Aufgaben zur Mathematik 1

Übungsaufgaben
Ü1
FH-Studiengang Angewandte Elektronik, WS 2016/17
Übungsaufgaben zur Mathematik 1
1. Zahlen und Funktionen
1.
Man überprüfe die Gleichung
1 + 2 + 3 + ... + n =
n (n + 1)
2
zunächst für n = 1,2,3,4,5 und beweise sodann deren Gültigkeit für alle natürlichen
Zahlen n durch vollständige Induktion.
2.
Man zeige mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n ∈ Õ gilt:
1 + 2 + 2 2 + ... + 2 n −1 = 2 n − 1 .
3.
Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (xn) mit x1 = 1 und
x n +1 =
xn
für n ≥ 1.
xn + 2
Man berechne x2, x3, x4 und x5. Ferner beweise man mittels vollständiger Induktion, dass
xn =
4.
1
für alle n ≥ 1.
2 −1
n
Berechnen Sie die acht Binomialkoeffizienten
7
  für k = 0,1,...,7
k
(a) nach Definition der Binomialkoeffizienten bzw.
(b) mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks.
(c) Wie groß ist die Summe aller acht Koeffizienten?
(d) Geben Sie die Entwicklung für (a + b)7 nach dem Binomischen Lehrsatz an.
5.
Man berechne die folgenden Potenzen unter Verwendung des Binomischen Lehrsatzes:
(a) 1024 sowie (b) 995.
6.
Für die Widerstände R1 = 3 Ω, R2 = 5/2 Ω, R3 = 1/3 Ω und R4 = 4/3 Ω berechne man den
Gesamtwiderstand Rser bei Serienschaltung und Rpar bei Parallelschaltung.
7.
Lösen Sie die folgenden Ungleichungen in —:
(a)
x 7x x
−
< +3
3 15 5
(b) 1 ≤ x + 3 ≤ 5 + 3
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Ü2
8.
Berechnen Sie zur Zeitreihe der Energieintensitäten der europäischen Wirtschaft für die
Jahre 1995 bis 2005 (siehe Vorlesung) fünfgliedrige gleitende Durchschnitte (mit k = 2),
und stellen Sie diese gemeinsam mit den Originaldaten graphisch dar.
9.
Man stelle die folgenden komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar: z1 =
3 + 4j, z2 = −5 + j, z3 = −3j, z4 = [5,π/6], z5 = [1, π], z6 = [3,0] und z7 = [0,π/2].
10. Die in kartesischen Koordinaten gegebenen Zahlen z1, z2 und z3 aus Aufgabe 9 sind in
Polarkoordinaten umzurechnen. Wie lauten die entsprechenden konjugiert komplexen
Zahlen?
11. Bringen Sie die in Polarform vorliegenden komplexen Zahlen z4, z5, z6 und z7 aus
Aufgabe 9 in die kartesische Form und bestimmen Sie die jeweiligen konjugiert
komplexen Zahlen.
12. Man berechne:
(a) 1 +
1
j
(b)
2 − 4j
5 + 7j
(c)
(3 + 2 j)( 2 − j)
5 + 5j
13. Mit dem komplexen Zeiger z = 1 + 2j werden folgende Operationen durchgeführt:
(a) 2z
(b) jz
(c) z
(d) z/j
(e) |z|
(f) z2.
Stellen Sie diese Operationen in der Gaußschen Zahlenebene graphisch dar. Was
bedeuten Sie geometrisch?
14. Man bestimme sämtliche Potenzen der komplexen Zahl z =
1
3
+
j und stelle sie in der
2 2
Gaußschen Zahlenebene dar.
15. Man überprüfe die Dreiecksungleichung |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2| für die folgenden Zahlenwerte:
(a) z1 = 0,1 + j; z2 = 3,2 − 0,1j
(b) z1 = −1 + 2,5j; z2 = −4 + 10j
16. Lösen Sie die Gleichung z2 + z + 1 = 0 in ¬ und zeigen Sie, dass für die Lösungen stets
z3 = 1 gilt.
