1.1

25.05.2011
Analysis
§ 1 Funktionen und Koordinatensysteme
1.1 Der allgemeine Funktionsbegriff
Definition
Eine Funktion f : M N ( lies: „f von M nach N“ ) ist gegeben durch
1.)
einen Definitionsbereich M
2.)
einen Bildbereich N
3.)
eine Zuordnungsvorschrift f , die jedem Element des DefinitionsBereich ( = Argument ) eindeutig ein Element des Bildbereichs N
( = Funktionswert oder kurz Wert ) zuordnet. Dies kann z.B. verbal,
durch Aufzählung oder durch eine Rechenvorschrift erfolgen.
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 1
Beispiel 1
M = Menge aller in Köln lebenden verheirateten Männer
N = Menge aller Frauen
f : Jedem in Köln lebenden verheirateten Mann wird seine Ehefrau zugeordnet.
Zur Veranschaulichung solcher Funktionen hat sich die Darstellung in einem
Venn - Diagramm bewährt:
f
H. Meier
Fr. Bold
Fr. Müller
H. Bold
Fr. Meier
H. Schmitz
Fr. Schmitz
...
...
N
M
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 2
1
25.05.2011
Beispiel 2
M = Menge aller hier anwesenden Personen
N = Menge der 366 Tage eines Jahres
f : Jeder hier anwesenden Person wird ihr Geburtstag zugeordnet.
f
Fritz
1. Feb.
3. Okt.
H. Bold
24. Dez.
Sandra
...
29. Feb.
...
M
N
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 3
Beispiel 3 ( 1. Versuch )
M = Menge aller Telefonanschlussinhaber im Kölner Festnetz
N = Menge aller 4 - bis 8 - stelligen Zahlen
f : Jedem Telefonanschlussinhaber wird seine Rufnummer zugeordnet.
f
82752254
Fritz
11111111
906084
H. Bold
8303094
Sandra
47110815
...
...
N
M
Dies ist keine Funktion, da nicht jedem Element des Definitionsbereichs
eindeutig ein Funktionswert zugeordnet wird.
(es gibt Telefonanschlussinhaber mit mehreren Rufnummern)
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 4
2
25.05.2011
Beispiel 3 ( 2. Versuch )
M und N wie im 1. Versuch
f : N M : Jeder 4 - bis 8 - stelligen Zahl wird der zugehörige Telefonanschlussinhaber zugeordnet.
f
82752254
Fritz
11111111
906084
H. Bold
8303094
Sandra
47110815
...
...
N
M
Dies ist ebenfalls keine Funktion, da nicht jedem Element des Definitionsbereichs ein Funktionswert zugeordnet wird.
(es gibt 4- bis 8-stellige Zahlen, die nicht als Rufnummer vergeben sind)
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 5
Beispiel 3 ( 3. Versuch )
M und f wie im 2. Versuch
N = Menge aller als Rufnummer vergebenen 4 - bis 8 - stelligen Zahlen
f
82752254
Fritz
906084
H. Bold
8303094
Sandra
47110815
...
...
N
M
Dies ist eine Funktion, da jedem Element des Definitionsbereichs
eindeutig ein Funktionswert zugeordnet wird.
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 6
3
25.05.2011
Beispiel 4
M=
A; B; C; D
, N=
1; 2; 3; 4
, f:
A
B
C
D
1
3
1
2
Angabe einer Funktion durch Aufzählung bzw. eine Wertetabelle
f
A
1
B
2
C
3
D
4
M
Institut für Automatisierungstechnik
N
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 7
Beispiel 5
M = N , N = N , f : Jeder natürlichen Zahl wird ihr Doppeltes zugeordnet..
Die Angabe dieser Funktion auf verbale Art ist etwas umständlich.
Stattdessen benutzt man meist die Darstellung durch die Rechenformel
f ( n ) = 2n .
f
1
1
2
3
2
4
5
3
6
7
4
8
...
...
N
Institut für Automatisierungstechnik
N
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 8
4
25.05.2011
Beispiel 6
M = R , N = R , f : Jeder reellen Zahl wird die Summe aus ihrem
Quadrat,
ihrem Doppelten und 3 zugeordnet..
Die Angabe dieser Funktion auf verbale Art ist sehr unpraktisch.
Stattdessen benutzt man stets die Darstellung durch die Rechenformel
f ( x ) = x2 + 2x + 3 .
f
1
1
-π
3,44
0,2
2
-3
6
-1
- 5,467
...
...
R
R
Im Gegensatz zu Beispiel 5 ist hier ohne Kenntnis der Rechenformel unklar,
an welchen Punkten weitere Pfeile enden (d.h. welche Funktion vorliegt).
Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis 1.1
Folie 9
Bemerkung
Funktionen haben also folgende Eigenschaften:
1.
Für jedes Argument x ε M gibt es genau einen Wert y ε N mit f ( x ) = y ,
d.h. im Venn - Diagramm beginnt bei jedem Element des Definitionsbereichs
genau ein Pfeil.
2.
Nicht jedes Element y ε N muss als Wert vorkommen , d.h. es kann Elemente
des Bildbereichs geben, bei denen im Venn - Diagramm kein Pfeil endet.
3.
