R ech nen mit Vek to ren R ech nen mit Matrizen Abb ild u ngen Äq

Sei
. Dann gilt:
Rechnen mit Vektoren
• Skalarmultiplikation:
Rechnen mit Matrizen
Für
• Länge eines Vektors:
• Vektorprodukt (im
):
Für
• Winkel zwischen zwei Vektoren
. Dann gilt:
Für
.
Für
mit
Für
(quadratische Matrizen) gilt zu beachten:
•
•
gilt:
• Matrixmultiplikation:
gilt:
i)
ii)
iii)
mit
• Skalarmultiplikation:
gilt (Cauchy-Schwarz-Ungleichung):
:
schreibt man auch
• Addition:
gilt:
i)
ii)
iii)
iv)
v)
• Skalarprodukt:
Seien
gilt:
i)
ii)
iii)
iv)
• Addition:
- Für
- Es gilt:
mit
Sind
möglich, obwohl
invertierbar, so gilt:
i)
ii) Ist
heißt:
• injektiv, wenn:
• surjektiv, wenn:
• bijektiv, wenn injektiv und surjektiv ist.
Eine Relation
, so ist
auf
heißt Äquivalenzrelation, wenn für alle
Ä1) Reflexivität:
Ä2) Symmetrie:
Ä3) Transitivität:
gilt:
Äquivalenzrelation
Die Abbildung
Abbildungen
Für
Gruppe
G‘ ist Untergruppe von (G, *), wenn:
G1) * assoziativ
Untergruppe
(G, *) ist Gruppe, wenn:
UG1)
G2)
(neutrales Element)
G3)
UG2)
(inverses Element)
UG3)
• Eine Gruppe heißt abelsch, wenn sie kommutativ ist.
(R, +, ∙) ist Ring, wenn:
Ring
R1) (R, +) ist abelsche Gruppe
(neutrales Element bzgl. ∙ )
• Neutrales Element von (R, +) heißt 0 und es gilt:
R2) ∙ ist assoziativ
R3)
und
• Ein Ring heißt Ring mit 1, wenn:
, sodass
(Distributivgesetz)
• Im Allg. gibt es in Ringen kein Inverses bezüglich ∙ , da die 0 kein Inverses hat
(
• Ein Ring heißt kommutativ, wenn ∙ kommutativ ist.
Körper
(K, +, ∙) ist Körper, wenn:
In einem Körper gilt:
K1) (K, +) ist abelsche Gruppe
K2) (K\{0}, ∙) ist abelsche Gruppe (neutrales Element: 1)
K3)
und
•
•
•
•
•
•
(Distributivgesetz)
Körper K und Menge V mit
ist Untervektorraum vom Vektorraum V, wenn:
und
U1)
Dann ist (V, +, ∙) ein Vektorraum, wenn:
U2)
Vektorraum
V2) Die Skalarmultiplikation ist mit der Addition verträglich, d. h. :
i)
ii)
(Assoziativität)
iii)
iv)
In einem Vektorraum gilt:
i)
ii)
iii)
iv)
U3)
Oder wenn (äquivalente Definition):
i)
ii)
• Wenn
Untervektorraum ist, dann ist U Untergruppe von (V, +).
Untervektorraum
V1) (V, +) ist abelsche Gruppe
Basis
B1)
ist Basis von einem Vektorraum V wenn:
(B ist Erzeugendensystem von V)
B2) B ist linear unabhängig.
• Die Mächtigkeit
von heißt Länge der Basis.
• Die Länge der Basis eines Vektorraums V entspricht der Dimension von V.
Sei
Lineare Abbildung
heißen ähnlich, wenn es ein
gibt
• Ähnlichkeit ist eine Äquivalenzrelation.
• Zwei Matrizen sind genau dann ähnlich, wenn es eine lineare Abbildung
und zwei Basen
von gibt, s. d.
;
d.h. und beschreiben dieselbe lin. Abb., nur in unterschiedlichen Basen.
Eine Matrix
und c, wobei:
heißt darstellende Matrix von F bzgl. der Basen b
→ Die i-te Spalte von
zur Basis .
enthält
, „i-te Zeile“:
• Spaltenraum:
• Zeilenraum:
Mit darstellenden Matrizen kann man:
• Mit
, also zwei gleichen Basen (insb. einfach ), die
Abbildung
auf
anwenden, wobei
Matrix oder Vektor
(passender Dimension) sein kann.
