III

U bungen zur Analysis 3
Prof. Dr. Kohnen
Dr. O. Delzeith
SS 1997
1. Sei k:k eine beliebige Norm des Rn .
Zeigen Sie:
Das Paar (Rn; k:k) ist ein Banachraum.
(3 Punkte)
2. Seien E und F normierte reelle Vektorraume, x 2 E sowie T : E ! F eine lineare
Abbildung.
Zeigen Sie die A quivalenz der folgenden Aussagen:
(i) T ist stetig;
(ii) T ist stetig in x ;
(iii) T ist stetig in 0.
0
0
(4 Punkte)
3. Seien E und F normierte reelle Vektorraume.
Die Menge aller stetigen linearen Abbildungen T : E ! F seien mit L(E; F ) bezeichnet. Man deniere fur T 2 L(E; F )
kT k := sup f kTxk j x 2 E; kxk = 1 g :
Zeigen Sie:
Das Paar (L(E; F ); k:k) ist ein normierter reeller Vektorraum.
(4 Punkte)
4. Zeigen Sie:
Das Paar (C ([0; 1]); k:k ) mit
0
1
Z1
kf k := jf (x)j dx
1
( 8f 2 C ([0; 1]) )
0
0
ist ein reeller normierter Vektorraum, aber kein Banachraum.
Tip: Betrachten Sie die Funktionenfolge ffngn mit
2
nx ; 0 x < n
fn (x) := 2 nx ; n x < n
0 ; n x1
8
>
<
1
1
>
:
2
2
(n 2):
(5 Punkte)
1
5. Zeigen Sie:
Das Paar (C ([a; b]); k:k1) ( 1 < a < b < 1) ist ein Banachraum.
0
(3 Punkte)
6. Seien E ein normierter Raum und F ein Banachraum.
Zeigen Sie:
Der normierte Vektorraum L(E; F ) ist vollstandig.
(4 Punkte)
7. (i) Zeigen Sie:
Eine lineare Abbildung ' : Rn ! Rm ist stetig.
(ii) Geben Sie ein Beispiel einer nicht{stetigen, linearen Abbildung zwischen normierten Vektorraumen an.
(4 Punkte)
8. Seien E ein Banachraum, D eine abgeschlossene nichtleere Teilmenge von E und
T : D ! D eine kontrahierende (nicht notwendigerweise lineare) Abbildung, d. h. es
existiert eine Konstante C 2 (0; 1), so da
kT (x) T (y)k C kx yk
( 8x; y 2 D)
gilt.
Zeigen Sie den Banachschen Fixpunktsatz:
(i) Die Abbildung T besitzt hochstens einen Fixpunkt.
(ii) Die Abbildung T besitzt einen Fixpunkt.
Tip: Die durch xn := T (xn) (n 0) rekursiv denierte Folge fxn gn (fur einem
beliebigen Startwert x 2 D) ist eine Cauchyfolge in E , deren Grenzwert in
D liegt und ein Fixpunkt von T ist.
+1
0
0
(5 Punkte)
2
9. Seien E ein normierter Raum und U ein Untervektorraum von E .
Zeigen Sie:
(i) Die Menge
E=U := f x + U j x 2 E g
tragt genau eine Struktur eines reellen Vektorraumes, so da die Restklassenabbildung
! E=U
: Ex 7 !
x+U
(
eine lineare Abbildung ist.
Die Menge E=U mit dieser Vektorraumstruktur nennt man Quotientenraum.
Zusatzlich sei nun der Untervektorraum U in E abgeschlossen.
(ii) Auf dem Quotientenraum E=U wird durch
kx + U k := inf f kx + yk j y 2 U g
eine Norm deniert.
(3 Punkte)
10. Sei (E; k:k) ein semi{normierter Raum. Man deniere
E := f x 2 E j kxk = 0 g :
0
Zeigen Sie:
(i) Die Menge E ist ein Untervektorraum von E .
(ii) Die Zuordnung
! R
k:k : xE=E
+ E 7 ! kxk
0
(
0
0
ist eine wohldenierte Abbildung und deniert eine Norm auf dem Quotientenraum E=E .
0
(4 Punkte)
3
11. (i) Seien (X; M) ein Maraum und Y eine nichtleere Teilmenge von X .
Zeigen Sie:
Das Paar (Y; MY ) mit
MY := f A \ Y j A 2 M g
ist ein Maraum.
(ii) Sei M eine Familie von Teilmengen einer nicht{leeren Menge X .
