Mathematik 2 (Statistik und Finanzmathematik) [1ex] im Studiengang

Mathematik 2
(Statistik und Finanzmathematik)
im Studiengang
Technik-Management (Bachelor)
Prof. Dr. Stefan Etschberger
Hochschule Weingarten
Sommersemester 2008
Organisatorisches zur Vorlesung
Vorlesungsbegleitende Unterlagen:
◮ Foliensatz
◮ Aufgabenskript
◮ Literatur:
Bamberg, G.; Baur, F.; Krapp, M. (2006): Statistik, Oldenbourg, München, 13. Auflage.
Luderer, B. (2003): Starthilfe Finanzmathematik. Zinsen, Kurse, Renditen, Teubner,
Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 2. Auflage.
Opitz, O. (2004): Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler, Oldenbourg,
München, 9. Auflage.
Vorlesungskonzept:
Klausur:
◮ Vorlesung und Übung gemischt
◮ Am Ende des Semesters
◮ Folien sind nur Grundlage für
eigene
Anmerkungen und Ergänzungen
◮ 60 Minuten Bearbeitungszeit
◮ Fragenstellen ist jederzeit
erwünscht
◮ Hilfsmittel: Schreibzeug, nicht-programmierbarer
Taschenrechner, ein DIN-A4 Blatt mit
handgeschriebenen Notizen (Vorder- und
Rückseite kann beschrieben werden, keine Kopien
oder Ausdrucke), ein beliebiges Buch
Übersicht
1
2
3
4
Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Wie lügt man mit Statistik?
Begriff Statistik
Grundbegriffe der Datenerhebung
Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Multivariate Daten
Verhältnis- und Indexzahlen
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsparameter
Etschberger (HS Weingarten)
5
Mathematik 2
Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
Finanzmathematik
Lernziele
Zins- und Zinseszinsrechnung
Äquivalenzprinzip
und Kapitalwert
Rentenrechnung
Tilgungsrechnung
Sommersemester 2008
3
Sommersemester 2008
4
1. Einführung
Übersicht
1
Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Wie lügt man mit Statistik?
Begriff Statistik
Grundbegriffe der Datenerhebung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1. Einführung
Berühmte Leute zur Statistik
Zitate
◮
Leonard Henry Courtney (1832-1918):
◮
There are three kinds of lies: lies, damned lies and statistics.“
”
Winston Curchill (angeblich):
◮
Ich glaube nur den Statistiken, die ich selbst gefälscht habe.“
”
Andrew Lang (1844-1912):
Wir benutzen die Statistik wie ein Betrunkener einen
”
Laternenpfahl: Vor allem zur Stütze unseres Standpunktes und
weniger zum Beleuchten eines Sachverhalts.“
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1. Einführung
Sommersemester 2008
5
Begriff Statistik
Bedeutungen des Begriffs Statistik“
”
Statistik
Zusammenstellung
von Zahlen
Statistische
Methodenlehre
Wahrscheinlichkeitstheorie
Deskriptive
Statistik
Induktive
Statistik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
16
1. Einführung
Begriff Statistik
Einfaches Beispiel
Beispiel
12 Beschäftigte werden nach der Entfernung zum Arbeitsplatz (in km) befragt.
Antworten: 4, 11, 1, 3, 5, 4, 20, 4, 6, 16, 10, 6
◮ deskriptiv:
- Durchschnittliche Entfernung: 7,5
- Klassenbildung:
[0; 5) [5; 15) [15; 30)
Klasse
Häufigkeit
5
5
2
◮ induktiv:
- Schätze die mittlere Entfernung aller Beschäftigten.
- Prüfe, ob die mittlere Entfernung geringer als 10 km ist.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1. Einführung
Sommersemester 2008
17
Grundbegriffe der Datenerhebung
Merkmale
◮
Merkmalsträger:
Untersuchte statistische Einheit
◮
Merkmal:
Interessierende Eigenschaft des Merkmalträgers
◮
(Merkmals-)Ausprägung: Konkret beobachteter Wert‘ des Merkmals
’
◮ Grundgesamtheit:
Menge aller relevanen Merkmalsträger
◮
Typen von Merkmalen:
a) qualitativ – quantitativ
· qualitativ:
z.B. Geschlecht
· quantitativ: z.B. Schuhgröße
· Qualitative Merkmale sind quantifizierbar (weiblich: 1, männlich: 0)
b) diskret – stetig
· diskret: Abzählbar viele unterschiedliche Ausprägungen
· stetig: Alle Zwischenwerte realisierbar
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
18
1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Skalenniveaus
Nominalskala:
◮
◮
Zahlen haben nur Bezeichnungsfunktion
z.B. Artikelnummern
Ordinalskala:
◮
◮
◮
zusätzlich Rangbildung möglich
z.B. Schulnoten
Differenzen sind aber nicht interpretierbar!
➠ Addition usw. ist unzulässig.
Kardinalskala:
◮
◮
zusätzlich Differenzbildung sinnvoll
z.B. Gewinn
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1. Einführung
Sommersemester 2008
19
Grundbegriffe der Datenerhebung
Skalendegression und Skalenprogression
Ziel der Skalierung: Gegebene Information angemessen abbilden, möglichst
ohne Über- bzw. Unterschätzungen
Es gilt:
◮
Grundsätzlich können alle Merkmale nominal skaliert werden.
◮
Grundsätzlich kann jedes metrische Merkmal ordinal skaliert werden.
Das nennt man Skalendegression. Dabei: Informationsverlust
Aber:
◮
Nominale Merkmale dürfen nicht ordinal- oder metrisch skaliert werden.
◮
Ordinale Merkmale dürfen nicht metrisch skaliert werden.
Das nennt nennt man Skalenprogression. Dabei: Interpretation von mehr
Informationen in die Merkmale, als inhaltlich vertretbar.
(Gefahr der Fehlinterpretation)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
20
1. Einführung
Grundbegriffe der Datenerhebung
Klassische Informationsniveaus
Absolutskala
Ordinal
Verhältnisskala
Intervallskala
Nominal
Metrisch
Informationsniveau
hoch
niedrig
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
21
Sommersemester 2008
22
2. Deskriptive Statistik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Multivariate Daten
Verhältnis- und Indexzahlen
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Häufigkeitsverteilungen
Auswertungsmethoden für eindimensionales Datenmaterial
◮ Merkmal X wird an n Merkmalsträgern beobachtet ➠ Urliste (x1 , . . . , xn )
Im Beispiel: x1 = 4, x2 = 11, . . . , x12 = 6
◮ Urlisten sind oft unübersichtlich, z.B.:
4 5 4 1 5 4 3 4 5 6 6 5 5 4 7 4 6 5 6 4 5 4 7 5 5
6 7 3 7 6 6 7 4 5 4 7 7 5 5 5 5 6 6 4 5 2 5 4 7 5
◮ Dann zweckmäßig: Häufigkeitsverteilungen
aj
Ausprägung (sortiert)
P
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
12
17
9
8
50
h(ai )
1
2
4
16
33
42
50
−
relative Häufigkeit
f(aj ) = h(aj )/n
1
50
1
50
2
50
12
50
17
50
9
50
8
50
1
kumulierte rel. Häufigkeit
F(aj ) =
1
50
2
50
4
50
16
50
33
50
42
50
1
−
absolute Häufigkeit
h(aj ) = hj
kumulierte abs. Häufigkeit
H(aj ) =
j
P
i=1
j
P
f(ai )
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
23
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
0
5
10
15
➊ Balken- oder Stabdiagramm
1
2
3
4
5
6
7
(Höhe proportional zu Häufigkeit)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
24
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
➋ Kreissektorendiagramm
4
Winkel:
wj = 360◦ · f(aj )
3
2
z.B.
5
w1 = 360◦ ·
w7 = 360◦ ·
1
50
8
50
1
= 7,2◦
= 57,6◦
7
(Fläche proportional zu Häufigkeit)
6
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
25
Univariate Daten
Graphische Darstellungen
➌ Histogramm
- für klassierte Daten
- Fläche proportional zu Häufigkeit:
Höhej · Breitej = c · h(aj )
⇒
Höhej = c ·
h(aj )
Breitej
- Im Beispiel mit c = 15:
Klasse
[0; 5)
[5; 15)
[15; 30]
15
h(aj )
Breitej
Höhej
5
5
15
5
10
7,5
2
15
2
7,5
2
5
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
15
30
Sommersemester 2008
26
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lageparameter
◮
Modus xMod : häufigster Wert
Beispiel:
1
4
aj
h(aj )
2 4
3 1
⇒ xMod = 1
Sinnvoll bei allen Skalenniveaus.
◮
Median xMed : mittlerer Wert‘, d.h.
’
1. Urliste aufsteigend sortieren: x1 ≦ x2 ≦ · · · ≦ xn
2. Dann
xMed
= x n+1 ,
falls n ungerade
2
∈ [x n2 ; x n2 +1 ], falls n gerade (meist xMed =
1
2
(x n2 + x n2 +1 ))
Im Beispiel oben:
1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4 ⇒ xMed ∈ [1; 2], z.B. xMed = 1,5
Sinnvoll ab ordinalem Skalenniveau.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
28
Univariate Daten
Lageparameter (2)
◮
Arithmetisches Mittel x̄: Durchschnitt, d.h.
n
k
i=1
j=1
1X
1X
x̄ =
xi =
aj · h(aj )
n
n
Im Beispiel:
x̄ =
1
8
· (1
+ 1 + 1} + 2
2 + 2} + |{z}
4 ) = 1,75
| + 1 {z
| + {z
1·4
2·3
4·1
Sinnvoll nur bei kardinalem Skalenniveau.
Bei klassierten Daten:
P
x̄∗ = n1
Klassenmitte · Klassenhäufigkeit
Im Beispiel:
x̄∗ =
1
12
Etschberger (HS Weingarten)
· (2,5 · 5 + 10 · 5 + 22,5 · 2) = 8,96 6= 7,5 = x̄
Mathematik 2
Sommersemester 2008
29
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Streuungsparameter
◮
◮
◮
Voraussetzung: kardinale Werte x1 , . . . , xn
Beispiel:
a) xi 1950 2000 2050
je x̄ = 2000
b) xi
0
0
6000
Spannweite: SP = max xi − min xi
i
i
Im Beispiel:
a) SP = 2050 − 1950 = 100
b) SP = 6000 − 0
= 6000
◮
Mittlere quadratische Abweichung:
n
n
1X
1X 2
2
s =
(xi − x̄) =
xi − x̄2
n
n
i=1
| i=1{z
}
2
Verschiebungssatz
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
30
Univariate Daten
Streuungsparameter (2)
◮
Mittlere quadratische Abweichung im Beispiel:
a) s2 =
=
b) s2 =
1
3
1
3
1
3
1
3
· (502 + 02 + 502 )
· (19502 + 20002 + 20502) − 20002 = 1666,67
· (20002 + 20002 + 40002)
· (02 + 02 + 60002) − 20002
√
◮ Standardabweichung: s = s2
Im Beispiel:
√
a) s = 1666,67 = 40,82
√
b) s = 8000000 = 2828,43
=
◮
= 8000000
Variationskoeffizient: V = x̄s (maßstabsunabhängig)
Im Beispiel:
a) V = 40,82
= 0,02 (b
= 2 %)
2000
b) V =
2828,43
2000
Etschberger (HS Weingarten)
= 1,41 (b
= 141 %)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
31
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Konzentrationsmaße
◮ Gegeben: kardinale Werte 0 ≦ x1 ≦ x2 ≦ · · · ≦ xn
◮ Achtung! Die Werte müssen aufsteigend sortiert werden!
◮ Lorenzkurve:
Wieviel Prozent der Merkmalssumme entfällt auf die x
Prozent kleinsten Merkmalsträger?
◮ Beispiel: Die 90 % ärmsten besitzen 20 % des Gesamtvermögens.
◮ Streckenzug: (0, 0), (u1 , v1 ), . . . , (un , vn ) = (1, 1) mit
vk = Anteil der k kleinsten MM-Träger an der MM-Summe =
k
P
i=1
n
P
xi
xi
i=1
uk = Anteil der k kleinsten an der Gesamtzahl der MM-Träger =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
k
n
Sommersemester 2008
32
Univariate Daten
Lorenzkurve: Beispiel
Markt mit fünf Unternehmen; Umsätze: 6, 3, 11, 2, 3 (Mio. €)
5
P
vk
⇒ n = 5,
xk = 25
k=1
•
k
1
2
3
4
5
xk
2
3
3
6
11
pk
vk
uk
2
25
2
25
1
5
3
25
5
25
2
5
3
25
8
25
3
5
6
25
14
25
4
5
11
25
Etschberger (HS Weingarten)
1
1
45 ◦
-L
in
ie
1
14
25
8
25
5
25
2
25
L
•
•
Mathematik 2
•
1
5
•
2
5
•
3
5
4
5
1
Sommersemester 2008
uk
33
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Lorenzkurve
◮
Knickstellen:
- Bei i-tem Merkmalsträger ⇐⇒ xi+1 > xi
- Empirische Verteilungsfunktion liefert Knickstellen:
◮
aj
2
3
6
11
h(aj )
f(aj )
F(aj )
1
2
1
1
1
5
1
5
2
5
3
5
1
5
4
5
1
5
1
Vergleich von Lorenzkurven:
•
•
•
•
➀
➀
➁
➁
•
Gleichverteilung
•
extreme Konzentration
Etschberger (HS Weingarten)
•
➁ höher konzentriert als ➀
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
•
unvergleichbar
Sommersemester 2008
34
Univariate Daten
Lorenzkurve: Beispiel Bevölkerungsanteil gegen BSP
1.0
Bangladesch
Brasilien
Deutschland
Ungarn
USA
Anteil am BSP
0.8
0.6
0.4
(Stand 2000)
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Anteil der Bevölkerung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
35
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Gini-Koeffizient
◮ Numerisches Maß der Konzentration:
Fläche zwischen 45◦ -Linie und L
=
G=
Fläche unter 45◦ -Linie
◮ Aus den Daten:
2
G=
n
P
i xi − (n + 1)
n
P
i=1
i=1
n
n
P
xi
n
P
2
xi
i pi − (n + 1)
i=1
=
wobei
n
i=1
i=1
◮ Problem: Gmax =
xi
pi = P
n
xi
n−1
n
➠ Normierter Gini-Koeffizient:
G∗ =
Etschberger (HS Weingarten)
n
· G ∈ [0; 1]
n−1
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
37
Univariate Daten
Gini-Koeffizient: Beispiel
Beispiel:
i
xi
pi
G=
Mit Gmax =
2· 1·
4−1
4
1
20
+2·
1
1
2
2
3
2
4
15
1
20
2
20
2
20
15
20
2
20
2
+ 3 · 20
+4·
4
15
20
P
20
1
− (4 + 1)
= 0,525
= 0,75 folgt
G∗ =
Etschberger (HS Weingarten)
4
· 0,525 = 0,7
4−1
Mathematik 2
Sommersemester 2008
38
2. Deskriptive Statistik
Univariate Daten
Weitere Konzentrationsmaße
◮ Konzentrationskoeffizient:
CRg = Anteil, der auf die g größten entfällt =
n
X
pi = 1 − vn−g
i=n−g+1
◮ Herfindahl-Index:
H=
n
X
p2i
(∈ [ n1 ; 1])
i=1
Es gilt: H =
1
n
(V 2 + 1)
V=
bzw.
◮ Exponentialindex:
E=
n
Y
ppi i
i=1
∈ [ n1 ; 1]
√
n·H−1
wobei
00 = 1
◮ Im Beispiel:
CR2 =
17
20
= 0,85; H =
Etschberger (HS Weingarten)
1 2
20
+ ··· +
15 2
20
= 0,59; E =
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
1
20
201
···
15
20
15
20
= 0,44
Sommersemester 2008
39
Multivariate Daten
Auswertungsmethoden für mehrdimensionales
Datenmaterial
Kontingenztabelle und Streuungsdiagramm
◮
Gegeben: Urliste vom Umfang n zu zwei Merkmalen X und Y:
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ), . . . , (xn , yn )
◮
Kontingenztabelle:
Sinnvoll bei wenigen Ausprägungen bzw. bei klassierten Daten.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
40
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenztabelle
Unterscheide:
◮
Gemeinsame Häufigkeiten:
hij = h(ai , bj )
◮
Randhäufigkeiten:
hi· =
l
X
hij
und
j=1
◮
h·j =
k
X
hij
i=1
Bedingte (relative) Häufigkeiten:
f1 (ai | bj ) =
hij
h·j
Etschberger (HS Weingarten)
und
f2 (bj | ai ) =
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
hij
hi·
Sommersemester 2008
41
Multivariate Daten
Häufigkeiten
Beispiel: 400 unfallbeteiligte Autoinsassen:
leicht verletzt schwer verletzt
(= b1 )
(= b2 )
angegurtet
(= a1 )
nicht angegurtet
(= a2 )
f2 (b3 | a2 ) =
f1 (a2 | b3 ) =
4
40
4
10
= 0,1
= 0,4
Etschberger (HS Weingarten)
tot
(= b3 )
264
(= h11 )
2
(= h21 )
90
(= h12 )
34
(= h22 )
6
(= h13 )
4
(= h23 )
360
(= h1· )
40
(= h2· )
266
(= h·1 )
124
(= h·2 )
10
(= h·3 )
400
(= n)
(10 % der nicht angegurteten starben.)
(40 % der Todesopfer waren nicht angegurtet.)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
42
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Streuungsdiagramm
Streuungsdiagramm sinnvoll bei vielen verschiedenen Ausprägungen
(z.B. stetige Merkmale)
➠ Alle (xi , yi ) sowie (x̄, ȳ) in Koordinatensystem eintragen.
y
Beispiel:
i
1 2 3 4 5
xi
yi
2 4 3 9 7
4 3 6 7 8
⇒ x̄ =
ȳ =
25
5
28
5
x̄
8
P
25
28
=5
= 5,6
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
•
•
•
•
•
ȳ
•
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
43
Multivariate Daten
Korrelationsrechnung
◮
Frage: Wie stark ist der Zusammenhang zwischen X und Y?
◮
Antwort: Korrelationskoeffizienten
◮
Wahl abhängig vom Skalenniveau von X und Y:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
45
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Voraussetzung: X, Y kardinalskaliert
n
P
n
P
xi yi − nx̄ȳ
i=1
s
=s
∈ [−1; +1]
r = s i=1
n
n
n
n
P
P
P
P
(yi − ȳ)2
(xi − x̄)2
x2i − nx̄2
y2i − nȳ2
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
i=1
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
i=1
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
46
Multivariate Daten
Bravais-Pearson-Korrelationskoeffizient
Im Beispiel:
i
1
2
3
4
5
P
x2i
y2i
xi yi
4
16
9
81
49
16
9
36
49
64
8
12
18
63
56
25 28 159 174
157
xi yi
2
4
3
9
7
4
3
6
7
8
Etschberger (HS Weingarten)

























