finden Sie eine Liste mit Aufgaben, die wir auch in der Übung

Prof. Dr. Annette Werner
Algebraische Geometrie I (alias Algebra II)
SS 05
Übungsaufgaben
1. Ein topologischer Raum T ist genau dann noethersch und hausdorffsch, wenn T
eine endliche Menge mit der diskreten Topologie ist.
2. Es sei K ein Körper und A = K[x, y, z]/(x2 − yz, xz − x). Bestimmen Sie die
irreduziblen Komponenten von Spec(A).
3. Es sei A ein Ring. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass für g ∈ A die Menge
D(g) = {p ∈ Spec(A) : g ∈
/ p} offen ist, und dass die Teilmengen D(g) eine Basis
der Zariski Topologie auf Spec(A) bilden. Zeigen Sie:
p
i) D(g) = ∅ genau dann, wenn g ∈ (0) = Nil(A).
ii) D(g) = Spec(A) genau dann, wenn g ∈ A× .
4. Es sei ϕ : A → B ein Ringhomomorphismus und f : Spec(B) → Spec(A) die
zugehörige stetige Abbildung. Zeigen Sie:
i) Für alle g ∈ A ist f −1 (D(g)) = Dϕ(g) .
ii) Ist ϕ injektiv, so ist f dominant, d.h. der Abschluss von Bild(f ) ist Spec(A).
5. Es sei ϕ : F → G ein Homomorphismus von Prägarben abelscher Gruppen auf
dem topologischen Raum T . Zeigen Sie, dass ϕ genau dann ein Isomorphismus
ist, wenn alle ϕU : F (U ) → G(U ) Isomorphismen sind.
6. Für alle n ∈ N betrachten wir die abelsche Gruppe n1 Z = {a/n : a ∈ Z} ⊂ Q.
Falls m ein Teiler von n ist, so sei µmn : m1 Z ,→ n1 Z die Inklusion. Zeigen Sie,
dass lim n1 Z = Q ist.
→
7. Es sei F eine Prägarbe abelscher Gruppen auf dem topologischen Raum T .
Ferner seien U und W zwei offene Umgebungen von x ∈ T und s ∈ F (U )
sowie t ∈ F (W ) zwei Schnitte. Zeigen Sie, dass die Keime sx ∈ Fx und tx ∈ Fx
genau dann gleich sind, wenn es eine offene Umgebung V um x mit V ⊂ U ∩ W
gibt, so dass resU V (s) = resW V (t) ist.
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8. Es sei F eine Prägarbe abelscher Gruppen auf dem topologischen Raum T . Die
zu F assoziierte Garbe haben wir in der Vorlesung wie folgt definiert:
F + (U ) = {s : U → ∪x∈U Fx , so das gilt: s(x) ∈ Fx für alle x ∈ U, und
für alle x ∈ U gibt es eine Umgebung V ⊂ U und ein t ∈ F (V ), so dass
s(y) = ty für alle y ∈ V.}
Zeigen Sie: i) F + ist eine Garbe.
ii) Der natürliche Morphismus ϕ : F → F + , der t ∈ F (U ) auf die Funktion
s(x) = tx abbildet, vermittelt einen Isomorphismus auf allen Halmen.
iii) Ist F eine Garbe, so ist ϕ : F → F + ein Isomorphismus.
9. Es sei F eine Garbe auf dem topologischen Raum T , und s ∈ F (U ) ein Schnitt
über der offenen Menge U . Der Träger von s ist definiert als die Menge
Supp(s) = {x ∈ U : sx 6= 0},
wobei sx der Keim von s in x, also das Bild von s unter der natürlichen Abbildung
F (U ) → Fx ist. Zeigen Sie, dass Supp(s) eine abgeschlossene Teilmenge von U
ist.
10. Es seien F und G Garben abelscher Gruppen auf T . Zeigen Sie, dass die direkte
Summe F ⊕ G, definiert durch (F ⊕ G)(U ) = F (U ) ⊕ G(U ), ebenfalls eine Garbe
auf T ist.
11. Es sei ϕ : F → G ein Morphismus von Garben abelscher Gruppen auf T . Zeigen
Sie, dass für alle x ∈ T gilt:
i) (Kernϕ)x = Kern(ϕx )
ii) (Bildϕ)x = Bild(ϕx ).
