σ nullhypothese

6
6.1
Testen von Hypothesen
Grundbegriffe
Statistische Tests dienen zur Lösung von Entscheidungsproblemen auf der Grundlage von Daten.
Beispiel: Qualitätskontrolle (Fortsetzung)
Eine Maschine soll bestimmte Werkstücke mit einer
Länge von 18.3 (mm) herstellen. Zufallsschwankungen
um die mittlere Länge sind normalverteilt mit Standardabweichung σ = 0, 18.
Es ist bekannt, dass es aus technischen Gründen möglich ist, dass sich die Maschine im Laufe der Zeit dejustieren kann. Für eine Zufallsstichprobe von n = 9
Werkstücken aus der aktuellen Produktion ergab sich:
x1
x2
x3
x4
x5
18.42
18.26
18.53
18.45
18.62
x6
x7
x8
x9
18.39
18.5
18.71
18.44
⇒ Geschätzter Mittelwert: x̄ = 18.48
Frage: Kann man nach wie vor davon ausgehen, dass
die Maschine „im Mittel“ Werkstücke der Länge 18, 3
mm herstellt, oder muss man vielmehr annehmen, dass
sich die Justierung verändert hat?
Statistik_II@finasto
6–1
Es handelt sich hier um ein Entscheidungsproblem,
das allein auf der Grundlage der erhobenen Daten zu
lösen ist. Man spricht von einem statistischen Testproblem. Man entscheidet zwischen der
Nullhypothese (abgekürzt „H0 “): µ = 18, 3,
d.h der wahre Mittelwert µ ist gleich 18, 3
und der
Alternative (abgekürzt „H1 “): µ ̸= 18, 3,
d.h der wahre Mittelwert µ ist nicht gleich 18, 3
Man spricht auch von einem statistischen Test (oder
„Signifikanztest“) der Nullhypothese H0 gegen die Alternative H1 .
Ansatz: Der aus den Daten berechnete empirische
Mittelwert x̄ = 18, 48 ist größer als 18, 3.
• Die Nullhypothese kann nur dann richtig sein, wenn
sich der Unterschied zwischen den beiden Werten
noch „plausibel“ durch Zufallsschwankungen erklären lässt
• Die Nullhypothese ist abzulehnen, wenn es sehr
unwahrscheinlich ist, dass der beobachtete Wert
x̄ noch unter H0 zustande gekommen ist.
Statistik_II@finasto
6–2
Der entscheidende Schritt besteht nun in einer Analyse der Verteilung von X̄ unter der Nullhypothese.
• Wenn H0 : µ = 18, 3 richtig ist, so gilt
X̄ ∼ N (18, 3 , σ 2 /n) bzw.
Z=
X̄ − 18, 3
√
∼ N (0, 1)
σ/ n
Diese Umschreibung hat den Vorteil, dass die Quantile der Standardnormalverteilung bekannt sind.
Es gilt σ = 0, 18, n = 9 und daher √σn = 0.06. Der beobachtete (standardisierte) Unterschied zwischen x̄ =
18, 48 und dem hypothetischen Wert 18, 3 ist daher
zbeob
x̄ − 18, 3
1̄8, 48 − 18, 3
√
=
=
=3
0.06
σ/ n
• Die Nullhypothese ist abzulehnen, falls es unter
der Standardnormalverteilung sehr unwahrscheinlich ist, einen Wert zu beobachten, der betragsmäßig größer oder gleich zbeob = 3 ist.
H0 wahr: Z ~ N(0,1)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
-3
Statistik_II@finasto
-2
-1
0
1
2
3
zbeob
6–3
Signifikanztest zum Signifikanzniveau α:
• Man bestimmt z1−α/2 , das 1 − α/2-Quantil der
Standardnormalverteilung. Wenn H0 : µ = 18, 3
√ , dass
richtig ist, so gilt für Z = X̄−18,3
σ/ n
P [|Z| > z1−α/2 ] = α,
d.h die Wahrscheinlichkeit, einen Wert zu beobachten, der betragsmäßig größer als z1−α/2 ist, ist
nur α
• Die Nullhypothese wird abgelehnt, falls
|zbeob | > z1−α/2
Die Menge aller Punkte z mit |z| > z1−α/2 heißt
auch „Ablehnungsbereich“ des Tests. H0 wird abgelehnt, wenn zbeob in den Ablehnungsbereich fällt.
• Die Nullhypothese wird dagegen angenommen, falls
|zbeob | ≤ z1−α/2
• In der Praxis spielen die Wahrscheinlichkeiten α =
0, 05 und α = 0, 01 eine herausragende Rolle.
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
0.4
0.3
Ablehnbereich
Ablehnbereich
0.2
0.1
0.0
-3
Statistik_II@finasto
-2
-z0.975
-1
0
1
2
z0.975
3
zbeob
6–4
Signifikanztest zum Niveau α=0.01
0.4
Ablehn0.3
bereich
Ablehnbereich
0.2
0.1
0.0
-3
-z0.995
-2
-1
0
1
2
3
zbeob
z0.995
Durchführung von Signifikanztests im Beispiel Qualitätskontrolle:
• Test zum Signifikanzniveau α = 0.05:
Es gilt z1−α/2 = z0.975 = 1.96
⇒ |zbeob | = 3 > 1.96 = z1−α/2
⇒ Ablehnung der Nullhypothese;
• Test zum Signifikanzniveau α = 0.01:
Es gilt z1−α/2 = z0.995 = 2.576
⇒ |zbeob | = 3 > 2.576 = z1−α/2
⇒ Ablehnung der Nullhypothese
Für beide Signifikanzniveaus führt also der zugehörige Signifikanztest zur Ablehnung der Hypothese, dass
µ = 18, 3. Man wird daraus schließen, dass sich die
Maschine wohl tatsächlich dejustiert hat, und dass eine Neujustierung vorgenommen werden sollte.
Statistik_II@finasto
6–5
6.2
Allgemeine Prinzipien eines statistischen Signifikanztests
1. Schritt
• Quantifizierung des inhaltlichen Problems und
Darstellung als statistisches Testproblem
• Formulierung von Nullhypothese H0 und Alter native H1
Beispiel Qualitätskontrolle:
Inhaltliches Problem: Welche mittlere Länge besitzen
die Werkstücke der aktuellen Produktion? Entspricht
sie dem „Sollwert“ 18,3? Man testet
H0 : µ = 18, 3 gegen H1 : µ ̸= 18, 3
2. Schritt
• Bestimmung einer geeigneten Prüfgröße (oder
Teststatistik aus X1 , . . . , Xn . „Geeignet“ bedeutet hier, dass die jeweiligen Werte der Prüfgröße Rückschlüsse darauf zulassen, ob eher H0
oder H1 zutrifft, d.h. die Teststatistik muss sensibel für das Testproblem sein.
• Ermittlung der zugehörigen Prüfverteilung,
d.h. der Verteilung der Prüfgröße unter der Nullhypothese.
Statistik_II@finasto
6–6
Beispiel Qualitätskontrolle:
Eine geeignete Prüfgröße ist der empirische Mittelwert
√ .
X̄ bzw. der standardisierte Mittelwert Z = X̄−18,3
σ/ n
Sehr große oder sehr kleine Werte von Z sprechen eher
für H1 , während Werte nahe 0 eine Annahme von H0
nahelegen.
Prüfverteilung: Unter H0 gilt Z ∼ N (0, 1)
3. Schritt
Festlegung des Signifikanzniveaus α und Konstruktion des zugehörigen Ablehnungsbereichs:
• Die Wahrscheinlichkeit des Ablehnungsbereichs
unter H0 darf höchstens gleich α sein
• Die Berechnung der Grenze(n) des Ablehnungsbereichs, erfolgt über die entsprechenden Quantile der Prüfverteilung
Beispiel Qualitätskontrolle:
Ablehnungsbereich: |z| > z1−α/2
Hier ist z1−α/2 das 1 − α/2-Quantil der Standardnormalverteilung
z1−α/2 bestimmt die Grenzen des Ablehnungsbereichs
und wird auch kritischer Wert des Tests genannt.
Statistik_II@finasto
6–7
4. Schritt
Berechnung des realisierten Werts der Prüfgröße
aus den Daten und Entscheidung über Beibehaltung
oder Ablehnung der Nullhypothese:
• H0 wird beibehalten, falls der berechnete Wert
der Teststatistik nicht im Ablehnungsbereich
liegt (man sagt dann auch, dass der betreffende Wert im „Annahmebereich“ liegt).
• H0 wird abgelehnt, falls der berechnete Wert
der Prüfgröße tatsächlich im Ablehnungsbereich
liegt.
Beispiel Qualitätskontrolle:
Berechneter Wert der Prüfgröße: zbeob = 3; Signifikanztest zum Signifikanzniveau α = 5%
|zbeob | = 3 > 1.96 = z1−α/2
⇒ Ablehnung von H0
• Ein Testergebnis heißt „statistisch signifikant
zum Niveau α“, falls ein Test zum Signifikanzniveau α die Nullhypothese ablehnt.
• Ein Testergebnis heißt „statistisch nicht signifikant zum Niveau α“, falls ein Test zum Signifikanzniveau α die Nullhypothese beibehält.
