Ramseys Theorem - Eine kurzer Exkurs in die Kombinatorik

Ramseys Theorem
Eine kurzer Exkurs in die Kombinatorik
Carsten Baum
Institut für Informatik
Universität Potsdam
12. Januar 2012
1 / 21
Inhalt
1
Was ist Ramsey Theory?
2
Beispiele
Graphentheorie
Aussagen über Folgen
3
Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Über’s Ziel hinaus
2 / 21
Was ist Ramsey Theory?
Inhalt
1
Was ist Ramsey Theory?
2
Beispiele
Graphentheorie
Aussagen über Folgen
3
Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Über’s Ziel hinaus
3 / 21
Was ist Ramsey Theory?
Ramsey Theory
- benannt nach Frank Plumpton Ramsey (1903-1930)
- ist ein Teilgebiet der Kombinatorik
- umfasst unter anderem den endlichen und unendlichen Satz von
Ramsey
- entstand aus Vorarbeiten von Hilbert, Schur, van der Waerden und
Baudet
- Ursprung der Theorie: Hilbertsches Würfel-Lemma (1892).
4 / 21
Was ist Ramsey Theory?
Ramsey Theory
- benannt nach Frank Plumpton Ramsey (1903-1930)
- ist ein Teilgebiet der Kombinatorik
- umfasst unter anderem den endlichen und unendlichen Satz von
Ramsey
- entstand aus Vorarbeiten von Hilbert, Schur, van der Waerden und
Baudet
- Ursprung der Theorie: Hilbertsches Würfel-Lemma (1892).
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Was ist Ramsey Theory?
Und wenn wir schon die Theorie nach ihm benennen...
Abbildung: Frank P. Ramsey
- studierte am King’s College, Cambridge
- Mathematiker, Logiker, Philosoph
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Was ist Ramsey Theory?
Ramseys Theorem I - endlicher Fall
Prinzip: Zerlegt man eine bestimmte Menge in eine endliche Anzahl
von Teilmengen, dann hat mindestens eine solche Teilmenge eine
bestimmte Eigenschaft.
Satz (Ramseys Theorem - endlicher Fall)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Bemerkung
Die kleinste solche Zahl m nennt man Ramsey-Zahl Rs (n, r). Diese Zahlen
sind im Allgemeinen schwer zu finden.
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Was ist Ramsey Theory?
Ramseys Theorem I - endlicher Fall
Prinzip: Zerlegt man eine bestimmte Menge in eine endliche Anzahl
von Teilmengen, dann hat mindestens eine solche Teilmenge eine
bestimmte Eigenschaft.
Satz (Ramseys Theorem - endlicher Fall)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Bemerkung
Die kleinste solche Zahl m nennt man Ramsey-Zahl Rs (n, r). Diese Zahlen
sind im Allgemeinen schwer zu finden.
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Was ist Ramsey Theory?
Ramseys Theorem I - endlicher Fall
Prinzip: Zerlegt man eine bestimmte Menge in eine endliche Anzahl
von Teilmengen, dann hat mindestens eine solche Teilmenge eine
bestimmte Eigenschaft.
Satz (Ramseys Theorem - endlicher Fall)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Bemerkung
Die kleinste solche Zahl m nennt man Ramsey-Zahl Rs (n, r). Diese Zahlen
sind im Allgemeinen schwer zu finden.
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Was ist Ramsey Theory?
Ramseys Theorem II - unendlicher Fall
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Bemerkung
Theodore Motzkin(deutscher Mathematiker):
”Eine vollständige Unordnung ist unmöglich. Jede beliebige Struktur
enthält notwendigerweise eine geordnete Unterstruktur.”
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Was ist Ramsey Theory?
Ramseys Theorem II - unendlicher Fall
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Bemerkung
Theodore Motzkin(deutscher Mathematiker):
”Eine vollständige Unordnung ist unmöglich. Jede beliebige Struktur
enthält notwendigerweise eine geordnete Unterstruktur.”
