Mathematik Grundlagen
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Das Lehrmittel eignet sich für die berufliche Weiterbildung – bis und mit Vorbereitung auf die höhere Fachprüfung an Fachschulen. Zudem lässt es sich in Vorkursen für höhere berufsbildende Schulen einsetzen. Aufgrund der zahlreichen Übungsaufgaben mit Lösungen kann es auch als Repetitorium und zur Prüfungsvorbereitung verwendet werden. Agnès Pracht und Hans Marthaler Mathematik Grundlagen für Vorkurse und berufliche Weiterbildung Mathematik Grundlagen www.hep-verlag.ch/mathematik-grundlagen Pracht und Marthaler Dieses neue Lehrwerk vermittelt die klassischen Themen der gewerblich-technischen Fachmathematik: Grundlagen der Algebra sowie die rechtwinklige und die schiefwinklige Trigonometrie. Zudem wird der Einsatz eines gängigen Taschenrechners geübt. Der methodische Schwerpunkt liegt auf dem Üben, die Theorie ist kurz gehalten: verstehen durch Üben. UG_Mathematik_Grundlagen_1A_16.indd Alle Seiten 21.04.16 12:25 5 Vorwort Dieses neue Lehrmittel vermittelt und festigt die klassischen Gebiete der gewerblichtechnischen Fachmathematik: Grundlagen der Algebra sowie die rechtwinklige und die schiefwinklige Trigonometrie. Zudem wird der Einsatz eines gängigen Taschenrechners und seiner Funktionen geübt. Die wichtigsten Gebiete der gewerblichen Fachmathematik werden praxisnah vermittelt. Das Lehrmittel richtet sich an Lehrabgänger, die sich beruflich weiterbilden – bis und mit Vorbereitung auf die höhere Fachprüfung HFP an Fachschulen. Zudem kann das Lehrmittel auch für Vorkurse für höhere berufsbildende Schulen eingesetzt werden. Der Inhalt steht auf den drei Säulen Grundlagen der Algebra, Trigonometrie am rechtwinkligen und allgemeinen Dreieck, sowie die Bedienung eines gängigen technischen AOS-Taschenrechners. Das methodische Schwergewicht wurde auf zahlreiche Übungsaufgaben gelegt. Die Theorie ist abschliessend, jedoch kurz gehalten: Verstehen durch Üben. Das Lehrmittel kann aufgrund der vielen Übungsaufgaben auch als Repetitorium und zur Vorbereitung auf Prüfungen oder zur Vertiefung des Fachrechnens eingesetzt werden. Ebenfalls ist es sehr gut für Klassen mit heterogenem Niveau geeignet. Für die unmittelbare Selbstkontrolle wurden die Lösungen der Übungsaufgaben am Ende des Lehrmittels aufgeführt. Im Algebra Teil werden anhand von vielen Übungsaufgaben die Inhalte aus der Volksschule repetiert, gefestigt und inhaltlich leicht ausgebaut. Als Hauptgebiete werden die Grundoperationen mit Termen bis zum Rechnen mit Brüchen behandelt. Beim Faktorisieren werden die binomischen Formeln einbezogen. Abgeschlossen wird der Teil mit dem Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Die in der Praxis oft vorkommenden Zehnerpotenzen, die Vorsätze (Kilo, Mega, Milli, Mikro, …) sowie gängige Einheiten werden ausführlich geübt. Mittels Textaufgaben wird jeweils der Bezug zur gewerblichen Anwendung hergestellt. Beim Einstieg in die Trigonometrie werden zunächst die wichtigsten Grundlagen der Geometrie inkl. Satz vom Pythagoras repetiert. Die Anwendung der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens werden am rechtwinkligen Dreieck gründlich eingeführt und anhand zahlreicher Übungsaufgaben gefestigt. Anschliessend werden die Anwendungen am allgemeinen Dreieck wie Sinus- und Cosinus-Satz eingeführt. Im Taschenrechner Teil werden die Grundfunktionen eines gängigen Taschenrechners mit AOS wie eines TI-30, … systematisch für die Anwendung geübt. 6 Vorwort Die mit einem bezeichneten Aufgaben können im Unterricht mit der ganzen Klasse besprochen werden. Sie decken jeweils die wichtigsten Aspekte eines neuen Lernschrittes ab. Diese Aufgaben wurden so ausgewählt, dass sie exemplarisch vorgelöst werden können. Dabei werden sämtliche wichtigen Lerninhalte abgedeckt. Etwas anspruchsvollere Aufgaben werden mit • bezeichnet. Einzelne Textaufgaben in der Algebra setzen teilweise Fachwissen wie das Ohm’sche Gesetz, … voraus. Diese müssen je nach Branche und Kenntnisstand der Lernenden ausgewählt werden. Diese Aufgaben können auch ohne Weiteres weggelassen oder als Anlass zur Behandlung resp. Repetition dieser Anwendungsgebiete genommen werden. Dr. Agnès Pracht dozierte an der Berner Fachhochschule. Heute unterrichtet sie an der Höheren Fachschule für Technik Mittelland in Biel und Grenchen. Dr. Hans Marthaler unterrichtete an verschiedenen Berufsfachschulen in den Kantonen Bern, Luzern und Aargau. Heute ist er Rektor am Berufsbildungszentrum Fricktal in Rheinfelden. März 2016 Dr. Agnès Pracht und Dr. Hans Marthaler 7 Inhaltsverzeichnis Algebra 1 Einleitung 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 2 17 18 19 21 24 Multiplikation von Zahlen und Variablen .............................................. Multiplikation von einem Term mit einer Summe ................................. Multiplizieren von zwei Summen........................................................... Die Binomischen Formeln ...................................................................... Multiplizieren von Zehnerpotenzen........................................................ Repetitionsaufgaben zur Multiplikation ................................................. Ausklammern.......................................................................................... 25 27 28 30 34 35 38 Brüche ..................................................................................................... Vorzeichenregeln der Division ............................................................... Dividieren von Zehnerpotenzen ............................................................. Kürzen von Brüchen ............................................................................... Kürzen nach Ausklammern .................................................................... Multiplikation von Brüchen.................................................................... Division von Brüchen ............................................................................. Repetitionen zur Multiplikation und Division von Brüchen .................. Erweitern von Brüchen ........................................................................... Addition und Subtraktion von Brüchen .................................................. Repetitionsaufgaben zur Algebra ........................................................... 39 41 42 43 47 49 50 51 54 56 57 Division 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 5 Addition .................................................................................................. Subtraktion.............................................................................................. Klammern ............................................................................................... Repetitionsaufgaben zur Addition und Subtraktion ............................... Addieren und Subtrahieren von Zehnerpotenzen ................................... Multiplikation 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 4 9 10 11 12 14 16 Strichoperationen 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 3 Was ist Mathematik? .............................................................................. Unsere Zahlen ......................................................................................... Physikalische Grössen ............................................................................ Zehnerpotenzen und Vorsätze ................................................................ Signifikante Stellen und Runden ............................................................ Grundoperationen und ihre Prioritäten ................................................... Anwendungen der Algebra 5.1 5.2 5.3 5.4 Gleichungen ............................................................................................ Umstellen von Formeln .......................................................................... Textaufgaben .......................................................................................... Ungleichungen ........................................................................................ 59 65 67 69 8 Vorwort Trigonometrie 6 Elementare Lehrsätze aus der Geometrie 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7 73 74 74 76 77 Rechtwinkliges Dreieck 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 8 Erster Strahlensatz .................................................................................. Zweiter Strahlensatz ............................................................................... Satz von Pythagoras................................................................................ Satz von Thales ....................................................................................... Übungen zur elementaren Geometrie ..................................................... Sinus ....................................................................................................... Übungen zum Sinus ................................................................................ Cosinus ................................................................................................... Übungen zum Cosinus ............................................................................ Tangens ................................................................................................... Übungen zum Tangens ........................................................................... Repetitionsaufgaben zum rechtwinkligen Dreieck ................................. 