17. Für u = 1 + 3 j und v = −1 + j berechne man uv sowie u/v und veranschauliche diese
Operationen in der Gaußschen Zahlenebene.
18. Man berechne (1 + j)100.
19. Man finde alle fünften Wurzeln von z = − 4 + 3j. Welches ist der Hauptwert?
20. Wie lauten alle (komplexen) Lösungen der Gleichung
z 3 − 3z 2 + (3 + j)z = 0 ?
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Ü3
21. Von der Gleichung vierten Grades z4 − 2z3 + z2 + 2z − 2 = 0 ist eine (komplexe) Lösung
bekannt: z1 = 1 − j. Wie lauten die übrigen Lösungen?
22. Man beschreibe das Fallgesetz
s=
g 2
t
2
(s Fallstrecke, t Fallzeit, g Fallbeschleunigung) als Funktion durch Angabe von
Definitionsbereich, Wertebereich und Zuordnungsvorschrift und skizziere den zugehörigen Funktionsgraphen.
23. bis 25. Zu den nachstehenden reellen Funktionen gebe man den größtmöglichen Definitionsbereich sowie einen geeigneten Wertebereich an, skizziere den Funktionsgraphen und
diskutiere ihre Eigenschaften (Injektivität, Surjektivität, Bijektivität, Monotonie):
23. f(x) = x3 − 2x2 − x + 2
24. f(x) =
1
x − 10
25. f(x) =
x −3
26. Man zeige, dass die Funktion f: — \{−3} → — \{2}, y =
2x − 1
bijektiv ist und bestimme
x+3
ihre Umkehrfunktion.
27. Man zeichne die Schaubilder der (reellen) Betragsfunktion
 x für x ≥ 0
f (x ) = | x | = 
− x für x < 0
sowie der Vorzeichenfunktion
+ 1 für x > 0

f ( x ) = sgn( x ) =  0 für x = 0
− 1 für x < 0

und diskutiere ihre Eigenschaften.
28. Man skizziere die allgemeine Exponentialfunktion f(x) = a ebx für verschiedene Werte
der Parameter a und b.
29. Zeichnen Sie die Schaubilder zu den Funktionen y = e2x in einfachlogarithmischem bzw.
y = x2 in doppeltlogarithmischem Maßstab.
(Anleitung: Betrachtet man neben den Variablen x, y die neuen Variablen u = ln(x), v =
ln(y), so versteht man unter einer einfachlogarithmischen (ordinatenlogarithmischen)
Darstellung eine graphische Darstellung im (x,v)-Koordinatensystem, unter einer
doppeltlogarithmischen Darstellung eine solche im (u,v)-Koordinatensystem.)
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Ü4
30. Bei einem Einschaltvorgang in einem Gleichstromkreis mit dem Ohmschen Widerstand
R, der Selbstinduktion L und der angelegten Spannung U ändert sich die Stromstärke mit
der Zeit t nach dem Gesetz
R
− t
U
i( t ) = (1 − e L ) .
R
Nach welcher Zeit beträgt die Stromstärke
1U
? Was ergibt sich konkret für R = 25 Ω
2R
und L = 1.5 H?
31. Man beweise die Formel
log b c =
log a c
log a b
zur Umrechnung von Logarithmen verschiedener Basen.
(Anleitung: Man verwende die Rechenregel log a b c = c log a b und setze darin statt c den
Ausdruck log b c ein.)
32. Man skizziere den Verlauf der Wechselspannung u(t) = 400 sin(100πt − ϕ) für ϕ = 0,
π/2, −π in einem (t,u)-Diagramm.
33. Man beweise:
cosh2 x − sinh2 x = 1 für alle x ∈ —.
34. Man überlege, wo die Hyperbelfunktionen sinh x und cosh x eindeutig umkehrbar sind
und skizziere die entsprechenden Umkehrfunktionen.
35. Leiten Sie für den Area-Sinus hyperbolicus die folgende Beziehung her:
ar sinh( x ) = ln(x + 1 + x 2 ) für alle x ∈ —.
