Lösungen

Deskriptive Statistik
Lösungen+
Prüfungsvorbereitung
1. (a) Die Menge aller Schülerinnen und Schüler des Schulzentrums.
(b) Merkmal
Beförderungsmittel
Entfernung
Zufriedenheit
Ausprägungen
Bus, Zug, Velo, zu Fuss
positive Zahlen
1, 2, 3, 4, 5
Skalenniveau
nominal
verhältnisskala
ordinal
2. (a) Stichprobe, da heute sehr viele Jugendlichen ein Smartphone besitzen.
(b) Vollerhebung, da ein Schaden schwerwiegende Konsequenzen hat.
(c) Stichprobe, da man die Reifen damit zerstört. besitzen.
3. (a) ordinal
4. (a)
5
X
(b) nominal
(c) intervallskaliert
xi = 8 + 3 + 4 + 0 + 2 = 17
i=1
(b)
5
X
yi2 = (−4)2 + 12 + 62 + (−7)2 + 52 = 127
i=1
(c)
5
X
!2
yi
= (−4 + 1 + 6 + (−7) + 5)2 = 12 = 1
i=1
(d)
4
X
(xi − yi ) = (3 − 1) + (4 − 6) + (0 − (−7)) = 7
i=2
(e)
5
X
(2i − 1) = (2 · 1 − 1) + (2 · 2 − 1) + (2 · 3 − 1) + (2 · 4 − 1) + (2 · 5 − 1) = 25
i=1
5. Kategorie abs. Häufigkeit
nie
2
wenig
3
1
manchmal
oft
2
immer
2
Modus: wenig
6. (a) Modi: 2 und 5
(b) Ordnungsstatistik: (2, 2, 5, 5, 6)
Median: x̃ = 5
(c) 1. Quartil: Q1 = 2 [Median von (2, 2, 5)]
3. Quartil: Q3 = 5 [Median von (5, 5, 6)]
(d) Mittelwert: µ = 15 (2 + 2 + 5 + 5 + 6) = 4
(e) Varianz:
σ 2 = 15 (2 − 4)2 + (2 − 4)2 + (5 − 4)2 + (5 − 4)2 + (6 − 4)2 =
1
1
5
· 14 = 2.8
(f) Standardabweichung: σ =
√
√
σ 2 = 2.8 = 1.673
(g) Spannweite: R = 6 − 2 = 4
(h) Interquartilabstand: IQR = Q3 − Q1 = 5 − 2 = 3
7. (a) Modus: 104 cm
Ordnungsstatistik:
Wert 102 . . .
Index 1 . . .
(b) Median: x̃ =
102
15
1
2
103 . . .
16 . . .
103 104 . . .
25 26 . . .
104 106
45 46
...
...
106
50
x(25) + x(26) = 103.5 cm
(c) 1. Quartil: Q1 = x(13) = 102 cm (Median der unteren 25 sortierten Werte)
3. Quartil: Q3 = x(38) = 104 cm (Median der oberen 25 sortierten Werte)
(d) empirischer Mittelwert:
15 · 102 + 10 · 103 + 20 · 104 + 5 · 106
5170
=
= 103.4 cm
50
50
(e) empirische Varianz:
x=
15 · (102 − 103.4)2 + · · · + 5 · (106 − 103.4)2
= 1.469 cm2
49
√
(f) empirische Standardabweichung: s = s2 = 1.212 cm
s2 =
(g) Spannweite: R = xmax − xmin = 106 − 102 = 4 cm
(h) Interquartilabstand: IQR = Q3 − Q1 = 104 − 102 = 2 cm
8. (a) Wert
absolute Häufigkeit
nie
2
wenig
3
manchmal
1
oft
2
immer
2
abs. Häufigkeit
4
3
2
1
0
nie
wenig manchmal
oft
immer
(b) Zentriwinkel: α = relative Häufigkeit des Merkmals · 360◦
Wert
relative Häufigkeit Winkel
nie
0.2
72◦
wenig
0.3
108◦
manchmal
0.1
36◦
oft
0.2
72◦
immer
0.2
72◦
2
9. (a) Ordnungsstatistik: (Daten sind bereits sortiert)
158, 173, 173, 174, 175, 175, 175, 176, 178, 179, 179, 180, 185, 188
(b) Minimum, 1. Quartil, Median, 3. Quartil, Maximum und IQR bestimmen:
•
•
•
•
•
•
xmin = 158
Q1 = 174 (Median von 158, 173, 173, 174, 175, 175, 175)
x̃ = 175.5
Q3 = 179 (Median von 176, 178, 179, 179, 180, 185, 188)
xmax = 188
IQR = Q3 − Q1 = 5
(c) Allfällige Ausreisser bestimmen:
• Q1 − 1.5 · IQR = 174 − 7.5 = 166.5
• Q3 + 1.5 · IQR = 179 + 7.5 = 186.5
⇒
⇒
158 ist ein unterer Ausreisser
188 ist ein oberer Ausreisser
(d) Boxplot zeichnen:
154 158 162 166 170 174 178 182 186 190
10.
Klasse
absolute Häufigkeit
]90, 95]
4
]95, 100]
6
]100, 105]
8
]105, 110]
2
Anzahl
8
6
4
2
90
95
100
105
3
IQ
110