Statistik_II@finasto
6–8
Die in der Praxis wichtigsten Werte von α sind α = 5%
und α = 1%. In den Anwendungen findet man häufig
folgende Sprachregelung, bei der das zugrundeliegende
Signifikanzniveau nicht mehr explizit erwähnt wird:
• Beibehaltung der Nullhypothese durch einen Test
zum Signifikanzniveau α = 0, 05 ⇒ „Testergebnis nicht signifikant“
• Ablehnung der Nullhypothese durch einen Test
zum Signifikanzniveau α = 0, 05 ⇒ „Testergebnis signifikant“
• Ablehnung der Nullhypothese durch einen Test
zum Signifikanzniveau α = 0, 01 ⇒ „Testergebnis hochsignifikant“
Statistik_II@finasto
6–9
Im Beispiel „Qualitätskontrolle“ führt ein Signifikanztest zum Niveau α = 5% zu einer Ablehnung der
Nullhypothese, da der aus den Daten berechnete Wert
zbeob = 3 im Ablehnungsbereich liegt (das Ergebnis ist
sogar hochsignifikant, da auch ein Test zum Niveau
α = 1% die Hypothese ablehnt).
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
0.4
0.3
Ablehnbereich
Ablehnbereich
0.2
Annahmebereich
0.1
0.0
-3
-2
-z0.975
-1
0
1
2
z0.975
3
zbeob
Nehmen wird jedoch z.B. an, dass die Daten für eine
zweite Maschine auf zbeob = 0, 5 führen, so lautet die
Entscheidung auf Beibehaltung der Nullhypothese.
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
0.4
0.3
Ablehnbereich
Ablehnbereich
0.2
Annahmebereich
0.1
0.0
-3
-2
-z0.975
-1
0
zbeob
1
2
z0.975
3
Das in diesem Beispiel verwendete Testverfahren wird
als Gauß-Test bezeichnet.
Statistik_II@finasto
6–10
6.3
Fehlentscheidungen
Fehler 1. Art, Fehler 2. Art
In einem statistischen Testproblem H0 gegen H1 und
einem geeigneten statistischen Test (≡ statistisches
Entscheidungsverfahren) spricht man von einem
• Fehler 1. Art, wenn H0 verworfen wird, obwohl
H0 wahr ist
• Fehler 2. Art, wenn H0 beibehalten wird, ob
wohl H1 wahr ist
Folgende Ausgänge eines statistischen Tests sind möglich:
Wahrer Zustand
Testentscheidung
H0 trifft zu
H0 trifft nicht zu
(H1 trifft zu)
Richtige
Fehler 2. Art
abgelehnt: “H0 ”
Entscheidung
(β-Fehler)
H0 wird
Fehler 1. Art
Richtige
(α-Fehler)
Entscheidung
H0 wird nicht
abgelehnt: “H1 ”
Statistik_II@finasto
6–11
Analogie: Mordprozess
In einem Gerichtsprozess wird ein Angeklagter beschuldigt, einen Mord begangen zu haben.
Nullhypothese: Angeklagter ist unschuldig
Alternative: Angeklagter ist schuldig
Gerichtsprozess ⇔ Test
Entscheidung
Freispruch
Verurteilung
Wirklichkeit
Angeklagter
Angeklagter
unschuldig
schuldig
Richtige
Fehler
Entscheidung
β
Fehler
Richtige
α
Entscheidung
„Unschuldsvermutung“: Die Schuld des Angeklagten
muss bewiesen werden. Die Nullhypothese ist nur dann
abzulehnen, wenn gewichtiges Beweismaterial präsentiert wird. Der Prozess muss so angelegt sein, dass die
Wahrscheinlichkeit α, eine unschuldige Person zu verurteilen, sehr klein ist.
Statistik_II@finasto
6–12
Im Rahmen eines Signifikanztests werden die beiden
Fehlertypen unterschiedlich behandelt. Nur die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers 1. Art wird durch das Signifikanzniveau α kontrolliert.
Signifikanztest
Ein statistischer Test heißt Test zum Signifikanzniveau α, 0 < α < 1, oder Signifikanztest, falls
P [H0 ablehnen | H0 wahr ] ≤ α,
oder mit anderen Worten
P [ Fehler 1. Art ] ≤ α,
Beispiel „Qualitätskontrolle“
(Gauß-Test):
√
Unter H0 : Z = n(X̄−18,3)
∼ N (0, 1)
σ
Ablehnungsbereich: |z| > z1−α/2
⇒ P [ Fehler 1. Art ] = P [|Z| > z1−α/2 ] = α
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
N(0,1)
0.4
0.3
Ablehnbereich
α/2=0,025
Ablehnbereich
α/2=0,025
0.2
0.1
0.0
-3
Statistik_II@finasto
-2
-z0.975
-1
0
1
2
z0.975
3
6–13
• Wenn H1 wahr ist, so hängt die Wahrscheinlichkeit β eines Fehlers 2. Art von dem wahren Parameterwert ab.
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Gauß-Test):
Sei H1 wahr
und µ = 18, 36 wahrer Parameterwert
√
⇒ Z = n(X̄−18,3)
∼ N (1, 1)
σ
⇒ β = P [|Z| ≤ z1−α/2 |µ = 18, 36] = 0, 832
H1 wahr und µ=18,36: Z~N(1,1)
0.4
0.3
0.2
β
0.1
0.0
-2
-z0.975
0
2
4
z0.975
Sei H1 wahr
und µ = 18, 48 wahrer Parameterwert
√
⇒ Z = n(X̄−18,3)
∼ N (3, 1)
σ
⇒ β = P [|Z| ≤ z1−α/2 |µ = 18, 48] = 0, 127
H_1 wahr und µ=18,48: Z~N(3,1)
0.4
0.3
0.2
0.1
β
0.0
-2
-z0.975
Statistik_II@finasto
0
2
4
z0.975
6–14
• Es ist nicht möglich, beide Fehlerwahrscheinlichkeiten gleichzeitig beliebig klein zu machen. Je
kleiner α, desto größer die Wahrscheinlichkeit β
eines Fehlers 2. Art.
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Gauß-Test): Sei H1 wahr
und µ = 18, 48 wahrer Parameterwert ⇒ Z ∼ N (3, 1)
α = 0, 05 ⇒ β = P [|Z| ≤ z0,975 |µ = 18, 48] = 0, 127
| {z }
1,96
Niveau α=0,05 (H_1 wahr und µ=18,48)
0.4
0.3
0.2
0.1
β
0.0
-2
-z0.975
0
2
4
z0.975
α = 0, 01 ⇒ β = P [|Z| ≤ z0,995 |µ = 18, 48] = 0, 337
| {z }
2,576
Niveau α=0,01 (H 1 wahr, µ=18,48)
0.4
0.3
0.2
0.1
β
0.0
-2
-z0.995
Statistik_II@finasto
0
2
z0.995
4
6–15
• Für festes Signifikanzniveau wird β jedoch umso
kleiner, je größer der Stichprobenumfang n ist.
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Gauß-Test):
• H0 wahr: Unabhängig von n gilt Z =
N (0, 1)
√
n(X̄−18,3)
σ
⇒ P [ Fehler 1. Art ) = P [|Z| > z1−α/2 ] = α
• Sei H1 wahr und µ = 18, 36. Dann gilt
√
√ 1
n(X̄ − 18, 3)
Z=
∼ N ( n , 1)
σ
3
und es ergibt sich
Statistik_II@finasto
n=9
β = 0.832
n = 36
β = 0.484
n = 81
β = 0.127
n = 144
β = 0.021
6–16
∼
6.4
Statistische Tests und Konfidenzintervalle
Es besteht ein enger Zusammenhang zwischen Signifikanztests und der Konstruktion von Konfidenzintervallen.
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Gauß-Test):
Der in den vorangegangen Abschnitten besprochene
Signifikanztest beruht auf dem Ablehnungsbereich:
Lehne H0 : µ = 18, 3 ab, falls
√
n(x̄ − 18, 3) > z1−α/2
|zbeob | = σ
Man beachte nun, dass
√
n(x̄ − 18, 3) > z1−α/2
σ
σ
σ
√
√
⇔ 18, 3 ̸∈ [x̄ − z1−α/2
, x̄ + z1−α/2
]
n
n
Der Ablehnungsbereich des Tests kann daher in äquivalenter Weise auch folgendermaßen definiert werden:
Lehne H0 ab, falls
σ
σ
18, 3 ̸∈ [x̄ − z1−α/2 √ , x̄ + z1−α/2 √ ],
n
n
d.h. falls der hypothetische Wert 18,3 nicht im (realisierten) (1 − α)-Konfidenzintervall für µ liegt.
Statistik_II@finasto
6–17
Verallgemeinerung: Für einen Parameter θ betrachte man einen Test von
gegen H1 : θ ̸= θ0 ,
H0 : θ = θ0
wobei θ0 ein vorgegebener Wert sei (z.B. θ0 = 18, 3).
