Skript_Seite01-10 - Universität der Bundeswehr München

VERALLGEMEINERTE FUNKTIONEN
und
ELEMENTE DER FUNKTIONALANALYSIS
KURZSKRIPTUM
Prof. Dr. K. Pilzweger
UNIVERSITÄT DER BUNDESWEHR MÜNCHEN
FAKULTÄT FÜR ELEKTROTECHNIK UND INFORMATIONSTECHNIK
Herbsttrimester 2012
-1KAP I. EINFÜHRUNG
§ 1. Einführendes Beispiel: * - Funktion
Das bekannteste Beispiel für eine verallgemeinerte Funktion ist die Diracsche Deltafunktion *(t),
die oft auch als Diracsche Impulsfunktion oder Einheitsimpulsfunktion bezeichnet wird. Man
kann sie durch ihre sog. Ausblendeigenschaft definieren. Darunter versteht man die Aussage, dass
(1.1)
für jedes t0 0 ú und jede in t ' t0 stetige Funktion f : ú 6 ú. Speziell für t0 ' 0 folgt daraus, dass
(1.2)
für jede in t ' 0 stetige Funktion f : ú 6 ú. Mit Hilfe der Substitution u ' t & t0 erkennt man, dass
umgekehrt auch (1.1) aus (1.2) folgt, so dass beide Aussagen zueinander äquivalent sind.
Nun kann man sich aber relativ schnell davon überzeugen (s. Vorlesung), dass es keine gewöhnliche Funktion * : ú 6 ú geben kann, so dass (1.2) oder, gleichbedeutend damit, (1.1) richtig ist.
Die Deltafunktion *(t) ist daher keine gewöhnliche Funktion, sondern ein anderes mathematisches Objekt, eben eine verallgemeinerte Funktion oder, wie man auch sagt, eine Distribution.
Wenn auch keine Funktion im üblichen Sinne, so lässt sich *(t) doch durch solche Funktionen
beliebig genau approximieren. Daraus ergibt sich dann eine Möglichkeit, sich eine Vorstellung
von *(t) zu machen. Um dies zu erklären, betrachten wir irgendeine Funktion D : ú 6 ú, die
außerhalb eines abgeschlossenen Intervalls [a, b] d ú verschwindet (d. h.: D(t) ' 0 für t ó [a, b])
und für die
(1.3)
gilt. Beispiele dafür sind etwa
oder
Damit definieren wir dann für jedes g > 0 die Funktion
die aus D(t) durch eine Kontraktion in waagrechter und eine Dilatation in senkrechter Richtung
jeweils um den Faktor 1/g hervorgeht. Bei g denke man vor allem an eine kleine positive Zahl.
Für die obigen zwei Beispiele gilt
bzw.
Auch das Integral von Dg(t) von &4 bis %4 ist für jedes g > 0 gleich 1, denn:
-2Dabei wurde die Substitutionsregel der Integralrechnung mit u ' t/g angewandt. Wie in der Vorlesung weiter gezeigt wird, gilt nun
für jede in t ' 0 stetige Funktion f : ú 6 ú, so dass Dg(t) für g 6 0% die Gleichung (1.2) immer
genauer und schließlich beliebig genau erfüllt. Weil diese Gleichung die Deltafunktion *(t) definiert, kann man sich deshalb *(t) als den idealen Grenzfall der Funktion Dg(t) für g 6 0% vorstellen. Für die Beispiele (1.3) ergeben sich die folgenden Bilder:
§ 2. Ergänzungen zur Analysis
(2.1) Stückweise stetige Funktionen.
Unter einer (gewöhnlichen) Funktion wird im Folgenden immer eine Funktion vom Typ f : A 6
ú oder f : A 6 ÷, wobei A d ú, verstanden. Ohne es jedes Mal besonders zu erwähnen, setzen wir
stets voraus, dass sie stetig oder wenigstens stückweise stetig auf ú ist. Sie heißt stetig auf ú,
wenn sie in jedem t 0 ú definiert und stetig ist. Es ist dann A ' ú. Zur Erklärung des Begriffs
“stückweise stetig auf ú” zuerst die folgende
(2.1.1) Definition: Eine Menge S d ú heißt diskret, wenn in jedem Intervall [a, b] d ú höchstens
endlich viele Punkte aus S liegen.