• Nullraum:
Sei B Zeilen-Stufen-Form von A, dann gilt:
• Mit
i)
ii) Die Zeilen von B mit führender Eins bilden Basis von
, also den Koordinatenvektor von
.
die Basis wechseln von nach .
• Mit
die Abbildung
Basis wechseln.
auf
anwenden und gleichzeitig die
iii) Ist B in red. ZSF so erhält man durch Parametrisierung eine Basis von
. Die Dimension entspricht der Anzahl der Spalten mit führender Eins. Außerdem gilt:
i)
ist invertierbar mit
iii) Diejenigen Spalten von A, in denen B eine führende Eins hat, bilden eine
ii)
Die
Multiplikation
von darstellenden Matrizen entspricht der
Basis von
.
Matrixmultiplikation, wobei die „inneren Basen verschmelzen“:
Eine Abbildung
heißt linear, wenn:
Ist f linear, so gilt:
i)
ii)
L1)
L2)
Für lineare Abbildungen gilt:
i)
ii)
iii) Sind
linear abhängig
linear unabhängig
• Die Komposition zweier linearer Abbildungen ist linear.
• Dimensionsformel:
•
Unterräume, so auch
und
Darstellende Matrix
Spalten-/Zeilen-/Nullraum
„j-te Spalte“:
Zwei Matrizen
mit
.
Ähnlichkeit
Eine Familie von Vektoren
linear abhängig.
linear unabhängig.
Bestimmen der Determinante einer Matrix durch Entwicklung nach der 1. Zeile:
ist:
Determinante
D1) in jeder Spalte linear:
• Seien
D2) alternierend:
. Dann gilt:
für
a)
b)
c)
d)
e)
D3) normiert:
→ Aus diesen drei Eigenschaften folgt die Eindeutigkeit der Determinante.
• Cramersche Regel:
Sei
linear.
• Dann heißt
Eigenvektor von , falls
•
heißt Eigenwert von F, wenn es einen Eigenvektor
→ ist dann ein Eigenvektor zum Eigenwert .
• Sei
Diverse Folgerungen
heißt Koplementärmatrix von . Es gilt:
.
.
gibt mit
.
mit
und
Das charakteristische Polynom einer Matrix erhält man durch Ausrechnen
von
. Die Nullstellen dieses Polynoms sind genau die
Eigenwerte von .
Hat man so die Eigenwerte gefunden, berechnet man die zugehörigen
Eigenvektoren zu jedem durch Lösen von
, d.h. sie spannen
den Nullraum der Matrix
auf.
linear. Dann gilt:
i)
ii) Sei
. Sei
und
darst. Matrix von . Dann sind äquivalent:
1) ist Eigenwert von f
2)
3)
4)
. Dann gilt:
Manchmal nützlich beim Umformen des Polynoms ist der Satz von Vieta:
• Sei
•
•
•
i)
ii)
iii)
• Sei
. Dann sind äquivalent:
i) A ist invertierbar.
ii)
iii) A ist Produkt von Elementarmatrizen (elem. Zeilenumformung).
• Sei
. Dann gilt:
•
red. ZSF von
• kein Eigenwert von A
ist
ist invertierbar.
• Sei
. Dann gilt für die Elementarmatrizen:
(Zeilen i und j vertauschen)
(Multiplikation von Zeile i mit )
(Addition des -fachen von Zeile i zu Zeile j)
linear,
Basis von . Dann gilt:
ist Basis aus Eigenvektoren
ist Diagonalmatrix
Charakterist. Polynom
Eigenvektor/-wert
• Die Determinante einer Familie von lin. abh. Vektoren ist 0.
• Ist
Dreiecksmatrix, so ist
Sei
,
Komplexe Zahlen
Häufig benutzte Werte
Normalform
• Argument:
, d.h.
• Betrag:
→ Damit ist:
•Polarform → Normalform:
• (Komplex) Konjugierte:
•Normalform → Polarform:
Winkelfunktionen
Wertetabelle
•Der Grad
eines Polynoms
, oder
, falls
.
Polynome
• Polynomdivision: Sind
mit
• Ist
mit
Nullstelle von
und
• Sei
Körper. Ein Polynom
und
ist die höchste vorkommende Potenz von
, so gibt es eindeutig bestimmte
. Schreibweise:
, dann gibt es genau ein
.
besitzt höchstens
• Fundamentalsatz der Algebra: Jedes Polynom
mindestens eine Nullstelle.
mit
• Jedes Polynom
zerfällt in Linearfaktoren. D.h. es gibt
wobei
so, dass
.
• Mitternachtsformel:
Nullstellen.
hat
,
Polarform