Konstruktion eines Signifikanztests auf der Basis eines Konfidenzintervalls:
• Testproblem
H 0 : θ = θ0
gegen H1 : θ ̸= θ0
• Symmetrisches (1 − α)-Konfidenzintervall
[Gu , Go ]
• Signifikanztest: Lehne H0 ab, falls
θ0 ̸∈ [gu , go ]
Dies ist ein Signifikanztest zum Niveau α, denn
falls H0 wahr ist, so gilt
P [Fehler 1.Art] = P [θ0 ̸∈ [Gu , Go ]| θ = θ0 ] = α
Statistik_II@finasto
6–18
6.5
Überschreitungswahrscheinlichkeit
(„p-Wert“)
• p-Werte bzw. Überschreitungswahrscheinlichkeiten
werden standardmäßig von statistischen Programmpaketen ausgegeben.
• Anstatt die Prüfgröße mit einem bestimmten kritischen Bereich zu vergleichen, um über die Ablehnung der Nullhypothese zu entscheiden, vergleicht
man den p-Wert direkt mit dem jeweiligen Signifikanzniveau
Gauß-Test (wie im Beispiel „Qualitätskontrolle“) :
Idee: Unter H0 gilt Z ∼ N (0, 1). Man berechnet aus
den Daten den realisierten Wert zbeob . Der p-Wert ist
nun die Wahrscheinlichkeit, unter der Standardnormalverteilung einen Wert zu beobachten, der betragsmäßig größer oder gleich zbeob ist. Für Z ∼ N (0, 1)
errechnet man
p-Wert = P [|Z| ≥ |zbeob |] = 2 · P [Z ≥ |zbeob |]
• p-Werte ergeben sich jeweils in Abhängigkeit von
den beobachteten Daten. Sie können als „Maß“ für
die Glaubwürdigkeit von H0 interpretiert werden.
Je kleiner der p-Wert, desto weniger glaubwürdig
ist die Nullhypothese
Statistik_II@finasto
6–19
Man beachte:
p-Wert = P [|Z| ≥ |zbeob |] und α = P [|Z| ≥ z1−α/2 ]
⇒|zbeob | > z1−α/2 , falls α > p-Wert
|zbeob | < z1−α/2 , falls α < p-Wert
• Für einen gegebenen Datensatz lässt sich aus dem
p-Wert ablesen, zu welchem Niveau α der zugehörige Signifikanztest die Nullhypothese gerade noch
verworfen hätte.
– Falls α > p-Wert, so gilt |zbeob | > z1−α/2 . Ein
Test zu einem Niveau α > p-Wert führt also
zur Ablehnung der Nullhypothese.
– Falls α < p-Wert, so gilt |zbeob | < z1−α/2 . Ein
Test zu einem Niveau α < p-Wert führt also
zur Beibehaltung der Nullhypothese.
Illustration: Sei zbeob = 1.77 ⇒ p-Wert = 0.076
α = 0, 1 > p-Wert ⇒ Ablehnung von H0
z0.95 =1.645<z beob
-z0.95 =-1.645
0.4
0.3
0.2
0.1
α/2=0.05
α/2=0.05
0.0
-2.5
Statistik_II@finasto
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
zbeob
2.5
3.0
6–20
α = 0, 076 = p-Wert
z0.962 =1.77=z beob
-1.77=-z beob
0.4
0.3
0.2
0.1
α/2=0.038
α/2=0.038
0.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
zbeob
2.5
3.0
α = 0, 02 < p-Wert ⇒ Annahme von H0
z0.99 =2.326>z beob
-z0.99 =-2.326
0.4
0.3
0.2
0.1
α/2=0.01
α/2=0.01
0.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
zbeob
Statistik_II@finasto
6–21
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Gauß-Test):
Der in diesem Beispiel tatsächlich beobachtete Wert
ist zbeob = 3.
⇒ p-Wert = P [|Z| ≥ 3] = 2 · P [Z ≥ 3] = 0, 0026
Aus p-Wert = 0, 0026 lässt sich direkt schließen, dass
sowohl ein Test zum Signifikanzniveau α = 0, 05 als
auc ein Test zum Niveau α = 0, 01 zur Ablehnung von
H0 führen. Das Testergebnis ist „hochsignifikant“.
p-Werte lassen sich für ein beliebiges Testproblem einer Nullhypothese H0 gegen eine Alternative H1 bestimmen.
p-Wert (Allgemeine Definition)
Der p-Wert ist definiert als die Wahrscheinlichkeit,
unter H0 den beobachteten Prüfgrößenwert oder
einen in Richtung der Alternative extremeren Wert
zu erhalten.
p-Wert und Signifikanztests
Sei α ∈ (0, 1). Falls α >p-Wert, so führt der zugehörige Signifikanztest zum Niveau α zur Ablehnung
von H0
Statistik_II@finasto
6–22
6.6
Einseitige Tests
Je nach Struktur von Nullhypothese und Alternative sind bei statistischen Testproblemen weitere Unterscheidungen üblich.
Beispiel „Qualitätskontrolle“:
Inhaltliches Problem: Welche mittlere Länge besitzen
die Werkstücke der aktuellen Produktion? Entspricht
sie dem „Sollwert“ 18,3? Man testet
H0 : µ = 18, 3 gegen H1 : µ ̸= 18, 3
Man spricht hier von einem „zweiseitigen Testproblem“.
Andererseits könnte es z.B. sein, dass man weiß, dass
aus technischen Günden eine Dejustierung nur zu einem µ > 18, 3 führen kann. In einem solchen Fall wäre
es sinnvoll, das Testproblem als Test von
H0 : µ = 18, 3 gegen H1 : µ > 18, 3
zu formulieren. Man spricht man dann von einem „einseitigen Testproblem“.
Statistik_II@finasto
6–23
Einseitige und zweiseitige Testprobleme
Ein zweiseitiges Testproblem ist von der Form
H0 : „=“gegen H1 : „̸=“
Testprobleme der Form
H0 : „=“ gegen H1 : „>“
oder
H0 : „=“ gegen H1 : „<“
heißen einseitig.
Bestehen H0 bzw. H1 nur aus einem einzelnen
Punkt, so spricht man von einer einfachen Hypothese bzw. Alternative. Umfassen H0 bzw. H1 mehrere Punkte, so spricht man von zusammengesetzten Hypothesen bzw. Alternativen.
• Die Entscheidung über den Typ des Testproblems
ist in jeder Anwendung in Abhängigkeit von der
zugrundeliegenden Fragestellung zu treffen.
• Die Unterscheidung zwischen einseitigen und zweiseitigen Testproblemen ist wichtig für die Durchführung eines Signifikanztests, da jeweils unterschiedliche Ablehnungsbereiche zu definieren sind.
Statistik_II@finasto
6–24
Gauß-Test:
Man betrachte das einseitige Testproblem
H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ > µ0 ,
wobei µ0 ein vorgegbener Wert sei (z.B. µ0 = 18, 3)
Als Prüfgröße wird wiederum
der standardisierte em√
0)
pirische Mittelwert Z = n(X̄−µ
benutzt.
σ
√
n(X̄ − µ0 )
Unter H0 : Z =
∼ N (0, 1)
σ
Im Unterschied zu einem zweiseitigen Testproblem ist
hier H0 nur dann abzulehnen, falls der beobachtete
Wert zbeob zu groß ist.
Signifikanztest zum Niveau α: Lehne H0 ab, falls
zbeob > z1−α
Unter H0 :
P [Fehler 1. Art] = P [Z > z1−α ] = α
Der p-Wert des einseitigen Tests ergibt sich als
p-Wert = P [Z ≥ zbeob ]
Test ( α=0.05) von H 0 :µ=µ 0 gegen H 1 :µ>µ0
0.4
Ablehnbereich
0.3
0.2
0.1
Annahmebereich
0.0
-3
Statistik_II@finasto
-2
-1
0
1
2
z0.95
3
6–25
Illustration: Sei zbeob = 1.77 ⇒ p-Wert = 0.038
z0.962 =1.77=z beob
0.4
0.3
0.2
0.1
0.038
0.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
zbeob
2.5
3.0
Beispiel „Qualitätskontrolle“:
Wir betrachten das einseitige Testproblem
H0 : µ = 18, 3 gegen H1 : µ > 18, 3
Aus den Daten ergibt sich wiederum zbeob = 3
• (Einseitiger) Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
zbeob = 3 > z0,95 = 1, 645
⇒ Ablehnung von H0
• p-Wert des einseitigen Tests
p-Wert = P [Z ≥ 3] = 0, 0013
Hieraus folgt, dass auch z.B. ein Test des Niveaus
α = 0, 01 die Nullhypothese ablehnt. Das Testergebnis ist hochsignifikant.
Statistik_II@finasto
6–26
Anmerkung: Bei einem Test von H0 : µ ≤ µ0 gegen H1 : µ > µ0 sind die Ablehnungsbereiche bzw.
p-Werte die gleichen wie beim Test von H0 : µ = µ0
gegen H1 : µ > µ0 .