Jede endliche Menge S ' {t1, t2, . . ., tn} ist diskret. Eine unendliche Menge S d ú ist es genau
dann, wenn sich ihre Punkte nirgendwo auf der reellen Achse häufen. Die für uns wichtigsten
Beispiele für eine unendliche diskrete Menge sind S ' {n )t * n 0 ù0} ' {0, )t, 2 )t, 3 )t, . . .}
und S ' {k )t * k 0 } ' {0, ± )t, ± 2 )t, ± 3 )t, . . .}, wobei )t > 0 fest vorgegeben. ù0 bezeichnet die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen, kurz: ù0 :' ù c {0}.
(2.1.2) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ú heißt stückweise stetig auf ú, wenn es eine
nichtleere diskrete Menge S d ú gibt, so dass f nur für jedes t 0 ú\S definiert und stetig ist und in
jedem Punkt t0 0 S die einseitigen Grenzwerte
-3und
eigentlich oder uneigentlich existieren.
Einen Punkt t0 0 S nennen wir eine singuläre Stelle von f. In einer singulären Stelle ist f entweder nicht definiert oder zwar definiert, aber nicht stetig. Eine t0 0 S heißt eine Unendlichkeitsstelle von f, wenn
oder
. Wenn nicht für alle t 0 ú definiert, ist eine stückweise stetige Funktion immerhin noch “für fast alle t 0 ú”, d. h. für alle t 0 ú
außerhalb einer diskreten Teilmenge von ú definiert.
(2.3) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ÷ heißt stückweise stetig auf ú, wenn Re[f] und
Im[f], Real- und Imaginärteil von f, stückweise stetig auf ú sind.
Ein Punkt t0 0 ú ist eine singuläre Stelle von f, wenn er eine von Re[f] oder Im[f] ist.
(2.2) Heavisidesche Sprungfunktion.
(2.2.1) Definition: Die durch
definierte Funktion s : ú 6 ú heißt Heavisidesche Sprungfunktion oder Einheitssprungfunktion.
Wichtig ist auch die Sprungfunktion s(t & t0), wobei t0 0 ú fest. Sie entsteht aus s(t) durch eine
Translation um t0 in t - Richtung.
Die Bedeutung der Sprungfunktion s(t) liegt u. a. darin, dass mit ihr stückweise definierte Funktionen in geschlossener Form dargestellt werden können.
(2.2.2) Beispiel: Seien t1, t2 0 ú mit t1 < t2 und sei
mit irgendwelchen Funktionen f1, f2 und f3. Dann gilt:
-4-
für alle t 0 ú\{t1, t2}.
(2.3) Ergänzungen zur Integralrechnung.
Sei f : A (d ú) 6 ú eine auf ú stückweise stetige Funktion und seien a, b 0 ú mit a < b. Enthält
das Intervall [a, b] keine singuläre Stellen von f, so ist das Integral
unproblematisch,
weil f dann stetig auf [a, b] ist und so das Integral (als Grenzwert Riemannscher Summen) eigentlich existiert.
Ein Problem entsteht erst, wenn im Integrationsintervall eine oder mehrere singuläre Stellen von
f liegen. Wir behandeln zuerst die Fälle, dass es genau eine singuläre Stelle t0 von f enthält und
diese mit einem seiner beiden Randpunkte zusammenfällt.
(2.3.1) Definition: Sei t0 eine singuläre Stelle von f und seien a, b 0 ú mit a < t0 < b und derart,
dass in [a, b] außer t0 keine weitere singuläre Stelle von f liegt. Dann ist definiert:
1)
;
2)
.
Die Integrale heißen konvergent, wenn die sie definierenden Grenzwerte eigentlich existieren,
divergent sonst.
Existiert der Grenzwert
eigentlich, ist das Integral
immer konvergent. Ist
dagegen
so kann es konvergieren oder auch nicht. Wenn nicht, divergiert es
bestimmt gegen den Wert von
also gegen % 4 oder & 4. Analoge Bemerkungen
gelten für das Integral
.
(2.3.2) Satz: Seien t0, a und b wie in (2.3.1) und seien F1 und F2 Stammfunktionen von f auf den
Intervallen [a, t0, bzw. +t0, b]. Dann gilt:
1)
wobei
2)
wobei
-5Als nächstes besprechen wir das Integral
wobei t1 und t2 zwei aufeinander folgende
singuläre Stellen von f seien. Die Funktion f ist dann stetig auf dem offenen Intervall +t1, t2,.
(2.3.3) Definition: Seien t1 und t2 zwei aufeinander folgende singuläre Stellen von f. Dann ist
definiert:
mit irgendeinem c 0 +t1, t2,. Das Integral
heißt konvergent, wenn die zwei Integrale auf
der rechten Seite der definierenden Gleichung konvergieren, anderenfalls divergent.