(Anleitung: Man folgere aus y = ar sinh x die Gleichung x = sinh y = (ey − e-y)/2 bzw.
e2y − 2xey − 1 = 0. Das ist eine quadratische Gleichung in u = ey, aus welcher ey und
schließlich y bestimmt werden können.)
2. Grundlagen der Differentialrechnung
36. Bestimmen Sie ein Bildungsgesetz für die unendlichen Folgen:
(a) 0,3; 0,09; 0,027; ...
(b)
1 4 9
, , , ...
2 3 4
(c)
1 2 3
, , , ...
2 4 8
Wie groß ist dann das jeweils zehnte Folgenglied?
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Ü5
37. bis 39. Man untersuche nachstehende Folgen in Hinblick auf Monotonie, Beschränktheit,
mögliche Häufungswerte bzw. Grenzwerte. Ferner veranschauliche man die Folgen auf der
reellen Zahlengeraden:
37. (a) − 1,− 2 ,− 3 ,−2,− 5 ,...
(b) 1, 1, 2, 1/2, 3, 1/3, 4, 1/4, ..., m, 1/m, ...
38. (a) xn = sin(2nπ)
(b) xn = 2/n2
39. (a) xn =
n +5
für n ≥ 2
n −1
(b) xn = (−1) n
n −1
n
40. Gegeben sei die rekursiv definierte Folge (xn) mit x1 = 5 und xn+1 = (xn + 5/xn)/2 für n =
1,2,... . Man berechne die Folgenglieder xn für n = 1,...,10, untersuche die Folge in Bezug
auf Monotonie, Beschränktheit sowie Konvergenz und berechne – wenn möglich – den
Grenzwert.
41. Zu folgenden konvergenten Zahlenfolgen bestimme man den Grenzwert:
(a) xn =
n 3 + 2 n 2 − 2n + 1
2n 3 − 1
(b) xn =
n2 + 2 − n2 +1
(Anleitung zu (b): Man verwende die Formel a − b = (a2 − b2)/(a + b).)
42. Beweisen Sie: In einer arithmetischen Folge ist jedes Folgenglied das arithmetische
Mittel seiner beiden Nachbarn, d.h. xn = (xn−1 + xn+1)/2. Genauso ist in einer geometrischen Folge jedes Glied das geometrische Mittel seiner beiden Nachbarn, d.h.
x n = x n −1 x n +1 . Illustrieren Sie diesen Sachverhalt auch an je einem Beispiel.
43. Man berechne die Summe der unendlichen geometrischen Reihen:
1
 
∑
n =0  6 
∞
(a)
n
∞
(b)
∑ 0,3n
n =0
 2
5 − 
∑
3
n =0 
∞
(c)
n
44. Gegeben seien die Punkte P0 = 0 und P1 = 1 auf der Zahlengeraden. Man halbiere nun
fortgesetzt die Strecke P0 P1 in P2, die Strecke P1 P2 in P3, P2 P3 in P4, usw. und
bestimme die Lage von Pn für n → ∞.
45. Was ist an nachstehender Rechnung falsch?
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1
1
+ − + − + − + −
+
− ±⋯
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1
1
1
1
1
1
1
ln 2 = 0 + + 0 − + 0 + + 0 − + 0 +
+ 0 − ±⋯
2
2
4
6
8
10
12
3
1 1 1
1 1 1
1
1
ln 2 = 1
+ − +
+ − +
+
− ± ⋯ = ln 2
2
3 2 5
7 4 9
11 6
ln 2 = 1 −


+


(Anleitung: Überprüfen Sie, ob die auftretenden Reihen absolut oder bedingt konvergent
sind und erklären Sie damit den scheinbaren Widerspruch.)
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Ü6
46. Mit Hilfe des Quotientenkriteriums untersuche man die folgenden Reihen auf Konvergenz:
(a)
1
1
1
1
+
+
+
+ ...
1
3
5
1⋅ 2 3 ⋅ 2
5⋅ 2
7 ⋅ 27
(b)
1
1
1
1
+
+
+
+ ...