• Falls H0 wahr und µ = µ0 , so gilt Z ∼ N (0, 1)
⇒ P [Fehler 1.Art] = P [Z ≥ z1−α ] = α
• Falls H0 wahr und µ < µ0 , so gilt Z =
√
0)
N ( n(µ−µ
, 1)
σ
√
n(X̄−µ0 )
σ
∼
und
P [Fehler 1.Art] = P [Z ≥ z1−α ] < α
• Unter H0 gilt also in jedem Fall
P [Fehler 1.Art] = P [Z ≥ z1−α ] ≤ α
Vorgehen bei einem Test von H0 : µ = µ0 (bzw. H0 :
µ ≥ µ0 gegen H1 : µ < µ0 :
Signifikanztest zum Niveau α: Lehne H0 ab, falls
zbeob < −z1−α
p-Wert = P [Z ≤ zbeob ],
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Z ∼ N (0, 1)
6–27
6.7
Überblick: Gauß-Test
Gauß-Test
Annahmen:
X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit
X ∼ N (µ, σ 2 ) (bzw. beliebig verteilt bei großem n);
Varianz σ 2 bekannt
Hypothesen:
(1) H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ ̸= µ0
(2) H0 : µ = µ0 (bzw. H0 : µ ≤ µ0 ) gegen H1 : µ > µ0
(3) H0 : µ = µ0 (bzw. H0 : µ ≥ µ0 ) gegen H1 : µ < µ0
Teststatistik:
√
Z=
n(X̄ − µ0 )
σ
unter H0 : Z ∼ N (0, 1)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |zbeob | > z1−α/2
(2) zbeob > z1−α
(3) zbeob < −z1−α
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für Z ∼ N (0, 1)
(1) p-Wert = P [|Z| ≥ |zbeob |] = 2 · P [Z ≥ |zbeob |]
(2) p-Wert = P [Z ≥ zbeob ]
(3) p-Wert = P [Z ≤ zbeob ]
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6–28
7
Spezielle Testprobleme
In diesem Kapitel werden wichtige Testverfahren zu einigen statistischen Standardproblemen behandelt. Zur
Einführung werden kurz die zugehörigen Problemstellungen und Datensituationen skizziert.
Ein-Stichproben-Fall: Zufallsstichprobe X1 , . . . , Xn
eines einzelnen Merkmals X
• Wichtige Fragestellungen betreffen oft die Lage
des Zentrums der Verteilung. Typische Testprobleme beinhalten dann den Vergleich des wahren
Mittelwerts von X mit einem vorgegebenen Wert
⇒ Gauß-Test (Kap. 6), t-Test im Falle von unbekannten Varianzen (Kap. 7.1) oder approximativer Binomialtest (Kap. 7.2)
Zwei unabhängige Stichproben: Ein interessierendes Merkmal wird unter zwei unterschiedlichen Bedingungen bzw. in unterschiedlichen Teilgesamtheiten
getrennt erhoben. Es ergeben sich zwei unabhängige
Stichproben X1 , . . . , Xn und Y1 , . . . , Yn .
Beispiel: X- Einkommen von Männern,
Y -Einkommen von Frauen
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7–1
• Ein wichtiges Problem besteht darin zu testen, ob
beide Verteilungen „im Mittel“ gleich sind. ⇒ tTest (Zwei-Stichproben-Fall; Kap. 7.3)
Zwei verbundene Stichproben: Ein interessierendes Merkmal wird unter zwei unterschiedlichen Bedingungen (X und Y ) an denselben Untersuchungseinheiten erhoben. Es ergeben sich verbundene Messungen
(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ).
Beispiel: X- Umsatz vor einer Werbekampagne,
Y -Umsatz nach einer Werbekampagne
• Vergleich der Mittelwerte ⇒ t-Test für verbundene Stichproben (Kap. 7.4)
Zusammenhangsanalyse: Analyse des Zusammenhangs zweier verschiedener Merkmale X und Y anhand von Messungen (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ).
Beispiel: X - Alter, Y - Einkommen
• X, Y diskret, Test auf Unabhängigkeit ⇒ χ2 Unabhängigkeitstest (Kap. 7.5)
• X, Y metrisch skaliert ⇒ lineare Einfachregression (Kap. 8)
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7–2
7.1
Der t-Test (Ein-Stichproben-Fall)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt,
Xi ∼ N (µ, σ 2 ) mit unbekannter Varianz σ 2 .
Wir betrachten wiederum das Problem zu testen, ob
man annehmen kann, dass der wahre Mittelwert µ
gleich einem hypothetischen Wert µ0 ist (z.B. µ0 =
18, 3).
Das grundsätzliche Vorgehen ist analog zum GaußTest. Allerdings ist es notwendig, die unbekannte Varianz σ 2 aus den Daten zu schätzen. Als Teststatistik
benutzt man daher
√
n
∑
1
n(X̄ − 18, 3)
T =
mit S 2 =
(Xi − X̄)2
S
n − 1 i=1
Falls H0 : µ = µ0 wahr ist, so gilt
T ∼ t(n − 1),
d.h. T folgt einer t-Verteilung mit n − 1 Freiheitsgraden.
Der Ablehnbereich eines Signifikanztests berechnet sich
daher aus den jeweiligen Quantilen der t-Verteilung
mit n − 1 Freiheitsgraden
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7–3
Beispiel „Qualitätskontrolle“ (Fortsetzung):
Man nehme an, dass bei Übermittlung der Daten die
Information σ = 0.18 vergessen wurde. Die Varianz
ist in diesem Falle unbekannt.
Testproblem: H0 : µ = 18, 3 gegen H1 : µ ̸= 18, 3
Man erhält: x̄ = 18, 48, s = 0, 131
√
n(x̄ − 18, 3)
3 · 0, 180
⇒ tbeob =
=
= 4, 12
s
0, 131
• Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
tbeob = 4, 12 > t0,975;8 = 2, 306
⇒ Ablehnung von H0
• Mit T ∼ t(8) berechnet sich der p-Wert durch
p-Wert = P [|T | ≥ 4.12] = 2 · P [T ≥ 4, 12]
Aus den Tabellen ist zu entnehmen, dass
0, 01 > p-Wert > 0, 002
(der exakte p-Wert ist 0,0046). Hieraus folgt, dass
auch z.B. ein Test des Niveaus α = 0, 01 die Nullhypothese ablehnt. Das Testergebnis ist hochsignifikant.
Statistik_II@finasto
7–4
Beispiel „Qualitätskontrolle“: grafische Illustration eines t-Tests zum Niveau α = 0, 05
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
0.4
t(8)
0.3
0.2
Ablehnbereich
α/2=0,025
Ablehnbereich
α/2=0,025
0.1
0.0
-4
-t0.975-2(8)
0
2
t0.975 (8)
4
tbeob
Beispiel „Qualitätskontrolle“: grafische Illustration des
p-Werts
p-Wert = P [|T | ≥ 4.12] = 2 · P [T ≥ 4, 12] = 0, 0046
p-Wert=0,0046
0.4
t(8)
0.3
0.2
0.1
0,0023
0,0023
0.0
-4
Statistik_II@finasto
-2
0
2
4
tbeob =4,12
7–5
t-Test (Ein-Stichproben-Fall)
Annahmen:
X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit
Xi ∼ N (µ, σ 2 ) (bzw. beliebig verteilt bei großem n);
Varianz σ 2 unbekannt
Hypothesen:
(1) H0 : µ = µ0 gegen H1 : µ ̸= µ0
(2) H0 : µ = µ0 (bzw. H0 : µ ≤ µ0 ) gegen H1 : µ > µ0
(3) H0 : µ = µ0 (bzw. H0 : µ ≥ µ0 ) gegen H1 : µ < µ0
Teststatistik:
√
n(X̄ − µ0 )
T =
S
n
∑
1
mit S 2 =
(Xi − X̄)2
n − 1 i=1
unter H0 : T ∼ t(n − 1)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |tbeob | > t1−α/2;n−1
(2) tbeob > t1−α;n−1
(3) tbeob < −t1−α;n−1
Für n > 100 ersetze t-Quantile durch N (0, 1)-Quantile
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für T ∼ t(n − 1)
(1) p-Wert = P [|T | ≥ |tbeob |] = 2 · P [T ≥ |tbeob |]
(2) p-Wert = P [T ≥ tbeob ]
(3) p-Wert = P [T ≤ tbeob ]
Statistik_II@finasto
7–6
7.2
Der approximative Binomialtest
Dichotome Grundgesamtheit: X ∼ Bernoulli(p)
⇒ E(X) = P [X = 1] = p,
σ 2 = Var(X) = p(1 − p)
∑n
Für n unabhängige Wiederholungen ist i=1 Xi binomialverteilt. Einen Schätzer für p = µ erhält man
aus der relativen Häufigkeit:
1∑
p̂ = X̄ =
Xi
n i=1
n
Testproblem: Kann man annehmen, dass der wahre
Anteilswert p gleich einem hypothetischen Wert p0 ist
(z.B. p0 = 50%)?
Beispiel: Meinungsforschung (Fortsetzung)
Frage: Welcher Anteil p der Bevölkerung ist „für“ eine
bestimmte wirtschaftspolitische Maßnahme der Bundesregierung?
Datenerhebung: Befragung von n = 1000 zufällig
ausgewählten Bürgerinnen und Bürgern. Von den befragten Personen waren 513 für die Maßnahme
⇒ p̂ = 0.513
Kann man hieraus schließen, dass eine Mehrheit der
Bevölkerung für die Maßnahme der Bundesregierung
ist?