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Was ist Ramsey Theory?
Beweismöglichkeiten
- Beweis von Ramsey: Unendlicher Fall und endlicher Fall separat
(Beweis im unendlichen Fall ist dem folgenden Beweis sehr ähnlich)
- Anderer, ebenfalls guter Beweis für den endlichen Fall
z.B. ”Ramsey Theory”von Jaroslav Nešetřil aus ”Handbook of
Combinatorics”
- Unendlicher Fall ⇒ Endlicher Fall:
Anwendung des Kompaktheitssatzes zum Beweis eines notwendigen
Lemmas (Königs Lemma).
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Was ist Ramsey Theory?
Beweismöglichkeiten
- Beweis von Ramsey: Unendlicher Fall und endlicher Fall separat
(Beweis im unendlichen Fall ist dem folgenden Beweis sehr ähnlich)
- Anderer, ebenfalls guter Beweis für den endlichen Fall
z.B. ”Ramsey Theory”von Jaroslav Nešetřil aus ”Handbook of
Combinatorics”
- Unendlicher Fall ⇒ Endlicher Fall:
Anwendung des Kompaktheitssatzes zum Beweis eines notwendigen
Lemmas (Königs Lemma).
8 / 21
Was ist Ramsey Theory?
Beweismöglichkeiten
- Beweis von Ramsey: Unendlicher Fall und endlicher Fall separat
(Beweis im unendlichen Fall ist dem folgenden Beweis sehr ähnlich)
- Anderer, ebenfalls guter Beweis für den endlichen Fall
z.B. ”Ramsey Theory”von Jaroslav Nešetřil aus ”Handbook of
Combinatorics”
- Unendlicher Fall ⇒ Endlicher Fall:
Anwendung des Kompaktheitssatzes zum Beweis eines notwendigen
Lemmas (Königs Lemma).
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Was ist Ramsey Theory?
Beweismöglichkeiten II
Interessantes Detail:
Ramsey wollte mit seinem Paper einen Teil zur Lösung des
Entscheidungsproblems beitragen
- Ramseys Theorem ist nur ”Nebenprodukt” eines Beweises in der Logik
- Verändert man den unendlichen Satz leicht, so erhält man einen Satz
der in der Peano-Arithmetik nicht beweisbar ist
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Was ist Ramsey Theory?
Beweismöglichkeiten II
Interessantes Detail:
Ramsey wollte mit seinem Paper einen Teil zur Lösung des
Entscheidungsproblems beitragen
- Ramseys Theorem ist nur ”Nebenprodukt” eines Beweises in der Logik
- Verändert man den unendlichen Satz leicht, so erhält man einen Satz
der in der Peano-Arithmetik nicht beweisbar ist
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Beispiele
Inhalt
1
Was ist Ramsey Theory?
2
Beispiele
Graphentheorie
Aussagen über Folgen
3
Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Über’s Ziel hinaus
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele I
Beispiel
Angenommen, man will eine Party geben so dass sich maximal 3 Leute
kennen oder maximal 3 Leute nicht kennen. Wieviele Leute kann man
maximal einladen, unabhängig davon wer die Leute sind?
Frage: Warum geht das mit 5, aber nicht mit 6?
Beispiel
Angenommen, Zaphod Beeblebrox (Präsident der Galaxis) will eine Party
geben, so dass sich ein unendlicher Anteil der Gäste gegenseitig kennt oder
nicht kennt. Geht das?
Beispiel
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Wieviele Elemente muss V
enthalten damit G entweder eine Clique oder ein Independent Set
(Anticlique) der Größe n enthält?
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele I
Beispiel
Angenommen, man will eine Party geben so dass sich maximal 3 Leute
kennen oder maximal 3 Leute nicht kennen. Wieviele Leute kann man
maximal einladen, unabhängig davon wer die Leute sind?
Frage: Warum geht das mit 5, aber nicht mit 6?