11 101 1001 10001
47. Man zeige, dass die Reihe
ln 2 (ln 2) 2 (ln 2) 3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
konvergiert und berechne ihre Summe.
48. Ein Sparverein eröffnet bei einer Bank am 1. 7. 2010 ein Konto und zahlt sofort 1.200,- €
ein. Außerdem verpflichtet er sich, regelmäßig am Ende jedes dritten Monats weitere
100,- € auf dieses Konto einzuzahlen. Die Bank sichert daraufhin eine Verzinsung von
1% pro Quartal bei vierteljährlicher Abrechnung zu. Auf welchen Betrag ist das Guthaben am 31. 12. 2015 angewachsen?
49. Eine Stiftung beabsichtigt, ab 1999 jeweils am Jahresende den besten Teilnehmer eines
Fachhochschullehrganges auszuzeichnen und mit einem Geldbetrag zu unterstützen. Für
diesen Zweck soll am 1. 1. 1999 ein Fonds eingerichtet werden, dessen Verzinsung mit
5% p.a. langfristig gesichert ist. Wie hoch muss das Fondsguthaben sein, um daraus
jährliche gleich hohe Preise in der Höhe von 1.000,- € (a) auf die Dauer von 15 Jahren,
(b) in alle Zukunft zu garantieren?
50. Man zeige mit Hilfe des Nullstellensatzes, dass die Funktion y = ex − 5x +1 im Intervall
[0,1] sowie im Intervall [2,3] je eine Nullstelle besitzt. Wie können diese Nullstellen
näherungsweise berechnet werden?
51. Man skizziere die Graphen der Funktionen
f1(x) = cos x, f2(x) = 1/cos x, f3(x) = cos2x, f4(x) = |cos x|, f5(x) =
| cos x |
im Intervall [0,π] und untersuche alle Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.
52. Berechnen Sie auf direktem Weg über den Differenzenquotienten die Ableitung der
Funktion f(x) = 3x2 − 5 (a) an der Stelle x0 = 1 bzw. (b) an der Stelle x0.
53. Ein Bewegungsablauf wird durch das Weg-Zeit-Gesetz s(t) = 2,5t2 − 3t beschrieben (t in
s, s in m). Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 4 Sekunden?
54. Welchen Anstieg hat die Tangente an die Kurve y = (x + 1)/(x − 2) in deren Schnittpunkt
mit der x-Achse? In welchen Punkten ist der Anstieg gleich −3? Man gebe auch die
Gleichungen der entsprechenden Tangenten an.
55. Ein Unternehmer stellt ein Produkt Y unter Verwendung des Produktionsfaktors X her.
Dabei stehen ihm drei Produktionsverfahren zur Verfügung, welche die folgende Produktionsfunktion ergeben:
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Ü7
 x2
für 0 ≤ x ≤ 10

 4
y = f ( x ) = 3x − 5 für 10 < x ≤ 25 .
14 x
für x > 25


Man skizziere den Graphen der Funktion y = f(x), bestimme die Durchschnittsproduktion
y (x) = y(x)/x und das sogenannte Grenzprodukt y′(x) = dy/dx. Wie können Durchschnittsproduktion und Grenzprodukt interpretiert werden? Erläutern Sie beide Begriffe
anhand eines praktischen Beispiels.
56. bis 58. Man differenziere nach x:
56. (a) y = x4 ln(x)
(b) y = (8x − 15) / (3x2 + 1)
57. (a) y = 5 exp(−(x+1)3)
(b) y = x ex sin2x
58. (a) y = ln 3
1− x2
1+ x2
(b) y = sin x − x cos x
59. Bilden Sie die Ableitung der Funktion y = f(x), indem Sie die Umkehrfunktion x = f −1(y)
ableiten und die Regel für die Ableitung einer Umkehrfunktion verwenden:
(a) y = x + 1
(b) y = ln x
60. Differenzieren Sie die folgenden Funktionen zweimal:
(a) y = e −0,5 x cos x
(b) y =
x2
1+ x2
(c) y = 3x⋅sin x
61. Die Bewegung eines Massenpunktes werde durch das Weg-Zeit-Gesetz s(t) = t2 ln(t + 1)
beschrieben. Man berechne die Geschwindigkeit v(t) = ds/dt sowie die Beschleunigung
b(t) = d2s/dt2.