Statistik_II@finasto
7–7
Aus dem zentralen Grenzwertsatzes lässt sich schließen, dass für großes n approximativ
p̂ − p
√
∼ N (0, 1)
p(1 − p)/n
Falls also H0 : p = p0 gültig ist, so gilt approximativ
p̂ − p0
√
∼ N (0, 1)
p0 (1 − p0 )/n
Prüfgröße des approximativen Binomialtests:
p̂ − p0
Z=√
p0 (1 − p0 )/n
Diese Teststatistik ist offensichtlich „sensibel“ für das
Testproblem. Sehr große (bzw. sehr kleine) Werte von
z sprechen für eine Ablehnung von H0 : p = p0 .
Prüfverteilung: Falls p = p0 , so gilt Z ∼ N (0, 1)
Ablehnbereiche für ein- oder zweiseitige Signifikanztests sowie p-Werte berechnen sich vollkommen analog
wie im Fall eines Gauß-Tests.
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7–8
Approximativer Binomialtest
Annahmen:
X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt mit
X ∼ Bernoulli(p);
großer Stichprobenumfang
(Faustregel: n ≥ 30, np0 > 5, n(1 − p0 ) > 5)
Hypothesen:
(1) H0 : p = p0 gegen H1 : p ̸= p0
(2) H0 : p = p0 (bzw. H0 : p ≤ p0 ) gegen H1 : p > p0
(3) H0 : p = p0 (bzw. H0 : p ≥ p0 ) gegen H1 : p < p0
Teststatistik:
Z= √
p̂ − p0
p0 (1 − p0 )/n
Approximative Verteilung unter H0 : Z ∼ N (0, 1)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |zbeob | > z1−α/2
(2) zbeob > z1−α
(3) zbeob < −z1−α
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für Z ∼ N (0, 1)
(1) p-Wert = P [|Z| ≥ |zbeob |] = 2 · P [Z ≥ |zbeob |]
(2) p-Wert = P [Z ≥ zbeob ]
(3) p-Wert = P [Z ≤ zbeob ]
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7–9
Beispiel: Meinungsforschung (Fortsetzung)
Aus der Fragestellung ergibt sich folgendes (einseitiges) Testproblem:
H0 : p ≤ 0, 5 gegen H1 : p > 0, 5
Man erhält:
zbeob
√
p̂ − p0
1000 · (0, 513 − 0, 5)
=√
=
= 0, 82
0,
5
p0 (1 − p0 )/n
• Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
zbeob = 0, 822 < z0,95 = 1, 645
⇒ Beibehaltung von H0
• Mit Z ∼ N (0, 1) berechnet sich der p-Wert durch
p-Wert = P [Z ≥ 0, 822] = 0, 206
Das Testergebnis ist nicht signifikant.
p-Wert=0,206
0.4
0.3
0.2
0.1
0.206
0.0
-2.5
-2.0
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
zbeob =0,822
Statistik_II@finasto
7–10
7.3
Vergleiche aus unabhängigen Stichproben
Im folgenden werden zwei Merkmale X und Y unterschieden, deren Verteilungen wir vergleichen wollen.
Von besonderem Interesse sind üblicherweise Unterschiede in den Zentren der Verteilungen, d.h. eventuelle Unterschiede der Mittelwerte.
Wir betrachten zunächst den Fall, dass sich die Daten
als unabhängige Realisationen ergeben, d.h.
X1 , . . . , Xn unabhängig und ident. verteilt wie X
Y1 , . . . , Ym unabhängig und ident. verteilt wie X
Alle Xi und Yj sind voneinander unabhängig
Beispiel: Kaffee und Schreibgeschwindigkeit
In einem Experiment wurde der Einfluss von Koffein auf die Schreibgeschwindigkeit auf einer ComputerTastatur gemessen. 20 trainierte Probanden wurden
zufällig in zwei Gruppen von jeweils 10 Personen aufgeteilt. Während die erste Gruppe keine Getränke erhielt, wurde der zweiten Gruppe 200 mg Koffein in
Form von mehreren Tassen Kaffee verabreicht. Danach wurden bei jedem Probanden die Zahl der Anschläge pro Minute auf der Computer-Tastatur gemessen.
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7–11
kein Koffein (X)
200 mg Koff. (Y)
⇒ x̄ = 244, 8,
ȳ = 248, 3,
242
245
244
248
242
244
246
242
246
248
250
252
246
248
245
250
√
247
248
248
250
∑10
2
sX =
i=1 (xi − x̄) = 2, 39
√
∑10
1
sY = n−1 i=1 (yi − ȳ)2 = 2, 21
1
n−1
Frage: Gibt es „im Mittel“ einen Unterschied zwischen
der Schreibgeschwindigkeit mit und ohne Koffein?
Allgemein betrachtet man bei einem zweiseitigen Testproblem das Hypothesenpaar
H0 : µX = µY gegen H1 : µX ̸= µY
oder äquivalent
H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
• X̄ − Ȳ erwartungstreuer Schätzer von µX − µY
• Voraussetzung: X̄ und Ȳ normalverteilt
2
X̄ ∼ N (µX , σX
/n),
Ȳ ∼ N (µY , σY2 /m)
• X̄ und Ȳ sind voneinander unabhängig
(
)
2
2
σX
σY
⇒ X̄ − Ȳ ∼ N µX − µY ,
+
n
m
Statistik_II@finasto
7–12
Das weitere Vorgehen hängt nun von dem Vorwissen
über die Werte von σX und σY ab.
• σX und σY bekannt
– Teststatistik
X̄ − Ȳ
Z=√ 2
2
σX
σY
n + m
– unter H0 : Z ∼ N (0, 1)
⇒ Ablehnbereiche, p-Werte
Im Falle von unbekannten Varianzen sind zwei Fälle
zu unterscheiden.
• unbekannte aber gleiche Varianzen, σX = σY
∑n
1
2
– Man bestimmt SX = n−1 i=1 (Xi − X̄)2 ,
∑m
1
2
SY = m−1 i=1 (Yi − Ȳ )2 und
2
(n − 1)SX
+ (m − 1)SY2
S =
n+m−2
2
S 2 benutzt beide Stichproben zur Schätzumg
2
der gemeinsamen Varianz σ 2 = σX
= σY2 (S 2
2
ist wirksamer als die Einzelschätzer SX
, SY2 ).
– Teststatistik
T =
X̄ − Ȳ
√
S 1/n + 1/m
– unter H0 : T ∼ t(n + m − 2)
Statistik_II@finasto
7–13
• unbekannte Varianzen, σX , σY (allgemeiner Fall)
– Teststatistik
X̄ − Ȳ
√
T =
2
2
SX
SY
n + m
∑n
1
2
mit SX = n−1 i=1 (Xi − X̄)2 ,
∑m
1
2
SY = m−1 i=1 (Yi − Ȳ )2
– unter H0 : T ∼ t(k),
wobei k die größte ganze Zahl mit
(
)
2
2
2
SX
SY2 2
1
SX
1
S
k≤(
+
) /
(
)2 +
( Y )2
n
m
n−1 n
m−1 m
ist.
⇒ Ablehnbereiche, p-Werte
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7–14
Vergleich der Erwartungswerte, bekannte Varianzen
Annahmen:
Zwei unabhängige Stichproben X1 , . . . , Xn und
Y1 , . . . , Ym (X, Y normalverteilt bzw. n, m groß);
2
σX
und σY2 bekannt
Hypothesen:
(1) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
(2) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY > 0
(3) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY < 0
Teststatistik:
Z= √
X̄ − Ȳ
2
σX
n
+
2
σY
m
Verteilung unter H0 : Z ∼ N (0, 1)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |zbeob | > z1−α/2
(2) zbeob > z1−α
(3) zbeob < −z1−α
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für Z ∼ N (0, 1)
(1) p-Wert = P [|Z| ≥ |zbeob |] = 2 · P [Z ≥ |zbeob |]
(2) p-Wert = P [Z ≥ zbeob ]
(3) p-Wert = P [Z ≤ zbeob ]
Statistik_II@finasto
7–15
t-Test (Zwei-Stichproben-Fall)
Spezialfall: gleiche Varianzen
Annahmen:
Zwei unabhängige Stichproben X1 , . . . , Xn und
Y1 , . . . , Ym (X, Y normalverteilt bzw. n, m groß);
2
σX
= σY2 unbekannt
Hypothesen:
(1) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
(2) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY > 0
(3) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY < 0
Teststatistik:
X̄ − Ȳ
T = √
S 1/n + 1/m
2
(n − 1)SX
+ (m − 1)SY2
mit S =
n+m−2
2
Verteilung unter H0 : T ∼ t(n + m − 2)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |tbeob | > t1−α/2;n+m−2
(2) zbeob > t1−α;n+m−2
(3) zbeob < −t1−α;n+m−2
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für T ∼ t(n + m − 2)
(1) p-Wert = P [|T | ≥ |tbeob |] = 2 · P [T ≥ |tbeob |]
(2) p-Wert = P [T ≥ tbeob ]
(3) p-Wert = P [T ≤ tbeob ]
Statistik_II@finasto
7–16
t-Test (Zwei-Stichproben-Fall)
Annahmen:
Zwei unabhängige Stichproben X1 , . . . , Xn und
Y1 , . . . , Ym (X, Y normalverteilt bzw. n, m groß);
2
σX
und σY2 unbekannt
Hypothesen:
(1) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
(2) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY > 0
(3) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY < 0
Teststatistik:
T = √
X̄ − Ȳ
;
2
2
SX /n + SY /m
unter H0 : T ∼ t(k)
k gößte ganze Zahl( mit
S2
S2
S2
1
k ≤ ( nX + mY )2 / n−1
( nX )2 +
2
SY
1
(
m−1 m
2
)
)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |tbeob | > t1−α/2;n+m−2
(2) zbeob > t1−α;n+m−2
(3) zbeob < −t1−α;n+m−2
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für T ∼ t(n + m − 2)
(1) p-Wert = P [|T | ≥ |tbeob |] = 2 · P [T ≥ |tbeob |]
(2) p-Wert = P [T ≥ tbeob ]
(3) p-Wert = P [T ≤ tbeob ]
Statistik_II@finasto
7–17
Beispiel: Kaffee und Schreibgeschwindigkeit (Fortsetzung)
Frage: Gibt es „im Mittel“ einen Unterschied zwischen
der Schreibgeschwindigkeit mit und ohne Koffein?
