wahr ist formalen

2. Vorlesung: Boolesche Algebra
• Wiederholung
– Codierung, Decodierung
• Boolesche Algebra
– UND-, ODER-Verknüpfung, Negation
– Boolesche Postulate
– Boolesche Gesetze
1
Wiederholung
2
Bits und Bitfolgen
• Bit: Maßeinheit der Information
• 1 Bit ist die Informationsmenge einer
Entscheidungsfrage mit zwei
Möglichkeiten
• Bsp. groß oder klein; wahr oder falsch
• zur formalen Darstellung der Antwort
genügen zwei Zeichen (Bsp. 0/1)
3
Beantwortung komplexerer
Fragen
• Welcher Buchstabe wurde
geschrieben?
• Alphabet: A, B, C, D, E, F, G, H
• Welche und wie viele Fragen werden
benötigt um zu entscheiden welcher
Buchstabe geschrieben wurde?
4
Entscheidungsbaum
5
Codierung und Decodierung
• Zeichenvorrat: endliche Menge von
unterscheidbaren Dingen
• Zeichen: ein Element des
Zeichenvorrats
• Code: Vorschrift für die eindeutige
Zuordnung der Zeichen eines
Zeichenvorrats zu denjenigen eines
anderen Zeichenvorrats
6
Binäre Codierung
• Für die maschinelle Verarbeitung ist
eine binäre Codierung sehr gut
geeignet.
• Als Alphabet werden häufig die Zeichen
{0,1} verwendet.
• Information wird als Folge von Bits
dargestellt.
7
Präfixfreie Codes
• Eine Zeichenkette Z heißt Präfix der
Zeichenkette W genau dann, wenn die
Länge von Z kleiner als die von W und
der Anfang von W (von links) mit Z
identisch ist.
• Eine Codierung C ist präfixfrei, wenn
kein Codewort aus C Präfix eines
anderen Codeworts aus C ist.
8
Beispiel I
•
•
•
•
•
•
•
•
A 110
B 101
E 10
R 11
präfixfreier Code?
Decodierung: 101110
ERE
BA
keine eindeutige Decodierung möglich
9
Beispiel II
•
•
•
•
•
•
•
A 010
B 011
E 101
R 11
präfixfreier Code?
Decodierung: 10111011
ERB
eine eindeutige Decodierung ist möglich
10
Präfixfreie Codes
Codewörter und Sequenzen von
Codewörtern eines präfixfreien Codes
können eindeutig decodiert werden.
11
Darstellung von Information
•
•
•
•
Text
Wahrheitswerte
Graphik und Audio
ganze Zahlen
12
Darstellung von Text
• Zur Darstellung von Texten werden
alphanumerische Zeichen und Satzzeichen
mit Bitfolgen codiert.
• Gebräuchlichste Codierung: 7 Bit ASCII
(American Standard Code for Information
Interchange)
• erweiterter ASCII-Code: 8 Bit (einige
sprachspezifische Symbole)
• UNICODE: 16 Bit (lebende Sprachen)
• UCS (Universal Character Set): 32 Bit (alle
Sprachen)
13
Darstellung von Wahrheitswerten
• Aussagen der Aussagelogik können
den Wert wahr oder falsch annehmen.
• Die Wahrheitswerte lassen sich durch
die logischen Operatoren UND und
ODER miteinander verknüpfen.
• wahr UND falsch = falsch
• wahr ODER falsch = wahr
14
Darstellung von Graphik und
Audio
• Graphiken werden durch Folgen von
Rasterpunkten codiert.
• Audiosignale werden durch Folgen von
Abtastwerten codiert.
• Die einzelnen Rasterpunkte bzw.
Abtastwerte werden durch quantisierte
Zahlenwerte dargestellt.
15
Darstellung von ganzen Zahlen I
• Dezimalsystem: 0,…,9
• Zur binären Darstellung der 10 Ziffern
werden 4 Bits benötigt.
• Mit 4 Bits können 16 Ziffern codiert
werden.
• Für die weiteren 6 Ziffern werden die
Zeichen A,…,F eingeführt und der
Hexadezimalcode definiert.
16
Darstellung von ganzen Zahlen II
N
Z = ∑ xiY i ,
i =0
wobei Y die Basis des Zahlensystems bezeichnet,
i stellt die Stelle der Ziffern dar und xi den Wert
der i-ten Ziffer.
Bsp.: 10112 = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 1110
In der Digitaltechnik spielt die Dualzahldarstellung
eine herausragende Rolle.
17
Boolesche Algebra
18
Boolesche Algebra
• Die Theorie zur Booleschen Algebra
wurde 1854 von dem Mathematiker
George Boole entwickelt.