62. Für die Funktion y = x 3 ln(x ) berechne man y(1), y′(1), y″(1) und y″′(1).
63. Man berechne die ersten 4 Ableitungen der Funktion f(x) = (x + 1)/(x − 1). Können Sie
allgemein einen Ausdruck für die n-te Ableitung angeben?
3. Anwendungen der Differentialrechnung
64. Man beweise, dass ln(1 + x) < x für alle x ∈ —+.
(Anleitung: Man bilde f(x) = x − ln(1 + x) und zeige, dass f(0) = 0 und f streng monoton
wachsend ist.)
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Ü8
65. Wie ist t zu wählen, damit die Funktion f(x) = (x2 + t)/(x − t) in einer Umgebung der
Stelle x0 = 1 streng monoton fallend ist? Machen Sie eine Skizze.
66. Welches ist das maximale Volumen eines Zylinders, der einem geraden Kegel vom
Radius R und der Höhe H eingeschrieben werden kann?
67. Ein Transportunternehmen wendet im Durchschnitt K1 = 40.000,- € für die Generalüberholung eines seiner Fahrzeuge auf, während die laufenden Betriebskosten K2(x) = 3,8x +
4⋅10−6x2 bei einer Fahrleistung von x km seit der letzten Überholung betragen. Man
bestimme die durchschnittlichen Gesamtkosten pro km. Bei welchem Service-Intervall,
d.h. bei welcher Fahrleistung seit dem letzten Generalservice sind diese Kosten am
günstigsten?
68. Ein Weinhändler steht vor der Entscheidung, eine bestimmte Menge seine Vorrates
entweder mit dem Erlös W0 sofort zu verkaufen, oder aber eine bestimmte Zeit t
abzuwarten, und erst dann mit einem höheren Erlös zu verkaufen. Die Wertentwicklung
des Weines möge dabei durch die Funktion
W(t) = W0 e t e− rt
(d.i. der auf den Zeitpunkt t = 0 bezogene Verkaufserlös, welcher durch stetige Abzinsung mit der sogenannten Diskontrate r > 0 gebildet wird) beschrieben werden. Man
bestimme den optimalen Verkaufszeitpunkt, d.h. jenen Zeitpunkt, zu dem der Verkaufserlös W(t) am größten ist
69. Man diskutiere die Funktion f(x) = sin x − 3 cos x im Intervall I = [−π,π].
70. Man bilde zu folgenden Funktionen y = f(x) das Differential dy = f′(x0)⋅dx an der Stelle
x0 zur Verschiebung dx. Wie kann der erhaltene Zahlenwert interpretiert werden?
(a) f(x) = (7/2)x3 − x, x0 = 2, dx = 0,1
(b) f(x) = 3/(x − 1), x0 = 3, dx = 1
(c) f(x) = cos x, x0 = π/3, dx = 0,5
a
g
-2
(dabei bezeichnet g = 9,81 ms die Erdbeschleunigung). Auf wie viele % genau kann
man die Schwingungsdauer T angeben, wenn man die Pendellänge a auf 1% genau bestimmt?
71. Die Schwingungsdauer eines Pendel mit der Länge a beträgt annähernd T = 2π
72. – 74. Man berechne die Grenzwerte nachstehender unbestimmter Formen:
72. (a) lim
x →1
x −1
ln x
e 3x
x →∞ x 5
2 x sin(2 x )
x →0 sinh 2 x
(b) lim
πx
2
73. (a) lim
(b) lim(1 − x ) tan
74. (a) lim x x
(b) lim ( x − 3 x 3 − x 2 )
x →0
x →1
x →∞
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Ü9
75. Gesucht ist eine in der Nähe von (a) x0 = 3 bzw. (b) x0 = −3 gelegene Nullstelle der
Funktion f(x) = e−x + x2 − 10.