Testproblem:
H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
Die Varianzen von X und Y sind unbekannt. Wir wenden daher den t-Test an.
Wert der Teststatistik:
tbeob = √
x̄ − ȳ
s2X
n
+
s2Y
m
244, 8 − 248, 3
=√
= −3, 40
(2,21)2
(2,39)2
+ 10
10
Freiheitsgrade für den t-Test:
(
)
2
2
2
2
s
1
s
1
s
s
( X )2 +
( Y )2 = 17, 89
( X + Y )2 /
n
m
n−1 n
m−1 m
⇒ unter H0 : T ∼ t(17)
• Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
|tbeob | = 3, 40 > t0,975;17 = 2, 110
⇒ Ablehnung von H0
• Mit T ∼ t(17) berechnet sich der p-Wert durch
p-Wert = P [|T | ≥ 3.40] = 2 · P [T ≥ 3, 40]
Statistik_II@finasto
7–18
Aus den Tabellen ist zu entnehmen, dass
0, 01 > p-Wert > 0, 002
(der exakte p-Wert ist 0,0033). Hieraus folgt, dass
auch z.B. ein Test des Niveaus α = 0, 01 die Nullhypothese ablehnt. Das Testergebnis ist hochsignifikant.
Grafische Illustrationen:
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
0.4
t(17)
0.3
0.2
Ablehnbereich
α/2=0,025
Ablehnbereich
α/2=0,025
0.1
0.0
-4
-2
tbeob -t0.975 (17)
0
2
4
2
4
t0.975 (17)
p-Wert=0,0032
0.4
t(17)
0.3
0.2
0.1
0.0
-4
-2
0
tbeob =-3,4
Statistik_II@finasto
7–19
7.4
Vergleiche aus verbundenen Stichproben
Verbundene Stichproben: Ein interessierendes Merkmal wird unter zwei unterschiedlichen Bedingungen
(X und Y ) an denselben Untersuchungseinheiten erhoben.
Stichprobenvariablen (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )
X1 , . . . , Xn unabhängig und ident. verteilt wie X
Y1 , . . . , Ym unabhängig und ident. verteilt wie Y
Xi und Yi sind jeweils voneinander abhängig,
(Xi , Yi ) Messung an der gleichen Untersuchungseinheit
Beispiel: Werbekampgane
Die nachfolgende Tabelle gibt die wöchentlichen Umsätze (in 10000 Euro) von 6 Filialen einer Handelskette
vor und nach einer Werbekampagne wieder.
Filiale
1
2
3
4
5
6
vor W.k. (X)
18,5
15,6
20,1
17,2
21,1
19,3
nach W.k. (Y)
20,2
16,6
19,8
19,3
21,9
19,0
⇒ x̄ = 18, 63, ȳ = 19, 47
Frage: War die Werbekampagne erfolgreich? Hat sie
zu „signifikant“ höheren Umsätzen geführt?
Statistik_II@finasto
7–20
• Die im vorangegengen Abschnitt vorgestellten Tests
sind nicht anwendbar, da X̄ und Ȳ nicht unabhängig voneinander sind.
2
σX
σY2
Var(X̄ − Ȳ ) =
+
− 2 Cov(X̄, Ȳ )
| {z }
n
n
̸=0
Ansatz: Zum Test z.B. des Hypothesenpaars
H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
betrachtet man die Differenzen Di = Xi − Yi .
• H0 entspricht der Hypothese µD = E(X −Y ) = 0,
die Alternative H1 lässt sich in der Form µD ̸= 0
schreiben.
⇒ Anwendung eines Ein-Stichproben t-Tests (mit
µ0 = 0) auf die Differenzen Di = Xi − Yi
• Teststatistik
√
nD̄
T =
SD
∑n
1
mit D̄ = n i=1 Di = X̄ −
∑n
1
2
SD = n−1 i=1 (Di − D̄)2
Ȳ ,
• unter H0 : T ∼ t(n − 1)
⇒ Ablehnbereiche, p-Werte
Statistik_II@finasto
7–21
t-Test (verbundene Stichproben)
Annahmen:
Verbundene Stichproben (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )
Xi und Yi voneinander abhängig
Hypothesen:
(1) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY ̸= 0
(2) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY > 0
(3) H0 : µX − µY = 0 gegen H1 : µX − µY < 0
Berechnung der Teststatistik über die Differenzen
Di = X i − Y i :
√
n
∑
1
nD̄
2
=
T =
mit SD
(Di − D̄)2
SD
n − 1 i=1
Verteilung unter H0 : T ∼ t(n − 1)
(D1 , . . . , Dn normalverteilt bzw. n groß)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
(1) |tbeob | > t1−α/2;n−1
(2) tbeob > t1−α;n−1
(3) tbeob < −t1−α;n−1
Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für T ∼ t(n − 1)
(1) p-Wert = P [|T | ≥ |tbeob |] = 2 · P [T ≥ |tbeob |]
(2) p-Wert = P [T ≥ tbeob ]
(3) p-Wert = P [T ≤ tbeob ]
Statistik_II@finasto
7–22
Beispiel: Werbekampgane (Fortsetzung)
Frage: War die Werbekampagne erfolgreich? Hat sie
zu „signifikant“ höheren Umsätzen geführt?
Testproblem:
H0 : µX − µY ≥ 0 gegen H1 : µX − µY < 0
In einem ersten Schritt ist eine Berechnung der Differenzen di = xi − yi notwendig.
Filiale
1
2
3
4
5
6
Diff. (D)
-1,7
-1,0
0,3
-2,1
-0,8
-1,5
⇒ d¯ = −0, 833, sD = 0, 995
Wert der Teststatistik:
√ ¯ √
nd
6 · −0, 833
tbeob =
=
= −2, 051
sD
0, 995
⇒ unter H0 : T ∼ t(17)
• Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
tbeob = −2, 051 < −t0,95;5 = −2, 015
⇒ Ablehnung von H0
• Mit T ∼ t(5) berechnet sich der p-Wert durch
p-Wert = P [T ≤ −2, 051] = 0, 048
Hieraus folgt, dass ein Test des Niveaus α = 0, 01
die Nullhypothese beibehält. Das Testergebnis
ist nur „knapp“ signifikant.
Statistik_II@finasto
7–23
Grafische Illustrationen:
Signifikanztest zum Niveau α=0.05
-t0,95 (5)
0.4
0.3
0.2
t(5)
Ablehnbereich
α=0,05
0.1
0.0
-4
-2
0
2
4
2
4
tbeob
p-Wert=0,048
0.4
t(5)
0.3
0.2
0.1
0,048
0.0
-4
-2
0
tbeob =-2,051
Statistik_II@finasto
7–24
7.5
χ2 -Unabhängigkeitstest
Wir betrachten nun die Analyse des Zusammenhangs
zweier Merkmale X und Y . Ausgangspunkt sind unabhängige Wiederholungen (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) der
Zufallsgröße (X, Y ).
Für diskrete Merkmale X und Y erhält man eine sinnvolle Zusammenfassung durch Berechnung einer Kontingenztabelle. Besitzen X bzw. Y genau k bzw. m
mögliche Ausprägungen a1 , . . . , ak bzw. b1 , . . . , bm , ergibt sich eine (k × m) Kontingenztabelle der Form:
X\Y
b1
...
bm
a1
..
.
h11
..
.
...
h1m
..
.
h1·
..
.
ak
hk1
...
hkm
hk·
h·1
...
h·m
n
Hier bezeichnet hij jeweils die absolute Häufigkeit von
Beobachtungen mit den Ausprägungen X = ai und
Y = bj .
