Zusammenfassung zu Analysis I

Sara Adams
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
2
Inhaltsverzeichnis
3
2 Die komplexen Zahlen
4
Sara Adams
3 Folgen
5
9. August 2004
4 Reihen
7
5 Stetige Funktionen
8
6 Winkelfunktionen
9
Zusammenfassung zu Analysis I
Diese Zusammenfassung basiert auf der Vorlesung
Analysis I
gehalten im Wintersemester 2002/03
von Prof. Dr. Thomas Bartsch
an der Justus-Liebig Universität Gießen
1
1 Die reellen Zahlen
7 Folgen und Reihen von Funktionen
11
8 Integration
13
9 Differentiation
14
10 Hauptsatz der Differential- und Integlalrechnung
17
11 Lokale Approximation durch Polynome
17
12 Kurven in der Ebene
18
Sara Adams
3
Sara Adams
Die reellen Zahlen
• x, y ∈
– |x| ≥ 0, x ≤ |x|, |x| = 0 ⇔ x = 0
Definitionen
– |x · y| = |x| · |y|, |x + y| ≤ |x| + |y|
0
•
– 0! := 1, n! := n · (n − 1)!, n ≥ 1
Q
n!
= kj=1 n−j+1
– nk := k!(n−k)!
j
(
x
falls x ≥ 0
• Betrag |x| =
−x falls x < 0
– (x, y] := {z ∈
: x < z ≤ y} halboffenes Intervall
: x ≤ z < y} halboffenes Intervall
– (−∞, y] := {z ∈
– (−∞, y) := {z ∈
: x < z < y} offenes Intervall
: bn = a (b =
√
n
a n-te Wurzel von a)
: |a − b| < ε
• i :=
•
√
−1
:= {x + yi : x, y ∈
• (x1 + y1 i) + (x2 + y2 i) := (x1 + x2 ) + (y1 + y2 )i
• <:
: x < z}
: z ≤ y}
→
• A⊂
nach oben beschränkt :⇔ ∃b ∈
: A ⊂ (−∞, b] (b obere Schranke)
• A⊂
nach unten beschränkt :⇔ ∃c ∈
: A ⊂ [c, ∞) (c untere Schranke)
•
−
:
→
→ , x + yi 7→ x − yi komplexe Konjugation
Sätze
•
ist ein Körper, jedoch kein angeordneter Körper.
Vollständigkeitseigenschaft von
, x + yi 7→ x Realteil
, xy i 7→ y Imaginärteil
p
• |z| = |x + yi| := x2 + y 2 Betrag
• =:
: z < y}
• ∅=
6 A ⊂ nach oben beschränkt ⇒ ∃! sup A ∈ : a ≤ sup A ∀a ∈ A, [b ∈ obere
Schranke von A ⇒ b ≥ sup A] (sup A kleinste obere Schranke von A, Supremum)
• ∅=
6 A ⊂ nach unten beschränkt ⇒ ∃! inf A ∈ : a ≥ inf A ∀a ∈ A, [b ∈ untere
Schranke von A ⇒ b ≤ inf A] (inf A größte untere Schranke von A, Infimum)
• sup A ∈ A ⇒ sup A = max A (Maximum von A)
• x + yi 6= 0 ⇒ (x + yi)−1 = √
– |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0
– z=z⇔ z∈
•
k=0
−√
y
x2 +y 2
• w, z ∈
– w + z = w + z, w · z = w · z
Sätze
Pn
x
x2 +y 2
– |w · z| = |w| · |z|, |w + z| ≤ |w| + |z|
– |w − z| ≥ |w| − |z|
• inf A ∈ A ⇒ inf A = min A (Minimum von A)
• Allgemeine binomische Formel: (x + y)n =
}
• (x1 + y1 i) · (x2 + y2 i) := (x1 x2 − y1 y2 ) + (x1 y2 + x2 y1 )i
: x ≤ z}
ist ein angeordneter Körper.
• nk = n−1
+ n−1
k−1
k
+
0
Die komplexen Zahlen
– (x, ∞) := {z ∈
⇒ ∀ε > 0 ∃b ∈
: x ≤ z ≤ y} geschlossenes Intervall
– [x, ∞) := {z ∈
• a∈
⇒ ∃! b ∈
Definitionen
, x≤y
– (x, y) := {z ∈
, n ≥ 2, a ∈
2
– [x, y] := {z ∈
– [x, y) := {z ∈
+
0
• n∈
• Intervalle: x, y ∈
ist nach oben unbeschränkt.