Beispiel
Angenommen, Zaphod Beeblebrox (Präsident der Galaxis) will eine Party
geben, so dass sich ein unendlicher Anteil der Gäste gegenseitig kennt oder
nicht kennt. Geht das?
Beispiel
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Wieviele Elemente muss V
enthalten damit G entweder eine Clique oder ein Independent Set
(Anticlique) der Größe n enthält?
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele I
Beispiel
Angenommen, man will eine Party geben so dass sich maximal 3 Leute
kennen oder maximal 3 Leute nicht kennen. Wieviele Leute kann man
maximal einladen, unabhängig davon wer die Leute sind?
Frage: Warum geht das mit 5, aber nicht mit 6?
Beispiel
Angenommen, Zaphod Beeblebrox (Präsident der Galaxis) will eine Party
geben, so dass sich ein unendlicher Anteil der Gäste gegenseitig kennt oder
nicht kennt. Geht das?
Beispiel
Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. Wieviele Elemente muss V
enthalten damit G entweder eine Clique oder ein Independent Set
(Anticlique) der Größe n enthält?
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele II
Satz (Ramseys Theorem)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Lemma (Schubfach-Lemma)
Wenn man m Dinge auf s Fächer verteilt, dann gibt es mindestens ein
Fach das mindestens n Dinge enthält.
Beweis.
Ramseys Theorem, setze r = 1.
m ≥ Rs (n, 1) = s(n − 1) + 1
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele II
Satz (Ramseys Theorem)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Lemma (Schubfach-Lemma)
Wenn man m Dinge auf s Fächer verteilt, dann gibt es mindestens ein
Fach das mindestens n Dinge enthält.
Beweis.
Ramseys Theorem, setze r = 1.
m ≥ Rs (n, 1) = s(n − 1) + 1
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Beispiele
Graphentheorie
Interessante Beispiele II
Satz (Ramseys Theorem)
Seien r, s, n ∈ N+ , n ≥ r. Dann ∃m ∈ N, m ≥ n so dass für die Menge
X = {0, 1, ..., m − 1} für jede s-Partitionierung der r-elementigen
Teilmengen von X eine Menge Y ⊆ X, |Y | = n existiert, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
Lemma (Schubfach-Lemma)
Wenn man m Dinge auf s Fächer verteilt, dann gibt es mindestens ein
Fach das mindestens n Dinge enthält.
Beweis.
Ramseys Theorem, setze r = 1.
m ≥ Rs (n, 1) = s(n − 1) + 1
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Beispiele
Aussagen über Folgen
Interessante Beispiele III
Korollar (Monotone Subsequence Theorem)
Jede Folge S : a1 , a2 ... von reellen Zahlen enthält entweder eine unendliche
aufsteigende Teilfolge oder eine unendliche strikt fallende Teilfolge.
Korollar (Erdös-Szekeres Monotone Subsequence Theorem)
Jede endliche Folge S : a1 , a2 ..., ar , r > mn von reellen Zahlen enthält
eine strikt absteigende Teilfolge aus mehr als m Elementen oder eine
aufsteigende Teilfolge aus mehr als n Elementen.
Beweis.
1. S habe keine absteigende Teilfolge.
2. Notiere für jedes ai die Länge aller maximalen, vo da beginnenden
aufsteigenden oder strikt absteigenden Teilfolgen.
3. i < j, ai < aj ⇒ ai hat größeren Wert für die strikt absteigende
Teilfolge als aj
4. Schubfach-Lemma
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Beispiele
Aussagen über Folgen
Interessante Beispiele III
Korollar (Monotone Subsequence Theorem)
Jede Folge S : a1 , a2 ... von reellen Zahlen enthält entweder eine unendliche
aufsteigende Teilfolge oder eine unendliche strikt fallende Teilfolge.
