Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
- 15.Vorlesung Prof. Dr. Daniel Roggenkamp
&
Falko Gauß
Probeklausur: Samstag, 5.11. 10 Uhr, B6 A001
— Anmeldung in den Übungsgruppen —
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
Wir hatten gesehen:
Mat(m, n; K)
A
⇠
=
!
7 !
Hom (Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K))
(A·)
Jede lineare Abbildung zwischen den Vertraumen
Mat(m, 1; K) und Mat(n, 1; K)
kann eindeutig durch Multiplikation mit einer
Matrix dargestellt werden.
Komposition der Abbildungen
entspricht der Matrixmultiplikation.
Ziel:
Jede lineare Abbildung zwischen endlich-dimensionalen
Vektorräumen läßt sich mit Hilfe von Matrizen beschreiben.
⇠
=
Mat(dim(W ), dim(V ); K) ! Hom(V, W )
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
Satz 5.21. V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume
A = (v1 , . . . , vn ) und B = (w1 , . . . , wm ) geordnete Basen von V und W
(0)
Für jede lineare Abbildung f 2 Hom(V, W )
gibt es genau eine Matrix A 2 Mat(m, n; K) ,
sodass
f (vj ) =
m
X
aij wji
i=1
für alle 1  j  n .
A =: MatAB (f ) nennt man die Matrixdarstellung von f bezüglich A und B .
(1)
Die so erhaltene Abbildung
MatAB : Hom(V, W )
f
!
7 !
Mat(m, n; K)
MatAB (f ) = A
ist ein Isomorphismus.
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
Satz 5.21. V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume
A = (v1 , . . . , vn ) und B = (w1 , . . . , wm ) geordnete Basen von V und W
(2)
⇠
=
Sei iA : Mat(n, 1; K) ! V mit iA (ej ) = vj
0
1
x1
n
n
X
X
B .. C
xi ei 7 !
xi v i
@ . A=
xn
i=1
48
i=1
5.2 Matrizen und lineare
⇠
=
und iB : Mat(m, 1; K) ! W mit iB (ei ) = wi
Dann gilt:
d.h. fdasifolgende
Diagramm
A = iB (Mat
AB (f )·)kommutiert
d.h. das folgende
Diagramm kommutiert:
Mat(n,
? 1; K)
?
?
iA ?
y
V
MatA B (f )·
f
! Mat(m,
? 1; K)
?
?
? iB
y
!
W
(3) Sei nun U ein weiterer K-Vektorraum mit geordneter Basis C und g 2
dann gilt
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
MatA B (f )·
Satz 5.21.
Mat(n,
! Mat(m,
? 1; K)
? 1; K)
?
?
?
?
V und W iA
endlich-dimensionale
K-Vektorräume
?
? iB
y
y
A = (v1 , . . . , vn ) und B = (w1 , . . . , wm ) geordnete Basen von V und W
f
V
(3)
!
W
Sei U ein weiterer K-Vektorraum mit geordneter Basis C = {u1 , . . . , uk },
Sei nun U ein
K-Vektorraum
geordneter Basis C und g 2 Hom(W, U
undweiterer
g 2 Hom(W,
U ) eine lineare mit
Abbildung.
dann gilt
Dann gilt: MatA C (g f ) = MatB C (g) · MatA B (f ) .
von
Multiplikation
derB schr
is. Jeder Vektor w 2 W läßt sich eindeutigKomposition
als Linearkombination
der Basis
⟷
linearen
Abbildungen
Matrixdarstellungen
Dies gilt insbesondere für die f (vj ). Damit sind die Matrixeintr
äge aij eindeutig b
t, und die Abbildung MatA B wohldefiniert.
e Linearität dieser Abbildung sieht man leicht. Die Bijektivität folgt, weil nach Prop
4.39 jede lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis eindeutig bestimmt ist, d
Nach Wahl von Basen kann man jede lineare Abbildung
B (f ) bestimmt f .
zwischen
endlich-dimensionalen
Vektorräumen durch
0
1
eine Matrix
x1 beschreiben!
B .. C
i A := MatA B (f ), x = @ . A 2 Mat(n, 1; K). Man rechnet nach
Matrixdarstellung hängt von Basiswahl ab!!!
xn
n
X
!
n
X
n
m lineare Abbildungen
5.2. Matrizen
und
X
X
Beispiel 5.22.