– x0 := 1, xn := x · xn−1 , n ≥ 1
,n ∈
• x∈
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1
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n
k
xn−k y k
i
4
5
Folgen
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• (an ) Folge in
Definitionen
n→∞
n→∞
• (an )n∈ konvergent :⇔ ∃ a ∈ : ∀ε > 0 ∃N ∈ : |an − a| < ε ∀n ≥ N (an −→ a,
a Grenzwert bzw. Limes von (an )n∈ , a = limn→∞ an )
• (an )n∈ divergent :⇔ (an )n∈ nicht konvergent
• (an )n∈ monoton wachsend :⇔ an ≤ an+1
∀n ∈
• (an )n , (bn )n konvergent
∀n ∈
– (an + bn )n konvergent, lim(an + bn ) = lim(an ) + lim(bn )
– (an · bn )n konvergent, lim(an · bn ) = lim(an ) · lim(bn )
– lim(bn ) 6= 0 ⇒ ∃N ∈ : bn 6= 0 ∀n ≥ N, abnn n≥N konvergent, lim
(
n→∞
<(an ) −→ <(a)
n→∞
• (an )n −→ a ⇔
n→∞
=(an ) −→ =(a)
∀n ∈
: an ≤ c ∀n ≥ N
∀k ∈
• (an )n , (bn )n konvergent, an ≤ bn
∃N ∈
k→∞
∪ {−∞, ∞} Häufungspunkt von (an )n :⇔ ∃ (ank )k : ank −→ a
• (an )n Folge reeller Zahlen, H ⊂
=
lim(an )
lim(bn )
⇒ lim(an ) ≤ lim(bn )
k→∞
• an −→ a ⇒ ank −→ a
falls M nach unten beschränkt
falls M nicht nach unten beschr. od. − ∞ ∈ M
falls M = {∞}
∪ {−∞, ∞} Menge aller Häufungspunkte
– lim sup = lim := sup(H) Limes superior
– lim inf = lim := inf(H) Limes inferior
: |am − an | < ε ∀m, n ≥ N
• (an )n Cauchy-Folge :⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈
• Jede Folge reeller Zahlen besitzt eine monotone Teilfolge.
• Bolzano-Weierstraß: Jede beschränkte Folge reeller Zahlen besitzt eine konvergente
Teilfolge.
• Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt eine konvergente Teilfolge bzw. hat
einen Häufungspunkt in .
falls M nach oben beschränkt
falls M nicht nach oben beschr. od. ∞ ∈ M
falls M = {−∞}
• (an )n Folge reeller Zahlen ⇒ (an )n besitzt einen Häufungspunkt in
• (an )n reelle Folge, S := lim sup(an ), s := lim inf(an ), a ∈
1. a ist Häufungspunkt von (an )n
2. ∀ε > 0 ∃I ⊂
3. ∀ε > 0, N ∈
, |I| = ∞ : |an − a| < ε ∀n ∈ I
∃m ∈
, m ≥ N : |am − a| < ε
n→∞
• (an )n reelle Folge: an −→ a ⇔ lim sup(an ) = lim inf(an ) = a
• (an )n Cauchyfolge ⇔ (an )n konvergent
∪ {−∞, ∞}
Dann sind äquivalent:
∪ {−∞, ∞}


kleinste obere Schr.
– sup(M) := ∞


−∞


größte untere Schr.
– inf(M) := −∞


∞
• (an )n monoton und beschränkt ⇒ (an )n konvergent
n→∞
• M⊂
∀n ∈
an
bn
: an ≥ c ∀n ≥ N
∃N ∈
• (ank )k Teilfolge von (an )n :⇔ (an )n Folge, nk < nk+1
• a∈
• (|z|n )n divergent ⇒ (zn )n divergent
• (an )n konvergent ⇒ (an )n beschränkt
• (an )n Folge reeller Zahlen
– lim(an ) = −∞ :⇔ ∀c ∈
• |z| > 1 ⇒ (|z|n )n divergent
n→∞
∀n ∈
• (an )n∈ streng monoton fallend :⇔ an > an+1
– lim(an ) = ∞ :⇔ ∀c ∈
n→∞
• |z| < 1 ⇒ |z n | = |z|n −→ 0
• (an )n∈ streng monoton wachsend :⇔ an < an+1
• (an )n∈ monoton fallend :⇔ an ≥ an+1
n→∞
, a, b ∈ , an −→ a, an → b ⇒ a = b
• an −→ a ⇒ |an | −→ |a|
→ , n 7→ an Folge komplexer Zahlen
• (.n ) :
6
Sätze
3
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7
Sara Adams
Reihen
– exp(−z) =
– x∈
P
P
• (An )n≥n0 Reihe :⇔ (ak )k Folge, An = nk=n0 ak ( ∞
k=n0 ak := (An )n≥n0 )
P∞
• (An )n≥n0 konvergent: k=n0 ak := lim(An )
P
P
•
n∈ an absolut konvergent :⇔
n∈ |an | konvergent
P∞ z n
• exp : → , z 7→ n=0 n! Exponentialfunktion
1
exp(z)
∀z ∈
+
⇒ exp(x) ∈
– x < y ⇒ exp(x) < exp(y), x, y ∈
P
1 n
1
• e= ∞
n=0 n! = limn→∞ (1 + n )
5
Eulersche Zahl
Stetige Funktionen
Definitionen
n→∞
stetig an der Stelle z ∈ D :⇔ ∀(zn )n∈ ⊂ D : [zn −→ z ⇒ f (zn ) −→
• f :D→
stetig :⇔ f stetig in z
n→∞
ak konvergent ⇒ an −→ 0