12. Zeigen Sie, dass ein Morphismus ϕ : F → G von Garben abelscher Gruppen
auf einem topologischen Raum T genau dann injektiv (bzw. surjektiv) ist, wenn
für alle x ∈ T der induzierte Homomorphismus auf den Halmen ϕx : Fx → Gx
injektiv (bzw. surjektiv) ist.
13. Es sei f : S → T eine stetige Abbildung topologischer Räume und G eine Garbe
auf T . Zeigen Sie, dass für alle x ∈ S gilt: (f −1 G)x = Gf (x) .
14. Es sei A ein Ring und S eine multiplikative Teilmenge von A. Für jedes Ideal a
in A sei S −1 a definiert als
S −1 a = {a/s : a ∈ a, s ∈ S}
Hier ist a/s wie in der Vorlesung die durch das Paar (a, s) definierte Äquivalenzklasse
in A × S.
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i) Zeigen Sie, dass S −1 a ein Ideal in S −1 A ist. Ist α : A → S −1 A die natürliche
Abbildung α(a) = a/1, so ist S −1 a das von der Teilmenge α(a) erzeugte Ideal in
S −1 A.
ii) Zeigen Sie, dass genau dann S −1 a = S −1 A gilt, wenn a ∩ S 6= ∅ ist.
iii) Es sei b ein Ideal in S −1 A und a = α−1 (b) das Urbildideal. Dann ist kein
Element aus S ein Nullteiler im Quotienten A/a. Umgekehrt gibt es für jedes
Ideal a in A, so dass kein Element aus S ein Nullteiler im Quotienten A/a ist,
ein Ideal b in S −1 A mit a = α−1 (b).
iv) Zeigen Sie dass die Abbildungen p 7→ S −1 p bzw. q 7→ α−1 (q) eine bijektive
Korrespondenz zwischen den Primidealen in A, die disjunkt zu S sind, und den
Primidealen in S −1 A vermitteln.
v) Es sei p in Primideal in A. Was sagt iv) angewandt auf die Lokalisierung Ap ?
15 Es sei a ein Ideal in dem Ring A und S eine multiplikative Teilmenge von A. Es
sei ϕ : A → A/a die Quotientenabbildung. Zeigen Sie, dass T = ϕ(S) eine multiplikative Teilmenge von A/a ist und dass es einen natürlichen Isomorphismus
T −1 (A/a) ' S −1 A/S −1 a
gibt.
16 Es sei p eine Primzahl und A = Z(p) die Lokalisierung von Z nach dem Primideal
(p). Bestimmen Sie das Spektrum (Spec A, OSpec A ).
17 Bestimmen Sie das Spektrum von Z/6Z. Verallgemeinern Sie dieses Resultat auf
Z /mZ für alle m ≥ 2.
18 i) Es sei U eine offene Teilmenge eines topologischen Raumes T (versehen mit
der Relativtopologie) und i : U ,→ T die Einbettung. Zeigen Sie: Für jede Garbe
F auf T ist i−1 F die Garbe auf U , die einer offenen Teilmenge V ⊂ U gerade
F (V ) zuordnet. Wir bezeichnen sie auch mit F |U .
ii)Es sei A ein Ring und X = SpecA. Zeigen Sie, dass für alle f ∈ A der lokal
geringte Raum (D(f ), OX |D(f ) ) isomorph zu SpecAf ist.
19. Es sei X ein Schema. Für jedes x ∈ X sei mx das maximale Ideal im lokalen Ring
OX,x . Der Restklassenkörper von X im Punkt x ist definiert als k(x) = OX,x /mx .
i) Bestimmen Sie alle Restklassenkörper des Schemas Spec Z.
ii) Es sei K ein beliebiger Körper. Zeigen Sie, dass es eine Bijektion gibt zwischen
der Menge aller Schemamorphismen Spec K → X und der Menge aller Paare
(x, i) mit x ∈ X und i : k(x) ,→ K ein Körperhomomorphismus.