Zeigen Sie:
Das Mengensystem M ist genau dann eine {Algebra in X , wenn folgende Bedingungen erfullt sind:
(a) ; 2 M;
(b) M ist unter Komplementbildung und unter Bildung von endlichen Vereinigungen abgeschlossen;
(c) ist (An)n2Neine Folge von paarweise disjunkten Elementen von M, so ist auch
die Vereinigung n2NAn in M.
S
(4 Punkte)
12. Eine mengentheoretische Konstruktion von R aus Q:
Seien C die Menge aller Cauchyfolgen in Q und C die Menge aller Nullfolgen in Q.
(Man beachte, da hier in der Denition einer Cauchy{ bzw. Nullfolge nur rationale
Zahlen " > 0 zu verwenden sind.)
Fur jede Zahl a 2 Q bezeichne (a) 2 C die konstante Folge des Elementes a, d. h. die
Folge (an) mit an = a (n 2 N).
Zeigen Sie:
(i) Die Menge C tragt bzgl. der komponentenweise Verknupfung eine Struktur als
Q{Vektorraum; die Teilmenge C ist ein Untervektorraum von C .
(ii) Der Quotientenraum C =C bildet mit der (wohldenierten (?)) Multiplikation
0
0
0
((an) + C ) ((bn) + C ) := (anbn ) + C
0
0
0
einen Korper. Geben Sie das Null{ und das Einselement in diesem Korper an.
(iii) Die Abbildung
Q ! C =C
a 7 ! (a) + C
ist injektiv.
Man identiziert daher Q mit seinem Bild unter dieser Abbildung.
(
0
0
Bem.: Daruberhinaus kann man zeigen, da der oben konstruierte Korper ein angeordneter vollstandiger Korper ist, der die Menge Q als dichte Teilmenge enthalt. Damit
hat man ein Modell fur den Korper der reellen Zahlen mit mengentheoretischen
Methoden aus dem angeordneten Korper der rationalen Zahlen Q konstruiert.
(5 Punkte)
4
13. Seien X ein Meraum und f; g : X ! R mebare Funktionen.
Zeigen Sie:
Die Abbildung f g ist mebar.
(3 Punkte)
14. Seien (X; fFxgx2X ) und (Y; fGy gy2Y ) topologische Raume (vgl. Vorlesung ANALYSIS
II).
Zeigen Sie:
(i) Das Paar X Y; fT x;y g x;y 2X Y mit
(
) (
)
T x;y := f U V j U 2 Fx ; V 2 Gy g
(
( 8 (x; y) 2 X Y )
)
ist ein topologischer Raum.
Man sagt, das mengentheoretische Produkt X Y wird mit der Produkttopologie versehen.
(ii) Eine Teilmenge W X Y ist genau dann oen, wenn sie Vereinigung von
Mengen der Form U V mit oenen Mengen U X und V Y ist.
(iii) Die Projektionsabbildungen
! X
p : X(x;yY) 7 !
x
(
! Y
und q : X(x;yY) 7 !
y
(
sind stetig.
(iv) Die Projektionsabbildungen p und q sind oen, d. h. fur eine oene Teilmenge
W X Y ist p(W ) bzw. q(W ) eine oene Teilmenge von X bzw. Y .
(4 Punkte)
15. Seien X eine uberabzahlbare (d. h. eine weder endliche noch abzahlbare) Menge und
S die Menge aller abzahlbaren Teilmengen von X .
Zeigen Sie:
(i) Die von S erzeugte {Algebra M besteht genau aus denjenigen Teilmengen von
X , die abzahlbar sind oder deren Komplement abzahlbar ist.
(ii) Fur A 2 M setze man
ahlbar
(A) := 10 ;; AAcististabz
abzahlbar
Dann ist ein Ma auf X .
(
5
(4 Punkte)
16. Zeigen Sie Satz 3(ii) der Vorlesung:
Seien X ein Meraum und f : X ! R eine mebare Funktion.
Dann ist f punktweiser Limes einer Folge von einfachen Abbildungen.
Tip: Fur jede naturliche Zahl n 1 zerlege man das Intervall [ n; n] in disjunkte Intervalle J ; : : :; JN der Lange n . Ferner seien J = ( 1; n) und JN = (n; 1).