Korollar (Erdös-Szekeres Monotone Subsequence Theorem)
Jede endliche Folge S : a1 , a2 ..., ar , r > mn von reellen Zahlen enthält
eine strikt absteigende Teilfolge aus mehr als m Elementen oder eine
aufsteigende Teilfolge aus mehr als n Elementen.
Beweis.
1. S habe keine absteigende Teilfolge.
2. Notiere für jedes ai die Länge aller maximalen, vo da beginnenden
aufsteigenden oder strikt absteigenden Teilfolgen.
3. i < j, ai < aj ⇒ ai hat größeren Wert für die strikt absteigende
Teilfolge als aj
4. Schubfach-Lemma
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Beispiele
Aussagen über Folgen
Interessante Beispiele III
Korollar (Monotone Subsequence Theorem)
Jede Folge S : a1 , a2 ... von reellen Zahlen enthält entweder eine unendliche
aufsteigende Teilfolge oder eine unendliche strikt fallende Teilfolge.
Korollar (Erdös-Szekeres Monotone Subsequence Theorem)
Jede endliche Folge S : a1 , a2 ..., ar , r > mn von reellen Zahlen enthält
eine strikt absteigende Teilfolge aus mehr als m Elementen oder eine
aufsteigende Teilfolge aus mehr als n Elementen.
Beweis.
1. S habe keine absteigende Teilfolge.
2. Notiere für jedes ai die Länge aller maximalen, vo da beginnenden
aufsteigenden oder strikt absteigenden Teilfolgen.
3. i < j, ai < aj ⇒ ai hat größeren Wert für die strikt absteigende
Teilfolge als aj
4. Schubfach-Lemma
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Theorem im unendlichen Fall
Inhalt
1
Was ist Ramsey Theory?
2
Beispiele
Graphentheorie
Aussagen über Folgen
3
Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Über’s Ziel hinaus
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis I
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
- Sei Z eine Menge mit einer s-Partitionierung P1 , ..., Ps . Definiere
f : Z → {1, ..., s}, f (z) 7→ i falls z ∈ Pi .
- Definiere [Z]r := {Y ⊆ Z | r = |Y |}
Ramseys Theorem (umformuliert):
Sei f : [N]r → {1, ..., s}, dann gibt es ein Y ⊆ N und ein
j ∈ {1, ..., s} so dass X ∈ [Y ]r ⇒ f (X) = j.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis I
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
- Sei Z eine Menge mit einer s-Partitionierung P1 , ..., Ps . Definiere
f : Z → {1, ..., s}, f (z) 7→ i falls z ∈ Pi .
- Definiere [Z]r := {Y ⊆ Z | r = |Y |}
Ramseys Theorem (umformuliert):
Sei f : [N]r → {1, ..., s}, dann gibt es ein Y ⊆ N und ein
j ∈ {1, ..., s} so dass X ∈ [Y ]r ⇒ f (X) = j.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis I
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
- Sei Z eine Menge mit einer s-Partitionierung P1 , ..., Ps . Definiere
f : Z → {1, ..., s}, f (z) 7→ i falls z ∈ Pi .
- Definiere [Z]r := {Y ⊆ Z | r = |Y |}
Ramseys Theorem (umformuliert):
Sei f : [N]r → {1, ..., s}, dann gibt es ein Y ⊆ N und ein
j ∈ {1, ..., s} so dass X ∈ [Y ]r ⇒ f (X) = j.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis I
Satz (Ramseys Theorem - unendlicher Fall)
Seien r, s ∈ N+ . Für jede s-Partitionierung der r-elementigen Teilmengen
von X = {0, 1, 2, 3, ...} gibt es eine unendliche Menge Y ⊆ X, so dass alle
r-elementigen Teilmengen von Y in der gleichen s-Partition liegen.
- Sei Z eine Menge mit einer s-Partitionierung P1 , ..., Ps . Definiere
f : Z → {1, ..., s}, f (z) 7→ i falls z ∈ Pi .