x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 28/5 = 5,6
⇒
Mathematik 2
157 − 5 · 5 · 5,6
√
159 − 5 · 52 174 − 5 · 5,62
= 0,703
r= √
(stark positive Korrelation)
Sommersemester 2008
47
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
◮
◮
Voraussetzung: X, Y (mindestens) ordinalskaliert
Vorgehensweise:
(′)
➀ Rangnummern Ri (X) bzw. Ri′ (Y) mit Ri = 1 bei größtem Wert
usw.
➁ Berechne
n
P
6 (Ri − Ri′ )2
rSP = 1 − i=1
∈ [−1; +1]
(n − 1) n (n + 1)
◮
Hinweise:
- rSP = +1 wird erreicht bei Ri = Ri′
- rSP = −1 wird erreicht bei Ri = n + 1 − Ri′
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
∀ i = 1, . . . , n
∀ i = 1, . . . , n
Sommersemester 2008
48
Multivariate Daten
Rangkorrelationskoeffizient von Spearman
Im Beispiel:
rSP
xi
Ri
yi
Ri′
2
4
3
9
7
5
3
4
1
2
4
3
6
7
8
4
5
3
2
1
6 · [(5 − 4)2 + (3 − 5)2 + (4 − 3)2 + (1 − 2)2 + (2 − 1)2 ]
=1−
= 0,6
(5 − 1) · 5 · (5 + 1)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
49
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
◮
◮
Gegeben: Kontingenztabelle mit k Zeilen und l Spalten (vgl. hier)
Vorgehensweise:
➀ Ergänze Randhäufigkeiten
hi· =
l
X
hij
und
j=1
h·j =
k
X
hij
i=1
➁ Berechne theoretische Häufigkeiten“
”
hi· · h·j
h̃ij =
n
➂ Berechne
2
χ =
k X
l
X
(hij − h̃ij )2
i=1 j=1
h̃ij
χ2 hängt von n ab! (hij 7→ 2 · hij ⇒ χ2 7→ 2 · χ2 )
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
50
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
➃ Kontingenzkoeffizient:
K=
wobei
s
χ2
n + χ2
r
M−1
mit
M
➄ Normierter Kontingenzkoeffizient:
Kmax =
K∗ =
K
Kmax
∈ [0; Kmax ]
M = min{k, l}
∈ [0; 1]
K∗ = +1 ⇐⇒
bei Kenntnis von xi kann yi erschlossen werden u.u.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
51
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Kontingenzkoeffizient
Beispiel
X:
Y:
Staatsangehörigkeit
Geschlecht
hij
d
a
h·j
wobei h̃11 =
χ2 =
(30−24)2
24
K =
q
K∗ =
6,25
100+6,25
0,2425
0,7071
m
30
10
40
60·40
100
+
(d,a)
(m,w)
hi·
60
40
100
w
30
30
60
h̃ij
⇒ d
a
m
24
16
w
36
24
= 24 usw.
(30−36)2
36
+
= 0,2425;
(10−16)2
16
+
(30−24)2
24
= 6,25
M = min{2, 2} = 2;
Kmax =
= 0,3430
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
q
2−1
2
= 0,7071
Sommersemester 2008
52
Multivariate Daten
Regressionsrechnung
◮
Interpretiere Y als Funktion von X:
y = f(x)
◮
X heißt Regressor bzw. unabhängige Variable
Y heißt Regressand bzw. abhängige Variable
◮
Hauptfall: f ist eine Gerade:
y = a+ bx
◮
Lineare Regression: Schätze a und b
◮
Prinzip der kleinsten Quadrate: a, b so, dass
n
X
Q(a, b) =
[yi − (a + b xi )]2 → min
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
53
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Prinzip der kleinsten Quadrate
Eindeutige Lösung:
b̂
=
=
n
X
(xi − x̄)(yi − ȳ)
i=1
n
X
n
X
(xi − x̄)2
i=1
xi yi − nx̄ȳ
i=1
n
X
x2i − nx̄2
i=1
und
â
=
ȳ − b̂ x̄
Regressionsgerade: ŷ = â + b̂ x
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
54
Multivariate Daten
Beispiel Regressionsrechnung
Alle (xi , yi ) sowie (x̄, ȳ) als Streuplot in Koordinatensystem
eingetragen
y
Beispiel:
i
1 2 3 4 5
xi
yi
2 4 3 9 7
4 3 6 7 8
⇒ x̄ =
ȳ =
25
5
28
5
x̄
8
=5
= 5,6
P
25
28
8
7
7
6
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
•
•
•
•
•
ȳ
•
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
55
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Regressionsrechnung: Beispiel
i
1
2
3
4
5
P
x2i
y2i xi yi
4
16
9
81
49
16
9
36
49
64
8
12
18
63
56
25 28 159 174
157
xi yi
2
4
3
9
7
n
x̄
ȳ
P 2
xi
P
xi yi
⇒ b̂
â
⇒y
4
3
6
7
8
y
8
7
6
5
4
=
=
=
=
=
=
=
=
5
5
5,6
159
157
3
2
1
x̄
8
•
7
â + b̂ x
•
6
•
5
4
•
ȳ
•
3
•
2
1
0
0
157−5·5·5,6
159−5·52
= 0,5
5,6 − 0,5 · 5 = 3,1
3,1 + 0,5 x
Etschberger (HS Weingarten)
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
6
7
7
8
8
9
9
x
Prognose: ŷ(10) = 3,1 + 0,5 · 10 = 8,1
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
56
Multivariate Daten
Determinationskoeffizient
◮ Wie gut beschreibt â + b̂ x den Zusammenhang von X und Y?
◮ Q(â, b̂) =
n
P
(yi − ŷi )2 als Gütemaß ungeeignet (beliebig groß)
i=1
◮ Determinationskoeffizient (Bestimmtheitskoeffizient):
n
P
(ŷi − ȳ)2
n
P
ŷ2i − nȳ2
R2 = i=1
= i=1
= r2 ∈ [0; 1]
n
n
P
P
(yi − ȳ)2
y2i − nȳ2
i=1
i=1
◮ R2 heißt auch durch die Regression erklärter Anteil der Varianz“
”
◮ R2 = 0 wird erreicht wenn X, Y unkorreliert
R2 = 1 wird erreicht wenn ŷi = yi ∀ i (alle Punkte auf Regressionsgerade)
P 2
◮ Im Beispiel: ŷi = 3,1 + 0,5 xi , n = 5, ȳ = 5,6,
yi = 174
2
2 −5·5,62
= 0,4942
R2 = 4,1 +···+6,6
i
1
2
3
4
5
174−5·5,62
⇒
ŷi
4,1 5,1 4,6 7,6 6,6
R2 = r2 = 0,7032
= 0,4942
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
57
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Modell des additiven Zeitreihenmodells
◮
Additives Zeitreihenmodell: yt = Tt + Zt + St + Ut mit:
Tt
Zt
St
Ut
:
:
:
:
Trendkomponente, i.d.R. linear
Zyklische Komponente, i.d.R. wellenförmig
Saisonkomponente, durch saisonalen Einfluss
Irreguläre Komponente, schwankt regellos um 0
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
61
Multivariate Daten
Ermittlung der Zeitreihenkomponenten
◮
Tt : i.d.R. mit Regression nach t,
T̂t = â + b̂ · t
=⇒ Trendbereinigte Zeitreihe yt − T̂t
◮
Zt : Schätze zuerst die glatte Komponente
G t = Tt + Z t
auf Basis gleitender Durchschnitte =⇒
Ẑt = Ĝt − T̂t
(Hier nicht weiter betrachtet)
◮
St : Schätzung durch Saisonbereinigung
◮
Ut : Bleiben unberücksichtigt
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
62
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung: Gleitende Durchschnitte
◮
Zur Schätzung der glatten Komponente
◮
Ordnung“: Anzahl einbezogener Perioden =
b Saisonlänge
”
Gleitender Durchschnitt ungerader Ordnung 2 k + 1:
◮
y∗t
t+k
X
1
yτ
=
2k + 1
τ=t−k
◮
Gleitender Durchschnitt gerader Ordnung 2 k:


t+(k−1)
X
yt+k 
1  yt−k
∗
yτ +
+
yt =
2k
2
2
τ=t−(k−1)
◮
Problem: Am Rand“ gehen Werte verloren.
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
63
Multivariate Daten
Beispiel gleitende Durchschnitte
Beispiel:
Wochentage, tägliche Daten
=⇒ Saisonlänge: 7
yt
y∗t
Mo Di Mi Do Fr Sa So Mo Di Mi Do Fr Sa So
3
4 5
5
4
2
1
2
4 4
5 3 1 1
− − − 3,43 3,29 3,29 3,14 3,14 3 2,86 2,86 − − −
Wert 1. Donnerstag:
1
7
· (3 + 4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1) = 3,43
Wert 1. Freitag:
1
7
· (4 + 5 + 5 + 4 + 2 + 1 + 2) = 3,29 = 3,43 −
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3
7
+
2
7
Sommersemester 2008
64
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung
◮
Aus yt = Tt + Zt + St + Ut
folgt St = yt − (Tt + Zt ) .
| {z }
Ut = 0
unter Annahme von
= Gt
◮
Also: Schätze Gt mit gleitenden Durchschnitten y∗t und dann St gemäß
yt − y∗t
( um die glatte Komponente bereinigte Zeitreihe“).
”
◮ Periodentypische Abweichung (konstante Saisonfigur):
S̃j =
1 X
(yt − y∗t )
mj
Dabei: mj ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S̃j eingehen
(z.B. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
65
Multivariate Daten
Saisonbereinigung
Achtung: Anderer Index!
t = 1, . . . , n :
j = 1, . . . , ℓ :
◮
Alle Perioden der Zeitreihe
Perioden einer Saison
Aber: Im Allgemeinen ist
ℓ
X
j=1
S̃j 6= 0
=⇒ Saisonveränderungszahl:
ℓ
1X
S̃j
Ŝj = S̃j −
ℓ
j=1
◮
Saisonbereinigte Zeitreihe: yt − Ŝj
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
66
2. Deskriptive Statistik
Multivariate Daten
Saisonbereinigung: Rezept“
”
Rezept Saisonbereinigung
y∗t
1.
Gleitende Durchschnitte der Ordnung ℓ:
2.
Um glatte Komponente bereinigte Werte: yt − y∗t
3.
Periodendurchschnitte:
4.
Normierte Werte:
5.
Saisonbereinigte Zeitreihe:
1
mj
P
(yt − y∗t )
P
S̃j
Ŝj = S̃j − 1ℓ
S̃j =
yt − Ŝj
Dabei:
◮
mj ist Anzahl der Werte, die in die Berechnung von S̃j eingehen
(z.B. Anzahl aller gleitenden Durchschnittswerte für Januar)
◮
l ist Anzahl der Saisonteile (z.B. l = 12 bei Jahressaisonfiguren mit
monatlichen Daten)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
67
Verhältnis- und Indexzahlen
Klassifikation von Verhältniszahlen
Verhältniszahlen und Indexzahlen
Gliederungszahlen
(z.B. Eigenkapitalquote)
Verhältniszahlen
(Quotienten)
Messzahlen
(z.B. Preismesszahlen)
Beziehungszahlen
(z.B. Variationskoeffizient)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
68
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes
◮
Preismesszahl: Misst Preisveränderung eines einzelnen Gutes:
Preis zum Zeitpunkt j
Preis zum Zeitpunkt i
dabei: j: Berichtsperiode, i: Basisperiode
◮
Preisindex: Misst Preisveränderung mehrerer Güter
(Aggregation von Preismesszahlen durch Gewichtung)
◮
Notation:
p0 (i) :
pt (i) :
q0 (i) :
qt (i) :
Preis des i-ten Gutes in Basisperiode
0
Preis des i-ten Gutes in Berichtsperiode t
Menge des i-ten Gutes in Basisperiode
0
Menge des i-ten Gutes in Berichtsperiode t
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
69
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes
◮ Gleichgewichteter Preisindex:
G
P0t
n
n
X
pt (i)
1 X pt (i)
=
· g(i)
=
n
p0 (i)
p0 (i)
g(i) =
mit
i=1
i=1
1
n
Nachteil: Auto und Streichhölzer haben gleiches Gewicht
Lösung: Preise mit Mengen gewichten!
◮ Preisindex von Laspeyres:
L
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)q0 (i)
n
X
pt (i)
· g0 (i)
p0 (i)
mit
n
X
pt (i)
=
· gt (i)
p0 (i)
mit
=
p0 (i)q0 (i)
i=1
g0 (i) =
i=1
p0 (i) q0 (i)
n
P
p0 (j) q0 (j)
j=1
◮ Preisindex von Paasche:
P
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)qt (i)
p0 (i)qt (i)
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
i=1
Mathematik 2
gt (i) =
p0 (i) qt (i)
n
P
p0 (j) qt (j)
j=1
Sommersemester 2008
70
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Preisindizes: Beispiel
Campuslebenshaltungskosten:
1990
Gut 1:
Gut 2:
Preis (DM)
Menge/Woche
Preis (DM)
Menge/Woche
0,65
3,50
3
5
1,10
4,80
1
2
1 Tasse Kaffee
1 Mensaessen
L
P90,01
=
P
P90,01
2001
3
1,10 · 3 + 4,80 · 5
27,3
=
= 1,4036
0,65 · 3 + 3,50 · 5
19,45
1,10 ·
=
0,65 ·
1
2
1
2
Etschberger (HS Weingarten)
+ 4,80 · 3
14,95
=
= 1,3811
10,825
+ 3,50 · 3
Mathematik 2
2. Deskriptive Statistik
Sommersemester 2008
71
Verhältnis- und Indexzahlen
Weitere Preisindizes
◮
Idealindex von Fisher:
F
P0t
◮
Marshall-Edgeworth-Index:
ME
P0t
=
n
P
i=1
n
P
=
q
L PP
P0t
0t
pt (i)[q0 (i) + qt (i)]
p0 (i)[q0 (i) + qt (i)]
i=1
◮
Preisindex von Lowe:
LO
P0t
=
n
P
i=1
n
P
pt (i)q(i)
p0 (i)q(i)
i=1
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
72
2. Deskriptive Statistik
Verhältnis- und Indexzahlen
Weitere Preisindizes: Beispiel
Campuslebenshaltungskosten:
1990
Gut 1:
Gut 2:
Preis (DM)
Menge/Woche
Preis (DM)
Menge/Woche
0,65
3,50
3
5
1,10
4,80
1
2
1 Tasse Kaffee
1 Mensaessen
F
P90,01
=
ME
P90,01
√
2001
1,4036 · 1,3811
3
= 1,3923
1,10 · (3 + 21 ) + 4,80 · (5 + 3)
42,25
=
= 1,3955
=
30,275
0,65 · (3 + 21 ) + 3,50 · (5 + 3)
LO
P90,01
=
1,10 · 2 + 4,80 · 4
0,65 · 2 + 3,50 · 4
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
=
21,4
= 1,3987
15,3
Sommersemester 2008
73
Sommersemester 2008
74
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsparameter
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
◮
Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem Ausgang, z.B. Münzwurf
◮
Elementarereignis ω: Ein möglicher Ausgang, z.B. Kopf “
”
Elementarereignisse schließen sich gegenseitig aus
( Kopf “ oder Zahl“)!
”
”
Ergebnismenge Ω: Menge aller ω
◮
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:


(1, 1) (1, 2) · · · (1, 6)




(2, 1) (2, 2) · · · (2, 6)

Ω:
..
..
.. 
..

.
.
.
. 





(6, 1) (6, 2) · · · (6, 6)
⇒ Ω = {(x1 , x2 ) : x1 , x2 ∈ {1, . . . , 6}}
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
75
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten
◮
◮
◮
◮
Ereignis A: Folgeerscheinung eines Elementarereignisses
Formal:
A⊂Ω
Ereignisse schließen sich nicht gegenseitig aus!
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
Ereignis
Augensumme = 4
Erste Zahl = 2
A
B
◮
◮
verbal
formal
{(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
{(2, 1), (2, 2), . . . , (2, 6)}
Wahrscheinlichkeit P(A): Chance für das Eintreten von A
Laplace-Wahrscheinlichkeit:
P(A) =
Etschberger (HS Weingarten)
|A|
Anzahl der für A günstigen Fälle
=
|Ω|
Anzahl aller möglichen Fälle
Mathematik 2
Sommersemester 2008
76
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Laplace Wahrscheinlichkeit und Urnenmodell
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
Augensumme = 4 : A = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}
◮
3
1
|Ω| = 36, |A| = 3 ⇒ P(A) = 36
= 12
= 0,083
Urnenmodell: Ziehe n Objekte aus einer Menge mit N Objekten
Anzahl Möglichkeiten:
mit Zurücklegen: Nn
ohne Zurücklegen: N · (N − 1) · · · (N − (n − 1)) =
◮
N!
(N−n)!
Beispiel:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, aus einem gut gemischten 32-er
Kartenblatt bei viermaligem Ziehen vier Asse zu bekommen?
a) Ziehen mit Zurücklegen,
b) Ziehen ohne Zurücklegen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
77
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten
◮
Wichtige Rechenregeln:
1.
2.
3.
4.
5.
◮
P(A) ≦ 1
P(∅) = 0
A ⊂ B ⇒ P(A) ≦ P(B)
P(Ā) = 1 − P(A)
P(A1 ∪ A2 ) = P(A1 ) + P(A2 ) − P(A1 ∩ A2 )
Beispiel:
P( Augenzahl ≦ 5“) = 1 − P( Augenzahl = 6“) = 1 −
”
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1
6
=
Sommersemester 2008
5
6
78
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
◮
Wahrscheinlichkeit von A hängt von anderem Ereignis B ab.
(B kann zeitlich vor A liegen, muss aber nicht!)
◮
Beispiel: Wahrscheinlichkeit für Statistiknote hängt von Mathenote ab.
◮
Formal:
P(A | B) =
◮
P(A ∩ B)
P(B)
Im Venndiagramm:
Ω
B
P(A) =
P(A | B) =
A
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
79
Zufall und Wahrscheinlichkeit
Unabhängigkeit von Ereignissen
◮
A, B unabhängig: Eintreten von A liefert keine Information über P(B) u.u.
◮
Formal:
P(A | B) = P(A)
◮
Äquivalent zu:
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
◮
Dann gilt:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) · P(B)
◮
Beispiel: Werfen zweier Würfel:
P(A ∩ B)
A : erster Würfel gleich 6“
”
⇒ P(A | B) =
=
B : zweiter Würfel gleich 6“
P(B)
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
1
36
1
6
=
1
6
= P(A)
Sommersemester 2008
80
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Zufallsvariablen
Zufallsvariablen und Verteilungen
◮
Beschreibung von Ereignissen durch reelle Zahlen
◮
Formal:
◮
X: Ω→R
Nach Durchführung des Zufallsvorgangs:
x = X(ω)
Realisation:
◮
Vor Durchführung des Zufallsvorgangs:
Wertebereich:
◮
X(Ω) = {x : x = X(ω), ω ∈ Ω}
Beispiel: Würfeln, X: Augenzahl, X(Ω) = {1, 2, . . . , 6}, x = 4 (z.B.)
P(X = 4) = 61 ,
Etschberger (HS Weingarten)
P(X ≦ 3) =
3
6
=
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
1
2
Sommersemester 2008
81
Zufallsvariablen und Verteilungen
Verteilungsfunktion
◮ Zuweisung von Wahrscheinlichkeiten zu Realisationen
◮ Formal:
F(x) = P(X ≦ x)
◮ Eigenschaften:
-
F(x) ∈ [0; 1]
Definitionsbereich: R mit F(−∞) = 0, F(∞) = 1
monoton wachsend, d.h. x1 < x2 ⇒ F(x1 ) ≦ F(x2 )
Es gilt:
P(a < X ≦ b) = F(b) − F(a)
F(x)
1.0
0.5
1
Etschberger (HS Weingarten)
2
3
4
5
6
Mathematik 2
7
8
9
10
x
Sommersemester 2008
82
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Diskrete Zufallsvariablen
◮ X heißt diskret, wenn X(Ω) = {x1 , x2 , . . . } endlich ist.
◮ Wahrscheinlichkeitsfunktion dann:
f(x) = P(X = x)
Beispiel: Münze 2 mal werfen; X: Anzahl Kopf“
”
xi
f(xi )
(Z, Z)
(Z, K), (K, Z)
(K, K)
0
1
2
1
4
1
2
1
4
f(x)