• ln := (exp )
• A⊂B⊂
– A offen in B :⇔ ∀a ∈ A∃ε > 0 : Uε (a) ∩ B = {z ∈ B : |z − a| < ε} ⊂ A
: |z − a| < r} offene r-Umgebung um a
– Ur (a) := {z ∈
: |z − a| ≤ r} abgeschlossener Ball vom Radius r um a
– Br (a) := Ur (a) = {z ∈
gleichmässig stetig ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [∀a, z ∈ D : |a − z| < δ ⇒
• f : D →
|f (a) − f (z)| < ε]
Sätze
• f, g : D → C, f, g stetig in z0 ∈ D:
– f ± g : D → , z 7→ f (z) ± g(z) stetig in z0
– f · g : D → , z 7→ f (z) · g(z) stetig in z0
f
g
: {z ∈ D : g(z) 6= 0} → , z 7→
– g(z0 ) 6= 0 ⇒
f (z)
g(z)
stetig in z0
• f : Df → , g : Dg → , f (Df )⊆ Dg , f stetig in z0 , g stetig in f (z0 )
⇒ g ◦ f : Df → , z 7→ g f (z) stetig in z0
|
< α < 1 ∀n ≥ n0 ⇒
• Quotientenkriterium (2. Version) an 6= 0 ∀n ≥ n0 , |a|an+1
n|
P
n∈ an absolut konvergent
P
• Umordnungsgesetz A := n∈ an absolut konvergent ⇒ jede Umordnung der Reihe
konvergiert gegen A
P
P
•
σ : 0 → 0 × 0 , n 7→ σ1 (n), σ2 (n) Bijekn,
n∈ 0 aP
n∈ 0 bn absolut konvergent,
P
P
tion ⇒
n∈ 0 aσ1 (n) · bσ2 (n) =
n∈ 0 aσ1 (n) ·
n∈ 0 bσ2 (n) absolut konvergent
:
• r > 0, a ∈
• Leibnitzkriterium an ≥ an+1 ≥ 0 ∀n ∈ : n∈ (−1) an konvergent ⇔ an −→ 0
P P
P
P
•
an absolut konvergent ⇒
an konvergent, an ≤
|an |
P∞ z n
• exp(z) := n=0 n! absolut konvergent
P
P
• Majorantenkriterium (2. Version) |an | ≤ bn ,
n∈ bn < ∞ ⇒
n∈ an absolut
konvergent
• Funktionalgleichung von exp exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ) ∀z1 , z2 ∈
– A abgeschlossen in B :⇔ B\A offen in B
– A kompakt :⇔ jede Folge in A hat einen Häufungspunkt in A
≤ α ∀n ∈
n→∞
n
, x 7→ ln(x) logaritmus naturalis
z
→ , z 7→ a := exp(z · ln a) Exponentialfunktion zur Basis a
P
: (0, ∞) →
∀z ∈ D
• exp :
→ \{0} stetig
an+1
an
• Quotientenkriterium
P (1. Version) an > 0 ∀n ≥ n0 , ∃0 < α < 1 :
\I, |I| < ∞ ⇒
n≥n0 konvergent
−1
• a ∈ (0, ∞) :
P∞ n
1
• Geometrische Reihe: |z| < 1 ⇒
n=0 z = 1−z
P∞ n
• |z| ≥ 1 ⇒
n=0 z divergent
P
P
P
P
⇒
• Pn≥n0 an , n≥n0 bnPkonvergent,Pλ ∈
bn ),
n≥n0 (an ±P
n≥n0 λan konvergent,
P
n≥n0 (an ± bn ) =
n≥n0 an ±
n≥n0 bn ,
n≥n0 λan = λ
n≥n0 an
P
:
• Cauchy’sches
Konvergenzkriterium n≥n0 an konvergent ⇔ ∀ε > 0 ∃N ∈
Pn
k=m ak < ε ∀m, n ≥ N
P
• Majorantenkriterium
(1.
0 ∀n ≥ n0 :
n≥n0 bn konvergent
P
P Version) bn ≥ an ≥P
⇒
bn Majorante von
an )
n≥n0 an konvergent (
k=n0
P∞
n→∞
• f :D→
f (z)]
Sätze
•
8
– exp(0) = 1, exp(z) 6= 0 ∀z ∈
Definitionen
• e := exp(1) ∈
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4
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• Zwischenwertsatz: f : [a, b] →
f (x) = y
stetig ⇒ ∀y ∈ [f (a), f (b)] ∪ [f (b), f (a)] ∃x ∈ [a, b] :
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Pn
k
k=0 ak x
• Pi: α ∈ [0, 2] : cos(α) = 0 : π := 2α = 2 · inf{x > 0 : cos(x) = 0}
surjektiv
• Polarkoordinaten von z ∈
• Satz von der Umkehrfunktion: ∅ 6= D ⊂ Intervall, f : D → stetig, injektiv ⇒
f (D) Intervall, f streng monoton, f besitzt stetige, streng monotone Umkehrfunktion
f −1 : f (D) → D ⊂
• Einige Eigenschaften vom Logarithmus
• ∀z ∈
n→∞
– A abgeschlossen in B ⇔ [(an )n ⊂ A, an −→ a ⇒ a ∈ A]
gleichmässig stetig ⇒ f stetig
Winkelfunktionen
• ∀z ∈
: cos(−z) = cos(z), cos ist gerade Funktion
• ∀z ∈
: sin(−z) = − sin(z), sin ist ungerade Funktion
• ∀w, z ∈
:
f (z0 ) =
) · sin( w−z
)
– cos(w) − cos(z) = −2 sin( w+z
2
2
– sin(w) − sin(z) = 2 cos( w+z
) · sin( w−z
)
2
2
→
• sin, cos :
stetig
P
P∞
z 2k
k z 2k+1
, sin(z) = ∞
: cos(z) = k=0 (−1)k (2k)!