76. Man berechne den numerischen Wert von 5 mit Hilfe des Babylonischen Wurzelziehens (siehe Vorlesung) auf 8 signifikante Stellen genau.
77. Nach welcher Zeit t (in Stunden) erreichen die Betriebskosten
B(t) = 10,45t + 0,0016t2 + 17200(1 − e−0,0002t)
einer Maschine den Anschaffungspreis A = 100.000,- € ? Ist die Lösung eindeutig bestimmt?
(Anleitung: Man bilde die Funktion f(t) = B(t) − A, untersuche deren Monotonieverhalten und bestimme schließlich die gesuchte Nullstelle mit Hilfe des Newton-Verfahrens.)
4. Integralrechnung
78. – 80. Man berechne die folgenden unbestimmten Integrale:
78. (a)
2 x 2 − 5 x 5 + 3x
dx
∫
x3
(b) ∫ (2 cos x −
79. (a) ∫ ( x 2 + x + 1) ln x dx
(b)
∫x
80. (a) ∫ sin 3 x cos x dx
(b)
∫
2
1
+ 3e x )dx
2
cos x
sin x dx
x
1+ x2
dx
81. Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel
u ′( x )
∫ u( x) dx = ln u( x) + C
und berechne damit
dx
∫ x ln x .
82. Zu vorgegebenen Grenzkosten k(x) und Fixkosten K0 bestimme man die Gesamtkosten
K (x )
K(x) = ∫ k ( x )dx und die Durchschnittskosten K ( x ) =
. Wie können Durchschnittsx
kosten und Grenzkosten interpretiert werden? Erläutern Sie beide Begriffe anhand eines
praktischen Beispiels.
(a) k(x) = 6x2 − 6x + 11, K0 = 5
(b) k(x) = 1/ x , K0 = 2
(c) k(x) = 2 + 5ex, K0 = 100
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Ü10
83. – 84. Man berechne die folgenden bestimmten Integrale:
1
2
1
x
(b) ∫ ( −
) dx
x 1+ x2
1
83. (a) ∫ (e − 1) e dx
x
4
x
0
π/2
84. (a)
∫ sin
π/2
2
x dx
(b)
0
∫ cos
π/4
2
x dx
(c)
0
∫ tan
2
x dx
0
85. Man berechne den Inhalt der Fläche, die von folgenden Kurven begrenzt wird:
(a) y = 0, y = 1/x, x = −2, x = −1
(b) y = 0, y = 1/(1 + x2), x = ±1
86. Gesucht ist der Gleichrichtwert Ig eines Doppelgleichrichters, d.i. der Mittelwert der
Stromstärke eines Wechselstroms der Form i(t) = |i0 sin(t)| für 0 ≤ t < 2π.
87. Mit Hilfe der Sehnentrapezformel berechne man π aus der Gleichung
1
dx
.
2
1
+
x
0
π=4∫
Dabei verwende man eine Unterteilung des Integrationsintervalls in 2, 5 und 10 Teilintervalle.
π
88. Man bestimme näherungsweise das Integral
sin x
∫1+ x
2
dx .
0
89. In nachstehender Tabelle sind die Grenzbetriebskosten k(t) (in 1.000,- €) einer Maschine
bei einer Arbeitsleistung von t Betriebsstunden angegeben. Man bestimme daraus näherungsweise die Gesamtbetriebskosten K(T) =
0
0,50
t
k(t)
10
0,67
20
0,85
30
1,02
40
1,18
∫
T
0
50
1,33
k ( t ) dt für T = 100.
60
1,48
70
1,60
80
1,75
90
1,92
100
2,12
90. – 91. Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:
e
90. (a)
∫x
1
∞
91.
∫x
1
∞
dx
ln x
1
x −1
(b)
∫ xe
−x
dx
0
dx
(Anleitung: Zum Integrieren wähle man die Substitution u = x − 1 . Ferner beachte
man, dass das angegebene Integral sowohl bei x = 1 als auch bei x = ∞ uneigentlich ist.)