0,


1
,
F(x) = 34
,


4
1,
F(x)
1
3
4
1
2
1
4
falls
x
falls 0 ≦ x
falls 1 ≦ x
falls
x
•
•
1
0
1
4
•
2
Etschberger (HS Weingarten)
x
0
1
2
2
•
•
•
0
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
<
<
<
≧
1
2
x
Sommersemester 2008
83
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung
◮
Wiederholter Zufallsvorgang
◮
n Durchführungen
◮
Pro Durchführung: A oder Ā mit P(A) = p (=
b Ziehen mit
Zurücklegen)
◮
Schreibe:
Xi =
◮
1, falls A bei i-ter Durchführung eintritt
0, falls Ā bei i-ter Durchführung eintritt
Dann gibt
X=
n
X
Xi
i=1
an, wie oft A eintritt.
◮
Gesucht: Wahrscheinlichkeitsfunktion von X
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
84
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung
◮
Herleitung:
1) P(Xi = 1) = P(A) = p, P(Xi = 0) = P(Ā) = 1 − p
n
P
2)
xi = x entspricht x mal Ereignis A und n − x mal Ā“
”
i=1
Wahrscheinlichkeit (bei Unabhängigkeit): px · (1 − p)n−x
n
3) Aber: Reihenfolge irrelevant! Anzahl Anordnungen:
x
➠ Wahrscheinlichkeitsfunktion:
 
 n · px · (1 − p)n−x , falls x ∈ {0, 1, . . . , n}
x
f(x) =


0,
sonst
◮
Kurzschreibweise: X ∼ B(n; p)
◮
F(x) in Tabelle 1; für f(x) gilt: f(x) = F(x) − F(x − 1)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
85
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung: Beispiel
Beispiel
Aus einem 32-er Kartenblatt wird 3-mal eine Karte mit Zurücklegen gezogen.
Wie wahrscheinlich ist es, 2-mal Herz“ zu ziehen?
”
1, falls i-te Karte Herz
8
Xi =
⇒ Xi ∼ B(1; 32
)
0,
sonst
n
P
Xi = X1 + X2 + X3
⇒ X ∼ B(3; 41 )
X =
i=1
Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
3
P(X = 2) = f(2) =
· 0,252 · 0,751 = 0,1406
2
Mithilfe von Tabelle 1:
P(X = 2) = F(2) − F(1) = 0,9844 − 0,8438 = 0,1406
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
86
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Binomialverteilung (BB S. 308)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
87
Zufallsvariablen und Verteilungen
Hypergeometrische Verteilung
◮
n-faches Ziehen ohne Zurücklegen aus N Objekten,
davon M markiert.
X = Anzahl gezogener Objekte mit Markierung
◮
◮
◮
heißt hypergeometrisch verteilt mit den Parametern N, M, n.
Kurzschreibweise: X ∼ Hyp(N; M; n)
Wahrscheinlichkeitsfunktion:
 M
N
−
M




n−x
 x
, falls x möglich
f(x) =
N



n


0,
sonst
Ist n ≦
N
20 ,
so gilt: Hyp(N; M; n) ≈ B(n; M
N)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
88
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Beispiel
◮
Aus einem 32-Kartenblatt wird 3-mal eine Karte ohne Zurücklegen
gezogen.
◮
Wie wahrscheinlich ist es, 2-mal Herz“ zu ziehen?
”
D.h.: N = 32, M = 8, n = 3, x = 2.
8
24
8
32 − 8
8!
· 24
2
1
2
3−2
2!
·
6!
= =
P(X = 2) = f(2) =
32!
32
32
3! · 29!
3
3
8 · 7 · 3 · 24
4032
21
29! · 8! · 3! · 24
=
=
=
= 0,1355
=
32! · 6! · 2!
32 · 31 · 30
29760
155
n!
n
n
Dabei wurde verwendet:
=
und
= n.
k
1
k!(n − k)!
◮
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
89
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung
Approximation für B(n; p) und Hyp(N; M; n)
◮ Geeignet, wenn p klein (≦ 0,1), n groß (≧ 50) und np ≦ 10.
➠ Verteilung der seltenen Ereignisse“ (z.B. Anzahl 6-er pro
”
Lottoausspielung)
◮ Kurzschreibweise: X ∼ P(λ)
◮ Wahrscheinlichkeitsfunktion:
x
λ
· e−λ , falls x = 0, 1, 2, . . .
f(x) = x!
0,
sonst
◮
◮
◮
F(x) in Tabelle 2
Überblick: Approximation
p=
Hyp(N; M; n)
Etschberger (HS Weingarten)
M
N
B(n; p)
Mathematik 2
λ = np = n M
N
P(λ)
Sommersemester 2008
90
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung: Beispiel
Beispiel
◮ X ∼ B(10 000; 0,0003); In Tabelle 1 nicht vertafelt! Approximation:

p = 0,0003 < 0,1
n = 10 000 > 50 ⇒ B(10 000; 0,0003) ≈ P(3)

np = 3
< 10
◮ Mithilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion:
P(X = 5) =
35 −3
· e = 0,1008188
5!
◮ Mithilfe von Tabelle 2:
P(X = 5) = F(5) − F(4) = 0,9161 − 0,8153 = 0,1008
◮ Exakter Wert: P(X = 5) = 0,1008239
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
91
Zufallsvariablen und Verteilungen
Poisson-Verteilung (BB S. 317)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
92
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Stetige Zufallsvariablen
◮
X heißt stetig, wenn F(x) stetig ist.
◮
Dann gilt:
F(x) =
Zx
f(t) dt
−∞
F ′ (x) = f(x) heißt Dichtefunktion von X.
◮
Dann:
P(a < X < b) = P(a ≦ X < b)
= P(a < X ≦ b)
= P(a ≦ X ≦ b)
Rb
= a f(x) dx
= F(b) − F(a)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
93
Zufallsvariablen und Verteilungen
Eigenschaften der Dichtefunktion
◮
◮
f(x) ≧ 0 für alle x ∈ R
Wegen F(∞) = 1 muss stets gelten:
Z∞
f(x) dx = 1
−∞
◮
◮
P(X = x) = 0 für alle x ∈ R
f(x) > 1 ist möglich
◮
F ′ (x) = f(x)
◮
Intervallgrenzen spielen keine Rolle:
P(X ∈ [a; b]) = P(X ∈ (a; b]) = P(X ∈ [a; b)) = P(X ∈ (a; b)) = F(b) − F(a)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
94
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Dichtefunktion: Beispiel
Beispiel
Verteilungsfunktion:
Zx

x<0
 0, falls
1
f(x) = 10 , falls 0 ≦ x ≦ 10

0, falls
x > 10
f(t) dt =
0
Zx
0
x
1
t
x
dt =
⇒
=
10
10 0
10

x<0
 0, falls
x
F(x) = 10 , falls 0 ≦ x ≦ 10

1, falls
x > 10
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
95
Zufallsvariablen und Verteilungen
Gleichverteilung
Eine Zufallsvariable X mit


1
, falls a ≦ x ≦ b
f(x) = b − a
 0 , sonst
heißt gleichverteilt im Intervall [a; b].
f(x)
1
b−a
a
Etschberger (HS Weingarten)
b
Mathematik 2
x
Sommersemester 2008
96
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Gleichverteilung
◮
Verteilungsfunktion:





◮
0 , falls
x<a
x−a
, falls a ≦ x ≦ b
F(x) =

b
−
a


 1 , falls
x>b
Beispiel: X gleichverteilt in [1; 20]
P(2 ≦ X ≦ 12) = F(12) − F(2) =
12 − 1
2−1
−
20 − 1 20 − 1
10
12 − 2
=
20 − 1
19
= 0,5263
=
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
97
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung
Eine Zufallsvariable X mit
f(x) =
1
√
σ 2π
(x − µ)2
−
2σ2
·e
und σ > 0 heißt normalverteilt.
Kurzschreibweise: X ∼ N(µ; σ)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
98
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung: Gaußkurve
Gaußsche Glockenkurve f(x)
Etschberger (HS Weingarten)
C. F. Gauß
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
99
Zufallsvariablen und Verteilungen
Eigenschaften der Normalverteilung
◮
Dichte ist symmetrisch zu µ:
f(µ − x) = f(µ + x)
➠ µ ist Lage-, σ ist Streuungsparameter
◮ Standardnormalverteilung:
N(0; 1) mit Verteilungsfunktion Φ(x) (→ Tabelle 3)
◮ Kenntnis von Φ(x), µ und σ genügt, denn:
⇒
X ∼ N(µ; σ) ⇐⇒ X−µ
σ ∼ N(0; 1)
x−µ
F(x) = Φ
σ
◮
Tabelle 3 enthält nur positive x:
Φ(−x) = 1 − Φ(x)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
100
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Zufallsvariablen und Verteilungen
Normalverteilung: Beispiel
Beispiel:
Projektdauer X ∼ N(39; 2).
Wahrscheinlichkeit für Projektdauer zwischen 37 und 41 Wochen?
P(37 ≦ X ≦ 41) = F(41) − F(37)
41−39
−Φ
=Φ 2
37−39
2
= Φ(1) − Φ(−1)
= Φ(1) − [1 − Φ(1)]
= 2 · Φ(1) − 1
= 2 · 0,8413 − 1
= 0,6826
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
101
Zufallsvariablen und Verteilungen
Standardnormalverteilung (BB S. 319)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
102
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Lageparameter
a) Modus xMod : f(xMod ) ≧ f(x) für alle x
(i.A. nicht eindeutig, z.B. Gleichverteilung)
Beispiele:
- Normalverteilung: xMod = µ
- Diskrete Verteilung mit:
x 0 1 2
f(x) 41 21 41
b) Median xMed : F(xMed ) =
1
2
⇒ xMod = 1
bzw. kleinstes x mit F(x) >
1
2
Beispiele:
- Normalverteilung: xMed = µ
- Diskrete Verteilung oben: F(0) =
Etschberger (HS Weingarten)
1
4
< 21 , F(1) =
3
4
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
>
1
2
⇒ xMed = 1
Sommersemester 2008
103
Verteilungsparameter
Lageparameter: Fraktile
c) α -Fraktil xα : F(xα ) = α (für stetige Verteilungen)
Beispiel: X ∼ N(0; 1), Y ∼ N(3; 2)
x0,975 =
1,96
x0,025 = −x0,975
= −1,96
y0,025 = 2 · x0,025 +3 = −0,92
(Tab. 3)
Hinweise:
- xMed = x0,5
- Wenn xα nicht vertafelt → Interpolation:
xα ≈ xa + (xb − xa ) ·
mit
α−a
b−a
a : größte vertafelte Zahl < α
b : kleinste vertafelte Zahl > α
Beispiel: X ∼ N(0; 1); x0,6 ≈ 0,25 + (0,26 − 0,25) ·
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
0,6−0,5987
0,6026−0,5987
= 0,2533
Sommersemester 2008
104
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Lageparameter: Erwartungswert
d) Erwartungswert E(X) bzw. µ:
X

xi f(xi ),




i


E(X) =
∞
Z





xf(x) dx,


falls X diskret
falls X stetig
−∞
x 0 1 2
f(x) 41 21 41
Beispiel: Diskrete Verteilung
E(X) = 0 ·
Etschberger (HS Weingarten)
1
4
+1·
1
2
:
+2·
1
4
=1
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
105
Verteilungsparameter
Rechenregeln für den Erwartungswert
➀ Ist f symmetrisch bzgl. a, so gilt E(X) = a
Beispiel: f der Gleichverteilung symmetrisch bzgl.
a+b
2
➁ Lineare Transformation:
⇒ E(X) =
a+b
2
E(a + bX) = a + b · E(X)
➂ Summenbildung:
E
n
X
i=1
Xi
!
=
n
X
E(Xi )
i=1
Beispiel: X gleichverteilt in [0; 10], Y ∼ N(1; 1); Z = X + 5Y
E(Z) = E(X + 5Y) = E(X) + E(5Y) = E(X) + 5 · E(Y) =
10+0
2
+ 5 · 1 = 10
➃ Unabhängigkeit:
X, Y unabhängig ⇒ E(X · Y) = E(X) · E(Y)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
106
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Streuungsparameter
◮ Varianz Var(X) bzw. σ2 :
X

