Formelsammlung

Formelsammlung - Stand: 20.04.2010
1
1
Messung
1.1
physikalische Größen und Einheiten
Basisgrößen mit SI-Einheiten
Größe
SI-Einheit
Abkürzung
Länge
Meter
m
Masse
Kilogramm
kg
Zeit
Sekunden
s
elektrische Stromstärke
Ampere
A
Temperatur
Kelvin
K
Stoffmenge
Mol
mol
Lichtstärke
Candela
cd
Die Einheiten der abgeleiteten Größen werden dort angegeben, wo diese eingeführt werden.
1.2
Messfehler
n - Anzahl Messungen & xi - Ergebnis i-te Messung
2
Größe
Zeichen
Berechnung
P
x = n1 ni=1 xi
Mittelwert
x
wahrer Wert
µ
mittl. quadr. Fehler d. Einzelmessg.
s
Standardabweichung
σ
σ≈s
Fehler des Mittelwerts
∆x
√σ
n
durch Mittelwert abschätzbar
q
1 Pn
2
s = n−1
i=1 (xi − x)
≈
√s
n
=
q
1
n(n−1)
Pn
i=1 (xi
− x)2
Mathematik
2.1
Differentiationsregeln
Produktregel:
f (x) = g(x) · h(x)
Kettenregel:
f (u) = g(u) mit u = h(x) →
2.2
=
=
dg
dx
dg
du
· h(x) + g(x) · dh
dx
· du
dx
Trigonometrische Funktionen
Gegenkathete
a
c = Hypotenuse
Ankathete
cos(α) = cb = Hypotenuse
tan(α) = ab = Gegenkathete
Ankathete
sin(α) = − sin(−α)
sin(α) =
2.3
df
dx
df
dx
→
c
cos(α) = cos(−α)
=
α
sin(α)
cos(α)
tan(α) = − tan(−α)
Komplexe Zahlen
i2 = −1
ei · α = cos(α) + i · sin(α)
sin(α) =
cos(α) =
eiα −e−iα
2i
eiα +e−iα
2
b
a
2
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2.4
Taylorentwicklung
f (x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 ) · (x − x0 ) + 21 f ′′ (x0 ) · (x − x0 )2 + 61 f ′′′ (x0 ) · (x − x0 )3 + . . .
2.5
Vektoren
Gegeben seien die Vektoren ~a und ~b:
 
 
a1
b1
  ~  
~a = a2  , b = b2 
a3
b3
p
a2 + a22 + a23
 1

a1 + b1


Addition: ~a + ~b = a2 + b2 
a3 + b3
Skalarprodukt: ~a · ~b = a1 · b1 + a2 · b2 + a3 · b3 = a · b · cos ∠(~a,~b)


a2 · b3 − a3 · b2


Kreuz- bzw. Vektorprodukt: ~a × ~b = a3 · b1 − a1 · b3  , ~a × ~b = a · b · sin ∠(~a,~b)
Betrag:
|~a| = a =
Zeitableitung:
3
~a˙ =
d~a
dt
a1 · b2 − a2 · b1
   da 
1
a˙1
dt
   da2 
= a˙2  =  dt 
da3
a˙3
dt
Mechanik
3.1
3.2
Bewegungslehre
Größe
Zeichen
Bahnkurve
~r(t)
Geschwindigkeit
~v (t)
Beschleunigung
~a(t)
Berechnung


x(t)