Diese Definition von
ist unabhängig von c, d. h., jedes c 0 +t1, t2, führt auf dasselbe
Ergebnis. Das zeigt auch der folgende
(2.3.4) Satz: Seien t1 und t2 wie in (2.3.3) und sei F eine Stammfunktion von f auf dem Intervall
+t1, t2,. Dann gilt:
Schließlich diskutieren wir noch den allgemeinen Fall, in dem das Integrationsintervall [a, b] eine
oder mehrere singuläre Stellen von f enthält.
(2.3.5 Definition: Seien t1, . . ., tn mit a # t1 < . . . < tn # b alle singulären Stellen von f im
Intervall [a, b], wobei a, b 0 ú mit a < b. Dann ist definiert:
.
Das Integral
heißt konvergent, wenn alle Integrale auf der rechten Seite der definierenden Gleichung konvergieren, divergent sonst. Konvergiert
, sagt man auch, die Funktion
f sei über dem Intervall [a, b] integrierbar.
(2.3.6) Definition: Eine Funktion f : A (d ú) 6 ú heißt lokal integrierbar, wenn sie über jedem
Intervall [a, b] d ú integrierbar ist.
-6Alle stetigen und alle stückweise stetigen Funktionen, die keine Unendlichkeitsstellen haben, sind
lokal integrierbar. Es gibt aber auch stückweise stetige Funktionen mit Unendlichkeitsstellen, die
lokal integrierbar sind. Ein Beispiel dafür ist die Funktion f(t) ' ln *t*; t … 0.
Bisher war f als reellwertig vorausgesetzt. Die obigen Definitionen und die darin geprägten
Begriffe sind aber für den Fall einer komplexwertigen Funktion f genauso sinnvoll und können
daher ohne jede Änderung dafür übernommen werden. Die Sätze (2.3.2) und (2.3.4) bleiben dann
wortwörtlich gültig. Weiter gilt mit u :' Re[f] und v :' Im[f] für jedes Intervall [a, b] d ú: liegen
in [a, b] singuläre Stellen von f, so ist
genau dann konvergent, wenn die (reellen) Integrale
und
es sind, und es ist dann
.
Enthält [a, b] keine singulären Stellen von f, gilt diese Gleichung sowieso. Es folgt, dass eine
Funktion f : A (d ú) 6 ÷ genau dann lokal integrierbar ist, wenn u und v lokal integrierbar sind.
Zum Schluss noch eine Aussage, die wir im Folgenden immer wieder brauchen werden. Dabei
spielt die durch *f*(t) :' *f (t)* für alle t 0 A definierte Funktion eine Rolle.
(2.3.7) Satz: Sei f : A (d ú) 6 ÷ lokal integrierbar. Dann ist auch *f* lokal integrierbar, und es
gilt:
für jedes Intervall [a, b] d ú.
-7KAP II. BEGRIFFE DER FUNKTIONALANALYSIS
§ 1. Lineare Funktionale
(1.1) Vektorräume.
Sei
' ú oder
' ÷.
(1.1.1) Definition: Ein Vektorraum (auch: linearer Raum) über ist eine nichtleere Menge X,
ausgestattet mit zwei algebraischen Operationen, von denen die erste je zwei Elementen x, y 0 X
eindeutig eine Summe x r y 0 X und die zweite jeder Zahl " 0 und jedem Element x 0 X
eindeutig ein Produkt ". x 0 X derart zuordnet, dass die folgenden Gesetze erfüllt sind:
(A 1) x r y ' y r x œ x, y 0 X.
(A 2) (x r y) r z ' x r (y r z) œ x, y, z 0 X.
(A 3) Es gibt genau ein Element 0 0 X, so dass x r 0 ' x œ x 0 X.
(A 4) Zu jedem x 0 X gibt es genau ein xN 0 X mit x r xN ' 0.
(M 1) (" $). x ' ".($. x) œ ", $ 0 , œ x 0 X.
(M 2) (" % $). x ' ". x r $. x œ ", $ 0 , œ x 0 X.
(M 3) ". (x r y) ' ". x r ". y œ " 0 , œ x, y 0 X.
(M 4) 1. x ' x œ x 0 X.
Die Elemente von X bezeichnet man als Vektoren, die Zahlen aus auch als Skalare. Die zwei
algebraischen Operationen sind die Addition von Vektoren und die Multiplikation von Skalar und
Vektor. Man nennt sie die Vektorraumoperationen. Die Gesetze (A 1) - (A 4) und (M 1) - (M4)
sind die sog. Vektorraumaxiome. Den Vektor 0 aus (A 3) nennt man den Nullvektor von X, und
der für jedes x 0 X eindeutig bestimmte Vektor xN aus (A 4) heißt der zu x entgegengesetzte
Vektor; wir bezeichnen ihn - zunächst einmal - mit s x.
