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Lineare Abbildungen und Matrizen
Stefan Ruzika
Mathematisches Institut
Universität Koblenz-Landau
Campus Koblenz
31. Mai 2016
Stefan Ruzika
§9: Lineare Abbildungen und Matrizen
31. Mai 2016
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Gliederung
1
Schulstoff
2
Körper
3
Vektorräume
4
Basis und Dimension
5
Skalarprodukt, Norm und Metrik
6
Lineare Abbildungen
7
Bild, Faser, Kern
8
Lineare Gleichungssysteme
9
Lineare Abbildungen und Matrizen
Erzeugung linearer Abbildungen
Koordinatensystem
Matrizenmultiplikation
Invertierbare Matrizen
Stefan Ruzika
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Erzeugung linearer Abbildungen
Motivation
Frage
Gibt es eine lineare Abbildung F : R2 → R2 mit
F (2, 0) = (0, 1),
F (1, 1) = (5, 2),
F (1, 2) = (2, 1)?
Beobachtung 1
Bei allgemeinen Abbildungen kann man die Bilder verschiedener Argumente völlig
unabhängig voneinander wählen. Bei einer linearen Abbildung F legt man durch
die Festlegung eines Bildes F (v ) die Abbildung für alle Werte λ · v , λ ∈ K fest.
Gibt man auch den Wert F (w ) vor, so ist die Abbildung sogar für alle Werte
λ · v + µ · w , λ, µ ∈ K , festgelegt.
Frage: Durch wieviele solcher Vorgaben ist eine lineare Abbildung festgelegt?
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Erzeugung linearer Abbildungen
Satz über die Erzeugung linearer Abbildungen
In diesem Abschnitt: Sei K ein Körper. Seien V und W K -Vektorräume.
Satz 2
Seien v1 , . . . , vr ∈ V und w1 , . . . , wr ∈ W . Dann gilt:
a) Sind v1 , . . . , vr linear unabhängig, so gibt es mindestens eine lineare Abbildung
F :V →W
mit
F (vi ) = wi
für i = 1, . . . , r .
b) Ist (v1 , . . . , vr ) eine Basis, so gibt es genau eine lineare Abbildung
F :V →W
mit
F (vi ) = wi
für i = 1, . . . , r .
Dieses F hat folgende Eigenschaften:
1
2
Im F = spanK (w1 , . . . , wr )
F injektiv ⇔ w1 , . . . , wr linear unabhängig.
Beweis.
Tafel
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Koordinatensystem
Erzeugung linearer Abbildungen – Folgerungen
Korollar 3
Ist B = (v1 , . . . , vn ) eine Basis von V , so gibt es genau einen Isomorphismus
ΦB : K n → V
mit
ΦB (ej ) = vj
für j = 1, . . . , n.
wobei (e1 , . . . , en ) die kanonische Basis von K n bezeichnet.
Diesen Isomorphismus ΦB nennen wir Koordinatensystem.
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Koordinatensystem
Erzeugung linearer Abbildungen – Folgerungen
Korollar 4
Zu jeder linearen Abbildung F : K n → K m gibt es genau eine Matrix
A ∈ M(m × n; K ), so dass
F (x) = A · x
für alle Spaltenvektoren x ∈ K n .
Beweis.
Betrachte die kanonische Basis des K n . Schreibe F (e1 ), . . . , F (en )) als
Spaltenvektoren nebeneinander und erhalte die Matrix A.
Man braucht in diesem Fall nicht mehr zwischen linearen Abbildungen und
Matrizen zu unterscheiden.
Zwischen Matrizen und Homomorphismen gibt es auch in allgemeinen
Vektorräumen einen Zusammenhang:
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Koordinatensystem
Zusammenhang zw. Homomorphismen und Matrizen
Satz 5
Sei A = (v1 , . . . , vn ) Basis von V und sei B = (w1 , . . . , wm ) Basis von W .
Dann gibt es zu jeder linearen Abbildung F : V → W genau eine Matrix
A = (aij ) ∈ M(m × n; K ), so dass
F (vj ) =
m
X
aij wi
für j = 1, . . . , n,
i=1
und die so erhaltene Abbildung
MBA : Hom(V , W ) → M(m × n; K ),
F 7→ A = MBA (F )
ist ein Isomorphismus von K -Vektorräumen. Insbesondere gilt:
MBA (F + G ) = MBA (F ) + MBA (G ) und MBA (λF ) = λMBA (F )
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Koordinatensystem
Zusammenhang zw. Homomorphismen und Matrizen
Merke:
Nach Wahl fester Basen kann man lineare Abbildungen durch Matrizen ersetzen.
