Quadratische Ungleichungen

Gymnasium Hohenschwangau
Klasse 9d
Quadratische Ungleichungen
Vergleiche auch www.strobl-f.de/grund96.pdf
Quadratische Ungleichungen
Begrisklärung (Denition)
Eine quadratische Ungleichung lässt sich auf die Form
a · x2 + b · x + c > 0 bzw.
a · x2 + b · x + c < 0
bringen; mit (irgendwelchen) reellen Zahlen a, b, c und a 6= 0.
Beispiel:
• x2 −3x+4 > 0 ist ersichtlich eine quadratische Ungleichung. Mit den Bezeichnungen
von eben ist a = 1, b = −3 und c = 4.
• −x2 − 3x > 10 lässt sich umformen zu −x2 − 3x − 10 > 0. Hier ist a = −1, b = −3
und c = −10.
• (x − 3)2 > 0 kann man umschreiben zu x2 − 6x + 9 > 0. Also ist a = 1, b = −6,
c = 9.
Lösen quadratischer Ungleichungen
Meistens ist folgendes Verfahren am vorteilhaftesten:
1. Bringe zunächst die quadratische Ungleichung auf die Form a · x2 + b · x + c > 0
bzw. a · x2 + b · x + c > 0 (wie oben).
2. Löse die zugehörige quadratische Gleichung a · x2 + b · x + c = 0.
3. Skizziere ganz grob die zugehörige quadratische Funktion x 7→ ax2 + bx + c. In
diesem Zusammenhang wichtige Eigenschaft: Ist die Parabel nach oben oder unten
geönet?
Die in Schritt 2 ermittelten Lösungen sind die Nullstellen dieser Funktion.
4. Ermittle mit Hilfe der Skizze1 die Lösungsmenge:
a) Wenn die Gleichung ax2 +bx+c > 0 lautet, dann muss man die Funktionswerte
oberhalb der x-Achse nehmen.
b) Wenn die Gleichung ax2 +bx+c < 0 lautet, dann muss man die Funktionswerte
unterhalb der x-Achse nehmen.
1 Wer
diese Überlegungen auch ohne tatsächliches Bild, also quasi nur mit Hilfe seines geistigen Auges
hinkriegt, muss auch nicht wirklich eine Zeichnung machen
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Quadratische Ungleichungen
Beispiele:
• x2 + 2x > 143.
1. Zuerst umschreiben zu x2 + 2x − 143 > 0. Hier ist a = 1, b = 2, c = −143.
2. Die Lösungen der quadratischen Gleichung x2 + 2x − 143 = 0 erhält man mit
der Lösungsformel:
x1 =
−2 +
√
√
4 + 4 · 143
−2 + 576
−2 + 24
=
=
= 11
2
2
2
und
−2 − 24
= −13
2
3. Der Graph der quadratischen Funktion x 7→ x2 + 2x − 143 ist eine nach
geönete Normalparabel mit den Nullstellen −13 und 11.
x2 =
oben
4. Weil wir x2 + 2x − 143 > 0 haben wollen, müssen wir die Funktionswerte
oberhalb der x-Achse, also die Werte links und rechts der Nullstellen nehmen:
Also ist L =] − ∞, −13[ ∪ ]11, ∞[.
• x2 + 4x < 0.
1.
2.
3.
4.
Keine weitere Umformung nötig.
Die zugehörige quad. Gleichung hat die Lösungen 0 und −4.
Die Funktion x 7→ x2 + 4x ist eine nach oben geönete Normalparabel.
Weil wir x2 + 4x < 0 haben wollen, müssen wir die Funktionswerte unterhalb
der x-Achse nehmen, also den Bereich zwischen den Nullstellen −4 und 0:
Die Lösungsmenge ist also L = [−4; 0].
• −4x2 + 8x − 20 < 0
1. Hat schon gewünschte Form
2. Zugehörige quad. Gleichung hat keine Lösungen, denn die Diskriminante ist
D = 64 − 4 · (−4) · (−20) = 64 − 320 = −256.
3. Zur Funktion x 7→ −4x2 + 8x − 20 gehört eine nach unten geönete Parabel
ohne Nullstellen, die Parabel liegt also komplett unterhalb der x-Achse.
4. Da wir alle x mit −4x2 + 8x − 20 < 0 suchen, müssen wir die Funktionswerte
unterhalb der x-Achse nehmen. Das sind aber alle Zahlen. Also ist L = R.