Lösungen zum 6. ¨Ubungsblatt Vorkurs Mathematik

Hochschule Ruhr West
Institut Naturwissenschaften
Tobias Baust, Akiko Kato
Sommersemester 2016
Lösungen zum 6. Übungsblatt Vorkurs Mathematik
1. Aufgabe
(a) L = {6}
(d) L = ∅
(b) L = {8}
(e) L = {− 13 }
(c) L = {9}
(f) L = R
2. Aufgabe
(a) Falsch, es gibt auch lineare Gleichungen, die nicht lösbar sind (L = ∅).
(b) Falsch, eine solche Gleichung ist erfüllt durch alle reellen Zahlen, es ist
L = R.
(c) Wahr, die Division lässt sich auf die Multiplikation zurückführen.
(d) Falsch, da sich die Subtraktion auf die Addition zurückführen lässt.
(e) Falsch, es gibt lineare Gleichungen, die durch alle reellen Zahlen erfüllt sind
(L = R), und somit unendlich viele Lösungen haben.
(f) Wahr.
(g) Wahr.
(h) Falsch, die Steigung der Geraden ist 2.
(i) Falsch, eine Gerade mit der Steigung 0 verläuft parallel zur x-Achse.
(j) Wahr.
(k) Wahr.
1
(l) Falsch, dies gilt nur für Geraden mit einer von Null verschiedenen Steigung.
Eine Gerade mit Steigung 0 schneidet die x-Achse in keinem Punkt oder in
allen Punkten, wenn sie auf die x-Achse fällt (f (x) = 0).
(m) Wahr.
(n) Falsch, es ist eine fallende Gerade, da a = − 32 < 0.
(o) Wahr.
(p) Wahr.
Anmerkung: Diese Aussage erleichtert das Zeichnen von Geraden. Da auch
ihre Umkehrung gilt, ergibt sich auch eine praktikable Methode, die Steigung einer Geraden graphisch zu bestimmen.
3. Aufgabe
3
x = 0 zu lösen. Die Schnittstelle ist somit x = 52 ,
(a) Es ist die Gleichung 1, 5−
5
der Schnittpunkt 25 , 0 .
(b) Es ist die Gleichung 3x = −2x + 5 zu lösen. Die Schnittstelle ist somit
x = 1, der Schnittpunkt (1, 3).
(c) Es ist die Gleichung − 12 x − 1 = 1 zu lösen. Die Schnittstelle ist somit
x = −4, der Schnittpunkt (−4, 1).
Die Schnittpunkte lassen sich graphisch durch Zeichnen der Geraden und Ablesen
der gesuchten Schnittpunkte ermitteln, vergleiche Abbildung 1.
4. Aufgabe
(a) Punkt A liefert direkt b = 4. Die Steigung lässt sich über die beiden Punkte
2−4
bestimmen, es ist a = 1−0
= −2
= −2. Insgesamt ist die Gleichung der
1
gesuchten Gerade also f (x) = −2x + 4.
Graphisch ermittelt man diese Gleichung, indem man die Gerade durch die
beiden Punkte zeichnet, den Schnittpunkt mit der y-Achse (0, b) für b abliest
und die Steigung a über ein sogenanntes Steigungsdreieck ermittelt. Hierbei
hilft die Aussage aus Aufgabe 6.1 (p) bzw. ihre ebenso gültige Umkehrung
(vgl. Lösung 6.1 (p)). Vergleiche Abbildung 2.
2
Abbildung 1:
y
(b) f(x)
(c) g(x)
1
x
0
1
(a) f(x)
(c) f(x)
(b) g(x)
(b) Die Steigung ergibt sich zu
− 35 − (−3)
− 53 + 15
4
12
1
5
a=
=− .
=
=
· −
2−5
−3
5
3
5
Einsetzen von a und Punkt P in die Gleichung f (x) = ax + b ergibt die
Gleichung −3 = − 45 · 5 + b, die zur Bestimmung von b gelöst werden muss.
Es ergibt sich b = 1. Insgesamt ist die Gleichung der gesuchten Gerade also
f (x) = − 45 x + 1.
Die graphische Ermittlung dieser Gleichung erfolgt wie in Teilaufgabe (a),
vergleiche dazu Abbildung 2.
3
Abbildung 2:
y
1
A
-2
B
5
1
x
0
1
Q
-4
(b)
P
(a)
5. Aufgabe
(a)
1
f (x) = x − 2
4
(b)
f (x) = −2
(c)
f (x) = −2
4
6. Aufgabe
Wenn Sie sauber gearbeitet haben, dürfte Ihnen auffallen, dass alle Geraden die
gleiche Steigung haben. Vielleicht ist Ihnen das ja auch schon beim Zeichnen der
parallelen Geraden aufgefallen bzw. klar geworden.
Es ist tatsächlich so, dass parallele Geraden die gleiche Steigung haben. Darüber
hinaus gilt auch umgekehrt, dass Geraden mit der gleichen Steigung parallel
sind. Kurz: Zwei Geraden sind genau dann parallel, wenn sie die gleiche Steigung
haben.
7. Aufgabe
(a)
f (x) = x
(b)
3
f (x) = x − 3
2
(c)
3
f (x) = − x + 1
4
(d)
f (x) = −2
5