
2
-6
-4
-2
2
4
6
x
-1.5 -1.0 -0.5
-2
0.5 1.0 1.5
x
-2
-1
f'(x)
-2
2
4
6
x
h'(x)
-1.5 -1.0 -0.5
-2
f'(x)
0.5 1.0 1.5
x
-2
-1
h'(x)
4
4
2
-1
2
x
-4
2
2
-2
1
-2
g'(x)
1
-4
2
4
2
-4
-1
-6
1
x
4
2
-4
2
-4
g'(x)
1
1
-2
-4
-1
-6
4
4
4
6
x
-1.5 -1.0 -0.5
-2
-4
0.5 1.0 1.5
x
-2
-1
-2
x
-4
(2)
Analytische Berechnung Wenn f (x) analytisch (d.h. durch eine Formel) gegeben ist, kann die Ableitungsfunktion immer analytisch berechnet werden. Es gibt eine Reihe von Ableitungsregeln Für die einfachsten
Funktionen wären diese z.B.
f (x) = a x
) f 0 (x) = a
n
f (x) = a x
) f 0 (x) = a n xn 1
f (x) = sin(x) ) f 0 (x) = cos(x)
Wie kommt man darauf ? Beweisen kann man die Ableitungsregeln immer durch explizites Nachrechnen.
Z.B. für f (x) = a xn
df
dx
n
=
=
=
y
a (x + x)
axn
= lim
x!0 x
x!0
x
a xn + a n xn 1 x + ::: + a xn
lim
x!0
x
n 1
lim a n x
+ O( x) = a n xn 1
lim
axn
x!0
Rechenregeln Nützlich für die analytische Berechnung der Ableitung sind Produktregel und Kettenregel. Seien f und g bzw. h Funktionen, so dass (Multiplikation der Werte)
f = gh
Für die Ableitungsfunktion gilt folgende Produktregel
f0
=
(g h)0 = g 0 h + g h0
f 0 (x)
=
lim (g(x +
x)h(x +
x)
g(x)h(x)) = x
=
lim (g(x +
x)h(x +
x)
g(x)h(x +
=
lim
x!0
x!0
x!0
h(x +
x)
(g(x +
x)
x
g(x))
x) + g(x)h(x +
+ g(x)
(h(x +
x)
x
x)
g(x)h(x)) = x
h(x))
= g 0 (x)h(x) + g (x)h0 (x)
Beispiel: g(x) = sin x, h(x) = cos x, also f (x) = sin x cos x ) f 0 (x) = (sin x cos x)0 = (sin x)0 cos x +
sin x(cos x)0 = cos x cos x sin x sin x = cos x2 sin x2
Des weiteren gilt die Kettenregel für verkettete Funktionen. Sei f = g h verkettet, d.h. f (x) = g(h(x)).
Dann gilt
f 0 (x) = g 0 (h(x)) h0 (x)
Beispiel: f (x) = exp( x2 ), also f 0 (x) = exp( x2 )( 2x)
p
Aufgabe: Berechne die Ableitungen: (a) f (t) = 1=t (b) g(x) = 1= x2 + y 2 + z 2
1001
f (x) = x2 + 1
(e) g(') = sin ' cos ' (f) h(') = tan '
(c) h(z) = exp( a z 2 ) (d)
Das Di¤erential Das Di¤erential dx hat mathematisch allein keine Existenzberechtigung, aber Physiker
benutzen es gerne zum Argumentieren und Herleiten von Zusammenhängen (mit dem Gedanken einer sehr
kleinen, aber endlichen Größ
e - und späterer Grenzwertbildung). Physiker schreiben also gerne nach dem
Mathematiker Leibniz
dy = y 0 dx
Die Di¤erentiale dx und dy sind beides Variable, aber dx ist eine unabhängige Variable und dy ist eine
dy
abhängige Variable. Wenn dx 6= 0, beide Seiten der Gleichung können durch dx geteilt werden um
= f 0 (x)
dx
zu erhalten. Daher kann die Ableitung als Quotient von Di¤erentialen interpretiert werden.
Mit dieser Schreibweise lassen sich aber manche Zusammenhänge besonders einfach formulieren. Ein
Beispiel ist die Kettenregen der Di¤erentialrechnung. Seien y = g(u) und u = h(x) di¤erentierbare Funktionen, dann gilt für die verkettete Funktion f (x) = g(h(x))
df
dg dh
=
dx
dh dx
oder noch einfacher
df
df dh
=
dx
dh dx
Elementare Ableitungen
y = f (x)
: y 0 = f 0 (x)
c :
0
xn : nxn 1
p
1
p
x :
2 x
ex : ex
c eax
: ac eax
1
ln x :
x
1
loga x :
x ln a
ax = ex ln a : ax ln a
a a ln x
xa = ea ln x :
e
= a xa
x
sin x : cos x
cos x :
1
sin x
1
cos2 x
1
p
1 x2
1
p
1 x2
1
1 + x2
tan x :
arcsin x :
arccos x :
arctan x :
Ableitung der Umkehrfunktion Die Umkehrfunktion g(y) einer Funktion y = f (x) ist so de…niert, daß
die Verkettung beider die Identität liefert
g(f (x)) = f (g(x)) = x
f
1
Wobei f 1 die Umkehrfunktion bezeichnet (Achtung: f
(f (x) = g(h(x)) ! f 0 (x) = g 0 (h(x)) h0 (x)) liefert
g 0 (f (x)) f 0 (x)
=
1
g 0 (y)
=
1
f 0 (x)
1
(f (x)) = x = f (f
1
(x) 6= 1=f (x) !). Ableiten nach Kettenregel
g 0 (f (x)) =
,
(x))
dx
dy
1
f 0 (x)
=
f (x0 )
1
dy
dx
x0
Beispiel: Ableitung der Wurzelfunktion. Man di¤erenziere die Umkehrfunktion von y = x2
g 0 (y) =
1
1
1
1
= 20
=
= p
p
f 0 (x = g(y))
2xj
2
y
[x ] x=g(y)
x= y
Beispiel: Ableitung des Arkustangens y = arctan(x)
g 0 (y) =
1
1
=
0
f 0 (x = g(y))
[tan(x)]
0
Aufgabe: Ableitung von [arcsin x]
=
x=g(y)
1
1
=
1 + y2
1 + tan2 (x) x=arctan(y)
Höhere Ableitungen Wenn f eine di¤erentierbare Funktion, dann ist f 0 auch eine Funktion und kann
0
selber eine Ableitung haben Diese Ableitung (f 0 ) wird dann mit f 00 bezeichnet und ist die zweite Ableitung
f 00 von f , u.s.w.