(1.1.2) Beispiele:
1. Sei n 0 ù und sei
n
die Menge aller n - stelligen Spalten von Zahlen aus , also:
n
:' {x *
wobei x1, x2, . . ., xn 0 }.
Die Vektorraumoperationen r und . werden definiert durch
und
für alle x, y 0 X und alle " 0 . Man prüft leicht nach, dass damit die Vektorraumaxiome (A 1) (A 4) und (M 1) - (M 4) erfüllt sind, so dass n, ausgestattet mit diesen Operationen, ein Vektor-
-8raum über
ben durch
ist. Der Nullvektor und der zu einem x 0
n
entgegengesetzte Vektor s x sind gege-
und
.
Dieses Beispiel ist von der Linearen Algebra her bekannt. Nur die Bezeichnungen sind vielleicht
etwas befremdlich.
2. Sei F(ú) die Menge aller Funktionen x : ú 6 , kurz:
F(ú) :' {x * x : ú 6 }.
Führt man auf F(ú) die durch
(x r y)(t) :' x(t) % y(t) œ t 0 ú und (". x)(t) :' " x(t) œ t 0 ú
(()
definierten Operationen ein, sind wieder die Vektorraumaxiome erfüllt. Die Menge F(ú) wird
dadurch zu einem Vektorraum über und jede Funktion x : ú 6 damit zu einem Vektor aus
F(ú). Der Nullvektor von F(ú) ist die Nullfunktion 0, definiert durch 0(t) :' 0 für alle t 0 ú, und
der zu einem x 0 F(ú) entgegengesetzte Vektor s x ist die durch (s x)(t) ' & x(t) für alle t 0 ú
gegebene Funktion.
Einen Vektorraum, der wie F(ú) aus Funktionen besteht, nennt man einen Funktionenraum.
3. Weitere Beispiele für einen Funktionenraum sind:
-
C(ú), der Raum aller stetigen Funktionen x : ú 6 ,
-
C(m)(ú), der Raum aller m - mal stetig differenzierbaren Funktionen x : ú 6 , wobei m 0 ù,
-
C(4)(ú), der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen x : ú 6 .
Die Vektorraumoperationen r und . auf diesen Räumen sind wie in (() definiert. Offensichtlich
gilt C(4)(ú) d C(m)(ú) d C(ú) d F(ú). Die Inklusionen sind alle echt, d. h., das Inklusionszeichen
d kann überall durch das Zeichen für eine echte Inklusion ersetzt werden.
Bevor wir fortfahren, vereinfachen wir noch unsere Bezeichnungsweisen. Was die Vektorraumoperationen angeht, schreiben wir fortan anstelle von x r y, ". x und s x einfacher x % y, " x und
&x. Die Elemente (Vektoren) eines allgemeinen Vektorraums, so wie er in unseren Definitionen
und Sätzen immer vorkommt, werden nach wie vor durch Unterstreichen gekennzeichnet. Bei
den Elementen eines Funktionenraums hingegen unterlassen wir das und bezeichnen sie von jetzt
an immer mit kleinen lateinischen, manchmal auch griechischen Buchstaben ohne Unterstrich.
Nur an dem Symbol 0 für die Nullfunktion halten wir weiter fest. Dies geschieht, um sie von der
Zahl 0 zu unterscheiden.
(1.1.3) Definition: Sei X ein Vektorraum über . Eine nichtleere Teilmenge U von X heißt ein
-9Unterraum von X, wenn sie die folgenden Eigenschaften hat:
(U 1) x, y 0 U Y x % y 0 U,
(U 2) " 0 , x 0 U Y " x 0 U,
d. h., wenn U mit x, y 0 X auch x % y und mit x 0 X auch " x für jedes " 0
enthält. Man sagt
dann, U sei abgeschlossen gegenüber den Vektorraumoperationen.
Ein Unterraum U von X, ausgestattet mit den auf ganz X definierten Vektorraumoperationen, ist
selbst wieder ein Vektorraum über .
Wendet man die Eigenschaften (U 1) und (U 2) wiederholt an, erkennt man, dass ein Unterraum
U mit endlich vielen Vektoren x1, x2, . . ., xn 0 X auch jede Linearkombination von x1, x2, . . ., xn,
d. h. jeden Vektor x 0 X der Form
,
enthält. In Zeichen:
(U 3) "1, "2, . . ., "n 0 , x1, x2, . . ., xn 0 U Y
0 U.
Die einfachsten Beispiele für einen Unterraum von X sind U ' {0} und U ' X. Ein anspruchvolleres Beispiel ist die lineare Hülle einer nichtleeren Menge A d X.