V = Mat(n, 1; K) mit Standardbasis A = {e1 , . . . , en }
5 Matrizen
und Lineare Gleichungssysteme
W = Mat(m, 1; K) mit Standardbasis B = {e1 , . . . , em }
Sei A 2
Mat(m, n;
eineWie
Matrix.
Mat(m,
n;K)
K).
in Korollar 5.7 gezeigt ist die Matrixmult
Dann ist
A· : V =Mat(n,
Mat(n, 1;1;
K)
Mat(m,
1; K) 1;
= K).
W eine
lineare
Abbildung. dieser
bildung
K)!!
Mat(m,
Die
Matrixform
als die Matrix A selber:
Die Matrixdarstellung dieser Abbildung bzgl. der
Standardbasen ist gerade die Matrix selber:
MatA B (A·) = A .
MatA B : Hom(Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K)) ! Mat(m, n; K
Umkehrabbildung
zu Fall
deralso
Abbildung
Mat(n, von
m; K) ! Hom
MatAB ist in diesem
die Umkehrabbildung
A 7! A·.
Mat(m, n; K)
A
!
7 !
Hom(Mat(n, 1; K), Mat(m, 1; K))
A·
Beispiel 5.23. Betrachte den Körper der komplexen Zahlen
reellen Zahlen. Sei z = (x, y) 2 C. Die Multiplikationsabbildu
auf z · w 2 C abbildet ist R-linear. Wähle die geordnete Basis
z · 1 = z = x + y · i,
z · i = (x + i · y) · i
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
swechsel}
z · (z · w) = (z · z) · w
und das Produkt der Komlexen Zahlen z 0 und z ist gerade (vgl. Satz 3.14)
und das Produkt der Komlexen Zahlen z 0 und z ist gerade (vgl. Satz 3.14)
z 0 · z = (x0 x y 0 y, x0 y + y 0 x) .
z 0 · z = (x0 x y 0 y, x0 y + y 0 x) .
{bem:autgl
Bemerkung 5.24. Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n 2 N, und A eine beliebige {bem:autgl}
Bemerkung
5.24.
geordnete Basis
von Sei
V . V ein K-Vektorraum der Dimension n 2 N, und A eine beliebige
geordnete
Basis
vonMatrixdarstellung
V.
(1) Dann
ist die
der Identitätsabbildung idV : V ! V , v 7! v, gegeben
(1) Dann
Matrixdarstellung
durchist
diedie
Identit
ätsmatrix In : der Identitätsabbildung idV : V ! V , v 7! v, gegeben
durch die Identitätsmatrix In :
MatA A (idV )5.2
= In Matrizen
.
50
und lineare Abbildungen
MatA A (idV ) = In .
(2) Die Abbildung
Aut(V ) ! GLn (K)
f 7 ! MatA A (f )
die einen Automorphismus f von V auf seine Matrixdarstellung abbildet, ist ein Gruppenhomomorphismus.
Beweis. Folgt sofort aus Satz 5.21.
Die Matrixdarstellung von linearen Abbildungen hängt von der Wahl von Basen ab. Wie
sie von den Basen abhängen läßt sich mit Hilfe von invertierbaren Matrizen beschreiben:
Proposition 5.25. Seien V und W zwei K-Vektorräume der Dimensionen m und n mit
geordneten Basen A und B. Sei außerdem f : V ! W eine lineare Abbildung mit Matrixdarstellung A = MatA B (f ) 2 Mat(n, m; K). Seien A0 und B 0 zwei weitere Basen von V
und W .
(1) Es gilt
MatA0 B0 (f ) = MatB B0 (idW ) · A · MatA0 A (idV )
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen
Basiswechsel:
Proposition 5.25.
V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume
A = (v1 , . . . , vn ) und B = (w1 , . . . , wm ) geordnete Basen von V und W
f 2 Hom(V, W ) mit Matrixdarstellung A = MatAB (f ) 2 Mat(m, n; K)
Seien A0 und B 0 weitere geordnete Basen von V und W.
Dann gibt es C 2 GLm (K) und D 2 GLn (K) mit
MatA0 B0 (f ) = C · MatAB (f ) · D.
•
•
In der Tat:
Basiswechsel-Matrizen
invertierbare Matrizen
beschreiben, wie Matrixdarstellung
von der Wahl der Basis abhängt
C = MatBB0 (idW )
D = MatA0 A (idV )
5.2. Matrizen und lineare Abbildungen