[xi − E(X)]2 f(xi ), f. X diskret




 i
Var(X) = E([X − E(X)]2 ) =
∞
Z




[x − E(X)]2 f(x) dx, f. X stetig


−∞
◮ Standardabweichung Sta(X) bzw. σ:
Sta(X) =
p
Var(X)
x 0 1 2
f(x) 41 21 14
◮ Beispiel: Diskrete Verteilung
Var(X) = (0 − 1)2 ·
Etschberger (HS Weingarten)
:
1
1
1
1
+ (1 − 1)2 · + (2 − 1)2 · =
4
2
4
2
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
107
Sommersemester 2008
108
Verteilungsparameter
Rechenregeln für die Varianz
➀ Verschiebungssatz:
Var(X) = E(X2 ) − [E(X)]2
Beispiel: Diskrete Verteilung
E(X2 )
=
=
⇒
E(X2 ) − [E(X)]2
=
x 0 1 2
f(x) 14 12 41
02 ·
3
2
3
2
1
4
:
1
2
+ 12 ·
− 12 =
1
2
+ 22 ·
1
4
= Var(X)
➁ Lineare Transformation:
Var(a + bX) = b2 Var(X)
➂ Summenbildung:
Var
n
X
i=1
Xi
!
=
n
X
Var(Xi )
i=1
Setzt Unabhängigkeit der Xi voraus!
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Verteilungsparameter
Erwartungswerte und Varianzen wichtiger Verteilungen
Verteilung von X
E(X)
VarX
Binomialverteilung B(n; p)
np
np(1 − p)
Hypergemoetrische Verteilung
mit den Parametern N, M, n
nM
N
N−M N−n
nM
N N
N−1
Posson-Verteilung P(λ)
λ
λ
a+b
2
(b − a)2
12
µ
σ2
Gleichverteilung in [a; b]
mit a < b
Normalverteilung N(µ; σ)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
3. Wahrscheinlichkeitstheorie
Sommersemester 2008
109
Verteilungsparameter
Kovarianz und Korrelation
◮ Kovarianz:
Cov(X, Y)
= E[(X − E(X))(Y − E(Y))]
= E(X · Y) − E(X) · E(Y)
(Verschiebungssatz)
◮ Korrelationskoeffizient:
◮ Bemerkungen:
ρ(X, Y) = p
Cov(X, Y)
Var(X) · Var(Y)
➀ ρ ist r nachgebildet ⇒ ρ ∈ [−1; 1]
➁ |ρ| = 1 ⇐⇒ Y = a + bX (mit b 6= 0)
➂ ρ = 0 ⇐⇒ X, Y unkorreliert
◮ Varianz einer Summe zweier ZV:
Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2 Cov(X, Y)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
110
4. Induktive Statistik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
Grundlagen
Punkt-Schätzung
Intervall-Schätzung
Signifikanztests
5
Finanzmathematik
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
111
Grundlagen
Grundlagen der induktiven Statistik
◮
Vollerhebung of unmöglich,
◮
Deshalb: Beobachte Teilgesamtheit und schließe auf
Grundgesamtheit
Beispiel
Warensendung von 1000 Stück; darunter M Stück Ausschuss.
M ist unbekannt.
→ Zufällige Entnahme von n = 30 Stück ( Stichprobe“).
”
Darunter 2 Stück Ausschuss.
Denkbare Zielsetzungen:
2
30
· 1000 = 66,67)
◮
Schätze M durch eine Zahl (z.B.
◮
Schätze ein Intervall für M (z.B. M ∈ [58; 84])
◮
Teste die Hypothese, dass M > 50 ist.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
112
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Grundbegriffe
◮
Grundgesamtheit (G): Menge aller relevanten Merkmalsträger.
◮
Verteilung von G: F(x) = P(X ≦ x) = Wahrscheinlichkeit, dass ein
Merkmalsträger ausgewählt wird, der beim untersuchten Merkmal maximal
die Ausprägung x aufweist.
◮
Uneingeschränkte (reine) Zufallsauswahl:
Jedes Element von G hat die selbe Chance, ausgewählt zu werden.
◮
Stichprobenumfang (n): Anzahl der Merkmalsträger in der Stichprobe.
◮
Einfache Stichprobe:
Uneingeschränkte Zufallsauswahl und unabhängige Ziehung.
→ Alle Stichprobenvariablen X1 , . . . , Xn sind iid.
◮
Stichprobenergebnis:
n-Tupel der Realisationen der Stichprobenvariablen, (x1 , . . . , xn ).
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
113
Grundlagen
Wichtige Stichprobenfunktionen
◮
Gegeben: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn ,
Beliebige Verteilung,
mit E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Stichprobenfunktion V
Bezeichnung
E(V)
Var(V)
n
X
Merkmalssumme
nµ
nσ2
Stichprobenmittel
µ
σ2
n
X̄ − µ √
n
σ
Gauß-Statistik
0
1
n
1 X
(Xi − µ)2
n
mittlere quadratische Abweichung bezüglich µ
Xi
i=1
X̄ =
n
1 X
Xi
n
i=1
σ2
i=1
n
1 X
(Xi − X̄)2
n
mittlere quadratische Abweichung
S2 =
Stichprobenvarianz
i=1
n
X
1
(Xi − X̄)2
n−1
i=1
√
S = S2
X̄ − µ √
n
S
◮
n−1 2
σ
n
σ2
Stichproben-Standardabweichung
t-Statistik
Herleitungen: BB S. 140
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
114
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen
➀ Chi-Quadrat-Verteilung:
◮ Sind X1 , . . . , Xn iid N(0; 1)-verteilte ZV, so wird die Verteilung von
Z=
n
X
X2i
i=1
als Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
◮
◮
Kurzschreibweise: Z ∼ χ2 (n)
Beispiel: χ2 (30): x0,975 = 46,98
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
115
Grundlagen
Testverteilungen: Tabelle der χ2 -Verteilung (BB S. 324)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
116
4. Induktive Statistik
Grundlagen
Testverteilungen
➁ t-Verteilung:
◮ Ist X ∼ N(0; 1), Z ∼ χ2 (n), X, Z unabhängig, so wird die Verteilung
von
X
T=q
1
nZ
als t-Verteilung mit n Freiheitsgraden bezeichnet.
◮
◮
Kurzschreibweise: T ∼ t(n)
Beispiel: t(10) x0,6 = 0,260, x0,5 = 0, x0,1 = −x0,9 = −1,372
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
117
Grundlagen
Testverteilungen: Tabelle der t-Verteilung (BB S. 320)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
118
4. Induktive Statistik
Punkt-Schätzung
Punkt-Schätzung
◮
Ein unbekannter Parameter ϑ der Verteilung von G soll auf Basis
einer Stichprobe geschätzt werden.
◮
Zum Beispiel: σ von N(10; σ)
◮
Schätzwert: ϑ̂
◮
Vorgehen: Verwendung einer Schätzfunktion
Θ̂ = g(X1 , . . . , Xn )
Beachte: Der Schätzwert ϑ̂ ist die Realisierung der ZV (!) Θ̂.
◮
Frage: Welche Stichprobenfunktion ist zur Schätzung geeignet?
➠ Kriterien für die Beurteilung/Konstruktion von Schätzfunktionen!
◮
Im Folgenden: Vorliegen einer einfachen Stichprobe,
d.h. X1 , . . . , Xn iid.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
119
Punkt-Schätzung
Erwartungstreue und Wirksamkeit
◮
Eine Schätzfunktion Θ̂ = g(X1 , . . . , Xn ) heißt erwartungstreu oder
unverzerrt für ϑ, wenn unabhängig vom numerischen Wert
von ϑ gilt:
E(Θ̂) = ϑ
Beispiel
′
Sind Θ̂ = X̄, Θ̂ =
X1 +Xn
,
2
′′
Θ̂ =
1
n−1
n
P
Xi erwartungstreu für µ?
i=1
a) Θ̂:
E(X̄) = µ
⇒ Θ̂ ist erwartungstreu.
1
n
= 2 [E(X1 ) + E(Xn )] = 12 (µ + µ) = µ
b) Θ̂ ′ :
E X1 +X
2
⇒ Θ̂ ′ ist erwartungstreu.
n
n
n
P
P
P
1
1
n
1
′′
µ 6= µ
Xi = n−1
E(Xi ) = n−1
µ = n−1
c) Θ̂ : E n−1
i=1
⇒ Θ̂
′′
i=1
i=1
ist nicht erwartungstreu
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
120
4. Induktive Statistik
Punkt-Schätzung
Erwartungstreue und Wirksamkeit
◮
◮
Welche der erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ ′ ist besser“?
”
′
Von zwei erwartungstreuen Schätzfunktionen Θ̂, Θ̂ für ϑ
heißt Θ̂ wirksamer als Θ̂ ′ , wenn unabhängig vom numerischen
Wert von ϑ gilt:
Var(Θ̂) < Var(Θ̂ ′ )
Beispiel: (Θ̂ = X̄, Θ̂ ′ =
Wegen
X1 +Xn
)
2
=
σ2
n
= 14 (σ2 + σ2 ) =
σ2
Var(Θ̂) = Var(X̄)
Var(Θ̂ ′ ) = Var
X1 +X2
2
(falls n > 2) ist Θ̂ wirksamer als Θ̂ ′ .
Etschberger (HS Weingarten)
2