k=0 (−1) (2k+1)! (absolut konvergent)
• ∀z ∈
=1
• limz→0 sin(z)
z
• f:
Definitionen
• cos :
• sin :
→ [−1, 1], x 7→ <(eix ) = 21 (eix + e−ix )
ix
→ [−1, 1], x 7→ =(e ) =
• Sinus: sin :
→ , z 7→
1
(eiz
2i
−ix
−e
→ , z 7→ 21 (eiz + e−iz )
• Cosinus: cos :
1
(eix
2i
− e−iz )
)
:
– sin(w + z) = sin(w) · cos(z) + cos(w) · sin(z)
→ , z 7→
6
stetig ⇒ f gleichmässig stetig
kompakt, f : D →
∀z ∈
f (D) kompakt, ∃z0 , z1 ∈ D :
• Eulersche Formel: eiz = cos z + i sin z
– cos(w + z) = cos(w) · cos(z) − sin(w) · sin(z)
stetig ⇒
⇒ | exp(ix)| = |eix | = 1
• Additionstheoreme: ∀w, z ∈
: f stetig ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 : [z ∈ D, |z−a| < δ ⇒ |f (z)−f (a)| < ε]
• D⊂
(stetig)
• cos (z) + sin2 (z) = 1 ∀z ∈
• D⊂ , f :D→ :
f stetig
⇔ [A ⊂ offen ⇒ f (A)−1 abgeschlossen in D]
⇔ [A ⊂ abgeschlossen ⇒ f (A)−1 abgeschlossen in D]
• f :D→
cos(z)
sin(z)
(stetig)
: exp(z) = exp(z)
2
– A kompakt ⇔ A beschränkt und abgeschlossen in
• D ⊂ ,f : D →
} → , z 7→
sin(z)
cos(z)
Logaritmus zur
:
• ∅ =
6 D kompakt, f : D →
inf f (D), f (z1 ) = sup f (D)
} → , z 7→
+ kπ : k ∈
• x∈
∀w, z ∈ , a ∈ (0, ∞)
→ (0, ∞), x 7→ ax bijektiv, Umkehrfunktion loga : (0, ∞) →
Basis a
• A⊂B⊂
, k = 0, ..., n − 1
•
: z = r · eiϕ
×
Sätze
(Funktionalgleichung von ln)
aw+z = aw · az
\{ π2
2kπi
n
– 0 < x < y ⇒ ln(x) < ln(y)
– ln stetig
• az = ez·ln a ,
• n-te Einheitswurzeln: e
• Cotangens: tan : \{kπ : k ∈
– ln(1) = 0, ln(e) = 1
+
0
• Argument von z ∈ : arg(z) = ϕ, falls ϕ ∈ [0, 2π), ∃r ≥ 0 : z = r · eϕi
(Oft wird statt [0, 2π) das Intervall [−π, π) verwendet.)
• Tangens: tan :
– exp(ln x) = ln(exp x) = x ∀x > 0
– ln(x · y) = ln(x) + ln(y)
: (r, ϕ) ∈
stetig: f injektiv ⇔ f streng monoton
, x 7→
Intervall, f : D →
→
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• D⊂
, an 6= 0, f :
Sara Adams
• n ∈ 2 + 1, a0 , ..., an ∈
9
Sara Adams
• [0, 2] →
(
sin(z)
z
1
z=
6 0
z=0
stetig
, x 7→ cos(x) streng monoton fallend
• cos(0) = 1, cos(2) < 0 (⇒ π wohldefiniert)
• 0 < x ≤ 2:
– 1−
x2
2
< cos(x) < 1 −
x2
2
+
x4
24
10
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• z∈
:
e
:
– cos(z +
– sin(z +
• z∈
= −1,
sin(2πi) = 0
z+ 3π
i
2
= i · ez ez+πi = − · ez e
π
) = − sin(z), cos(z + π)
2
π
) = cos(z), sin(z + π) =
2
= −i · ez , ez+2πi = ez
= − cos(z),
− sin(z),
Sätze
cos(z + 2π) = cos(z)
sin(z + 2π) = sin(z)
• B := {f : D →
: z=
: [ez = 1 ⇔ ∃k ∈
• ∀z ∈
+ kπ ⇔
: z = kπ ⇔
z
π
∈
– ||f ||∞ = 0 ⇔ f = 0
– λ ∈ , f ∈ B : ||λ · f ||∞ = |λ| · ||f ||∞
∈
– f, g ∈ B : ||f + g||∞ ≤ ||f ||∞ + ||g||∞
: z = 2kπi]
, sin : [− π2 , π2 ] stetig, streng monoton (cos fallend, sin wachsend)
• cos : [0, π] →
•
+
×
•
+
× [0, 2π) → \{0}, (r, ϕ) 7→ r · eiϕ bijektiv
:
• (fn )n konvergiere gleichmässig gegen f : fn stetig ∀n ∈ ⇒ f stetig
P
• fn : D → beschränkt, n ||fn ||∞ < ∞
P
–
n fn (z) konvergiert absolut ∀z ∈ D
P
P
– F : D → , z 7→ n fn (z) ⇒
n fn konvergiert gl.m. gegen F
– fn stetig ∀n ∈ ⇒ F stetig
P∞
P
n
n
∀|z| ≤ |z0 | konvergent
z0 ∈ , ∞
n=0 an z
n=0 an z0 konvergent ⇒
P∞
n
z ∈ UR (0) ⇒
n=0 an z absolut konvergent
P∞
n
|z| > R ⇒
n=0 an z divergent
p
−1
1
R = lim supn→∞ n |an |
= 0)
(hier: 01 = ∞, ∞
P∞
P∞
n
n
n=0 an z stetig