• Die Anwendung der Booleschen
Algebra für digitale Schaltungen wurde
um 1940 von Claude E. Shannon
eingeführt.
19
Boolesche Menge
• Eine Boolesche Menge besteht aus zwei
unterscheidbaren Elementen.
• „0“ und „1“ werden in der Schaltalgebra
verwendet.
• „F(alse)“ und „T(rue)“ werden zur
Beschreibung logischer Verknüpfungen
verwendet.
• „L(ow)“ und „H(igh)“ werden zur
Beschreibung elektrischer Verknüpfungen
verwendet.
20
UND-Verknüpfung
• „Wenn morgen schönes Wetter ist und
mein Bruder Zeit hat, gehen wir segeln.“
• Aussage A „schönes Wetter“ und
Aussage B „mein Bruder Zeit hat“
müssen zutreffen, damit die Aussage X
„segeln gehen“ wahr wird.
• Binäre Operation
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ODER-Verknüpfung
• „Wenn ich eine Erbschaft mache oder
im Lotto gewinne, mache ich eine
Weltreise.“
• Wenn Aussage A „Erbschaft“ oder
Aussage B „Lottogewinn“ zutrifft, oder
beide Aussagen zutrefffen, wird
Aussage X „Weltreise machen“ wahr.
• Binäre Operation
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Negation
• „Wenn meine Schwiegermutter zu
Besuch kommt, gehe ich heute Abend
nicht ins Theater.“
• Wenn die Aussage A „Schwiegermutter
kommt zu Besuch“ wahr ist, kann die
Aussage X „Theaterbesuch“ nicht wahr
sein.
• Unäre Operation
23
Schließer und Öffner
X = 0: Schalter offen
X = 1: Schalter geschlossen
Schließer
X = 0: Schalter geschlossen
X = 1: Schalter offen
Öffner
24
UND-Verknüpfung
X1
0
0
1
X2
0
1
0
X1 ∧ X 2
0
0
0
1
1
1
UND: ∧, •
25
Schaltzeichen: UND
26
ODER-Verknüpfung
X1
0
0
1
X2
0
1
0
X1 ∨ X 2
0
1
1
1
1
1
ODER: ∨, +
27
Schaltzeichen: ODER
28
Negation
X
X
0
1
1
0
Negation: ¬X, X, !X
29
Schaltzeichen: Negation
30
Digitalsimulator
31
Boolesche Postulate
Menge A mit den Elementen 0 und 1 und den
Operationen UND, ODER und Negation.
P1 a=0 oder a=1
P2
0 ∧ 0=0
P3
1 ∧ 1=1
P4
0∨0 = 0
P5
1∨ 1 = 1
P6 1 ∧ 0 = 0, 0 ∧ 1 = 0
P7 1 ∨ 0=1, 0 ∨ 1=1
¬1=0, ¬0=1
P8
32
NULL-Gesetze
X ∧0 = 0
X ∨0= X
33
EINS-Gesetze
X ∧1 = X
X ∨1 = 1
34
Doppelte Negierung
X = (X ) = X
35
Idempotenzgesetze
(Identitätsgesetze)
X∧X = X
X∨X = X
36
Komplementgesetze
X∧X = 0
X∨X = 1
37
Kommutativgesetze
X1 ∧ X 2 = X 2 ∧ X1
X1 ∨ X 2 = X 2 ∨ X1
38
Assoziativgesetze
( X1 ∧ X 2 ) ∧ X 3 =
X1 ∧ ( X 2 ∧ X 3 )
( X1 ∨ X 2 ) ∨ X 3 =
X1 ∨ ( X 2 ∨ X 3 )
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Distributivgesetze
X1 ∧ ( X 2 ∨ X 3 ) = ( X1 ∧ X 2 ) ∨ ( X1 ∧ X 3 )
1. Distributivgesetz
X1 ∨ ( X 2 ∧ X 3 ) = ( X1 ∨ X 2 ) ∧ ( X1 ∨ X 3 )
2. Distributivgesetz
40
1. Distributivgesetz
Der Ausdruck X 1 ∧ ( X 2 ∨ X 3 ) ist genau dann wahr,
wenn X1 wahr ist und zugleich X2 oder X3 wahr
ist.
Der Ausdruck ( X1 ∧ X 2 ) ∨ ( X 1 ∧ X 3 ) ist genau dann wahr,
wenn einer der beiden Klammerausdrücke wahr ist.
Entweder muss X1 und X2 wahr sein oder es muss
X1 und X3 wahr sein. X1 muss also auf jeden Fall
wahr sein und zugleich muss X2 oder X3 wahr sein.
41
1. Distributivgesetz
Bitte notieren!
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Boolesche Gesetze und
Boolesche Funktionen
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