- Definiere [Z]r := {Y ⊆ Z | r = |Y |}
Ramseys Theorem (umformuliert):
Sei f : [N]r → {1, ..., s}, dann gibt es ein Y ⊆ N und ein
j ∈ {1, ..., s} so dass X ∈ [Y ]r ⇒ f (X) = j.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis II
- Wähle s ∈ N+ beliebig aber fest. Sei f : [N]r → {1, ..., s}.
- Ziel: Definiere Operation Φ, so dass
Φ(f ) = (j, Y ) ⇒ ∀ X ∈ [Y ]r : f (X) = j.
- Idee: Induktion über r (die Größe der Teilmengen).
1 Induktionsanfang(r = 1)
Es gibt s Partitionen, von denen mindestens eine unendlich groß sein
muss. Wähle das kleinste k ≤ s für welches f −1 (k) unendlich ist.
Wähle Y = {x ∈ N | f (x) = k}, also Φ(f ) = (k, Y )
16 / 21
Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis II
- Wähle s ∈ N+ beliebig aber fest. Sei f : [N]r → {1, ..., s}.
- Ziel: Definiere Operation Φ, so dass
Φ(f ) = (j, Y ) ⇒ ∀ X ∈ [Y ]r : f (X) = j.
- Idee: Induktion über r (die Größe der Teilmengen).
1 Induktionsanfang(r = 1)
Es gibt s Partitionen, von denen mindestens eine unendlich groß sein
muss. Wähle das kleinste k ≤ s für welches f −1 (k) unendlich ist.
Wähle Y = {x ∈ N | f (x) = k}, also Φ(f ) = (k, Y )
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis II
- Wähle s ∈ N+ beliebig aber fest. Sei f : [N]r → {1, ..., s}.
- Ziel: Definiere Operation Φ, so dass
Φ(f ) = (j, Y ) ⇒ ∀ X ∈ [Y ]r : f (X) = j.
- Idee: Induktion über r (die Größe der Teilmengen).
1 Induktionsanfang(r = 1)
Es gibt s Partitionen, von denen mindestens eine unendlich groß sein
muss. Wähle das kleinste k ≤ s für welches f −1 (k) unendlich ist.
Wähle Y = {x ∈ N | f (x) = k}, also Φ(f ) = (k, Y )
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis II
- Wähle s ∈ N+ beliebig aber fest. Sei f : [N]r → {1, ..., s}.
- Ziel: Definiere Operation Φ, so dass
Φ(f ) = (j, Y ) ⇒ ∀ X ∈ [Y ]r : f (X) = j.
- Idee: Induktion über r (die Größe der Teilmengen).
1 Induktionsanfang(r = 1)
Es gibt s Partitionen, von denen mindestens eine unendlich groß sein
muss. Wähle das kleinste k ≤ s für welches f −1 (k) unendlich ist.
Wähle Y = {x ∈ N | f (x) = k}, also Φ(f ) = (k, Y )
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis II
- Wähle s ∈ N+ beliebig aber fest. Sei f : [N]r → {1, ..., s}.
- Ziel: Definiere Operation Φ, so dass
Φ(f ) = (j, Y ) ⇒ ∀ X ∈ [Y ]r : f (X) = j.
- Idee: Induktion über r (die Größe der Teilmengen).
1 Induktionsanfang(r = 1)
Es gibt s Partitionen, von denen mindestens eine unendlich groß sein
muss. Wähle das kleinste k ≤ s für welches f −1 (k) unendlich ist.
Wähle Y = {x ∈ N | f (x) = k}, also Φ(f ) = (k, Y )
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis III
2 Induktionsschritt
2.1 Angenommen, es gibt ein solches Φ für alle g : [N]r → {1, ..., s}, dann
gibt es auch ein Φ für ein beliebiges f : [N]r+1 → {1, ..., s}.
2.2 Für alle i ∈ N definieren wir im Folgenden bi ∈ N,
fi : [N]r → {1, ..., s}, ji ≤ s sowie die unendlichen Mengen Yi , Zi und
Wi mit Y0 = N.