n=0 an z konvergiert gl.m. auf Br (0) ∀r < R, f : UR (0) → , z 7→
2kπi
n
: k = 0, ..., n − 1}
•
: tan(z + π) = tan(z), tan(−z) = − tan(z)
• ∀z ∈
z n = 1 ⇔ z ∈ {e
(Dreiecksungleichung)
→ \{0}, (r, ϕ) 7→ r · eiϕ stetig, surjektiv, 2π-periodisch in ϕ
• n∈
: f beschränkt} ⇒
– sin(z) = 0 ⇔ ∃k ∈
z− π2
π
stetig, D kompakt ⇒ f beschränkt
– cos(z) = 0 ⇔ ∃k ∈
• tan|(− π2 , π2 ) streng monoton wachsend, Umkehrfunktion arctan:
7
• f :D→
:
π
2
cos(2πi) = 1
sin(π) = 0,
z+ π
i
2
sin( 3π
)
2
= 1,
• z∈
cos( 3π
) = 0,
2
cos(π) = −1,
•
sin( π2 )
e2πi = 1
• cos( π2 ) = 0,
3π
ei 2 = −i,
12
P
n
→ , z 7→ ∞
(ai ∈ )
n=0 an z
P∞
P∞
n
• Konvergenzradius von n=0 an z n : R := sup{r ≥ 0 :
n=0 an r konvergent} ∈
[0, ∞]
P
n
• Konvergenzkreis von ∞
: |z| < R}
n=0 an z : UR (0) := {z ∈
P
• trigonometrisches Polynom vom Grad ≤ n ∈ 0 : → , x 7→ nk=−n ck eikx , ci ∈
• Potenzreihe:
< sin(x) < x, insb. sin(x) > 0
eiπ = −1,
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π
• ei 2 = i,
x3
6
Sara Adams
– x−
11
→ (− π2 , π2 )
Folgen und Reihen von Funktionen
•
•
•
Sara Adams
• p, q trigonometrische Polynome, Grad(p) ≤ m, Grad(q) ≤ n ⇒ p + q, p · q trigonometrische Polynome, Grad(p + q) ≤ max{m, n}, Grad(p · q) ≤ m + n
: ||f ||∞ := sup{|f (x)| : x ∈ D} ∈ [0, ∞]
• Supremumsnorm: f : D →
beschränkt :⇔ ||f ||∞ < ∞
• f :D→
n→∞
• (fn )n konvergiert gleichmässig gegen f : D →
:⇔ ||fn − f ||∞ −→ 0 ⇔ ∀ε >
0 ∃N ∈ : |fn (z) − f (z)| < ε ∀n ≥ N, z ∈ D
P
• n-te Partialsumme: Fn := nk=1 fk
P∞
•
k=1 fk pkt.weise bzw. gl.m. konvergent :⇔ (Fn )n pkt.weise bzw. gl.m. konvergent
• p(x) ∈
∀x ∈
⇔ c−k = ck ∀k
– ak := ck + c−k = 2<(ck ) ∈
– bk := i(ck − c−k ) = −2=(ck ) ∈
P
– p(x) = a20 + nk=1 ak cos(kx) + bk sin(kx)
P
P
ikx
•
konvergent, gl.m. gegen
k∈ |ck | < ∞ ⇒
k∈ ck e
→ , x 7→
n→∞
:⇔ fn (z) −→ f (z) ∀z ∈ D ⇔
• (fn )n konvergiert punktweise gegen f : D →
∀z ∈ D, ∀ε > 0 ∃Nz ∈ : |fn (z) − f (z)| < ε ∀n ≥ Nz
Definitionen
•
Sei ∅ =
6 D ⊂ , fn : D → , n ∈
P
k∈
ck eikx
8
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
13
Integration
Sara Adams
14
Sätze
• f ∈ Iab , |f (x)| ≤ M ∀x ∈ [a, b] ⇒
Rx
– Fa : [a, b] → , x 7→ a f stetig (unbestimmtes Integral von f )
Rb
– F b : [a, b] → , x 7→ x f stetig
Rb
• f ∈ Iab , f|(a,b) = c ⇒ a f = c · (b − a)
Definitionen
• Menge der integrierbaren Funktionen: Iab ⊂ {f : [a, b] →
}
– (Lebesgue-)integrierbare Funktionen: Iab
– Riemann-integrierbare Funktionen: Rab ⊂ Iab
Rb
Rb
Rb
• Integral: a : Iab → , f 7→ a f = a f (x)dx
Rb
1. f (x) = c ∈ ∀x ⇒ a f = c · (b − a)
Rb
Rc
Rb
2. a < c < b, f ∈ Iab ⇒ f|[a,c] ∈ Iac , f|[c,b] ∈ Icb , a f = a f + c f (Intervalladditivität)
Rb
Rb
Rb
3. f, g ∈ Iab ⇒ f + g ∈ Iab , a (f + g) = a f + a g (Additivität)
Rb
Rb
4. f ∈ Iab , λ ∈ ⇒ λf ∈ Iab , a λf = λ · a f (Homogenität)
Rb
Rb
5. f, g ∈ Iab , f ≤ g ⇒ a f ≤ a g (Monotonie)
• Tab ⊂ Rab
Rb
• a : Rab →
max{f, g} : [a, b] → , x 7→ max{f (x), g(x)} ∈ Rab
min{f, g}, : [a, b] → , x 7→ min{f (x), g(x)} ∈ Rab
Rb
Rb
• f ∈ Rab ⇒ |f | ∈ Rab , | a f | ≤ a |f |
Rb
Rb
Rb
n→∞
• fn ∈ Rab ∀n ∈ , fn −→ f gl.m. ⇒ f ∈ Rab , a f = a limn→∞ fn = limn→∞ a fn
: ∃L > 0 : |f (x) − f (y)| ≤ L · |x − y| ∀x, y ∈ D
f stetig
⇒ f ∈ Rab