Mit Hilfe der mebaren (?) Mengen Ak = f (Jk ) (k = 0; : : :; N + 1) deniere man die wohldenierte (?) Abbildung fn : X ! R mit fn jAk inf ff (Ak )g
(k = 1; : : : ; N ) sowie fn jJ n und fn jJN n.
Dann ist jede Abbildung fn (n 1) einfach, und die Funktionenfolge ffn gn
konvergiert punktweise gegen f .
1
1
0
1
0
+1
+1
1
(5 Punkte)
17. Sei (X; M) ein Meraum.
Zeigen Sie:
Eine Abbildung : M ! [0; 1] ist genau dann ein Ma auf X , wenn folgende Bedingungen erfullt sind:
(i) (;) = 0;
(ii) ist endlich{additiv;
(iii) ist (An)n2Neine Folge in M mit An An (8 n 2 N), so gilt
+1
[
n2
!
A = nlim
!1 (An ) :
Nn
(3 Punkte)
18. Sei S die Menge der disjunkten endlichen Vereinigungen (leerer, oener, halboener,
abgeschlossener) Intervalle endlicher Lange in R.
Zeigen Sie:
(i) Das System S ist eine Algebra von Mengen uber R;
(ii) die von S erzeugte {Algebra ist gleich der {Algebra der Borelmengen von R.
(4 Punkte)
6
19. Beweisen oder widerlegen Sie:
Seien X ein Maraum und (An)n2N eine Folge mebarer Mengen mit An
( 8 n 2 N).
Dann existert der Grenzwert nlim
!1 (An ), und es gilt
+1
nlim
!1 (An ) = n2
\
An
!
A :
Nn
(4 Punkte)
20. Seien (X; M) ein Meraum und (n )n2Nbzw. (n)n2Neine Folge von Maen auf X
bzw. reeller nicht{negativer Zahlen.
Zeigen Sie:
Die Abbildung
M !
[0; 1]
: A 7 !
n n(A)
8
>
<
X
>
:
n2
N
ist ein Ma auf X .
(5 Punkte)
21. Seien X ein Maraum, A eine mebare Teilmenge von X und Z X eine Nullmenge.
Zeigen Sie:
Es gilt
( A [ Z ) = ( A) :
(3 Punkte)
22. Seinen X ein Meraum, (fn )n2Neine Folge mebarer Abbildungen fn : X ! R und
a 2 R.
Zeigen Sie:
Die Menge
x 2 X nlim
!1 fn (x) = a
ist mebar.
(4 Punkte)
23. Seien X ein Maraum und E ein normierter linearer Raum.
Zeigen Sie:
Die Abbildung
T(X; E ) !
R
k:k :
f
7 ! kf k d
8
<
1
Z
:
X
deniert eine Seminorm auf T(X; E ).
(4 Punkte)
7
24. Seien X ein Maraum, A eine mebare Teilmenge von X und E ein normierter linearer
Raum.
Zeigen Sie:
Fur jede Abbildung f 2 T(X; E ) gilt (in der Notation der Vorlesung)
Z
A
Z
f d A kf k d kf k1 (A) :
(5 Punkte)
25. Beweisen Sie Satz 2 der Vorlesung:
Sei X ein Maraum. Dann gelten folgende Aussagen:
Z
(i) Die Abbildung L (X ) ! R, f 7! f d ist linear.
X
(ii) Mit f und g sind auch supff; gg und inf ff; gg Funktionen in L (X ), wobei
supff; gg(x) := supff (x); g(x)g und inf ff; gg(x) := inf ff (x); g(x)g.
(iii) Fur mebare Teilmengen A und B von X mit A \ B = ; gilt
1
1
Z
A[B
Z
Z
f d = f d + f d
A
B
( 8 f 2 L (X )) :
1
(iv) Sind f; g 2 L (X ) mit f g, so gilt
1
Z
X
ist f 0, so ist insbesondere
Z
f d g d ;
X
Z
X
f d 0 :
(v) Fur f 2 L (X ) mit f 0 und mebare Teilmengen A und B von X mit A B
gilt
f d f d :
1
(vi) Ist f 2 L (X ), so gilt
Z
Z
A
B
1
Z
A
Z
f d jf j d kf k1 (A) :
A
(4 Punkte)
8
26. Sei X ein Maraum.
Zeigen Sie (ohne Benutzung des Raumes L1 (X )):
Der seminormierte Raum L1(X ) ist vollstandig.