Die 4. Ableitung f 0000 wird üblicherweise mit f (4) bezeichnet und ab dann die n-te Ableitung mit f (n)
dn y
dxn
y (n) = f (n) (x) =
Aufgabe:
(a) Berechne die ersten 3 Ableitungen von f (x) = 3x2
2x + 1,
1
(b) berechne allgemein die n-te Ableitung von f (x) =
x
Die Beschleunigung Wenn s = s (t) der Ort eines Körpers als Funktion der Zeit ist, entspricht die
Geschwindigkeit v(t) der ersten Ableitung der Ortsfunktion
v(t) = s0 (t) =
ds
dt
Die momentane Änderung der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit ist die Beschleunigung a(t) des Körpers.
Daher ist die Beschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit und daher die zweite Ableitung der
Ortsfunktion
a(t) = v 0 (t) = s00 (t)
oder in Leibniz’scher Notation
a=
dv
d2 s
= 2
dt
dt
Das Di¤erential und die Approximation einer Funktion Wenn dx = x a, dann gilt für a sehr nahe
bei x, dy f (x) f (a). Dann ist die lineare Approximation von f (x) nahe bei a.
f (a) + f 0 (a)(x
f (x)
a)
Die quadratische Approximation von f (x) nahe bei a ist
f (a) + f 0 (a)(x
f (x)
a) +
f 00 (a)
(x
2
a)2
Beispiel:
3x2 + 5
und a = 3. Die lineare Approximation von f (x) nahe a = 3 ist f (x) = f (a) +
2x 4
0
f (a)(x a) = 37 7x:
00
Die quadratische Approximation von f (x) nahe a = 3 ist f (x) = f (a) + f 0 (a)(x a) + f 2(a) (x a)2 =
227
2
58x + 17
2
2 x
Sei f (x) =
f(x) 30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
x
rationale Funktion mit 1. und 2. Approx. bei
x=3
Sehr oft wird nur bis zur 1. Approximation entwickelt. dabei gibt es folgende nützliche Formeln:
f (")
1
p1+"
1+"
n
(1 + ")
e"
ln (1 + ")
sin "
cos "
lin. Approximation
1 "
1 + 12 "
1 + n"
1+"
" 21 "2
1 3
"
" 3!
1 2
1 2!
"
Restglied
"2
1 2
8"
n(n 1) 2
"
2!
1 2
2! "
1 3
3"
1 5
5! "
1 4
4! "
Beispiel: Die relativistische Masse eines bewegten Körpers beträgt (Einstein)
m0
m= q
1
v2
c2
Schätzen Sie ohne Taschenrechner ab, wie großdie Zunahme der Masse bei 0:1km=s ist (c = 300000km=s)
p
1
"
1
1
"
2
)
m
m0
1
1
2"
1
"
2
m0 1
Taylor Reihe Eine Verallgemeinerung der lin. und quad. Approx. ist durch die Taylor-Reihe gegeben
(für a = 0 Maclaurin-Reihe)
f (x) =
1
X
f (n) (a)
(x
n!
n=0
n
a) = f (a) +
f 0 (a)
(x
1!
a) +
f 00 (a)
(x
2!
2
a) +
f 000 (a)
(x
3!
3
a) + :::
Diese unendliche Reihe konvergiert aber häu…g nur in einer Umgebung um a an die vorgegebene Funktion.
Falls die Taylor-Reihe im ganzen De…nitionsbereich gegen die vorgegebene Funktion konvergiert, nennt man
die Funktion analytisch.
Maclaurin Reihe
1
1 x
Wenn x = 1
=
1
P
Konvergenzbereich
xn = 1 + x + x2 + x3 + :::
n=0
1
P
x
x2
x3
xn
ex =
n! = 1 + 1! + 2! + 3! + :::
n=0
1
P
3
5
n x2n+1
x7
sin x =
( 1) (2n+1)!
= x x3! + x5!
7! + :::
n=0
1
P
2
4
n x2n
x6
cos x =
( 1) (2n)!
= 1 x2! + x4!
6! + :::
n=0
1
P
3
5
n 2n+1
x7
tan 1 x =
( 1) x2n+1 = x x3 + x5
7 + :::
n=0
1
P xn
x
x2
x3
und ex =
n! = 1 + 1! + 2! + 3! + :::, ergibt sich eine
n=0
( 1; 1)
( 1; 1)
( 1; 1)
( 1; 1)
[ 1; 1]
Möglichkeit die Zahl e über die
unendliche Reihe näherungsweise zu berechnen
e=
1
X
1
1
1
1
= 1 + + + + :::
n!
1!
2!
3!
n=0