~r(t) = y(t)
z(t)
˙
~v (t) = ~r(t)
~a(t) = ~v˙ (t) = ~r¨(t)
SI-Einheit
m
m/s
m/s2
Spezialfall
~a(t)
~v (t)
~r(t)
Gleichförmige Bewegung
0
v~0 = const.
v~0 · t + r~0
Gleichm. beschl. Bewegg.
a~0 = const.
a~0 · t + v~0
a~0
2
· t2 + v~0 · t + r~0
Kraft F~
F~ = m · ~a (2. Newtonsches Axiom)
~ · Φ(~r) mit ∇
~ =
Alternative Definition: F~ = −∇
∂
∂
∂
∂x , ∂y , ∂z
h i
F~ = 1 N = 1 kg · m/s2 (Newton)
& Φ(~r) - stetiges Potential
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Name
Berechnung
Bemerkung
Gewichtskraft
Fallbeschleunigung ~g
Federkraft (Hooksches Gesetz)
F~G = m · ~g
F~F = −D · ~x
Coulomb-Reibung
FR = µ · FN
Reibungszahl µ, Normalkraft FN
Federkonstante D, Auslenkung ~x
Druck p
3.3
p=
3.4
3
|F~⊥ |
A
mit F~⊥ - Kraft senkrecht zu Fläche A
[p] = 1 Pa = 1 N/m2 (Pascal)
Impuls p~
p~ = m · ~v
Verallgemeinerung des zweiten Newtonschen Axioms: F~extern =
Schwerpunkt ~rS
n Massen mi mit Koordinaten ri :
~rS =
d~
p
dt
[~
p] = 1 kg · m/s
~
mit Fextern - externe Kräfte
Pn
ri
i=1 mi · ~
P
.
n
i=1 mi
zentraler elastischer Stoß
Körper 1 (m1 , v1 ) und 2 (m2 , v2 ) bewegen sich entlang der selben Geraden
2 v2 −m1 v2
1 v1 −m2 v1
v2′ = 2 · m1 v1m+m
Geschwindigkeiten nach Stoß: v1′ = 2 · m2 v2m+m
1 +m2
1 +m2
3.5
Arbeit W
R
[W ] = 1 J = 1 N · m (Joule)
F~ · d~l mit F~ Kraft auf Körper & Integral über Weg
F~ = konstant & geradlinige Bewegung entlang ~l: W = F~ · ~l = F · l · cos ∠(F~ ,~l)
W =
3.6
Leistung P
P (t) =
3.7
dW (t)
dt
[P ] = 1 W = 1 J/s = 1 kg · m2 /s3 (Watt)
Drehbewegung
Größe
Berechnung
Abstand von Drehachse
~r
Winkel
ϕ
dϕ
dt
Winkelgeschwindigkeit
ω
~, ω =
Bahngeschwindigkeit
~v = ω
~ × ~r
˙ω
~ , ω̇ = ϕ̈
Winkelbeschleunigung
Drehmoment
Drehmoment
Drehimpuls
~ = ~r × F~
M
~ =L
~˙
M
~ = ~r × p~
L
Bemerkung
Vgl. gradl. Bewegg.
[ϕ] = Bogenmaß
~r
ω
~ ⊥ Drehebene, [~
ω ] = 1/s
~v =
d~
r
dt
~a =
d~v
dt
2
d b
ḃ = db
dt & b̈ = dt2
i
hAbleitg.:
~ = 1 Nm = 1 kg · m2 /s2
M
Ableitg.: ḃ =
db
dt
F~ = p~˙
=
d2 ~
r
dt2
4
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Spezialfall: Kreisbewegung (~v ⊥~r und |~r| = r = const.)
Gleichförmige Kreisbewegung (|~v | = const.): |~aradial | =
Ungleichförmige Kreisbewegung: |~atangential | =
d~v
dt
= r·
v2
r
dω
dt
= ω 2 · r (Zentripetalbeschl.)
einige Vereinfachungen:
Größe
Berechnung
Radius
r
Bogenlänge
s = r·ϕ
Bahngeschwindigkeit
Drehmoment
v = ω·r
~ = Θ · d~ω
M
Drehimpuls
~ = Θ·ω
L
~
Bemerkung
Trägheitsmoment Θ
dt
Trägheitsmoment
Körper
Massepunkte
bel. Körper
Vollzylinder
Hohlzylinder
Vollkugel
Hohlkugel
Berechnung
P
Θ = ni=1 ri2 · mi
R
Θ = Volumen r2 · dm
Bemerkung
ri Abstände von Drehachse
Θ=
m
2
· R2
bzgl. Symmetrieachse, R Zylinderradius
Θ=
m · R2
bzgl. Symmetrieachse, R Zylinderradius
Θ=
2
5
2
3
· m · R2
bzgl. Symmetrieachse, R Kugelradius
· m · R2
bzgl. Symmetrieachse, R Kugelradius
Θ=
Satz von Steiner ΘB = m · a2 + ΘA mit A - Achse durch Schwerpunkt, B - Achse parallel zu A
& a - Abstand von A zu B
3.8
Energie E
[E] = 1 J = 1 N · m = 1 kg · m2 /s2 (Joule)
E (Definitionen in Tabelle)
Bezeichnung
Berechnung
kinetische Energie (Translation)
Ekin,T =
kinetische Energie (Rotation)
Ekin,R =
potentielle Energie (im Gravitationsfeld)
Epot = m · g · h
in Feder gespeicherte Energie
4
4.1
EFeder =
Bemerkung
m
2
2 ·v
Θ
2
2 ·ω
1
2
· D · x2
Höhe h
Dehnung/Stauchung x
Schwingungen und Wellen
Schwingungen
Harmonischer Oszillator
hinreichend oft stetig differenzierbares Potential: Φ(x̃)
1