f monoton ⇒ f ∈ Rab
P
• fn : [a, b] → ∈ Rab ∀n ∈ , f = n∈ fn gleichmässig konvergent
Rb
R
R
P
P
b
b
⇒ f ∈ Rab , a f = a n∈ fn = n∈ a fn
• f : [a, b] →
: ∃a0 = a < a1 < ... < an = b : f|(ak−1 ,ak ) = ck ∈
– minimale Zerlegung a0 < ... < an : ck−1 6= ck ∀k = 1, ..., n
– Menge allen Treppenfunktionen: Tab
Rb
P
• f ∈ Tab , a0 < ... < an minimale Zerlegung: a f := nk=1 ck (ak − ak−1
• f : [a, b] → beschränkt:
R ∗b
Rb
– a f := inf{ a ψ : ψ ∈ Tab , f ≤ ψ} Oberintegral von f
Rb
Rb
– ∗a f := sup{ a ψ : ψ ∈ Tab , f ≥ ψ} Unterintegral von f
• Riemann-int.bare Funktionen: Rab := {f : [a, b] → : f beschränkt,
Rb
R ∗b
Rb
• f ∈ Rab : a f := a f = ∗a f Integral von f über [a, b]
Ra
Rb
• f : [a, b] → : b f := − a f
• Mittelwertsatz der Integralrechnung:
f : [a, b] → stetig ⇒ ∃ξ ∈ [a, b] : f (ξ) =
• f : [a, b] →
9
R ∗b
a
f=
• a < b ∈ ∪ {−∞, ∞}, f : (a, b) → , ∀c < d ∈ (a, b) : f|[c,d] ∈ Rcd , ∃ limc→a,d→b
Rb
Rd
f := limc→a,d→b c f uneigentliches Integral von f
a
• f : [a, b] → : f ∈ Rab ( ) :⇔ <(f ), =(f ) ∈ Rab
Rb
Rb
Rb
– a f := a <(f ) + i a =(f ) ∈
:
• Treppenfunktion f : [a, b] →
∀k = 1, ..., n
ist Integral (erfüllt also 1.-5.)
• f, g ∈ Rab ⇒
• Lipschitz-Stetigkeit von f : D →
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
Rb
∗a
c
stetig, p ∈ Rab ⇒ f · p ∈ Rab
Rb
a
f
Differentiation
Definitionen
f}
• D ⊂ offen, f : D → , a ∈ D :
f differenzierbar in a :⇔ ∃ lim
– f 0 (a) =
Rd
1
b−a
f ⇒
df
(a)
dx
6=
x→a
f (x)−f (a)
x−a
= limh→0
f (a+h)−f (a)
h
(a)
:= limx→a f (x)−f
Ableitung von f in a
x−a
– f differenzierbar :⇔ f differenzierbar in a ∀a ∈ D
– f stetig differenzierbar :⇔ f differenzierbar, f 0 : D →
stetig
– f n-mal stetig diff.bar :⇔ f (n − 1)-mal diff.bar, (n − 1). Abl. stetig diff.bar
– f bel. oft diffbar (glatt) :⇔ f n-mal stetig diff.bar ∀n ∈
Sara Adams
• f von rechts diff.bar in a :⇔ ∃f+0 (a) := limh↓0
• f von links diff.bar in a :⇔ ∃f−0 (a) := limh↑0
f (a+h)−f (a)
h
f (a+h)−f (a)
h
Sara Adams
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
• x0 ∈ D lokales Maximum von f : D →
f (x) ≤ f (x0 )]
15
:⇔ ∃ε > 0 : [x ∈ D, |x − x0 | < ε ⇒
– ∃ε > 0 : [x0 6= x ∈ D, |x − x0 | < ε ⇒ f (x) < f (x0 )] : x0 striktes lokales
Maximum
• x0 ∈ D lokales Minimum von f : D →
f (x) ≥ f (x0 )]
:⇔ ∃ε > 0 : [x ∈ D, |x − x0 | < ε ⇒
– ∃ε > 0 : [x0 6= x ∈ D, |x − x0 | < ε ⇒ f (x) > f (x0 )] : x0 striktes lokales
Minimum
• D⊂
,f : D →
– f konkav in I :⇔ −f konvex
offen, f : D →
stetig: x0 ∈ D Wendepunkt :⇔ ∃ε > 0 : f konvex in
• D ⊂
(x0 − ε) ∧ f konkav in (x0 , x0 + ε ∨ f konkav in (x0 − ε) ∧ f konvex in (x0 , x0 + ε
: F :D→
• Satz von Rolle:
f : [a, b] → stetig, f|(a,b) diff.bar, f (a) = f (b) ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) : f 0 (ξ) = 0
(
f (x)−f (a)
x−a
0
f (a)
Stammfunktion von f :⇔ F diff.bar, F 0 = f
x 6= a
stetig in a ⇒ f : D →
x=a
stetig, f|(a,b) diff.bar: f konstant ⇔ f 0 ≡ 0
• f : [a, b] →
• f:
→
diff.bar, c ∈
cx
f (x) = a · e
∀x ∈
:(
⇔
f 0 (x) = c · f (x) ∀x ∈
f (0) = a
diff.bar:
0
– f (x) > 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f streng monoton wachsend
– f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f streng monoton fallend
