Formale Systeme

Formale Systeme
Hilbert-Kalkül
Prof. Dr. Peter H. Schmitt
KIT – I NSTITUT F ÜR T HEORETISCHE I NFORMATIK
KIT – Universität des Landes Baden-Württemberg und
nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft
www.kit.edu
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1. Hilbert-Kalkül
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
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Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1. Hilbert-Kalkül
2. Resolutionskalkül
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2/15
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1. Hilbert-Kalkül
2. Resolutionskalkül
3. Tableaukalkül
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2/15
Kalküle für die Aussagenlogik
Übersicht
1. Hilbert-Kalkül
2. Resolutionskalkül
3. Tableaukalkül
4. Sequenzenkalkül
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2/15
Beispiel einer Beweisregel
Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ
α ∨ β, β → γ, γ → α
α
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Beispiel einer Beweisregel
Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ
α ∨ β, β → γ, γ → α
α
Eine Instanz mit
α = ¬P1
β = 0
γ = P1 ∧ P2
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Beispiel einer Beweisregel
Die Regel mit Schemavariablen α,β,γ
α ∨ β, β → γ, γ → α
α
Eine Instanz mit
α = ¬P1
β = 0
γ = P1 ∧ P2
¬P1 ∨ 0, 0 → (P1 ∧ P2 ), (P1 ∧ P2 ) → ¬P1
¬P1
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Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
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Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
Ist (u1 , . . . , un , un+1 ) ∈ R, so heißen
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4/15
Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
Ist (u1 , . . . , un , un+1 ) ∈ R, so heißen
I
(u1 , . . . , un , un+1 ) eine Instanz von R
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4/15
Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
Ist (u1 , . . . , un , un+1 ) ∈ R, so heißen
I
(u1 , . . . , un , un+1 ) eine Instanz von R
I
u1 , . . . , un die Prämissen dieser Instanz
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4/15
Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
Ist (u1 , . . . , un , un+1 ) ∈ R, so heißen
I
(u1 , . . . , un , un+1 ) eine Instanz von R
I
u1 , . . . , un die Prämissen dieser Instanz
I
un+1 die Conclusio dieser Instanz.
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4/15
Beweisregeln, abstrakt
Definition
Für ein n ∈ IN ist eine n-stellige Regel R eine entscheidbare,
n + 1-stellige Relation über der Menge der Formeln.
Ist (u1 , . . . , un , un+1 ) ∈ R, so heißen
I
(u1 , . . . , un , un+1 ) eine Instanz von R
I
u1 , . . . , un die Prämissen dieser Instanz
I
un+1 die Conclusio dieser Instanz.
Wir schreiben meist
u1 , . . . , un
un+1
Die Instanzen von nullstelligen Regeln heissen auch Axiome.
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Ableitungen, abstrakt
Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen
und eine Menge von Regeln festgelegt.
Definition
Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u1 , . . . , um ) von Formeln in
L, so dass für jedes i ∈ {1, . . . , m} gilt:
I
ui ist Axiom;
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oder
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Ableitungen, abstrakt
Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen
und eine Menge von Regeln festgelegt.
Definition
Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u1 , . . . , um ) von Formeln in
L, so dass für jedes i ∈ {1, . . . , m} gilt:
I
I
ui ist Axiom;
oder
ui ∈ M;
oder
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5/15
Ableitungen, abstrakt
Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen
und eine Menge von Regeln festgelegt.
Definition
Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u1 , . . . , um ) von Formeln in
L, so dass für jedes i ∈ {1, . . . , m} gilt:
I
I
I
ui ist Axiom;
oder
ui ∈ M;
oder
es gibt eine Instanz
uj1 , . . . , ujn
ui
einer Regel mit j1 , . . . , jn < i
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5/15
Ableitungen, abstrakt
Sei eine Formelmenge L, eine Menge M von Voraussetzungen
und eine Menge von Regeln festgelegt.
Definition
Eine Ableitung aus M ist eine Folge (u1 , . . . , um ) von Formeln in
L, so dass für jedes i ∈ {1, . . . , m} gilt:
I
I
I
ui ist Axiom;
oder
ui ∈ M;
oder
es gibt eine Instanz
uj1 , . . . , ujn
ui
einer Regel mit j1 , . . . , jn < i
Man beachte, dass u1 ein Axiom oder ein Element von M sein
muss.
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Ableitbarkeit, abstrakt
Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz
M`A
genau dann, wenn es eine Ableitung (u1 , . . . , um ) gibt mit
um = A.
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Ableitbarkeit, abstrakt
Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz
M`A
genau dann, wenn es eine Ableitung (u1 , . . . , um ) gibt mit
um = A.