⇒ Var(Θ̂) < Var(Θ̂ ′ )
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
121
Intervall-Schätzung
Intervall-Schätzung
◮
Für einen unbekannten Verteilungsparameter ϑ soll auf Basis einer
Stichprobe ein Intervall geschätzt werden.
◮
Verwendung der Stichprobenfunktionen Vu , Vo , so dass Vu ≦ Vo und
P(Vu ≦ ϑ ≦ Vo ) = 1 − α
stets gelten.
[Vu ; Vo ] heißt Konfidenzintervall (KI) für ϑ zum Konfidenzniveau 1 − α.
◮
Beachte: Das Schätzintervall [vu ; vo ] ist Realisierung der ZV (!) Vu , Vo .
➠ Irrtumswahrscheinlichkeit α (klein, i.d.R. α ≦ 0,1)
◮
Frage: Welche Konfidenzintervalle sind zur Schätzung geeignet?
➠ Hängt von Verteilung von G sowie vom unbekannten Parameter (µ, σ2 )
ab!
◮
Im Folgenden: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn mit E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
122
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Intervall-Schätzung
Wichtiger Spezialfall: Symmetrische Konfidenzintervalle
◮
Symmetrisch heißt nicht, dass die Dichte symmetrisch ist, sondern
◮
übereinstimmende W’keiten für Über-/Unterschreiten des KI, d.h.
P(Vu > ϑ) = P(Vo < ϑ) =
◮
α
2
Wichtig: Eine Verkleinerung von α bewirkt eine Vergrößerung des KI.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
123
Sommersemester 2008
124
Intervall-Schätzung
Überblick Intervallschätzung (BB S. 172)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
13.1.1 KI für µ bei Normalverteilung mit bekanntem σ2
Vorgehensweise:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
125
Intervall-Schätzung
Intervallschätzung: Beispiel
Beispiel
Normalverteilung mit σ = 2,4
(x1 , . . . , x9 ) = (184,2; 182,6; 185,3; 184,5; 186,2; 183,9; 185,0; 187,1; 184,4)
Gesucht: KI für µ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. N(0; 1): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 2,576 (Tab. 3; Interpolation)
2
3. x̄ =
1
9
σc
√
n
=
4.
(184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
2,4·2,576
√
9
= 2,06
5. KI = [184,8 − 2,06; 184,8 + 2,06] = [182,74; 186,86]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [182,74; 186,86].
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
126
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Wichtige Fraktilswerte
Wichtige N(0; 1)-Fraktilswerte:
α
xα
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
1,281552
1,644854
1,959964
2,326348
2,575829
(I.d.R. genügen drei Nachkommastellen.)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
127
Intervall-Schätzung
Intervalllänge
◮
Im Fall 13.1.1 gilt offenkundig
2σc
L = Vo − Vu = √
n
◮
Welcher Stichprobenumfang n sichert eine vorgegebene
(Maximal-)Länge L? ⇒
Nach n auflösen!
⇒
n≧
2σc
L
2
◮
Eine Halbierung von L erfordert eine Vervierfachung von n!
◮
Angewendet auf letztes Beispiel:
L = 4 ⇒n ≧
L = 2 ⇒n ≧
Etschberger (HS Weingarten)
2·2,4·2,576 2
4
2·2,4·2,576 2
2
Mathematik 2
= 9,556 ⇒ n ≧ 10
= 38,222 ⇒ n ≧ 39
Sommersemester 2008
128
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervalllänge
KI für µ bei Normalverteilung mit unbekanntem σ2
◮
Vorgehensweise:
◮
Zu Schritt 2: Falls n − 1 > 30 wird die N(0; 1)-Verteilung
verwendet.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
129
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervalllänge
Beispiel:
Wie das letzte Beispiel, jedoch σ unbekannt.
1. 1 − α = 0,99
2. t(8): c = x1− α2 = x1− 0,01 = x0,995 = 3,355 (Tab. 4)
2
1
(184,2 + · · · + 184,4) = 184,8
9
q
s = 18 [(184,22 + · · · + 184,42 ) − 9
sc
√
√
= 1,31·3,355
= 1,47
n
9
3. x̄ =
4.
· 184,82 ] = 1,31
5. KI = [184,8 − 1,47; 184,8 + 1,47] = [183,33; 186,27]
Interpretation: Mit 99 % Wahrscheinlichkeit ist µ ∈ [183,33; 186,27].
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
130
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
◮
Voraussetzung: n > 30, bzw. falls G dichotom: 5 ≦
n
P
xi ≦ n − 5
i=1
◮
Vorgehensweise:
◮
Zu Schritt 3: Manchmal kann anderer Schätzwert σ̂ sinnvoller sein.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
131
Intervall-Schätzung
Konfidenzintervall für µ bei beliebiger Verteilung
Beispiel:
Poisson-Verteilung mit λ (= µ = σ2 ) unbekannt.
(x1 , . . . , x40 ) = (3; 8; . . . ; 6)
Gesucht: KI für λ zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,9
1. 1 − α = 0,9
2. N(0; 1) : c = x1− α2 = x1− 0,1 = x0,95 = 1,645
2
1
(3 + 8 + · · · + 6) = 6,5
40
√
√
σ̂ = x̄ = 6,5 = 2,55 (da σ2 = λ)
2,55 · 1,645
σ̂c
√
4. √ =
= 0,66
n
40
5. KI = [6,5 − 0,66; 6,5 + 0,66] = [5,84; 7,16]
3. x̄ =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
132
4. Induktive Statistik
Intervall-Schätzung
13.2 KI für σ2 bei Normalverteilung
◮
Vorgehensweise:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
133
Intervall-Schätzung
KI für σ2 bei Normalverteilung
Beispiel:
G ∼ N(µ; σ); (x1 , . . . , x5 ) = (1; 1,5; 2,5; 3; 2)
Gesucht: KI für σ2 zum Konfidenzniveau 1 − α = 0,99
1. 1 − α = 0,99
2. χ2 (5) : c1 = x α2 = x0,005 = 0,41; c2 = x1− α2 = x0,995 = 16,75
3. x̄ = 51 (1 + 1,5 + · · · + 2) = 2
5
P
(xi − x̄)2 = (1− 2)2 + (1,5− 2)2 + (2,5− 2)2 + (3− 2)2 + (2− 2)2 = 2,5
i=1
4. vu =
2,5
16,75
= 0,15; vo =
2,5
0,41
= 6,10
5. KI = [0,15; 6,10]
(Extrem groß, da n klein.)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
134
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Signifikanztests
◮
Vorliegen einer Hypothese über die Verteilung(en) der
Grundgesamtheit(en).
◮
Beispiele:
- Der Würfel ist fair.“
”
- Die Brenndauern zweier unterschiedlicher Glühbirnensorten sind gleich.“
”
◮
Die Hypothese soll anhand einer Stichprobe überprüft werden.
◮
Prinzip:
- Hypothese verwerfen, wenn signifikanter“ Widerspruch zur Stichprobe.
”
- Ansonsten: Hypothese nicht verwerfen.
◮
Eine verworfene Hypothese gilt als statistisch widerlegt.
◮
Nicht-Verwerfung ist dagegen ein Freispruch aus Mangel an Beweisen“.
”
Zu Beachten:
Nicht-Verwerfung ist kein statistischer Beweis“, dass Hypothese wahr ist!
”
( Trick“: Hypothese falsch ⇐⇒ Gegenhypothese wahr!)
”
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
135
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
◮
Zunächst:
- G ∼ N(µ; σ) mit σ bekannt
- Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn
- (Null-)Hypothese H0 : µ = µ0
◮
Beispiel: X1 , . . . , X25 mit Xi = Füllmenge der i-ten Flasche ∼ N(µ; 1,5)
Nullhypothese H0 : µ = 500, d.h. µ0 = 500
◮
Je nach Interessenlage sind unterschiedliche Gegenhypothesen möglich:
a)
b)
c)
◮
H1 : µ 6= µ0
H1 : µ < µ0
H1 : µ > µ0
Entscheidung:
a)
b)
c)
H0
H1
H1
H1
Etschberger (HS Weingarten)
:
:
:
:
µ
µ
µ
µ
=
6
=
<
>
µ0
µ0 ,
µ0 ,
µ0 ,
wird abgelehnt gegenüber
wenn |x̄ − µ0 | sehr groß“ ist
”
wenn x̄ weit kleiner“ als µ0 ist
”
wenn x̄ weit größer“ als µ0 ist
”
Mathematik 2
Sommersemester 2008
136
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
√
0
◮ Alternatives Kriterium: v = x̄−µ
n
σ
◮ Vorteil: Verteilung bekannt: N(0; 1)
Mögliche Fehlentscheidungen
◮ Dann:
H0 : µ = µ0
wird abgelehnt gegenüber
◮ Ablehnung von H0 , obwohl H0
richtig ist: Fehler 1. Art
◮ Nicht-Ablehnung von H0 , obwohl H0
falsch ist: Fehler 2. Art
a) H1 : µ 6= µ0 , wenn |v| sehr groß“
ist
”
b) H1 : µ < µ0 , wenn v sehr negativ“ ist
”
c) H1 : µ > µ0 , wenn v sehr positiv“ ist
”
ten
H0 beibehal
htig
H 0 ric
H0 ablehnen
ten
H0 beibehal
H0 fals
ch
H0 ablehnen
◮ Signifikanzniveau α:
Maximal erlaubte Wahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
137
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
◮
Mithilfe von α und V kann geklärt werden, was sehr groß“ usw. heißt:
”
Wahrscheinlichkeit für Fehler 1. Art im Fall a): |v| > x, obwohl H0 richtig:
P(|V| > x) = P(V > x) + P(V < −x)
= 2 · P(V > x)
(Symmetrie der Normalverteilung)
!
= 2 · [1 − P(V ≦ x)] = 2 · [1 − Φ(x)] = α ⇐⇒
Φ(x) = 1 − α2 ⇐⇒
x = x1− α2
◮
H0 wird demnach verworfen, wenn |v| > x1− α2 bzw. v ∈ B ist.
B = (−∞; −x1− α2 ) ∪ (x1− α2 ; ∞) heißt Verwerfungsbereich.
Analoge Vorgehensweise für die Fälle b) und c)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
138
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
➠ Insgesamt:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
139
Signifikanztests
Einstichproben-Gaußtest
Beispiel:
X1 , . . . , X25 mit Xi ∼ N(µ; 1,5) und x̄ = 499,28
Prüfe H0 : µ = 500, H1 : µ 6= 500 zum Signifikanzniveau α = 0,01
Lösung: Einstichproben-Gaußtest, Fall a)
1. α = 0,01
2. v =
499,28−500
1,5
·
√
25 = −2,4
3. N(0; 1) : x1− α2 = x1−0,005 = x0,995 = 2,576
⇒ B = (−∞; −2,576) ∪ (2,576; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
Interpretation: Zum Signifikanzniveau 1 % kann der Brauerei keine
Abweichung vom Sollwert µ0 = 500 nachgewiesen werden.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
140
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Aufbau und Klassifikation von Signifikanztests
Der jeweils geeignete Test hängt ab von . . .
◮
dem zu testenden Hypothesenpaar H0 , H1 ; unterscheide:
- Parametrische Hypothesen:
Beziehen sich auf unbekannte(n) Verteilungsparameter (µ, σ2 , . . . )
- Nichtparametrische Hypothesen:
Beinhalten sonstige Aussagen, z.B. Alter und Einkommen sind unabh.“
”
◮
den Voraussetzungen an die Verteilung/parameter (z.B. G ∼ N(µ; σ))
◮
den Voraussetzungen an den Stichprobenumfang (z.B. n > 30)
◮
Art und Anzahl der Stichproben; unterscheide:
- Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe
- Signifikanztests bei mehreren unabhängigen Stichproben
- Signifikanztests bei zwei verbundenen Stichproben
Hier nur einfache Stichproben
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
141
Sommersemester 2008
142
Signifikanztests
Signifikanztests bei einer einfachen Stichprobe (BB S. 184)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test und approximativer Gaußtest
Gegeben:
◮ Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn mit
◮ E(Xi ) = µ, Var(Xi ) = σ2
Hypothesenpaare:
a)
b)
c)
H0 : µ = µ0
H0 : µ = µ0
H0 : µ = µ0
H1 : µ 6= µ0
(oder µ ≧ µ0 ), H1 : µ < µ0
(oder µ ≦ µ0 ), H1 : µ > µ0
Voraussetzungen:
1. Normalverteilung mit σ unbekannt (Einstichproben-t-Test) oder
P
2. Beliebige Verteilung mit n > 30 bzw. 5 ≦ xi ≦ n − 5 (bei B(1; p))
(approximativer Gaußtest)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
143
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest; Vorgehensweise
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
144
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Einstichproben-t-Test, approx. Gaußtest
Beispiel:
X1 , . . . , X2000
2000
P
1, falls i-te Person Wähler der Partei
∼ B(1; p) mit Xi =
0, sonst
xi = 108
i=1
Prüfe H0 : p ≦ 0,05 gegen H1 : p > 0,05 zum Signifikanzniveau 2 %
Lösung:
approx. Gaußtest, Fall c); Voraussetzung 2 erfüllt: 5 ≦ 108 ≦ 2000 − 5
1. α = 0,02
2. v = √
108
2000 −0,05
0,05·(1−0,05)
√
2000 = 0,82
3. N(0; 1) : x1−α = x0,98 = 2,05 (Tab. 3) ⇒ B = (2,05; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
Zusatzfrage: Entscheidung, falls α = 0,01? → Keine Änderung!
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
4. Induktive Statistik
Sommersemester 2008
145
Signifikanztests
Chi-Quadrat-Test für die Varianz
◮
Gegeben: Einfache Stichprobe X1 , . . . , Xn ∼ N(µ; σ)
◮
Hypothesenpaare:
a) H0 : σ2 = σ20
b) H0 : σ2 = σ20
c) H0 : σ2 = σ20
◮
H1 : σ2 6= σ20
(oder σ2 ≧ σ20 ), H1 : σ2 < σ20
(oder σ2 ≦ σ20 ), H1 : σ2 > σ20
Vorgehensweise:
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
146
4. Induktive Statistik
Signifikanztests
Chi-Quadrat-Test für die Varianz
Beispiel:
G ∼ N(µ; σ)
(x1 , . . . , x10 ) = (2100; 2130; 2150; 2170; 2210; 2070; 2230; 2150; 2230; 2200)
Prüfe H0 : σ = 40, H1 : σ 6= 40 zum Signifikanzniveau α = 0,1
Lösung: χ2 -Test für die Varianz, Fall a); Voraussetzungen erfüllt
1. α = 0,1
2. x̄ =
v=
1
10 (2100 + 2130 + · · · + 2200) = 2164
1
2
2
402 [(2100 − 2164) + (2130 − 2164) +
· · · + (2200 − 2164)2] = 16,65