2.3 Sei Yi definiert, zeige welche bi , Zi , fi , ji , Wi , Yi+1 folgen.
2.4 Sei bi = min(Yi ) und Zi = Yi \ {bi }. Es sei Zi = {ai0 , ai1 , ..} wobei
die aij aufsteigend sortiert sind.
2.5 Für jede aufsteigend sortierte r-Teilmenge x = {k1 , k2 , ..., kr } von N
sei fi (x) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }). fi ist offensichtlich wohldefiniert.
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge x von Wi gilt fi (x) = ji .
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis IV
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge X von Wi gilt fi (X) = ji .
2.7 Sei Yi+1 = {aik | k ∈ Wi }. Da Wi unendlich ist ist Yi+1 unendlich
und Yi+1 ⊆ Zi ⊆ Yi und ia ≤ ib ⇒ Yib ⊆ Yia .
2.8 Weiterhin ia < ib ⇒ bia < bib .
2.9 Für alle k ≤ s wähle Ek := {i | ji = k}. Sei j das kleinste k für das
Ek unendlich groß ist und sei Y := {bi | i ∈ Ej }.
2.10 ia < ib ⇒ bia < bib ⇒ Y ist unendlich groß.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis IV
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge X von Wi gilt fi (X) = ji .
2.7 Sei Yi+1 = {aik | k ∈ Wi }. Da Wi unendlich ist ist Yi+1 unendlich
und Yi+1 ⊆ Zi ⊆ Yi und ia ≤ ib ⇒ Yib ⊆ Yia .
2.8 Weiterhin ia < ib ⇒ bia < bib .
2.9 Für alle k ≤ s wähle Ek := {i | ji = k}. Sei j das kleinste k für das
Ek unendlich groß ist und sei Y := {bi | i ∈ Ej }.
2.10 ia < ib ⇒ bia < bib ⇒ Y ist unendlich groß.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis IV
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge X von Wi gilt fi (X) = ji .
2.7 Sei Yi+1 = {aik | k ∈ Wi }. Da Wi unendlich ist ist Yi+1 unendlich
und Yi+1 ⊆ Zi ⊆ Yi und ia ≤ ib ⇒ Yib ⊆ Yia .
2.8 Weiterhin ia < ib ⇒ bia < bib .
2.9 Für alle k ≤ s wähle Ek := {i | ji = k}. Sei j das kleinste k für das
Ek unendlich groß ist und sei Y := {bi | i ∈ Ej }.
2.10 ia < ib ⇒ bia < bib ⇒ Y ist unendlich groß.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis IV
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge X von Wi gilt fi (X) = ji .
2.7 Sei Yi+1 = {aik | k ∈ Wi }. Da Wi unendlich ist ist Yi+1 unendlich
und Yi+1 ⊆ Zi ⊆ Yi und ia ≤ ib ⇒ Yib ⊆ Yia .
2.8 Weiterhin ia < ib ⇒ bia < bib .
2.9 Für alle k ≤ s wähle Ek := {i | ji = k}. Sei j das kleinste k für das
Ek unendlich groß ist und sei Y := {bi | i ∈ Ej }.
2.10 ia < ib ⇒ bia < bib ⇒ Y ist unendlich groß.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis IV
2.6 Nach Induktionsannahme gibt es ein ji ≤ s und ein Wi mit
Φ(fi ) = (ji , Wi ) und für jede r-Teilmenge X von Wi gilt fi (X) = ji .
2.7 Sei Yi+1 = {aik | k ∈ Wi }. Da Wi unendlich ist ist Yi+1 unendlich
und Yi+1 ⊆ Zi ⊆ Yi und ia ≤ ib ⇒ Yib ⊆ Yia .
2.8 Weiterhin ia < ib ⇒ bia < bib .
2.9 Für alle k ≤ s wähle Ek := {i | ji = k}. Sei j das kleinste k für das
Ek unendlich groß ist und sei Y := {bi | i ∈ Ej }.
