Hausaufgabe 3, wird besprochen am 6. November

Physik Moderner Materialien, WS 2013, Universität Würzburg
Hausaufgabe 3, wird besprochen am 6. November
1 Kontinuitätsgleichungen (10 Punkte)
In der Vorlesung lernten Sie, dass elektrische Ladungen als “Quellen” und “Senken” von EFeldlinien angesehen werden können. Das Gausssche Gesetz ist ein Beispiel einer Kontinuitätsgleichung, welche man umgangssprachlich als “von nichts kommt nichts” umschreiben könnte.
a) Zunächst beschäftigen wir uns mit einem Beispiel aus der Hydrodynamik. Betrachten wir
ein Fluid mit der Massendichte ρ(r, t), welches mit der lokalen Geschwindigkeit v(r, t) fliesst.
Die Differentialform der entsprechenden Kontinuitätsgleichung lautet
∂ρ/∂t = −∇(ρv)
(1)
Benutzen Sie den Gaussschen Satz über die Divergenz (nicht zu verwecheln mit dem Gaussschen Gesetz der Elektrodynamik), um diese Gleichung in ihre Integralform zu schreiben und
erläutern Sie die Bedeutung der verschiedenen Terme.
b) Neben der ersten und zweiten Maxwellgleichung gibt es weitere Anwendungen von Kontinuitätsgleichungen in der Elektrodynamik. Betrachten Sie einen Halbleiter, der eine Elektronenverteilung im Leitungsband aufweist, welche durch die Ladungsdichte ρ(r, t) beschrieben
werden kann. Diese fliesse lokal mit der Geschwindigkeit v(r, t). Was ist hier die physikalische Bedeutung der Größe ρv und welches Symbol benutzten wir in der Vorlesung für diese
Größe? In einem Halbleiter können Elektronen auch in das System (Leitungsband) gebracht
und aus diesem entfernt werden, indem man diese aus dem Valenzband oder aus Störstellenniveaus anregt bzw. wieder diese mit Löchern rekombinieren lässt. Sei g(r, t) die Erzeungsrate
(Anregungsrate) von Elektronen pro Volumen (“Anregungsdichte”) und sei h(r, t) die Rekombinationsrate. Schreiben Sie die entsprechende verallgemeinerte Kontinuitätsgleichung sowohl
in ihrer Differential als auch in ihrer Integralform hin. Starten Sie hierbei mit einer Gleichung
die analog ist zu (1), aber erlauben Sie nun Anregungen und Rekombinationen. Was ist die
Bedeutung der verschiedenen Terme in der Integralform der Gleichung?
volume V
with
density ρ
Flow through
boundary
Sinks
and
sources
Figure 1: Schematische Darstellung der allgemeinen physikalischen Situation in welcher eine
Kontinuitätsgleichung benutzt werden kann. Eine physikalische Größe wie die Massenoder Ladungsdichte in einem gegebenen Volumenelement ändert sich durch Ausfluß
durch die Oberfläche des Volumens. In einer verallgemeinerten Form kann man auch
“Quellen” und “Senken” innerhalb des Volumens zulassen.
2 Magnetisches Moment in einem Spin-1/2 Material (8 Punkte)
Ein paramagnetisches Material enthält 1022 Ionen pro cm3 . Diese Tragen ein magnetisches
Moment, welches gänzlich auf dem Spin basieren. Sei der Spin in unserem Beispiel S = 1/2,
d.h. die Drehimpulsquantenzahl ist J = 1/2. Welche Werte sind dann für die magnetische
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Quantenzahl erlaubt? Für den Fall eines rein auf dem Spin basierenden magnetischen Moment
ist der g-Faktor 2.
a) Ein Feld von B = 1 Tesla wird bei T = 300 K angelegt. Was ist die Besetzung der
zwei resultierenden Zustände p↑ und p↓ ? Leiten Sie einen Ausdruck für die überschüssige Besetzung des Zustands niedrigerer Energie im Vergleich zum Zustand höherer Energie gemäss
(p↑ − p↓ )/(p↑ + p↓ ) ab.
b) Wie groß ist das resultierende magnetische Moment hmz i in Ampère pro Meter?
3 Magnetische Momente in komplexerer Konfiguration (9 Punkte)
In der vorherigen Aufgabe berechneten Sie das effektive magnetische Moment für den paramagnetischen Fall eines spin-1/2 Teilchens, S = 1/2, unter der annahme fehlenden Orbitalmoments.
Aus der Vorlesung ist Ihnen bekannt, dass es komplexere Konfigurationen gibt, in denen Orbitalund Spinmoment kombiniert sind. Diese werden durch den Gesamtdrehimpuls J beschrieben,
für welchen die magnetische Quantenzahl die Werte mj = −J, −J + 1, ...J annehmen kann. Wir
zeigten, dass mit der Maxwell-Boltzmann-Verteilung folgt
hmz i =
J
X
−gµB mj exp(−gmj µB H/(kB T ))/Z(T )
(2)
mj =−J
Man kann zeigen dass aus dieser Summe folgt:
hmz i = gJµB ΦJ (x)
(3)
wobei x = gJµB H/(kB T ) und
2J + 1
ΦJ (x) =
coth
2J
(2J + 1)x
2J
−
1
x
coth
2J
2J
(4)
a) Für den Fall, dass x 1, zeigen Sie dass ΦJ (x) ≈ αx. Wie lautet der Ausdruck für α?
b) Leiten Sie hieraus den Ausdruck für hmz i. Wie hängt dieser von H und T ab?
c) ρ sei die Anzahl paramagnetischer Atome pro Einheitsvolument. Wie lautet dann die Magnetisierung pro Einheitsvolumen? Berechnen Sie die magnetische Suszeptibilität χ = µ0 M/H.
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