Übungen zu Mathematik für Biologen
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Mathematisches Institut Düsseldorf, den 08.01.2014 Prof. Dr. R. Braun Blatt 10 Übungen zu Mathematik für Biologen 1. Eine Lotterie wird nach den folgenden Regel gespielt: Die Lose sind numeriert von 0 000 000 bis 9 999 999. Der Gewinn ergibt sich wie folgt: • Hat man das Los mit der Nummer 7 777 777, so erhält man den Hauptgewinn in Höhe von e 1 000 000. • Hat man sechsmal die Zier 6 und einmal eine beliebige andere Zier, so erhält man einen Gewin in Höhe von e 5 000. Beispielsweise erhält die Nummer 6 626 666 diesen Gewinn. • Hat man sieben Mal die Zier 6, so erhält man den Sonderpreis in Höhe von e 666 666. Bearbeiten Sie die folgenden Teilaufgaben (a) (je 1P) Geben Sie für die drei Gewinnklassen jeweils die Gewinnwahrscheinlichkeit an. (b) (1P) Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn des Spiels. (c) (2P) Ein Spiel kostet 1 e. Wie hoch müsste der Hauptgewinn sein, wenn das Spiel fair wäre? 2. Bestimmen Sie die folgenden Werte für die Binomialverteilung B75, p : (a)(1P) B75, 0.25 (13) (e)(1P) 25 X k=15 B75, 0.20 (k) (c)(1P) (f)(1P) 35 X B75, 0.40 (k) k=0 54 X k=23 B75, 0.40 (k) (d)(1P) (b)(1P) 75 X B75, 0.30 (k) k=20 62 X B75, 0.75 (k) k=0 Auf der Rückseite bendet sich eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung, die bei einigen Aufgabenteilen nützlich ist. Hinweis: 3. 25% der Individuen eines Bodenbakteriums sind R-Bakterien. Eine Stichprobe von 75 Individuen wird genommen. (a) (2P) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man genau 19 R-Bakterien in der Stichprobe? (b) (2P)) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man höchstens 19 R-Bakterien in der Stichprobe? (c) (2P)) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat man mindestens 19 R-Bakterien in der Stichprobe? 4. Durch einen Hagelsturm wurde ein Tulpenbeet geschädigt. Im Schnitt hat jede Panze 1.3 Treer. (a) (1P) Welche der Ihnen bekannten Verteilungen modelliert die Anzahl der Treer pro Panze? (b) (2P) Welcher Prozentsatz der Panzen hat keinen Treer? (c) (2P) Welcher Prozentsatz der Panzen hat genau zwei Treer? (d) (2P) Welcher Prozentsatz der Panzen hat höchstens zwei Treer? Tabelle der Werte r X n k=0 0.20 2 0. 00001 3 00007 4 00032 5 00123 6 00388 01041 7 8 02430 9 05013 10 09275 11 15572 23968 12 13 34140 45402 14 15 56852 16 67585 17 76899 18 84401 19 90028 20 93966 21 96545 22 98128 23 99040 99533 24 99785 25 26 99906 27 99961 28 99985 29 99994 30 99998 99999 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 r Abgabe: p Mi, 15.1.2014, 10:15 0.25 00001 00004 00016 00054 00164 00436 01034 02212 04307 07692 12687 19459 27924 37717 48235 58753 68570 77141 84153 89539 93429 96074 97769 98795 99381 99698 99860 99938 99974 99990 99996 99999 k 0.30 00002 00006 00021 00063 00169 00411 00913 01867 03529 06200 10173 15659 22713 31178 40680 50675 60546 69712 77725 84330 89467 93241 95862 97585 98656 99288 99640 99827 99921 99966 99986 99994 99998 99999 · pk · (1 − p)n−k 0.35 00001 00002 00007 00022 00059 00149 00346 00743 01485 02773 04853 07989 12412 18257 25511 33973 43268 52893 62299 70981 78558 84814 89704 93324 95864 97554 98620 99257 99619 99814 99913 99962 99984 99994 99998 99999 0.40 00001 00002 00007 00019 00048 00118 00266 00564 01119 02088 03674 06110 09629 14415 20550 27974 36457 45624 54994 64062 72374 79595 85541 90185 93625 96042 97654 98673 99285 99633 99820 99917 99963 99985 99994 99998 99999 für n = 75 0.45 00001 00002 00005 00014 00035 00084 00189 00399 00795 01498 02671 04517 07258 11102 16199 22594 30190 38734 47844 57050 65875 73897 80815 86476 90869 94105 96364 97861 98801 99360 99675 99844 99929 99969 99987 99995 99998 99999 0.50 00001 00003 00009 00022 00054 00122 00261 00529 01015 01848 03197 05267 08271 12402 17785 24434 32223 40878 50000 59122 67777 75566 82215 87598 91729 94733 96803 98152 98985 99471 99739 99878 99946 99978 99991 99997 99999 Besprechung: 15. Januar