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20. Es sei K ein Körper und α : X → Spec K ein Morphismus von Schemata. Für
jedes Schema Y zusammen mit einem Morphismus β : Y → Spec K sei
MorK (Y, X) = {ϕ : Y → X Morphismus von Schemata, so dass β = α ◦ ϕ.}.
Zeigen Sie:
i) Ist L/K eine galoissche Körpererweiterung und α = β : Spec L → Spec K der
Morphismus zur Inklusion K ⊂ L, so können wir MorK (Spec L, Spec L) mit der
Galoisgruppe G(L/K) identifizieren.
ii) Es sei AnK → Spec K der Morphismus zu der kanonischen Abbildung K →
K[x1 , . . . , xn ]. Für jede Körpererweiterung L von K können wir dann
MorK (Spec L, AnK )
mit Ln identifizieren.
iii) Ist a ein Ideal in K[x1 , . . . , xn ] und X das Schema X = Spec K[x1 , . . . , xn ]/a
versehen mit der kanonischen Abbildung X → Spec K, so gibt es für jede
Körpererweiterung L/K eine Bijektion zwischen MorK (Spec L, X) und der Menge
{(a1 , . . . , an ) ∈ Ln : g(a1 , . . . , an ) = 0 für alle g ∈ a}.
21 i) Zeigen Sie, dass Summe, Produkt, Schnitt und Radikal von homogenen Idealen
in K[x1 , . . . , xn ] wieder homogen sind.
ii) Ein homogenes Ideal p in K[x1 , . . . , xn ] ist genau dann ein Primideal, wenn
für alle homogenen Polynome f und g gilt: Ist f g ∈ p, so folgt f ∈ p oder g ∈ p.
22 i) Zeigen Sie, dass für jeden Körper K der nulldimensionale projektive Raum P0K
isomorph zu Spec K ist.
ii) Für alle n > 0 ist der n-dimensionale projektive Raum PnK kein affines Schema.
23 i) Für jeden Ring A sei Nil(A) das Nilradikal. Zeigen Sie, dass für jede multiplikative Teilmenge S von A die Gleichung S −1 Nil(A) = Nil(S −1 A) gilt.
ii) Ist X ein Schema, so sei die Garbe N definiert durch
N (U ) = {s ∈ OX (U ) : sx ∈ Nil(OX,x ) für alle x ∈ U.}
Für jede offene affine Teilmenge U = Spec(A) von X gilt dann N (U ) = Nil(A).
iii) Ist X ein Schema, so ist auch X red = (X, OX /N ) ein Schema. Es sei r :
X red → X der kanonische Morphismus. Für jedes reduzierte Schema Y und jeden
Schemamorphismus g : Y → X existiert genau ein Morphismus g red : Y → X red ,
so dass g = r ◦ g red gilt.
24 Geben Sie ein Beispiel für ein Schema X an, das nicht integer ist, aber die
Eigenschaft hat, dass alle lokalen Ringe OX,x Integritätsringe sind.
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25 Es sei X ein Schema und f ∈ OX (X). Zeigen Sie, dass die Menge Vf = {x ∈
X : fx ∈ mx } abgeschlossen in X ist. Hier bezeichnet mx das maximale Ideal im
lokalen Ring OX,x .
26 i) Zeigen Sie, dass f : X → Y genau dann lokal von endlichem Typ bzw. lokal
von endlicher Präsentation ist, wenn für jede offene affine Teilmenge U = SpecA
von Y das Urbild f −1 (U ) eine offene Überdeckung durch Teilmengen der Form
Spec(Bi ) besitzt, so dass alle Bi als A-Algebren von endlichem Typ bzw. von
endlicher Präsentation sind.
ii) Ein Morphismus f : SpecB → SpecA ist genau dann von endlichem Typ bzw.
von endlicher Präsentation, wenn B eine A-Algebra von endlichem Typ bzw. von
endlicher Präsentation ist.
27 i)Ist X ein Schema, das von endlichem Typ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist, so liegen die abgeschlossenen Punkte dicht in X.
ii) Finden Sie ein Schema, in dem die abgeschlossenen Punkte nicht mehr dicht
liegen.
28 Ist f : X → Y ein Morphismus von endlichem Typ und Y ein noethersches
Schema, so ist auch X ein noethersches Schema.
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