– f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f monoton wachsend
– f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f monoton fallend
–
–
–
diff.bar in a ∈ D
in a diff.bar ⇔ f in a vor rechts und links diff.bar, f−0 (a) = f+0 (a)
• f :D→
in a diff.bar ⇒ f in a stetig
• f :D→
• f, g : D →
, f|(a,b) diff.bar ⇒ |f (b) − f (a)| ≤ max{|f 0(x)| : a < x < b} · (b − a)
• f : [a, b] →
Sätze
• ϕ : D ⇒ , x 7→
diff.bar, x0 ∈ (a, b), f 0 (x0 ) = 0
(
f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0 )
∃ε > 0 :
f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + ε)
(
f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0 )
∃ε > 0 :
f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + ε)
(
f 0 (x) ≤ 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0 )
∃ε > 0 :
f 0 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + ε)
(
f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (x0 − ε, x0 )
∃ε > 0 :
f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (x0 , x0 + ε)
–
⇒ x0 lokales Maximum
⇒ x0 striktes lokales Maximum
⇒ x0 lokales Minimum
⇒ x0 striktes lokales Minimum
– f 2-mal stetig diff.bar: f 00 (x0 ) < 0 ⇒ x0 striktes lokales Maximum
– f 2-mal stetig diff.bar: f 00 (x0 ) > 0 ⇒ x0 striktes lokales Minimum
in a ∈ D diff.bar:
– f ± g in a diff.bar, (f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a)
– f · g in a diff.bar, (f · g)0(a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a) (Produktregel)
0
0
(a)·g 0 (a)
(Quotientenregel)
– g(a) 6= 0 ⇒ fg in a diff.bar, fg (a) = f (a)·g(a)−f
g(a)2
• Kettenregel: f : Df → , g : Dg → , Df , Dg ⊂ offen, f (Df ) ⊂ Dg :
f in a ∈ Df , g in f (a) ∈ Dg diff.bar ⇒ g ◦ f in a diff.bar, (g ◦ f )0 (a) = g 0(f (a)) · f 0 (a)
• f : [a, b] →
stetig, f|(a,b) diff.bar, f 0 monoton wachsend ⇒ f konvex in [a, b]
• f : [a, b] →
stetig, f|(a,b) diff.bar, f 0 streng mon. wachsend ⇒ f strikt konvex in [a, b]
• f : [a, b] →
stetig, f|(a,b) 2-mal stetig diff.bar:
– f 00 (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a, b) ⇔ f konvex
– f 00 (x) > 0 ∀x ∈ (a, b) ⇒ f streng konvex
• Ableitung der Umkehrfunktion: f : D → stetig, streng monoton:
f in a ∈ D diff.bar, f 0 (a) 6= 0 ⇒ f −1 in f (a) diff.bar, (f −1 )0 f (a) = f 01(a)
• f : [a, b] → stetig, f|(a,b) diff.bar:
f konvex ⇔ f (x) ≥ f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ) ∀x0 , x ∈ (a, b)
• Mittelwertsatz der Differentialrechnung:
f : [a, b] → stetig, f|(a,b) diff.bar ⇒ ∃ξ ∈ (a, b) : f 0 (ξ) =
• f : (a, b)
2-mal diffbar: x0 Wendepunkt ⇒ f 00 (x0 ) = 0
• f : (a, b)
3-mal diffbar, x0 ∈ (a, b) : f 00 (x0 ) = 0, f 000(x0 ) 6= 0 ⇒ x0 Wendepunkt
• f :D→
16
• f : (a, b) →
– f strikt konkav in I :⇔ −f strikt konvex
offen, f : D →
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
• Monotoniekriterium: f : (a, b) →
, I ⊂ D Intervall:
– f konvex in I :⇔ ∀x0 , x1 ∈ I, λ ∈ (0, 1) : f (1 − λ)x0 + λx1 ≤ (1 − λ)f (x0 ) +
λf (x1 )
– f strikt konvex in I :⇔ ∀x0 , x1 ∈ I, λ ∈ (0, 1) : f (1 − λ)x0 + λx1 <
(1 − λ)f (x0 ) + λf (x1 )
• D⊂
Sara Adams
in x0 ∈ D diff.bar, x0 lokalen Extremum von f ⇒ f 0 (x0 ) = 0
f (b)−f (a)
b−a
Sara Adams
10