Testproblem:
H0 : „X und Y sind unabhängig“
gegen H1 : „X und Y sind nicht unabhängig“
Statistik_II@finasto
7–25
Beispiel: Qualifikation - Arbeitslosigkeit
2 × 2 Kontingenztabelle
X - berufliche Qualifikation (niedrig, hoch)
Y - Arbeitslosigkeit (ja, nein)
n=100 Personen
Kontingenztabelle in absoluten Häufigkeiten:
Arbeitslosigkeit Y
Qualifikation X
ja (b1 )
nein (b2 )
RV X
niedrig (a1 )
10
35
45 (h1• )
hoch (a2 )
2
53
55 (h2• )
RV Y
12 (h•1 )
88 (h•2 )
100 (n)
Statistik_II@finasto
7–26
Mathematisch lässt sich H0 folgendermaßen umformulieren:
H0 : P [X = ai , Y = bj ] = P [X = ai ] · P [Y = bi ] für alle i, j
|
{z
} | {z } | {z }
pi·
pij
• hij ∼ B(n, pij )
⇒ E(hij ) = npij , fij =
treuer Schätzer von pij
hij
n
p·j
ist ein erwartungs-
• Entsprechend: fi· = hni· und f·j =
treue Schätzer von pi· und p·j
h·j
n
erwartungs-
• Unabhängigkeit
⇒ npij = npi· p·j
⇒ bis auf Zufallsschwankungen (Stichprobe!)
hi· h·j
hi· h·j
=
hij ≈ n
n n
n
• Die Nullhypothese kann nur dann wahr sein, wenn
sich die Unterschiede zwischen hij ≈ npij und
hi· h·j
≈ npi· p·j noch sinnvoll durch Zufallsschwann
kungen erklären lassen.
Statistik_II@finasto
7–27
Statistik I:
• empirische Unabhängigkeit:
hi· h·j
hij =
n
• Zusammenhangsmaß: χ2 -Koeffizient (bzw. normierte Versionen wie der Kontingenzkoeffizient, etc.)
Der χ2 -Koeffizient ist eine sinnvolle Prüfgröße zum
Test von H0 gegen H1 :
χ2 =
k ∑
m
∑
(hij −
i=1 j=1
hi· h·j 2
n )
hi· h·j
n
Falls H0 wahr ist, wird χ2 tendenziell kleine Werte
annehmen; große Werte von χ2 sprechen dagegen eher
für H1 .
Prüfverteilung unter H0 : approximativ χ2 -Verteilung
mit (k − 1)(m − 1) Freiheitsgraden.
χ2 ∼ χ2 ((k − 1)(m − 1)),
⇒ Ablehnbereiche, p-Werte
Achtung: Diese Verteilungsaussage beruht auf einer
asymptotischen Approximation!
h h
Bedingung (Faustregel): i·n ·j ≥ 5 für alle i, j
Statistik_II@finasto
7–28
χ2 -Unabhängigkeitstest
Annahmen:
Unabh. Stichprobenvariablen (X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn )
gruppiert in eine (k × m) Kontingenztabelle
Hypothese:
H0 : „X und Y sind voneinander unabhängig“
gegen H1 : „X und Y sind nicht unabhängig“
Teststatistik:
χ2 =
k ∑
m
∑
(hij −
i=1 j=1
hi· h·j 2
)
n
hi· h·j
n
Verteilung unter H0 : approximativ χ2 ((k − 1)(m − 1))
h h
(Bedingung: i·n ·j ≥ 5 für alle i, j)
Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
χ2beob > χ21−α;(k−1)(m−1)
Überschreitungswahrscheinlichkeit:
Für χ2 ∼ χ2 ((k − 1)(m − 1))
p-Wert = P [χ2 ≥ χ2beob ]
Statistik_II@finasto
7–29
Beispiel: Qualifikation - Arbeitslosigkeit (Fortsetzung)
Frage: Sind Qualifikation und Arbeitslosigkeit unabhängig voneinander, oder besteht ein „signifikanter“
Zusammenhang?
Wert des χ2 -Koeffizienten:
χ2beob = 8, 096
unter H0 : χ2 ∼ χ2 (1)
• Signifikanztest zum Niveau α = 0, 05
χ2beob = 8, 096 > χ20,95;1 = 3, 84
⇒ Ablehnung der Nullhypothese, dass Qualifikation und Arbeitslosigkeit voneinander unabhängig
sind.
• Mit χ2 ∼ χ2 (1) berechnet sich der p-Wert durch
p-Wert = P [χ2 ≥ 8, 096]
Aus der Tabelle folgt, dass p-Wert≤ 0, 005. Hieraus
folgt, dass auch z.B. ein Test des Niveaus α = 0, 01
die Nullhypothese ablehnt. Das Testergebnis ist
hochsignifikant.
Statistik_II@finasto
7–30
7.6
χ2 -Anpassungstest
Daten:
• Einfache Zufallsstichprobe X1 , . . . , Xn
• Xi nimmt nur k verschiedene Werte a1 , . . . , ak an
• Berechnung der absoluten Häufigkeiten hi der einzelnen Ausprägungen:
Ausprägungen von X
a1
...
ai
...
ak
abs. Häufigkeiten
h1
...
hi
...
hk
Verteilungshypothese: Für vorgegebene Werte p1 , . . . , pk
ist die Verteilung von X durch
P (X = ai ) = pi ,
i = 1, . . . , k
charakterisiert.
Ansatz:
• Unter H0 gilt hi ∼ B(n, pi ) ⇒ E(hi ) = npi
• Falls die Nullhypothese P (X = ai ) = pi richtig
ist, sollte also bis auf Zufallsschwankungen (Stichprobe!)
hi ≈ npi
gelten
Statistik_II@finasto
7–31
• Die Nullhypothese kann nur dann wahr sein, wenn
sich die Unterschiede zwischen hi und npi noch
sinnvoll durch Zufallsschwankungen erklären lassen.
Teststatistik:
Q=
k
∑
(hi − npi )2
npi
i=1
Unter H0 : Q ∼ χ2k−1
(npi ≥ 5 für i = 1, . . . , k)
⇒ Ablehnung von H0 , falls Q ≥ χ2k−1,1−α
Würfelspiel: n = 240 Würfe eines Würfels
Ausprägungen
1
2
3
4
5
6
abs. Häufigkeiten
29
35
43
32
44
57
Problem: Ist der Würfel fair?
Nullhypothese H0 : P (X = i) = 1/6, i = 1, . . . , 6
Signifikanztest zum Niveau α = 0.05:
χ2beob = 13, 1 > χ20,075;5 = 11, 07
⇒ Ablehnung der Nullhypothese
Statistik_II@finasto
7–32
χ2 -Anpassungstest
• Annahmen:
– X1 , . . . , Xn unabhängig und identisch verteilt
– Gruppiert in eine k Gruppen, mit absoluten
Häufigkeiten hi
Ausprägungen
a1
...
ai
...
ak
Häufigkeiten
h1
...
hi
...
hk
• Hypothese:
H0 : „P (X = ai ) = pi
i = 1, . . . , k “ gegen
H1 : „P (X = ai ) ̸= pi
für mindestens ein i“
• Teststatistik:
k
∑
(hi − npi )2
χ =
npi
i=1
2
• Approximative Verteilung von χ2 unter H0 :
χ2 ∼ χ2 (k − 1)
falls
npi ≥ 5
für alle i
• Ablehnungsbereich (Test zum Niveau α):
χ2beob > χ21−α (k − 1)
• Überschreitungswahrscheinlichkeit: Für χ2 ∼
χ2 (k − 1)
p-Wert = P [χ2 ≥ χ2beob ]
Statistik_II@finasto
7–33
Anwendung: Test auf univariate Standardnormalverteilung
• Unterteilung der reellen Achse in k Klassen benachbarte Intervalle
(c0 , c1 ], (c1 , c2 ], . . . , (ck−1 , ck ) (c0 = −∞, ck = ∞).
• Berechnung der abs. Häufigkeiten hi von Beobachtungen in jeder der i = 1, . . . , k Klassen.
• Berechnung der theoretischen Wahrscheinlichkeiten
pi = P (ci−1 ≤ X ≤ ci ) = Φ(ci ) − Φ(ci−1 )
• Teststatistik
Q=
k
∑
(hi − npi )2
i=1
npi
H0 wahr: Q ∼ χ2k−1
Statistik_II@finasto
7–34
Verallgemeinerung:
Test auf Normalverteilung (Xi ∼ N (µ, σ 2 ))
Man beachte: X ∼ N (µ, σ 2 ) ⇒ Z =
X−µ
σ
∼ N (0, 1)
In einem ersten Schritt schätzt man daher µ, σ 2 durch
X̄, S 2 und definiert dann eine Teststatistik wie folgt;
• Unterteilung der reellen Achse in k Klassen
(c0 , c1 ], (c1 , c2 ], . . . , (ck−1 , ck ) (c0 = −∞, ck = ∞).
• Berechnung der abs. Häufigkeiten hi von transformierten Beobachtungen ẑi = xis−x̄ in jeder der
i = 1, . . . , k Klassen.