I
Für ∅ ` u schreiben wir ` u, für {v } ` u schreiben wir
v ` u.
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6/15
Ableitbarkeit, abstrakt
Eine Formel A heisst ableitbar aus M, kurz
M`A
genau dann, wenn es eine Ableitung (u1 , . . . , um ) gibt mit
um = A.
I
Für ∅ ` u schreiben wir ` u, für {v } ` u schreiben wir
v ` u.
I
Falls erforderlich wird der Kalkül in der Notation mit
angezeigt, also M `Kal u.
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6/15
David Hilbert
Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik
David Hilbert
I
b 1862, d 1943
Einer der bedeutensten und
einflußreichsten Mathematiker aller
Zeiten
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David Hilbert
Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik
David Hilbert
b 1862, d 1943
I
Einer der bedeutensten und
einflußreichsten Mathematiker aller
Zeiten
I
Professor in Königsberg und Göttingen
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7/15
David Hilbert
Wesentlicher Begründer der axiomatischen Logik
David Hilbert
b 1862, d 1943
I
Einer der bedeutensten und
einflußreichsten Mathematiker aller
Zeiten
I
Professor in Königsberg und Göttingen
I
Wichtige Beiträge zu
– Logik
– Funktionalanalysis
– Zahlentheorie
– Mathematische Grundlagen der
Physik
– uvm.
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Die Regeln des Hilbertkalküls
Definition
Ax1:
Ax2:
Ax3:
Mp:
α → (β → α)
(α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(¬α → ¬β) → (β → α)
α, α → β
β
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(Modus ponens)
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Eine Ableitung für
`H0 A → A
1. (|{z}
A → ((A
A )) →
| →
{z A}) → |{z}
α
β
γ
((|{z}
A → (A
A → |{z}
A ))
{z A})) → (|{z}
| →
α
β
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α
Ax2
γ
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Eine Ableitung für
`H0 A → A
1. (|{z}
A → ((A
A )) →
| →
{z A}) → |{z}
α
β
γ
((|{z}
A → (A
A → |{z}
A ))
{z A})) → (|{z}
| →
α
β
2. A → ((A → A) → A)
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α
Ax2
γ
Ax1
9/15
Eine Ableitung für
`H0 A → A
1. (|{z}
A → ((A
A )) →
| →
{z A}) → |{z}
α
β
γ
((|{z}
A → (A
A → |{z}
A ))
{z A})) → (|{z}
| →
α
β
α
2. A → ((A → A) → A)
3. (A → (A → A)) → (A → A)
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Ax2
γ
Ax1
Mp auf (2),(1)
9/15
Eine Ableitung für
`H0 A → A
1. (|{z}
A → ((A
A )) →
| →
{z A}) → |{z}
α
β
γ
((|{z}
A → (A
A → |{z}
A ))
{z A})) → (|{z}
| →
α
β
α
2. A → ((A → A) → A)
3. (A → (A → A)) → (A → A)
4. A → (A → A)
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Ax2
γ
Ax1
Mp auf (2),(1)
Ax1
9/15
Eine Ableitung für
`H0 A → A
1. (|{z}
A → ((A
A )) →
| →
{z A}) → |{z}
α
β
γ
((|{z}
A → (A
A → |{z}
A ))
{z A})) → (|{z}
| →
α
β
α
2. A → ((A → A) → A)
3. (A → (A → A)) → (A → A)
4. A → (A → A)
5. A → A
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Ax2
γ
Ax1
Mp auf (2),(1)
Ax1
Mp auf (3),(4)
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Deduktionstheorem
Theorem (Deduktionstheorem der Aussagenlogik)
Für beliebige Formelmengen M und Formeln A, B gilt:
M `H0 A → B
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⇔
M ∪ {A} `H0 B
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Deduktionstheorem
Theorem (Deduktionstheorem der Aussagenlogik)
Für beliebige Formelmengen M und Formeln A, B gilt:
M `H0 A → B
⇔
M ∪ {A} `H0 B
Proof.
⇒
Es gelte
M
M ∪ {A}
M ∪ {A}
M ∪ {A}
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`
`
`
`
A → B.
A → B.
A
B
Dann
(erst recht)
(trivialerweise)
(Mp)
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Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
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Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
Sei (A1 , . . . , Am ) Ableitung von B aus M ∪ {A}.
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11/15
Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
Sei (A1 , . . . , Am ) Ableitung von B aus M ∪ {A}.
Ziel: M ` A → B, d. h. M ` A → Am .
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11/15
Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
Sei (A1 , . . . , Am ) Ableitung von B aus M ∪ {A}.