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
17
Hauptsatz der Differential- und Integlalrechnung
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
D ⊂ offenes Intervall,
Rx
f : D → stetig, x0 ∈ D ⇒ F : D → , x 7→ x0 f diff.bar, F 0 = f
• D ⊂
offen, fn : D →
stetig diff.bar ∀n ∈ , (fn0 )n gl.m. konvergent ⇒ f stetig
diffbar, f 0 = limn→∞ fn0
P
k
R > 0 ⇒ f : (−R, R) → , x 7→
• P∞
k=0 ak x Potenzreihe mit Konvergenzradius
P
∞
k
k−1
a
x
beliebig oft diff.bar, f 0 (x) = ∞
mit Konvergenzradius R
k=0 k
k=1 kak x
Rb
Rb
• partielle Integration: f, g : D → stetig diff.bar, [a, b] ⊂ D ⇒ a f g 0 = [f g]ba − a f 0 g
• Transformationssatz bzw. Substitutionsregel: f : Df → , g : Dg →
Rb
R g(b)
diff.bar, [a, b] ⊂ Dg , g([a, b]) ⊂ Df ⇒ a f g(t) g 0 (t)dt = g(a) f (x)dx
11
stetig
Definitionen
• D ⊂
offen, a ∈ D, f : D → n-mal diff.bar in a: n-tes Taylor-Polynom von
P
(k)
f : Tan f : → , x 7→ nk=0 f k!(a) (x − a)k
• f, g : D → : f, g stimmen bei a ∈ D in n-ter Ordnung überein :⇔ ∃ϕ : D →
: ϕ stetig, f (x) − g(x) = (x − a)n ϕ(x) [f (x) = g(x)+HOT1 ]
, limx→a
f (x)
g(x)
= 0 : f ist für x → a von der Ordnung o(h)
• D ⊂
Intervall, f : D →
Taylorreihe von f in a
• f :D→
bel. oft diff.bar, a ∈ D : Ta (x) :=
P∞
k=0
f (n) (a)
(x
n!
− a)n
analytisch :⇔ f ∈ C , ∀a ∈ D ∃r > 0 : ∀x ∈ (a−r, a+r) : f (x) = Ta f (x)
Sätze
• f : D → , D offenes Intervall inR , f (n + 1)-mal stetig diff.bar in a ∈ D, Rn+1(x) :=
x
f (x) − Tan f (x) ⇒ Rn+1 (x) = n!1 a (x − t)n f (n+1) (t)dt ∀x ∈ D
• f :D→
offenes Intervall ⇒ ∀x ∈ D ∃ξ ∈ [a, x] ∪ [x, a] :
n-mal diff.bar, a ∈ D, f 0(a) = 0, ..., f (n−1) = 0, f (n) :
– n ∈ 2 , f (n) < 0 ⇒ a striktes lokales Maximum
– n ∈ 2 , f (n) > 0 ⇒ a striktes lokales Minimum
– n∈2
+ 1 ⇒ a kein lokales Extremum
• f ∈ C(D, ) ⇒ f (x) = Tan f (x)+HOT
• f ∈ C(D, ) ⇒ f − Tan f (x) = o(|x − a|n ) für x → a
1
higher order terms
18
Kurven in der Ebene
Definitionen
2
• euklidischer Abstand: d :
• euklidische Norm: ||.||2 :
2
×
→
2
• parametrisierte Kurve in
p
, (x, y) 7→ (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2
p
+
x21 + x22 = d(x, 0)
0 , x 7→
2
: D⊂
, γ:D→
2
stetig
• γ differentierbar :⇔ γ1 , γ2 differentierbar
• γ ∈ C 1 regulär :⇔ γ 0 (t) 6= 0 ∀t ∈ D
• I, J ⊂ Intervalle: σ : I → J C k -Parametertransformation :⇔ σ bijektiv, σ, σ −1 kmal stetig diff.bar
2
∈ C 1 nach der Bogenlänge parametrisiert :⇔
2
– Länge des Weges [a, b] →
2
, x 7→ γ(x) : b − a (a < b ∈ D)
1
reguläre C -Kurve, [a, b] ⊂ D : Länge der Kurve γ zwischen a und
• γ : D →
Rb
b : L(γ|[a,b] ) := a ||γ 0 (t)||2 dt
Sätze
• ||x − y||2 = d(x, y) ∀x, y ∈
∞
• f (n + 1)−mal stetig diff.bar, D ⊂
(n+1)
Rn+1 (x) = f (n+1)!(ξ) (x − a)n+1
12
Zusammenfassung zu Analysis I - WS 2002/03
• D ⊂
Intervall: γ : D →
||γ 0(x)||2 = 1 ∀x ∈ D
Lokale Approximation durch Polynome
• f, g : D →
Sara Adams
• ||x||2 = |x1 + x2 i| ∀x ∈
2
2
Intervalle, γ : J →
• I, J ⊂
⇒ γ ◦ σ : I → 2 C k -Kurve
2
C k -Kurve, σ : I → J C k -Parametertransformation
• γ : D → 2 reguläre C k -Kurve, k ≥ 1 ⇒ ∃σ : D → I : σ C k -Parametertransformation,
γ ◦ σ : I → 2 nach der Bogenlänge parametrisiert
Rt
– t0 ∈ D ⇒ σ(t) := t0 ||γ 0 (s)||2 ds mögliche Parametertransformation