3. χ2 (9) : x α2 = x0,05 = 3,33; x1− α2 = x0,95 = 16,92 (Tab. 5)
⇒ B = [0; 3,33) ∪ (16,92; ∞)
4. v ∈
/ B ⇒ H0 nicht verwerfen
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
147
Sommersemester 2008
148
5. Finanzmathematik
Übersicht
1
Einführung
2
Deskriptive Statistik
3
Wahrscheinlichkeitstheoretische
Grundlagen
4
Induktive Statistik
5
Finanzmathematik
Lernziele
Zins- und Zinseszinsrechnung
Äquivalenzprinzip und
Kapitalwert
Rentenrechnung
Tilgungsrechnung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
5.1. Lernziele
Wesentliche Lernziele
◮
Erlernen des Rechnens mit einfacher Verzinsung sowie Zinseszinsen
◮
Berücksichtigung unterschiedlicher Zeitbezüge von Zahlungen
◮
Sicherer Umgang mit dem Begriff des Kapitalwertes
◮
Kennenlernen von Verfahren der (dynamischen) Investitionsrechnung
◮
Beherrschen von Verfahren zur Behandlung von periodisch
konstanten Zahlungen
◮
Fähigkeit, Tilgungspläne zu entwerfen und zu analysieren
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
149
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Zinsen
◮ Zinsen sind der Preis, den ein
Schuldner für die befristete
Überlassung von Kapital
bezahlen muss.
◮ Der Betrag der Zinsen (Z)
wird aus der Höhe des
überlassenen Kapitals K und
der Dauer der Überlassung
berechnet.
Verwendete Symbole:
Symbol
Bezeichnung
K0
Kn
n
f
x
Z
p
Anfangskapital
Endkapital
ganzzahlige Laufzeit
gebrochene Laufzeit
nicht–ganzzahlige Laufzeit
Zins
Prozentzinssatz
i=
Zinssatz
p
100
q=1+i
1
v=
q
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Aufzinsungsfaktor
Abzinsungsfaktor
Sommersemester 2008
150
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Einfache Verzinsung
◮
Sparzinsen können zinseszinslich angelegt werden
◮
Bei Kreditgeschäften zwischen Privatpersonen ist das illegal
(BGB, §248)
◮
Deswegen: Einfache Verzinsung gemäß
p · n
Kn = K0 + Z = K0 + K0 · i · n = K0 · 1 +
100
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
151
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige einfache Verzinsung
◮
In Deutschland Einteilung des Zinsjahres in 12 Monate zu je 30
Tagen (360 Tage)
◮
Dadurch Berechnung von Monats- bzw. Tageszinsen möglich
◮
Laufzeit n ∈ N in Jahren wird dann zu Laufzeit f ∈ Q in Jahren mit
t2 − t1
f=
(t1 entspricht Tag der Einzahlung, t2 Tag der Auszahlung)
360
Daraus ergibt sich
t
t
= K0 1 + i ·
Kn = K0 + K0 · i ·
360
360
◮
◮
Stellung eines Tages im Jahr:
(Aktueller Monat − 1) · 30 + Tag im Monat
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152
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Barwert bei einfacher Verzinsung
K0 unbekannt: Abzinsung bzw. Diskontierung bzw. Barwertberechnung
◮
Amtliche Diskontierung:
K0 =
◮
Kn
1 + ni
Kaufmännische Diskontierung (Nur erste Näherung):
K0 = Kn (1 − ni)
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
153
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Die Zinseszinsformel
◮
Während Laufzeit Zinszahlungen mit sofortiger Wiederanlage und
Verzinsung zum Zinssatz i
◮
Entwicklung des Kapitals:
◮
K1 = K0 + K0 · i = K0 · (1 + i) = K0 · q
K2 = K1 + K1 · i = K1 · (1 + i) = (K0 · q) · q = K0 · q2
K3 = K2 + K2 · i = K2 · (1 + i) = K0 · q2 · q = K0 · q3
..
.
Damit folgt:
Kn = K0 · qn
Zinseszinsformel, n (zunächst) ganzzahlig.
◮
qn heißt Aufzinsungfaktor
Etschberger (HS Weingarten)
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154
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Die Zinseszinsformel
Auflösung der Zinseszinsformel nach K0 , q und n:
K0 =
Kn
qn
◮
Abzinsungs- oder Diskontierungsformel
◮
1
heißt Abzinsungsfaktor
qn
q=
r
n
Kn
K0
bzw. p = 100 ·
n=
Etschberger (HS Weingarten)
r
n
Kn
−1
K0
!
ln Kn − ln K0
ln q
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
155
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung
◮
◮
Üblich: Einfache Verzinsung bei Restlaufzeiten kleiner einem
ganzzahliges Vielfachen der Zinsperiode
Genauer: Mit
-
∆t1 (Zinstage im ersten Jahr),
n (die weiteren, ganzen Zinsperioden) und
∆t2 (Zinstage im letzten Jahr),
gilt für das Endkapital Kx :
∆t1
Kx = K0 · 1 + i ·
360
◮
∆t2
· (1 + i)n · 1 + i ·
360
Gemischte Zinsrechnung (unter Verwendung der 30/360−Methode),
auch Sparbuchmethode.
Etschberger (HS Weingarten)
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156
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Beispiel
Beispiel
Am 15.9.1996 wurden € 12.000 zu 3,75 % angelegt. Wie hoch war der
Endbetrag bei Kontoauflösung am 21.9.2003 (letzter Zinstag 20.9.2003)?
Lösung:
15.9. =
ˆ
20.9. =
ˆ
(9 − 1) · 30 + 15 =
(9 − 1) · 30 + 20 =
255 ⇒ ∆t1
260 ⇒ ∆t2
=
=
360 − (255 − 1) = 106
260
(n = 6):
0,0375
·
260
0,0375 · 106
· 1,03756 · 1 +
Kx = 12.000 · 1 +
360
360
= 15.541,20
Etschberger (HS Weingarten)
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5. Finanzmathematik
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157
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Anmerkungen
◮
Würde man – von t0 ausgehend – in ganze Jahre und einem Rest
aufteilen, so ergäbe sich:
0,0375
·
6
= 15.537,08
Kx = 12.000 · 1,03757 · 1 +
360
(7 Jahre von 15.9.96 bis 14.9.2003; dazu 6 Tage)
◮
Würde man die Zinseszinsformel mit nicht-ganzzahligem
Exponenten verwenden, so ergäbe sich Folgendes:
6
Kx = 12.000 · 1,03757+ 360 = 15.536,90
◮
Gemischte Verzinsung ist also (zumindest für Kapitalanleger)
verbraucherfreundlich
Etschberger (HS Weingarten)
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158
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Gemischte Verzinsung: Anmerkungen
Nachteil der gemischten Verzinsung
◮
Die gemischte Verzinsung ist inkonsistent und vom Zeitpunkt des
Zinszuschlages (bzw. der Einzahlung) abhängig.
◮
Im Beispiel: Wäre der Zeitraum um einen Monat verschoben (vom
15.10.96 bis zur Auflösung am 21.10.2003), so ergäbe sich . . .
0,0375
·
290
0,0375 · 76
· 1,03756 · 1 +
Kx = 12.000 · 1 +
360
360
= 15.540,31
Die Widersprüche verschwinden, wenn eine unterjährige Verzinsung zum
konformen Zinssatz vorgenommen wird.
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5. Finanzmathematik
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159
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung
◮
Zahlung von Zinsen nicht jährlich, sondern in kürzeren Fristen
◮
Dazu: m gleich lange Zinsperioden pro Jahr
◮
Typische Aufteilungen: m = 2, 4, 12 Zinsperioden
◮
Annahme: Laufzeit n in Jahren sei (aus Vereinfachungsgründen) ein
1
(z.B. m = 2, n = 1,5 oder m = 12, n = 1,25).
ganzzahliges Vielfaches von m
Ist ein Jahreszinsfuß p gegeben, so heißt:
p
m
◮
p∗ =
◮
p ′ der zu p konforme Periodenzinssatz, wenn die periodische Verzinsung
mit p ′ zum selben Ergebnis führt wie die jährliche Verzinsung mit p.
m p p′
= 1+
1+
100
100
der relative Periodenzinsfuß.
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160
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung
Betrachtungen auf Basis der relativen Periodenzinsen p∗ =
p
m,
so heißt:
◮
p der nominelle Jahreszinsfuß
◮
peff der effektive Jahreszinsfuß, wenn jährliche Verzinsung mit peff zum
selben Ergebnis führt wie die periodische Verzinsung mit p∗ .
(Entsprechendes gilt für q∗ , i∗ , q ′ , i, qeff , ieff ).
K1 = K0 · qm
∗ = K0 · qeff
⇒ qeff = qm
∗
p∗
p
mit q∗ = 1 + i∗ = 1 +
=1+
100
100m
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5. Finanzmathematik
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161
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Unterjährige Verzinsung: Formel
◮
Damit: Effektivzins qeff ist
p m
p∗ m = 1+
qeff = 1 +
100
100 · m
◮
Endkapital Kn ist:
p∗ m·n
p m·n
Kn = K0 · 1 +
= K0 · 1 +
100
100 · m
◮
Anmerkung: m · n muss nach o.g. Bedingungen ganzzahlig sein.
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5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur unterjährigen Verzinsung
Beispiel
Ein Betrag von € 10.000 soll zu 5 % nominal bei monatlicher Verzinsung
angelegt werden. Welcher Betrag kann nach 16 Monaten entnommen
werden? Wie hoch ist der Effektivzins?
Lösung:
Mit p = 5 %, m = 12 und m · n = 16 gilt Folgendes:
Kn = K0 · 1 +
16
5
p m·n
= 10.687,91 €
= 10.000 · 1 +
100 · m
100 · 12
Für den Effektivzinssatz gilt:
"
peff = 100 ·
1+
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5
100 · 12
12
#
− 1 = 5,12 %
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5. Finanzmathematik
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163
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur unterjährigen Verzinsung mit dem
konformen Zinssatz
◮
Widersprüche der gemischten Verzinsung aus Folie 145 verschwinden,
wenn eine unterjährige Verzinsung mit dem konformen Zinssatz gemäß
den Richtlinien für den internationalen Wertpapierhandel (ISMA –
International Securities Market Association) vorgenommen wird.
Beispiel
Am 15.9.1996 (15.10.1996) wurden € 12.000 zu effektiv 3,75 % angelegt. Wie hoch war
der Endbetrag bei Kontoauflösung am 21.9.2003 (21.10.2003)?
Lösung
◮ Wir verwenden den konformen Zins auf täglicher Basis,
◮ also p ′ =
√
1
1,0375 = 1,0375 360
360
260
106
◮ Kn = 12.000 · 1,0375 360 · 1,03756 · 1,0375 360 = 15.536,90
76
290
◮ alternativ: Kn = 12.000 · 1,0375 360 · 1,03756 · 1,0375 360 = 15.536,90
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164
5. Finanzmathematik
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Stetige Verzinsung
◮
◮
Lässt man m → ∞ wachsen, so erhält man aus der obigen Formel
m·n
m n
n
i
i
Kn = lim K0 1 +
= K0 lim
= K0 ei
1+
m→∞
m→∞
m
m
die Formel für die stetige Verzinsung:
Kn = K0 · ei·n
◮
Für den effektiven Jahreszinssatz gilt damit:
peff = 100 · ei − 1
◮
Anwendung stetiger Wachstumsprozesse:
- Ökonomie (Bevölkerungswachstum),
- Physik (radioaktiver Zerfall),
- BWL (Portfolio- und Kapitalmarkttheorie)
Etschberger (HS Weingarten)
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5. Finanzmathematik
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165
5.2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Beispiel zur stetigen Verzinsung
Beispiel
K0 = € 10.000, n = 5, nominaler Jahreszins p = 5 %. Wie hoch ist Kn
und peff bei stetiger Verzinsung?
Lösung:
Kn = K0 · ei·n = 10.000 · e0,05·5 = 12.840,25 €
peff = 100 · e0,05 − 1 = 5,127%
Anmerkung 1: Bei Variation von m ergeben sich:
m
peff
1
5
2
5,063
4
5,095
12
5,116
∞
5,127
Anmerkung 2: Die stetige Verzinsung wird z.B. in der Portfoliotheorie
verwendet, da sie mathematisch einfacher zu handhaben ist als
die diskrete Verzinsung.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
166
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik
◮
Das Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik für Vergleich von
Zahlungen, welche zu verschiedenen Zeitpunkten anfallen.
Vereinfachende Annahmen:
◮
◮
Zinseszinsliche Verzinsung
Zahlungen stets am Anfang oder am Ende einer Zinsperiode
Prinzip
◮
◮
◮
Vergleich von 2 oder mehreren zu verschiedenen Zeitpunkten
anfallende Geldbeträge: Beziehen auf den gleichen Zeitpunkt durch
geeignetes Auf- oder Abzinsen.
Wahl des Zeitpunktes dabei unerheblich.
Meist: Zeitpunkt t = 0 oder t = n (Ende der Laufzeit)
-
t = 0 den Anfang des ersten Zinszeitraums ( heute“).
”
t = 1 Ende des ersten Zinszeitraums (31.12. des ersten Jahres).
t = 2 Ende des zweiten Zinszeitraumes (31.12. des zweiten Jahres).
t = n Ende des letzen Zinszeitraumes (31.12. des n-ten Jahres)
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
167
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Äquivalenzprinzip: Herleitung
◮
Zwei Zahlungen, A im Zeitpunkt tA und B im Zeitpunkt tB , sind
dann gleichwertig (A ∼ B), wenn ihre Zeitwerte in jedem Zeitpunkt t
übereinstimmen.
Beispiel
Gegeben:
Gesucht:
A = 10.000, tA = 2, p = 7%
B mit tB = 5 so, dass A ∼ B.
Lösung:
B = 10.000 · 1,07(5−2) = 12.250,43 €
Eine Zahlung von € 12.250,43 nach 5 Jahren ist also gleichwertig zu