Ziel: M ` A → B, d. h. M ` A → Am .
Wir zeigen für alle i ∈ {1, . . . , m} :
M ` A → Ai
durch Induktion über i.
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11/15
Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
Sei (A1 , . . . , Am ) Ableitung von B aus M ∪ {A}.
Ziel: M ` A → B, d. h. M ` A → Am .
Wir zeigen für alle i ∈ {1, . . . , m} :
M ` A → Ai
durch Induktion über i.
Sei i mit 1 ≤ i ≤ m gegeben.
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11/15
Deduktionstheorem (Forts.)
Proof.
⇐
Es gelte: M ∪ {A} ` B.
Sei (A1 , . . . , Am ) Ableitung von B aus M ∪ {A}.
Ziel: M ` A → B, d. h. M ` A → Am .
Wir zeigen für alle i ∈ {1, . . . , m} :
M ` A → Ai
durch Induktion über i.
Sei i mit 1 ≤ i ≤ m gegeben.
Nehmen wir also an, dass für alle j < i schon gezeigt ist:
M ` A → Aj .
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11/15
Deduktionstheorem (2. Forts.)
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12/15
Deduktionstheorem (2. Forts.)
1.Fall:
Ai
M
M
M
∈ M∪ Ax1 ∪ Ax2 ∪ Ax3.
` Ai
` Ai → (A → Ai )
` A → Ai
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Dann gilt:
(trivial)
(Ax1)
(Mp)
12/15
Deduktionstheorem (2. Forts.)
1.Fall:
Ai
M
M
M
∈ M∪ Ax1 ∪ Ax2 ∪ Ax3.
` Ai
` Ai → (A → Ai )
` A → Ai
Dann gilt:
(trivial)
(Ax1)
(Mp)
2.Fall: Ai = A.
Wir haben M ` A → A schon gezeigt.
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12/15
Deduktionstheorem (3. Forts.)
Proof.
⇐
3.Fall: Es gibt j < i und k < i mit Ak = Aj → Ai .
Nach obiger Annahme (Induktionsvoraussetzung) wissen wir:
M ` A → Aj
M ` A → (Aj → Ai )
Man hat ferner
M ` (A → (Aj → Ai )) → (A → Aj ) → (A → Ai ))
(Ax2)
also
M ` A → Ai
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(2mal Mp).
13/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
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`
A
(triv.)
14/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
A
A→B
(triv.)
(triv.)
14/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
`
A
A→B
B
(triv.)
(triv.)
(MP)
14/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
`
`
A
A→B
B
B→C
(triv.)
(triv.)
(MP)
(triv.)
14/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
`
`
`
A
A→B
B
B→C
C
(triv.)
(triv.)
(MP)
(triv.)
(MP)
14/15
Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
`
`
`
`
A
A→B
B
B→C
C
A→C
(triv.)
(triv.)
(MP)
(triv.)
(MP)
(DT)
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Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C}
{A → B}
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
`
`
`
`
`
`
`
A
A→B
B
B→C
C
A→C
(B → C) → (A → C)
(triv.)
(triv.)
(MP)
(triv.)
(MP)
(DT)
(DT)
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Beispiel einer Ableitung mit
Deduktionstheorem
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C, A}
{A → B, B → C}
{A → B}
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`
`
`
`
`
`
`
`
A
A→B
B
B→C
C
A→C
(B → C) → (A → C)
(A → B) → ((B → C) → (A → C))
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(triv.)
(triv.)
(MP)
(triv.)
(MP)
(DT)
(DT)
(DT)
Metatheoreme zu H0
Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik)
Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln,
A eine aussagenlogische Formel.
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Metatheoreme zu H0
Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik)
Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln,
A eine aussagenlogische Formel.
1. M `H0 A
⇒
M |= A
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Korrektheit von H0
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Metatheoreme zu H0
Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik)
Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln,
A eine aussagenlogische Formel.
1. M `H0 A
⇒
M |= A
2. M |= A ⇒ M `H0 A.
Prof. Dr. Peter H. Schmitt – Formale Systeme
Korrektheit von H0
Vollständigkeit von H0
15/15
Metatheoreme zu H0
Theorem (Endlichkeitssatz für die Aussagenlogik)
Sei M eine Menge aussagenlogischer Formeln,
A eine aussagenlogische Formel.
1. M `H0 A
⇒
M |= A
2. M |= A ⇒ M `H0 A.
Korrektheit von H0
Vollständigkeit von H0
3. Aus M |= A folgt schon E |= A
für eine endliche Teilmenge E von M.
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