Tip: Sei (fn )n2Neine Cauchyfolge in L1 (X ). Dann existiert (?) zu n 1 eine Funktion
gn 2 T(X ) mit kfn gn k1 < n1 . Die Cauchyfolge (?) (gn )n1 besitzt (?) eine
Teilfolge, die fast uberall gegen eine Funktion f 2 L1(X ) konvergiert. . . .
(4 Punkte)
27. Sei (fn)n2N eine Cauchyfolge in L (X ), die fast uberall gegen die Abbildung
f : X ! R konvergiert.
1
Zeigen Sie:
Es gilt f 2 L1(X ), und die Folge (fn )n2Nist L1{konvergent gegen f .
(3 Punkte)
28. Seien X ein Maraum von endlichem Ma und C > 0 eine reelle Konstante.
Sei (fn : X ! R)n2Neine gleichmaig gegen die Funktion f : X ! R konvergente
Folge von Funktionen fn 2 L (X ), die im wesentlichen durch C beschrankt ist, d. h.
fur jede naturliche Zahl n 2 N gilt
1
jfn (x)j C fast uberall :
Zeigen Sie:
Die Funktion f integrierbar, d. h. f 2 L1(X ).
(5 Punkte)
9
29. Seien (X; M; ) ein Maraum und Y eine mebare Teilmenge von X .
Seien MY = f A \ Y j A 2 M g die auf Y durch M induzierte {Algebra
(vgl. Aufgabe 3.3(i)) und := jMY die Einschrankung von auf MY .
Zeigen Sie:
(i) Das Tripel (Y; MY ; ) ist ein Maraum.
(ii) Ist g : Y ! R eine Abbildung und die Abbildung f : X ! R deniert durch
f (x) := g(0x) ;; xx 262 YY ;
(
so gilt
g 2 L (Y; ) , f 2 L (X; ) :
1
In diesem Fall gilt
1
Z
Y
g d =
Z
Y
f d :
(3 Punkte)
30. Seien X ein Maraum und (fn)n2Neine Folge in L (X ). Es existiere eine Abbildung
g 2 L (X ) mit g 0 und jfnj g ( 8 n 2 N ).
1
1
Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von der monotonen Konvergenz:
Die Funktionen sup fn und ninf
f sind in L1(X ), es gilt
2N n
n2
Z
N
sup fn d sup
X n2
N
n2
Z
N
f n d ;
X
Z
X
Z
inf f d ninf
f d :
n2N n
2N n
X
(4 Punkte)
31. Seien X ein Maraum und (fn)n2Neine Folge in L (X ), die fast uberall gegen eine
Abbildung f : X ! R konvergiert. Es existiere eine Abbildung g 2 L (X ) mit g 0
und jfnj g ( 8 n 2 N ).
1
1
Zeigen Sie mit Hilfe des Lemmas von Fatou:
Es gilt f 2 L1(X ).
Tip: Schreiben Sie fn = fn+ fn mit fn+ := supf fn ; 0 g und fn := inf f fn; 0 g, und
wenden Sie auf die Folgen (fn+ )n2Nund (fn )n2Ndas Lemma von Fatou an.
(4 Punkte)
10
32. In der Vorlesung wurde das Lemma von Fatou in der folgenden Form bewiesen:
Sei (fn )n2Neine Folge in L (X ) mit fn 0 ( 8 n 2 N ), so da (fn )n2Nfast uberall
gegen eine Funktion f : X ! R konvergiert. Es existiere ferner eine Konstante C > 0,
so da kfn k C ( 8 n 2 N ).
Dann gilt f 2 L (X ) und f d C .
1
1
Z
1
X
Zeigen Sie:
Unter den gleichen Voraussetzungen gilt sogar
Z
X
f d lim
inf fkfn k g :
n!1
1
(5 Punkte)
33. Sei M die Menge aller Teilmengen von N, und man deniere
M ! R [ f1g
: A 7 ! #A ; A ist endlich :
1 ; sonst
8
>
<
(
>
:
Sei l die Menge aller reellen Folgen (xn)n2Nmit k(xn)k :=
1
Njxnj < 1.
P
n2
(i) Zeigen Sie, da das Tripel (N; M; ) ein Maraum ist, und bestimmen Sie alle
Nullmengen von N sowie alle Abbildungen f : N ! R, die fast uberall punktweiser
Grenzwert von Treppenfunktionen sind.
(ii) Zeigen Sie, da das Paar (l ; k:k) ein normierter linearer Raum ist.
(iii) Zeigen Sie, da die Abbildung
1
! l
: L (Nf ; ) 7 !