Verschiedene Argumente x ε M können den gleichen Wert y ε N haben,
d.h. es kann Elemente des Bildbereichs geben, bei denen im Venn - Diagramm
mehrere Pfeile enden.
A
f ( Beispiel 4 )
1
B
2
C
3
D
M
Institut für Automatisierungstechnik
4
Prof. Dr. Ch. Bold
N
Analysis 1.1
Folie 10
5
25.05.2011
Dies führt zu folgender
Definition
1.
Diejenigen Elemente des Bildbereichs, die tatsächlich als Wert vorkommen,
bilden den Wertebereich W einer Funktion.
Falls dieser mit dem Bildbereich übereinstimmt, so heißt die Funktion surjektiv.
Der Wertebereich einer Funktion enthält also all die Elemente des Bildbereichs,
bei denen im Venn-Diagramm mindestens ein Pfeil endet.
2.
Eine Funktion heißt eineindeutig oder injektiv, wenn verschiedenen Argumenten
stets verschiedene Funktionswerte zugeordnet werden:
x1
x2
f ( x1 )
f ( x2 )
In diesem Fall endet im Venn-Diagramm bei jedem Element des Bildbereichs
höchstens ein Pfeil.
3.
Ist eine Funktion injektiv und surjektiv, so heißt sie bijektiv.
Durch aussagenlogische Kontraposition erhält man die folgende äquivalente
Formulierung für Injektivität, die in den meisten Fällen einfacher zu benutzen ist:
f ( x1 ) = f ( x2 )
x1 = x2
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 11
Beispiel 1
f
H. Meier
Fr. Bold
Fr. Müller
H. Bold
Fr. Meier
H. Schmitz
Fr. Schmitz
...
...
N
M
W
W = Menge aller Frauen, die mit einem in Köln lebenden Mann verheiratet sind.
f ist nicht surjektiv, da nicht bei jedem Element von N Pfeile enden
( es gibt Frauen, die nicht mit einem in Köln lebenden Mann verheiratet sind ) .
f ist injektiv, da bei keinem Wert mehrere Pfeile enden
( keine Frau ist mit zwei oder mehr Männern verheiratet ) .
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 12
6
25.05.2011
Beispiel 2
f
1. Feb.
Fritz
3. Okt.
H. Bold
24. Dez
Sandra
29. Feb.
...
...
N
M
W
W = Menge aller Tage des Jahres, an denen eine der hier anwesenden Personen
Geburtstag hat.
f ist nicht surjektiv, da nicht bei jedem Element von N Pfeile enden
( es gibt Tage, an denen keine der hier anwesenden Personen Geburtstag hat ) .
f ist nicht injektiv, da es Werte gibt, bei denen mehrere Pfeile enden
( Fritz und Sandra haben den gleichen Geburtstag ) .
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 13
Beispiel 3
f
8275-2254
Fritz
906084
H. Bold
8303094
Sandra
47110815
...
...
N
M = W
Der Wertebereich W stimmt mit dem Bildbereich M überein, da jeder Telefonanschlussinhaber mindestens eine Rufnummer hat. Also ist f surjektiv.
f ist nicht injektiv, da es Werte gibt, bei denen mehrere Pfeile enden
(es gibt Telefonanschlussinhaber mit mehreren Rufnummern. Aus dem
gleichen Grund war der erste Versuch von Beispiel 3 keine Funktion).
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 14
7
25.05.2011
Beispiel 4
f
A
1
B
2
C
3
D
4
M
N
W =
1;2;3
f ist nicht surjektiv, da nicht bei jedem Element von N Pfeile enden
( 4 kommt nicht als Wert vor ) .
f ist nicht injektiv, da es Werte gibt, bei denen mehrere Pfeile enden
( den Argumenten A und C wird der gleiche Funktionswert 1 zugeordnet ) .
Institut für Automatisierungstechnik
Beispiel 5:
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 15
f ( n) = 2n
f
1
1
2
3
2
4
5
3
6
7
4
8
...
...
N
N
W
W = Menge aller geraden Zahlen
f ist nicht surjektiv, da nicht bei jedem Element von N Pfeile enden
( die ungeraden Zahlen kommen nicht als Wert vor ) .
f ist injektiv: n1
einfacher:
n2
f ( n1 ) = f ( n2 )
Institut für Automatisierungstechnik
2n1
2n2
f ( n1 )
2n1 = 2n2
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
f ( n2 )
n1 = n2
Folie 16
8
25.05.2011
f ( x ) = x2 + 2x + 3
Beispiel 6:
f
1
1
-π
π
3,44
2
0,2
-3
6
-1
- 5,467
...
...
R
R W
Bestimmung des Wertebereichs:
>2
f ( x ) = x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 - 1 + 3 = ( x + 1 ) 2 + 2 , also W = R
f ist nicht surjektiv, da nicht bei jedem Element von R Pfeile enden
( Zahlen kleiner als 2 kommen nicht als Wert vor ) .
f ist nicht injektiv, da es Werte gibt, bei denen mehrere Pfeile enden
( z.B. wird den Argumenten 1 und - 3 der gleiche Funktionswert 6 zugeordnet ) .
Institut für Automatisierungstechnik
Prof. Dr. Ch. Bold
Analysis 1.1
Folie 17
9