Taylorentwicklg. (2.4) um x0 : Φ(x̃) ≈ Φ(x0 ) + Φ′ (x0 ) · (x̃ − x0 ) + Φ′′ (x0 ) · (x̃ − x0 )2 + . . .
{z 2
}
|
Φ(x̃)harm
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5
x0 sei Minimalstelle von Φ(x̃): Φ(x̃)harm = Φ(x0 ) + 12 Φ′′ (x0 ) · (x̃ − x0 )2
harm
= −Φ′′ (x0 ) · (x̃ − x0 )
Kraft (3.2): F (x̃) = − dΦ(x̃)
dx̃
Analogie zur Federkraft: Φ′′ (x0 ) = D
D
m x(t)
= 0 mit x(t) - Auslenkung aus Ruhelage
q
D
Allgemeine Lösung: x(t) = A · cos (ω0 · t) + B · sin (ω0 · t) mit ω0 = m
Bewegungsgleichung: ẍ(t) +
Andere Schreibweise: x(t) = C · e±i(ω0 t+ϕ0 )
Gedämpfte Harmonische Schwingung
Bewegungsgleichung: ẍ(t) +
κ
m ẋ(t)
+
D
m x(t)
=0
Getriebene, gedämpfte harmonische Schwingung
Gleichung: ẍ(t) +
4.2
κ
m ẋ(t)
+
D
m x(t)
=
F0
m
· cos(ω · t) mit F0 - Amplitude treibende Kraft
Wellen
Wellen in 1D (1D-Schwingung + 1D-Ausbreitung)
Wellengleichung:
∂2
y(x,t)
∂t2
2
∂
− c2 · ∂x
2 y(x,t) = 0
Lösung
Berechnung
Harmonische Wellen
y(x,t) = As · sin(kx ± ωt)
y(x,t) = Ac · cos(kx ± ωt)
y(x,t) = A · ei(kx±ωt)
Dispersionsrelation: w(k)2 = c2 k 2 mit k =
2π
λ
(Wellenzahl)
Wellen in 3D (3D-Schwingung + 3D-Ausbreitung)
2
∂
∂2
2 · ∆y(~
Wellengleichung: ∂t
y(~
r
,t)
−
c
r
,t)
=
0
mit
∆
=
+
2
∂x2
Lösung
Berechnung
Ebene Wellen
y(~r,t) = Ac · cos(~k · ~r ± ωt)
Kugelwellen
y(~r,t) = y(r,t) =
Dispersionsrelation: w(k)2 = c2 |~k|2 mit ~k mit |~k| = k =
4.3
∂2
∂y 2
A
r
2π
λ
+
∂2
∂z 2
· cos(k · r ± ωt)
(Wellenzahlvektor)
Dopplereffekt
f - Frequenz der Quelle, c - Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle, v - Geschwindigkeit Quelle
bzw. Beobachter, f˜ - vom Beobachter wahrgenommene Frequenz
bewegte Quelle, ruhender Beobachter
auf Beobachter zu: f˜ = 1−1 v · f
c
von Beobachter weg: f˜ = 1 v · f
1+ c
bewegter Beobachter, ruhende Quelle
auf die Quelle zu: f˜ = 1 + vc · f
von der Quelle weg: f˜ = 1 − v · f
c
6
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5
Flüssigkeiten und Gase
Dichte ρ
ρ=
m
V
[ρ] = 1 kg/m3
mit m - Masse & V - Volumen
Schweredruck p (innerhalb des Fluids)
p = ρ · h · g mit h - Höhe Flüssigkeitssäule, ρ - Dichte & g - Fallbeschleunigung
siehe 3.3
Auftriebskraft FA
FA = g · V · ρF mit V - verdrängtes Volumen der Flüssigkeit & ρF - Dichte Flüssigkeit
Resultierende Kraft F (nach Abzug der Gewichtskraft)
F = g · V · (ρF − ρK ) mit ρK - Dichte Körper
Strom
Größe
Zeichen
Berechnung
Stromstärke
I
Strömungswiderstand
R
Leitwert
S
∆V
∆t
R = ∆p
I
S = R1
I=
=
=
transportiertes Volumen
benötigte Zeit
Druckdifferenz
Stromstärke
Einheit
m3 /s
N · s/m5
m5 /(N · s)
Kontinuitätsbedingung (für stationäre Strömung durch Rohr)
A1 · u1 = A2 · u2 mit A1 bzw. A2 - Rohrquerschnitt & u1 bzw. u2 - Fließgeschwindigkeit
Satz von Bernoulli (für stationäre Strömung in idealer Flüssigkeit)
p - Druck, ρ - Dichte, u - Fließgeschwindigkeit, g - Fallbeschleunigung & h - Höhe
p + 21 ρ · u2 + ρ · g · h = konstant
Hagen-Poiseuille’sches Gesetz (laminare Strömung durch Rohr)
Druckänderung
∆p
π ∆p 4
I = 8η
∆L r mit r - Rohrradius, η - dynamische Viskosität & ∆L Länge
Stokes’sche / viskose Reibungskraft FS (Kugel in laminarer, stationärer Strömung)
FS = 6π · η · r · v mit η - dynamische Viskosität, r - Kugelradius & v - Fließgeschwindigkeit
Turbulenter Strömungswiderstand Ft
Ft = 21 cW · A · ρ · v 2 mit cW -Wert, A - Querschnittsfläche, ρ - Dichte & v - Geschwindigkeit
Reynoldszahl Re (Verhältnis turbulente Reibung / viskose Reibung)
Re =
ρ
η
· v · r mit ρ - Dichte, η - dyn. Viskosität, v - Geschwindigkeit & r - Kugelradius