Grundlagen der Informatik -

Klassische Aussagenlogik (Zusammenfassung)
deklarative Beschreibung von Problemen:
I
Erfüllbarkeitsprobleme,
z.B. kombinatorische Suche: n-Damen, Planen
I
Allgemeingültigkeitsprobleme,
z.B. Schaltkreisentwurf
I
Unerfüllbarkeitsprobleme,
z.B. Programmverifikation (Nachweis der Korrektkeit)
I
Folgerungsprobleme,
z.B. automatisches Beweisen
Lösung der durch aussagenlogische Formeln beschriebene
Probleme durch Standard-Verfahren
(z.B. Wahrheitswerttabellen, Resolution, SAT-Solver)
Grundbegriffe der Aussagenlogik
Syntax
Junktoren
Aussagenvariablen
Atom, Literal
Formeln
äquivalente Umformung
Junktorbasen
Normalformen (CNF, DNF)
Minimierung
syntaktisches Ableiten
Resolution
Semantik
Wahrheitswertfunktionen
Boolesche Algebra (Gesetze)
Belegungen
Modelle
Wahrheitswerttabellen
erfüllbar, unerfüllbar
allgemeingültig
semantische Äquivalenz
(Wahrheitswerttabellen)
semantisches Folgern
Algorithmische Entscheidbarkeit der Aussagenlogik
Es existieren Verfahren, welche
I
für jede Formel ϕ ∈ AL(P) entscheiden, ob
I ϕ erfüllbar ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch aus ϕ durch Resolution nicht ableitbar
I ϕ unerfüllbar ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch Ableitung von aus ϕ durch Resolution
I ϕ allgemeingültig ist, z.B.
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch Ableitung von aus ¬ϕ durch Resolution
I
für jedes Paar von Formeln ϕ, ψ ∈ AL(P) entscheiden, ob ϕ und
ψ semantisch äquivalent sind (d.h. ϕ ≡ ψ)
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch äquivalente Umformungen
I
für jede Formelmenge Φ ⊆ AL(P) und jede Formel ψ ∈ AL(P)
entscheiden, ob ψ aus Φ folgt (d.h. Φ |= ψ)
semantisch Modellmengen, WW-Tabelle
syntaktisch Ableitung von aus Φ ∪ {¬ψ} durch Resolution
Modellierungsbeispiel
I
Tom liebt Anna oder Berta.
I
Wenn Tom Berta liebt, dann liebt er auch Conny oder Dina.
I
Wenn Tom Conny liebt, dann auch Anna.
I
Wenn Tom Conny nicht liebt, dann liebt er auch Dina nicht.
Frage: Liebt Tom Anna?
Beschränkte Ausdrucksstärke der Aussagenlogik
Aussagen immer zweiwertig (nur wahr oder falsch, keine
Zwischenwerte),
z.B.: Die Frau ist schön. Das Bier ist kalt. Der Student ist fleißig.
(Erweiterung zu mehrwertigen Logiken, fuzzy logic)
Aussagen immer absolut (keine Abhängigkeit vom Kontext, z.B.
Ort, Zeitpunkt),
z.B.: Es regnet.
(Erweiterung zur Modal- und Temporallogiken)
Aussagen über alle Elemente „großer“ Mengen aufwendig
(Erstellung, Platzbedarf), z.B. n-Damen-Problem
keine Aussagen über Elemente einer unendlichen Mengen
oder Mengen unbestimmter Mächtigkeit möglich, z.B.
I
Jede durch 4 teilbare Zahl ist gerade.
I
Es gibt eine gerade Primzahl.
I
Es ist nicht alles Gold was glänzt.
(Erweiterung zur Prädikatenlogik)
Modellierung in Prädikatenlogik
Grundannahme:
zu modellierende Welt besteht aus Objekten, die Eigenschaften
haben und zueinander in Beziehungen (Relationen) stehen
Prädikatenlogik zur Formalisierung von Aussagen über
Eigenschaften oder Beziehungen von Objekten aus
Strukturen (Menge mit Relationen und Funktionen)
Atom (elementare Aussage) in
Aussagenlogik : Aussagenvariable
bekommt festen Wahrheitswert durch Belegung
Prädikatenlogik : parametrisierte Aussage über Eigenschaften
von oder Beziehungen zwischen Objekten
Wahrheitswert abhängig von beteiligten Objekten
z.B. nebeneinander(x, y ),gerade(n) , x < 3, x < y
Beispiele
I
A ist genau dann Nachfahre von B, wenn B A’s Vater oder
A’s Mutter ist oder ein Elternteil von A Nachfahre von B ist.
Nachfahren derselben Person sind verwandt.
Personen sind Geschwister, wenn sie dieselbe Mutter oder
denselben Vater haben.
Objektbereich: Menge von Personen
Beziehung: Nachfahre, verwandt, Geschwister
Funktionen: Mutter, Vater
I
Primzahlen sind genau diejenigen natürlichen Zahlen, die
genau zwei verschiedene Teiler haben.
Gerade Zahlen sind durch 2 teilbar.
Es existiert eine gerade Primzahl.
Nachfolger ungerader Primzahlen sind nicht prim.
Objektbereich: Menge aller natürlichen Zahlen
Eigenschaft: prim, gerade
Beziehung: teilbar
Funktion: Nachfolger
N