(1.1.4) Definition: Sei X ein Vektorraum über und sei A eine nichtleere Teilmenge von X.
Dann heißt die Menge aller Linearkombinationen, die man mit endlich vielen Vektoren aus A
bilden kann, die lineare Hülle von A; sie wird mit Lin[A] bezeichnet. Kurz:
Lin[A] :'
x1, x2, . . ., xn 0 A, "1, "2, . . ., "n 0 , n 0 ù}.
Lin[A] erfüllt offensichtlich die Bedingungen (U 1) und (U 2) und ist somit ein Unterraum von X.
(1.1.5) Beispiel: Seien fi : ú 6 , wobei i ' 0, 1, 2, . . ., die Potenzfunktionen fi(t) ' ti. (f0 ist die
konstante Funktion f0(t) ' 1). Weil beliebig oft differenzierbar auf ú, ist fi für jedes i ' 0, 1, 2, . .
. ein Element des Funktionenraums C(4)(ú) und die Menge
A :' {f0, f1, f2, . . .}
deshalb eine Teilmenge von C(4)(ú). Da jede Linearkombination x von endlich vielen Elementen
. . .,
aus A, wobei 0 # i1 < i2 < . . . < in, auf die Form
mit N :' in und
Zahlen "1, "2, . . ., "N 0
gebracht werden kann, und weil
œ t 0 ú,
ist Lin[A] einfach der aus allen Polynomen x : ú 6
(1.1.6) Definition: Sei X ein Vektorraum über .
bestehende Unterraum von C(4)(ú).
-101) Eine endliche Teilmenge A ' {x1, x2, . . ., xn} von X heißt linear unabhängig, wenn die Vektorgleichung
nur die triviale Lösung ("1, "2, . . ., "n) ' (0, 0, . . ., 0) besitzt.
2) Eine unendliche Teilmenge A von X heißt linear unabhängig, wenn jede endliche Teilmenge
von A linear unabhängig ist.
3) Eine nicht linear unabhängige (endliche oder unendliche) Teilmenge von X heißt linear abhängig.
Eine einelementige Menge A ' {x} ist genau dann linear unabhängig, wenn x … 0, und eine
endliche mehrelementige Menge A ' {x1, x2, . . ., xn} ist es genau dann, wenn sich keiner der n
Vektoren x1, x2, . . ., xn als Linearkombination der übrigen n&1 darstellen lässt.
Die Dimension eines Vektorraums X, in Zeichen: dim X, ist definiert als die maximale Anzahl der
Elemente, die eine linear unabhängige Teilmenge von X haben kann. Dass dim X ' n, wobei n 0
ù, bedeutet daher, dass es linear unabhängige Teilmengen von X mit genau n Elementen gibt,
dass aber jede Teilmenge von X mit mehr als n Elementen linear abhängig ist. Ein Beispiel dafür
ist der Vektorraum n. Die oben eingeführten Funktionenräume C(4)(ú), C(m)(ú), C(ú) und F(ú)
enthalten dagegen auch linear unabhängige Teilmengen mit unendlich vielen Elementen, so dass
man ihnen die Dimension 4 zuordnen muss; sie sind also unendlichdimensional. In der Vorlesung wird dazu gezeigt, dass etwa die unendliche Menge A ' {f0, f1, f2, . . .} aus Beispiel (1.1.5)
eine linear unabhängige Teilmenge des Funktionenraums C(4)(ú) ist.
(1.2) Raum der Testfunktionen.
(1.2.1) Definition: Man sagt, eine Funktion f : ú 6 habe einen kompakten Träger, wenn sie
außerhalb eines Intervalls [a, b] d ú verschwindet (d. h.: f (t) ' 0 für alle t ó[a, b]).
Wie das Bild zeigt, gibt es zu einer Funktion f : ú 6 mit kompaktem Träger immer ein bez. t '
0 symmetrisches Intervall [&a, a], außerhalb dem f verschwindet.
Es ist nicht schwer, auf ganz ú stetige oder auch differenzierbare Funktionen mit einem kompakten Träger anzugeben. Schwierig ist es jedoch, eine Funktion mit kompakten Träger zu finden,
die auf ganz ú beliebig oft differenzierbar ist. Solche Funktionen gibt es aber (s. u.: (1.2.3)), und