Quadratische Gleichungen - Math

Quadratische Gleichungen Zusammenfassung
Quadratische Gleichungen
Zusammenfassung
Zusammenfassung der wichtigsten Sätze
Lehrstoff
Gleichungen und Gleichungssysteme
- Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen in einer Variablen
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Quadratische Gleichungen Zusammenfassung
Zusammenfassung quadratische Gleichungen
1) Allgemeine quadratische Gleichung
Jede Gleichung, die man in die Gestalt
ax2 + bx + c = 0 [a  0 , a, b, c ∈ ℝ]
bringen kann nennt man (allgemeine) quadratische Gleichung.
a, b, und c nennt man Koeffizienten der quadratischen Gleichung.
Große Lösungsformel:
x1,2 =
−b±√b2 −4∙a∙c
2a
1.1 Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung und
der Anzahl der Lösungen
Den Ausdruck unter der Wurzel nennt man Diskriminante D.
D = b2 – 4ac
Ist D > 0, so gibt es 2 reelle Lösungen
[die Wurzel aus einer positiven Zahl > 0 hat immer 2 Lösungen]
Ist D = 0, so gibt es nur eine reelle Lösung (sie ist eine Doppellösung)
Ist D < 0, so gibt es keine reelle Lösung
[Wurzeln aus negativen Zahlen sind komplex]
2) Normalform der quadratischen Gleichung
Ist der Koeffizient der allgemeinen quadratischen Gleichung a = 1, so nennt man
die Gleichung „Normalform der quadratischen Gleichung“.
Wenn a nicht 1 ist, kann man die Gleichung einfach durch a dividieren und erhält die
Normalform.
ax2 + bx + c = 0 /:a
x2 +
b
c
x+
a
a
Man setzt
b
a
=0
= p und
c
a
=q
x2 + px + q = 0
Kleine Lösungsformel
x1,2 = −
p
2
p 2
± √(2) − q
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Quadratische Gleichungen Zusammenfassung
2.1 Zusammenhang zwischen den Koeffizienten einer quadratischen Gleichung
in Normalform und der Anzahl der Lösungen
Den Ausdruck unter der Wurzel nennt man Diskriminante D.
p 2
D = (2 ) − q
Ist D > 0, so gibt es 2 reelle Lösungen
[die Wurzel aus einer positiven Zahl > 0 hat immer 2 Lösungen]
Ist D = 0, so gibt es nur eine reelle Lösung (sie ist eine Doppellösung)
Ist D < 0, so gibt es keine reelle Lösung
[Wurzeln aus negativen Zahlen sind komplex]
2.2 Zusammenhang zwischen den Koeffizienten p und q einer quadratischen Gleichung
in Normalform und den Lösungen x1 und x2.
Satz von Vieta:
a) x1 + x2 = -p
b) x1·x2 = q
Mit Hilfe dieses Satzes kann man zu gegebenen Lösungen selbst eine
quadratische Gleichung mit genau diesen Lösungen erstellen
oder sehr schnell eine zweite Lösung finden, wenn eine bekannt ist.
c) Zerlegung in Linearfaktoren
x2 + px + q = (x – x1)·(x – x2)
3) Sonderfälle von allgemeinen quadratischen Gleichungen
3.1 Gleichungen der Gestalt ax2 + c = 0
In der Gleichung ax2 + bx + c = 0 ist der Koeffizient b = 0, a  0, c  0
Gleichungen der Form ax2 + c = 0
löst man durch Formelumformung.
3.2 Gleichungen der Gestalt ax2 = 0 (a 0, b = 0, c = 0)
Hier gibt es nur eine Lösung: x1 = x2 = 0
3.3 Gleichungen der Gestalt ax2 + bx = 0 (c = 0, a 0, b 0)
Diese löst man schnell mit dem Produkt-Null-Satz,
indem man eventuell durch a dividiert
(um die Gleichung zu vereinfachen) und dann x heraushebt.
Merke: Durch die Lösungsvariable darf man NIE dividieren, da man sonst eine Lösung
verliert.
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3.4 Vollständiges Quadrat
Manche quadratische Gleichungen in Normalform ergeben ein vollständiges Quadrat.
Beispiel
x2 – 6x + 9 = 0
(x – 3)2 = 0
/√
x–3=0 ,
also x1 = x2 = 3
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