• Berechnung der theoretischen Wahrscheinlichkeiten
pi = P (ci−1 ≤ X ≤ ci ) = Φ(ci ) − Φ(ci−1 )
• Teststatistik
Q=
k
∑
(hi − npi )2
i=1
npi
• Unter H0 (approximativ): Q ∼ χ2q−1−2
Allgemein: Zusammengesetzte Verteilungshypothese
r unbekannte Parameter zu schätzen
⇒ Unter H0 : Q ∼ χ2q−r−1
Statistik_II@finasto
7–35
Schmerzpatienten
In einer Studie zu Behandlungsverfahren bei Patienten mit chronischen Schmerzen wird ein standardisierter Befindlichkeitsscore zu verschiedenen Zeitpunkten
der Behandlung erhoben. Es soll getestet werden, ob
davon ausgegangen werden kann, daß der Befindlichkeitsscore standardnormalverteilt ist.
i
Klasse Ki
abs. Haeufigkeit
1
[-2.5, -1.5)
6
2
[-1.5, -0.5)
10
3
[-0.5, 0.5)
5
4
[0.5, 1.5)
7
5
[1.5, 2.5)
22
H0 : X ∼ N (0, 1) gegen H1 : X ̸∼ N (0, 1)
Statistik_II@finasto
7–36
p1 = P (−∞ < X < −1.5) = 1 − Φ(1.5) = 0.0668
p2 = P (−1.5 < X < −0.5) = Φ(−0.5) − Φ(−0.5)
= 1 − Φ(0.5) − (1 − Φ(1.5)) = 0.2417
p3 = P (−0.5 < X < 0.5) = Φ(0.5) − Φ(−0.5)
= Φ(0.5) − (1 − Φ(0.5)) = 2Φ(0.5) − 1
= 2 · 0.6915 − 1 = 0.383
p4 = h2 = 0.2417
p5 = h1 = 0.0668
hi
npi
(hi −npi )2
npi
6
3.34
2.118
10
12.09
0.361
5
19.15
10.455
7
12.09
2.143
22
3.34
104.250
H0 wird zum Niveau α = 0.05 verworfen, falls χ2 >
χ20.95 (k − 1) = χ20.95 (4) = 9.49
Da hier χ2 = 119.327 > 9.49, wird H0 verworfen.
Statistik_II@finasto
7–37
7.7
Einfaktorielle Varianzanalyse
• Problem: Vergleich der Verteilungen mehrerer
unabhängiger Stichproben
• Man konzentriert sich auf Unterschiede in den Mittelwerten (Zentrum) der Verteilungen
• Statistischer Test (F-Test): Entscheidung, ob die
beobachteten Unterschiede in den Mittelwerten der
einzelnen Gruppen groß genug sind, um davon auf
Unterschiede in den zugehörigen Grundgesamtheiten schließen zu können
• Der Test basiert auf einer Prüfgröße, die misst,
wie groß die Variabilität zwischen den Gruppen im
Vergleich zur Variablilität innerhalb der Gruppen
ist.
Statistik_II@finasto
7–38
Ausgaben
Zielgröße – Ausgaben für Milchprodukte
Frage: Unterschiede im Ausgabeverhalten von Haushalten in unterschiedlichen Regionen eines Landes?
Studie eines Marktforschungsinstituts: c = 4 Regionen:
In jeder Region wurden 30 Haushalte zufällig ausgewählt und ihre Ausgaben für Milchprodukte erfasst.
Daten:
Nr.
AD1
AD2
AD3
AD4
Nr.
AD1
AD2
AD3
AD
1
20.02
25.89
15.01
24.45
16
57.89
32.18
33.00
39.9
2
25.07
47.45
24.12
27.99
17
75.75
41.00
37.64
54.4
3
38.25
54.13
29.73
45.16
18
81.68
48.74
53.43
68.4
4
48.62
70.97
33.78
53.79
19
15.67
27.61
8.62
26.4
5
54.88
78.20
44.75
63.71
20
21.59
39.18
23.65
48.2
6
60.18
83.72
54.48
89.31
21
24.99
55.17
28.67
64.2
7
36.38
19.89
23.39
32.77
22
34.35
69.29
34.82
82.1
8
45.73
25.11
30.70
55.80
23
53.94
71.61
43.40
100.1
9
59.29
45.55
38.13
52.71
24
52.39
91.73
61.85
101.2
10
66.70
50.40
53.93
65.27
25
32.34
22.18
22.95
24.4
11
75.54
63.68
55.80
84.29
26
30.60
32.01
34.73
34.4
12
78.78
74.03
76.87
100.37
27
45.78
45.13
52.44
47.6
13
26.63
9.21
3.57
14.50
28
53.33
55.07
63.37
49.0
14
28.36
4.64
24.77
29.37
29
54.66
59.30
75.58
67.5
15
50.33
33.11
24.88
31.73
30
70.01
68.90
79.11
81.5
Statistik_II@finasto
7–39
Daten:
• Beobachtungen Xij von i = 1, . . . , c verschiedenen
Stichproben (Gruppen)
• Für jede einzelnen Gruppe: n unabhängige Beobachtungen der interessierenden Zielvariable X
Faktor
Gruppe 1
Gruppe 2
...
Gruppe c
X11
..
.
X21
..
.
...
..
.
Xc1
..
.
X1n
X2n
...
Xcn
X̄1·
X̄2·
...
X̄c·
s21
s22
...
s2c
empirische
Mittelwerte
empirische
Varianzen
Statistik_II@finasto
7–40
Wichtige Annahmen:
• X11 , . . . , Xcnc sind voneinander unabhängig
• Normalverteilung aller Variablen Xij
• Homoskedastizität: Alle Varianzen sind gleich.
Modell:
Xij = µi + ϵij ,
i = 1, . . . , c, j = 1, . . . , ni
wobei
• ϵ11 , . . . , ϵcnc voneinander unabhängig
• ϵij ∼ N (0, σ 2 ) für alle i, j
Frage: Unterschiedliche Auswirkung der Faktorstufen
auf die Zielgröße?
⇒ Testproblem:
H0 :
µ1 = µ2 = · · · = µc
gegen
H1 :
µi ̸= µj für mindestens ein Paar (i, j)
Statistik_II@finasto
7–41
• Schätzungen
– Mittelwerte µi , i = 1, . . . c:
ni
1 ∑
X̄i· =
Xij
ni j=1
– Grand Mean (globaler Mittelwert):
X̄·· =
c
1 ∑
ni X̄i· =
N i=1
c ni
1 ∑∑
Xij ,
N i=1 j=1
∑c
wobei N = i=1 ni die Gesamtzahl der Beobachtungen ist.
Testfamilien:
Stufe 1
Stufe 2
Stufe 3
Stufe 4
Xi·
37.2
39.6
34.5
51.0
X̄··
40.6
40.6
40.6
40.6
X̄i· − X̄··
−3.4
−1.0
−6.1
10.4
s2i
430.3
547.6
354.2
605.3
⇒ geschätzte Mittelwerte sind ungleich!
• Aber: Zufallsschwankungen!
• Frage: Unterschiede signifikant? ⇒ Definition einer Prüfgröße, Test
Statistik_II@finasto
7–42
Die Streuungszerlegung
ni
c ∑
∑
(Xij − X̄·· )2
i=1 j=1
|
{z
}
SQT
ni
ni
c ∑
c ∑
∑
∑
(X̄i· − X̄·· )2 +
(Xij − X̄i· )2
=
i=1 j=1
|
{z
}
i=1 j=1
|
SQE
{z
}
SQR
• SQT - Gesamtstreuung der beobachteten Werte
von X
ni
c ∑
c
∑
∑
2
• SQE =
(X̄i· − X̄·· ) =
ni (X̄i· − X̄·· )2
i=1 j=1
i=1
– “erklärte Streuung”
– Streuung zwischen den Stichproben
• SQR =
ni
c ∑
∑
(Xij − X̄i· )2
i=1 j=1
– “Residualstreuung”
– Streuung innerhalb der Stichproben
• M QR :=
1
N −c SQR
=
1
N −c
ni
c ∑
∑
(Xij − X̄i· )2
i=1 j=1
ist erwartungstreuer Schätzer von σ 2 .
Statistik_II@finasto
7–43
• H0 wahr ⇒ µ := µ1 = · · · = µc ,
⇒ tendenziell: SQE =
c
∑
c
∑
ni (µi − µ)2 = 0
i=1
ni (X̄i· − X̄·· )2 klein im Ver-
i=1
gleich zu SQR
• H1 wahr ⇒
c
∑
ni (µi − µ)2 > 0
i=1
⇒ tendenziell: SQE =
c
∑
ni (X̄i· − X̄·· )2 groß im Ver-
i=1
gleich zu SQR
Teststatistik (H0 gegen H1 ):
SQE/c − 1
M QE
F =
=
SQR/N − c
M QR
]
[
c
1 ∑
ni (X̄i· − X̄·· )2
M QE :=
c − 1 i=1
Unter H0 : F ∼ Fc−1,N −c
⇒ Ablehung von H0 , falls der beobachtete Wert Fbeobachtet
zu groß ist (Niveaus: α = 0.05, α = 0.01)
• Fbeobachtet > Fc−1,N −c;1−α
• p-Wert = P (Fc−1,N −c > Fbeobachtet ) < α
Statistik_II@finasto
7–44
Unter H0 :

X 1×

X 2×

X 3×
Unter H1 :

X 1×

X 2×

X 3×
Statistik_II@finasto
7–45
Varianzanalysetabelle
Streu-
Frei-
mittlere
ungs-
Streu-
heits-
quadratische
ursache
ung
grade
Abweichung
Faktor
SQE
c−1
Residuen
SQR
N −c
SQE
c−1
SQR
N −c
= M QE
F
M QE
M QR
= M QR
Testfamilien
Streu-
Frei-
mittlere
ungs-
Streu-
heits-
quadratische
ursache
ung
grade
Abweichung
F
Werbung
4585.7
3
1528.6
3.16
Residuen
56187.4
116
484.4
Für die Überschreitungswahrscheinlichkeit ergibt sich:
p-Wert = P (F3,116 > 3.16) = 0.0275 < 5%
H0 ist daher abzulehnen.
Statistik_II@finasto
7–46