(f (n))n2N
(
1
1
eine wohldenierte bijektive lineare Isometrie ist und L (N; ) sowie l
Banachr
aume sind.
(iv) Formulieren Sie die Aussagen der Satze uber die monotone Konvergenz, die dominierende Konvergenz und des Lemmas von Fatou im Folgenraum l .
1
1
1
(5 Punkte)
11
Seien im folgenden p; q > 1 reelle Zahlen mit 1p + q1 = 1.
34. Zeigen Sie folgende Ungleichungen fur reelle Zahlen x; y 0:
p
(i) x + y 1 (xp + yp);
2
2
x
(ii) x p y q p + yq .
1
1
1
Tip: Bestimmen Sie die absoluten Minima der Funktionen f (t) = (tp +1)
2
1
t
p
und g(t) = p + q t auf dem Intervall [1; 1).
1
t+1
p
2
(3 Punkte)
35. Sei (X; M; ) ein Maraum.
Sei Lp(X; ) = Lp(X ) die Menge aller Abbildungen f : X ! R, die fast uberall
punktweiser Limes von Treppenfunktionen sind, so da jf jp integrierbar ist, d. h. jf jp 2
L (X ). Fur f 2 Lp(X ) deniere man
1
kf kp :=
Z
p d
j
f
j
X
1
p
:
Zeigen Sie:
(i) Die Menge Lp(X ) ist in naturlicher Weise ein R{Vektorraum.
(ii) Fur ein Paar (f; g) 2 Lp (X ) Lq (X ) gilt jf gj 2 L (X ) und
1
Z
X
jf j jgj d kf kp kgkq :
Tip: Benutzen Sie Aufgabe 2.
(4 Punkte)
36. Sei (X; M; ) ein Maraum.
Zeigen Sie:
Das Paar (Lp(X ); k:kp) ist ein seminormierter Raum.
Tip: Fur f; g 2 Lp (X ) gilt h := jf + g jp 2 Lq (X ). Integrieren Sie die Ungleichung
jf + gjp jf jh + jgjh und benutzen Sie die Ungleichung aus Aufgabe 3(ii).
1
(4 Punkte)
12
37. Seien (X; M; ) ein Maraum von endlichem Ma und 1 p < q < 1.
Zeigen Sie:
Es gilt Lq (X ) Lp(X ) und
kf kp (X ) p q kf kq
1
1
( 8 f 2 Lq (X )) :
Tip: Benutzen Sie die sog. Holdersche Ungleichung aus Aufgabe 9.3(ii).
(3 Punkte)
38. Sei F : R ! R eine monoton wachsende, rechtsseitig stetige Funktion.
Zeigen Sie:
Die durch
F (]a; b]) := F (b) F (a)
eindeutig festgelegte Abbildung
= F : I ! [0; 1[
ist ein Ma auf der Mengenalgebra I = I P (R).
(1)
(4 Punkte)
39. Das Cantorsche Diskontinuum
Aus dem Intervall I = [0; 1] entfernt man im ersten Schritt das mittlere oene Intervall ; . Entsprechend geht man im zweiten Schritt mit den beiden verbleibenden
abgeschlossenen Intervallen der Lange vor, indem man aus jedem wiederum das mittlere oene Drittel entnimmt. Durch induktives Fortsetzen dieses Verfahrens erhalt man
abzahlbar viele oene, paarweise disjunkte Intervalle in I . Ist U deren Vereinigung, so
bezeichnet C := I n U das Cantorsche Diskontinuum.
i
1
3
2
3
h
1
3
Zeigen Sie:
Das Cantorsche Diskontinuum C ist eine Lebesguemebare Teilmenge von R vom
Mae 0.
Bem.: Das Cantorche Diskontinuum ist ein Beispiel einer nicht abzahlbaren Lebesgueschen Nullmenge.
(4 Punkte)
13
40. Das Lebesguesche Ma auf Rn
Sei I n P (Rn) (n 2 N) ndie Menge der disjunkten Vereinigungen von beschrankten
Wurfeln im Rn der Form ]ai; bi] (ai bi ; i = 1; : : :; n).
( )
Q
i=1
Zeigen Sie:
Durch die Zuordnung
I n
( )
n
Y
i=1
!
]ai; bi] :=
n
Y
i=1
(bi ai)
wird ein Ma = I n : I n ! [0; 1[ auf der Algebra I n deniert.
( )
( )
( )
(5 Punkte)
14