einer Zahlung von € 10.000 nach 2 Jahren. Der Barwert ( Wert heute“)
”
beider Zahlungen ist übrigens
10.000 · 1,07−2 = 12.250,43 · 1,07−5 = 8.734,39 [€].
Etschberger (HS Weingarten)
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168
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Zahlungsströme
Ein Zahlungsstrom (A0 , . . . , An ) ist eine Folge von Zahlungen mit
Zahlungszeitpunkten t = 0, . . . , n.
Zeitwert eines Zahlungsstroms zum Zeitpunkt T :
KT
n
X
=
t=0
n
X
=
t=0
At · qT −t
At · qT · q−t
T
= q ·
= qT ·
Etschberger (HS Weingarten)
n
X
t=0
At · q−t
n
X
At
t=0
qt
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
169
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Zahlungsströme: Barwert, Endwert
Wichtige Spezialfälle des Zeitwertes sind:
◮
Kapitalwert oder Barwert eines Zahlungsstroms: (m=0)
K0 =
n
X
t=0
◮
At · q−t =
n
X
At
t=0
qt
Endwert eines Zahlungsstroms: (m=n)
Kn =
n
X
t=0
n−t
At · q
Etschberger (HS Weingarten)
n
=q ·
n
X
t=0
−t
At · q
Mathematik 2
n
=q ·
n
X
At
t=0
qt
= qn · K0
Sommersemester 2008
170
5. Finanzmathematik
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Gleichheit zweier Zahlungsströme
Zwei Zahlungsströme (At ), (Bt ), t = 0, . . . , n sind genau dann
äquivalent, wenn sie zu einem beliebigen Zeitpunkt T den gleichen
Zeitwert besitzen:
Pn
Pn
T −t
T −t =
A
·
q
(At ) ∼ (Bt ) ⇔
t
t=0 Bt · q
t=0
P
Pn
−t = qT
−t
⇔
qT n
A
·
q
t
t=0
t=0 Bt · q
Pn
−t = 0
⇔
t=0 (At − Bt ) · q
(At ) ∼ (Bt ) ⇔
Etschberger (HS Weingarten)
n
X
At − Bt
t=0
qt
=0
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
171
5.3. Äquivalenzprinzip und Kapitalwert
Investitionsrechnung: Beispiel
Beispiel
p = 5 %, Welches Projekt ist zu bevorzugen?
Jahr t
At
Bt
0
1
2
3
4
5
0
400
1.000
400
0
400
1.000
600
0
600
1.000
600
Lösung: Kapitalwert von (At ):
5
X
0
1.000
0
1.000
0
1.000
At
=
+
+
+
+
+
= 2.599,74
t
0
1
2
3
4
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,055
t=0
Kapitalwert von (Bt ):
5
X
Bt
400
400
400
600
600
600
=
+
+
+
+
+
= 2.625,80
t
0
1
2
3
4
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,05
1,055
t=0
Alternative B ist der Alternative A vorzuziehen.
Etschberger (HS Weingarten)
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172
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Rentenrechnung
Definition
Rente: Zahlungsstrom mit Zahlungen in gleichen zeitlichen Abständen
und (meistens) in konstanter Höhe
Unterscheidung zwischen Renten
◮
mit Zahlung am Ende einer Rentenperiode (nachschüssig)
◮
mit Zahlung zu Beginn einer Rentenperiode vorschüssig)
◮
mit endlicher Laufzeit (endliche Renten)
◮
mit unendlicher Laufzeit (ewige Renten)
Etschberger (HS Weingarten)
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
173
5.4. Rentenrechnung
Rentenrechnung: Symbole
Symbol
Bezeichnungen
rt
n
m
p
R0
Rt
Rn
Rentenrate in Periode t
Laufzeit (t = 1, . . . , n)
Anzahl der Rentenzahlungen pro Zinsperiode
Prozentzinssatz
Barwert der Rente
Zeitwert der Rente
Endwert der Rente
Etschberger (HS Weingarten)
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174
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Nachschüssige konstante (endliche) Renten
Rentenzahlung jeweils am Ende einer Zinsperiode, jeweils in Höhe von
r1 = r2 = · · · = rn = const. = r
⇒ Rentenendwert Rn :
Rn = r · qn−1 + r · qn−2 + . . . + r · q + r
= r · qn−1 + ·qn−2 + . . . + q + 1
=r·
=r·
n−1
X
qt
(geometrische Reihe)
t=0
qn −
1
q−1
Etschberger (HS Weingarten)
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
175
5.4. Rentenrechnung
Rentenendwert und Rentenbarwert
◮
Endwert Rn der Rente:
qn − 1
Rn = r ·
= r · NREFp,n
q−1
◮
NREF: Nachschüssiger Rentenendwertfaktor für endliche konstante
Rente.
◮
Barwert der Rente:
−n
R0 = Rn · q
◮
qn − 1
qn − 1
= r · NRBFp,n
=r· n
= r · n+1
q · (q − 1)
q
− qn
NRBF: Nachschüssiger Rentenbarwertfaktor
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
176
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel Rentenendwert
Beispiel
Genau 10 Jahre lang wurde jeweils zum Jahresende ein Betrag von 12.000
€ zum Zinssatz von 4% angelegt. Wieviel kann zu Beginn des 11. Jahres
(entspricht dem Ende des 10. Jahres) abgehoben werden?
Lösung:
Mit n = 10, q = 1,04 und r = 12.000 gilt Folgendes:
R10
1,0410 − 1
= 12.000 ·
1,04 − 1
= 12.000 · 12,006107
= 144.073,28
Etschberger (HS Weingarten)
[€ ]
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
177
5.4. Rentenrechnung
Beispiel Rentenbarwert
Beispiel
Aus welchem zum Zeitpunkt 0 eingezahlten Betrag kann 10 Jahre lang
bei 4% Zins eine konstante nachschüssige Rente von 12.000 € bezahlt
werden?
Lösung: Frage nach dem Barwert einer Rente. Mit n = 10, q = 1,04 und
r = 12.000 gilt:
1,0410 − 1
R0 = 12.000 ·
1,0411 − 1,0410
≈ 12.000 · 8,110896
≈ 97.330,75 [€ ]
Etschberger (HS Weingarten)
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178
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Umformung der Rentenbar- und -endwertformel
◮
Je nach Fragestellung: Laufzeit n, Rentenzahlung r, Verzinsungsfaktor q .
◮
Rentenzahlung r:
R0
qn+1 − qn
q−1
Rn
r=
= R0 ·
=
R
·
=
n
NRBFp,n
qn − 1
NREFp,n
qn − 1
◮
◮
Laufzeit n aus Rn :
n=
ln 1 +
Rn ·i
r
ln q
!
R0 qn+1 − (R0 + r)qn + r = 0 .
◮
◮
q aus R0 :
q aus Rn :
Laufzeit n aus R0 :
− ln 1 −
n=
ln q
Etschberger (HS Weingarten)
!
R0 ·i
r
r · qn − Rn · q + Rn − r = 0 .
◮
Berechnung von q im Allgemeinen nur
näherungsweise (iterativ)
möglich
Mathematik 2
Sommersemester 2008
179
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel nachschüssige Rente
Beispiel
Ein Steuerberater kauft die Kanzlei eines älteren Kollegen und muss als
Kaufpreis 10 Jahre lang jährlich–nachschüssig je 12.500 € zahlen. Durch
welchen Betrag könnte der Steuerberater diese Zahlungsverpflichung
sofort bei Vertragsabschluss ablösen, wenn mit 8% Zinsen kalkuliert wird?
Lösung: Gesucht ist der Rentenbarwert mit r = 12.500, q = 1,08 und
n = 10. Es gilt dann:
1,0810 − 1
R0 = 12.500 ·
1,0811 − 1,0810
= 12.500 · 6,710081
= 83.876,01 [€ ]
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
180
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel nachschüssige Rente
Beispiel
Der Barwert einer über 15 Jahre laufenden nachschüssigen Jahresrente
beträgt bei 5%-iger Verzinsung 10.380 €. Wie hoch sind die jährlichen
Rentenzahlungen?
Lösung: Gesucht sind die Rentenzahlungen r mit R0 = 10.380, q = 1,05
und n = 15. Es gilt dann:
1,0516 − 1,0515
r = 10.380 ·
1,0515 − 1
= 10.380 · 0,096342
= 1.000,03
Etschberger (HS Weingarten)
[€ ]
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
181
5.4. Rentenrechnung
Vorschüssige konstante Renten
◮ Rentenbetrag wird jeweils zu Beginn der Zinsperiode in Höhe von
r1′ = r2′ = · · · = rn′ = r ′ bezahlt.
◮ Äquivalenzprinzip ⇒ Endwert der Rente:
◮ vorschüssige Rentenzahlung r ′ ∼ nachschüssige Rentenzahlung r
=
Rn
r′ · q ·
⇒
r = r′q
qn − 1
= r ′ · VREFp,n
q−1
◮ VREF: Vorschüssiger Rentenendwertfaktor
◮ Barwert der Rente:
R0
=
=
Rn · q−n
r′ · q ·
qn − 1
qn · (q − 1)
=
r′ ·
qn − 1
= r ′ · VRBFp,n
qn − qn−1
◮ VRBF: Vorschüssiger Rentenbarwertfaktor
Etschberger (HS Weingarten)
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Sommersemester 2008
182
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Unterjährige Raten und jährliche Verzinsung
Aufteilung der Zinsperiode in mehrere gleich lange Rentenperioden, d.h.
m Rentenzahlungen pro Zinsperiode (= Jahr).
Dazu:
◮
Rechnung mit einfacher Verzinsung innerhalb der Zinsperiode
◮
Rentenzahlungen nachschüssig (also am Ende jeder unterj.
Rentenperiode) oder vorschüssig möglich
Lösung: Errechnung von konformen (gleichwertigen) jährlich
nachschüssigen Ersatzzahlungen zu den m unterjährigen Zahlungen.
Definition
re heißt konforme jährlich nachschüssige Ersatzrentenrate einer
nachschüssigen (oder vorschüssigen) unterjährigen Rentenrate r.
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
183
5.4. Rentenrechnung
Konforme jährliche nachschüssige Ersatzrentenrate
Berechnung von re :
falls unterjährige Rente nachschüssig:
falls unterjährige Rente vorschüssig:
1
re = r + r · 1 +
·i
m 2
·i
+r· 1+
m
+ . . .
m−1
·i
+r· 1+
m
= r·m
1
+i·r·
(1 + 2 + . . . + (m − 1))
m
1
·i
re = r · 1 +
m
2
+r· 1+
·i
m
+ . . .
m ·i
+r· 1+
m
=r·m
1
(1 + 2 + . . . + m)
+i·r·
m
m−1
re = r · m + i ·
2
m+1
re = r · m + i ·
2
Aus Ersatzrentenrate re : Weiterrechnen mit Formeln für jährliche nachschüssige Rente
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
184
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Beispiel konforme Ersatzrentenraten
Beispiel
Ein Sparer legt monatliche nachschüssig 1.000 € auf ein Konto. Wie hoch
ist der Kontostand nach 10 Jahren bei einem Zinssatz von 4%?
Lösung: Gesucht ist der Rentenendwert auf Basis der konformen
Rentenraten. Mit n = 10, m = 12, q = 1,04 und r = 1.000 ergibt sich
Folgendes:
0,04 · 11 1,0410 − 1
= 12.220·12,006107 = 146.714,63
·
R10 = 1.000· 12 +
2
1,04 − 1
|
{z
}
12,22
Beim Zinssatz von i = 4% kann eine monatlich nachschüssige Rente von
1.000 € durch eine jährlich nachschüssige Rentenzahlung von 12.220 €
gleichwertig ersetzt werden. Der Kontostand nach 10 Jahren beträgt
146.714,63 €.
Etschberger (HS Weingarten)
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5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
185
5.4. Rentenrechnung
Ewige Renten
Definition
Eine Rente heißt ewige Rente, wenn Anzahl n der Ratenzahlungen nicht
begrenzt, n also beliebig groß wird (n → ∞).
◮
Berechnung des Rentenendwertes dann nicht möglich
◮
Rentenbarwert R0 existiert jedoch:
qn − 1
n→∞ (q − 1)qn
!
1
1
r
−
=
n
q−1
(q − 1)q
i
| {z }
|
{z
}
R0 = lim (r · NRBF) = r · lim
n→∞
= r · lim
n→∞
i
→0
Rentenbarwert einer nachschüssigen ewigen Rente: R0 =
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
r
i
Sommersemester 2008
186
5. Finanzmathematik
5.4. Rentenrechnung
Ewige Renten: Beispiel
Beispiel
Wie groß ist der Barwert einer ewigen nachschüssigen Rente von 40.000
€ pro Jahr, wenn der Zins bei 8% liegt?
Lösung:
R0 =
40.000
= 500.000
0,08
Anmerkung: Geht man von einer vorschüssigen ewigen Rente aus, so
ergibt sich für den Rentenbarwert:
r′
′
R0 = r +
i
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
187
5.5. Tilgungsrechnung
Tilgungsrechnung
◮
Rückzahlung oder Tilgung größerer Darlehen oft in mehreren Raten
◮
Hier betrachtet: Tilgung in mehreren Teilbeträgen, in konstanten
Zeitabständen
◮
Jede zu bezahlende Rate beinhaltet Zinsen und Tilgung
◮
Verwendete Symbole:
◮
Symbol
Bezeichnung
S
Rk
n
Zk
Tk
Ak
Darlehenssumme, Anfangsschuld
Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres
Tilgungsdauer (∈ N)
Zinsquote am Ende des k-ten Jahres
Tilgungsquote am Ende des k-ten Jahres
Annuität am Ende des k-ten Jahres
Unterscheidung zwischen Ratentilgung und Annuitätentilgung
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
Sommersemester 2008
188
5. Finanzmathematik
5.5. Tilgungsrechnung
Ratentilgung
◮
Während Laufzeit sind Tilgungsquoten konstant. Daraus folgt:
Tk = T =
◮
S
n
und damit:
Rk = S − (k − 1) · T
Restschuld zu Beginn des k-ten Jahres
Zk = Rk · i
Zinsquote am Ende des k-ten Jahres
Ak = Zk + T
Annuität am Ende des k-ten Jahres
Etschberger (HS Weingarten)
Mathematik 2
5. Finanzmathematik
Sommersemester 2008
189
5.5. Tilgungsrechnung
Annuitätentilgung
◮
Problem der Ratentilgung: Belastung anfangs hoch, später geringer
◮
Ausweg: Konstanthalten der Annuitäten über Rentenformel
qn (q − 1)
Ak = A = S ·
qn − 1
◮
Daraus ergibt sich:
qn − qk−1
Rk = S ·
qn − 1
Zk = Rk · i = A · 1 − qk−n−1
Tk = A − Zk = A · qk−n−1
Etschberger (HS Weingarten)
Restsch. zu Beg. des k-ten J.
Zinsen im k-ten Jahr
Tilgung im k-ten Jahr
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190

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