Man bezeichnet MBA (F ) als die Matrix, die F bzgl. der Basen A und B darstellt
(Darstellungsmatrix).
Beweis.
Tafel
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Lineare Abbildungen und Matrizen
Koordinatensystem
Spezialfall: V = W
Wenn V = W , dann ist Hom(V , V ) = End(V ), die Menge der Endomorphismen
von V .
Setzt man A = B, so motiviert dies, die vereinfachende Notation MB := MBB .
Der Vektorraumisomorphismus MB : End(V ) → M(n × n; K ) ist dann durch die
Gleichungen
n
X
F (vj ) =
aij vi für j = 1, . . . , n,
i=1
wenn B = (v1 , . . . , vn ) und A = (aij ) = MB (F ).
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Matrizenmultiplikation
Multiplikation von Matrizen
Bemerkung 5.1
Sind G : U → V und F : V → W lineare Abbildungen, so ist F ◦ G : U → W
auch linear.
Betrachte den Spezialfall: U = K r , V = K n , W = K m und die isomorphe
Darstellung der linearen Abbildungen F und G durch Matrizen A und B.
Frage: Welche Matrix C repräsentiert dann den Homomorphismus F ◦ G ?
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Matrizenmultiplikation
Matrizenmultiplikation
Definition 6
Seien A = (aij ) ∈ M(m × n; K ) und B = (bjk ) ∈ M(n × r ; K ). Dann definieren wir
das Produkt von A und B durch
A · B = (cik ) ∈ M(m × r ; K )
wobei cik :=
Pn
j=1 aij bjk
Beispiel 7
Tafel
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Matrizenmultiplikation
Rechenregeln für Matrizen
Satz 8
Seien A, A0 ∈ M(m × n; K ) und B, B 0 ∈ M(n × r ; K ), C ∈ M(r × s; K ) und
λ ∈ K . Dann gelten folgende Rechenregeln:
a) A · (B + B 0 ) = A · B + A · B 0
b) (A + A0 )B = AB + A0 B
c) A(λB) = (λA)B = λ(AB)
d) (AB)C = A(BC )
e) (AB)> = B > A>
f) Em A = AEn = A
Beweis.
Tafel
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Matrizenmultiplikation
Rang der Produktmatrix
Lemma 9
Seien A ∈ M(m × n; K ) und B ∈ M(n × r ; K ). Dann gilt folgende Beziehung
zwischen den Rängen der Matrizen A, B und A · B:
rang A + rang B − n ≤ rang A · B ≤ min{rang A, rang B}
Beweis.
Tafel
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Invertierbare Matrizen
Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K )
Wir wissen: Matrizen beschreiben eindeutig lineare Abbildungen.
Betrachte
Hom(K n , K n ) → M(n × n; K )
Zu manchen Abbildungen existieren Umkehrabbildungen . . . daher folgende Frage:
Welche quadratischen Matrizen beschreiben lineare Abbildungen mit
Umkehrabbildungen (oder gleichwertig: Welche quadratischen Matrizen
beschreiben Isomorphismen in K n ?)
Erinnerung:
Sei F : K n → K n eine lineare Abbildung und F −1 die Umkehrabbildung zu F ,
dann gilt F ◦ F −1 = F −1 ◦ F = idK n .
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Invertierbare Matrizen
Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K )
Definition 10
Eine Matrix A ∈ M(n × n; K ) heißt invertierbar, wenn es ein A0 ∈ M(n × n; K )
gibt mit
A · A0 = A0 · A = En
Bemerkung 10.1
Die Menge
GL(n; K ) := {A ∈ M(n × n; K ) : A ist invertierbar }
mit der Matrizenmultiplikation ist eine Gruppe mit neutralem Element En .
Die Gruppe GL(n; K ) heißt allgemeine lineare Gruppe (general linear, daher GL).
Beweis.
Übung
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Invertierbare Matrizen
Die allgemeine lineare Gruppe GL(n; K )
Lemma 11
Das Inverse A0 einer Matrix A ist eindeutig bestimmt und es gilt:
1
(A−1 )−1 = A,
2
(AB)−1 = B −1 A−1 und
3
(A> )−1 = (A−1 )>
Bemerkung 11.1
Für eine Matrix A ∈ M(n × n; K ) sind folgende Aussagen äquivalent:
a) A ist invertierbar.
b) AT ist invertierbar.
c) Spaltenrang A = n.
d) Zeilenrang A = n.
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