2.10 ia < ib ⇒ bia < bib ⇒ Y ist unendlich groß.
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Beweis
Beweis V
- z.Z. bleibt: Sei Z eine r + 1-Teilmenge von Y , dann ist f (Z) = j.
2.11 Sei Z = {bi , bi1 ..., bir } beliebig mit i < i1 < ... < ir und
{i, i1 , ..., ir } ⊂ Ej . {bi1 , ..., bir } ⊂ Yi .
2.12 Für alle 1 ≤ m ≤ r sei km ∈ Wi mit bim = aikm .
2.13 Sei X = {k1 , ..., kr }, dann ist X ⊂ Wi und i1 < ... < ir ,
bi1 < ... < bir , aik1 < ... < aikr und k1 < ... < kr , also |X| = r.
2.14 Wegen Φ(fi ) = (ji , Wi ) gilt fi (X) = ji und wegen i ∈ Ej gilt ji = j.
2.15 Also gilt
f (Z) = f ({bi , bi1 , ..., bir }) = f ({bi , aik1 , ..., aikr }) = fi (x) = j
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Theorem im unendlichen Fall
Über’s Ziel hinaus
Was man nicht schließen kann
Stärkere Annahme: Sei s ∈ N+ . Für jede beliebige s-Partitionierung
der endlichen Teilmengen von N existiert eine unendliche Teilmenge
Y ⊆ N, so dass für alle r ∈ N+ alle r-elementigen Teilmengen von Y
in der gleichen s-Partition liegen.
Gegenbeispiel: s = 2, wähle P1 = {Z ⊂ N | r = |Z| ∧ r ∈ Z} und
P2 = Y \ P1 .
⇒ Sei r, b1 , ..., br ∈ Y . Dies geht da Y unendliche Teilmenge. Dann gilt
{r, b2 , ...br } ∈ P1 , aber {b1 , b2 , ..., br } ∈ P2 .
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Theorem im unendlichen Fall
Über’s Ziel hinaus
Was man nicht schließen kann
Stärkere Annahme: Sei s ∈ N+ . Für jede beliebige s-Partitionierung
der endlichen Teilmengen von N existiert eine unendliche Teilmenge
Y ⊆ N, so dass für alle r ∈ N+ alle r-elementigen Teilmengen von Y
in der gleichen s-Partition liegen.
Gegenbeispiel: s = 2, wähle P1 = {Z ⊂ N | r = |Z| ∧ r ∈ Z} und
P2 = Y \ P1 .
⇒ Sei r, b1 , ..., br ∈ Y . Dies geht da Y unendliche Teilmenge. Dann gilt
{r, b2 , ...br } ∈ P1 , aber {b1 , b2 , ..., br } ∈ P2 .
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Über’s Ziel hinaus
Was man nicht schließen kann
Stärkere Annahme: Sei s ∈ N+ . Für jede beliebige s-Partitionierung
der endlichen Teilmengen von N existiert eine unendliche Teilmenge
Y ⊆ N, so dass für alle r ∈ N+ alle r-elementigen Teilmengen von Y
in der gleichen s-Partition liegen.
Gegenbeispiel: s = 2, wähle P1 = {Z ⊂ N | r = |Z| ∧ r ∈ Z} und
P2 = Y \ P1 .
⇒ Sei r, b1 , ..., br ∈ Y . Dies geht da Y unendliche Teilmenge. Dann gilt
{r, b2 , ...br } ∈ P1 , aber {b1 , b2 , ..., br } ∈ P2 .
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Theorem im unendlichen Fall
Über’s Ziel hinaus
Wer sich dafür interessiert
Boolos et. al, ”Computability and Logic”
Soifer et. al, ”Ramsey Theory: Yesterday, Today, and Tomorrow”
Ramsey, F. ”On a Problem of Formal Logic”
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