85 87 90 93 96 97 100 Das allgemeine Dreieck 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Sinussatz ................................................................................................. Übungen zum Sinussatz.......................................................................... Cosinussatz ............................................................................................. Übungen zum Cosinussatz...................................................................... Flächenberechnung im allgemeinen Dreieck ......................................... Aufgaben zum allgemeinen Dreieck ...................................................... Angewandte Aufgaben ........................................................................... 108 109 111 112 114 115 119 Taschenrechner 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 Einsatz eines Rechners ........................................................................... Grundoperationen ................................................................................... Potenzen.................................................................................................. Exponentialform ..................................................................................... Wurzeln .................................................................................................. Klammern ............................................................................................... Kehrwert ................................................................................................. Brüche ..................................................................................................... Prozent .................................................................................................... Winkelumrechnungen ............................................................................. Trigonometrische Funktionen................................................................. Repetitionsaufgaben ............................................................................... 123 124 124 126 128 130 131 132 134 135 136 137 Lösungen ..................................................................................................................... 139 Algebra 1 Einleitung In diesem ersten Teil geht es um die vier Grundoperationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von algebraischen Termen (= Ausdrücke mit Zahlen und Buchstaben). Zudem sollen mit den erarbeiteten Rechenverfahren Gleichungen und Ungleichungen gelöst werden. 1.1 Was ist Mathematik? Die Mathematik umfasst verschiedenste Teilgebiete. Die Wichtigsten sind: Algebra Rechnen mit Buchstaben, Lehre der Gleichungen Analysis Differential- und Integralrechnung Arithmetik Rechnen mit Zahlen Geometrie geos = Erde; metrie = Messen Planimetrie planos = Ebene; metrie = Messen Stereometrie stereos = zwei; metrie = Messen von Raumebenen Trigonometrie trigonos = drei Ecken Vektorrechnung Rechnen mit gerichteten Grössen Stochastik Kombinatorik, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 10 1.2 Algebra Unsere Zahlen Die ersten Zahlen, die man kennen lernt, sind 0; 1; 2; 3; … Sie bilden die Menge der natürlichen Zahlen. Allerdings kann es vorkommen, dass die Zahl 0 von dieser Menge ausgeschlossen wird. Wenn man die negativen ganzen Zahlen wie −1 ; −2 ; −3 ; … zu den natürlichen Zahlen fügt, erhält man die Menge der ganzen Zahlen. Rationale Zahlen sind gebrochene Zahlen, die als gemeine Brüche (Quotienten mit ganzzahligen Zähler und Nenner), endliche, periodische oder vorperiodische Dezimalbrüche dargestellt werden. Beispiele: gemeine Brüche: 1 5 19 , , 2 6 4 endliche Dezimalbrüche: 0.325 , 2.9146 , 105.7 periodische Dezimalbrüche: 6 2 , , 0.748 3 11 vorperiodische Dezimalbrüche: 14 , 0.96 , 3.82 15 Damit alle Zahlen dargestellt werden können, kommen noch weitere Zahlen, die weder als ganze Zahl noch als gebrochene Zahl darstellbar sind, hinzu. Beispiele: 2 , π , e (euler´sche Zahl), sin 35° , … Damit ergibt sich die Menge der reellen Zahlen. Stellt man die reellen Zahlen als Zahlengerade dar, so hat die Gerade keine Lücken mehr: −4 −1 − 0 5 1 3 2 2 e π Aufgaben: Ordnen Sie die folgenden Zahlen einer Zahlenmenge zu (ankreuzen): natürliche Zahl 001 0.5 002 −17 003 3.1 ganze Zahl rationale Zahl reelle Zahl 1 Einleitung 1.3 11 Physikalische Grössen Eine physikalische Grösse besteht aus einem Zahlenwert und einer Einheit. Beispiele von Einheiten sind Liter, Meter, Sekunde, Volt, Kilogramm, … In der folgenden Tabelle werden die Basisgrössen mit den zugehörigen SI-Basiseinheiten aufgelistet: Basisgrösse Länge Masse Zeit Stromstärke Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Grössensymbol l m t I T n Iv SI-Einheit Meter Kilogramm Sekunde Ampère Kelvin Mol Candela Zeichen m kg s A K mol cd Alle übrigen physikalischen Grössen können mit abgeleiteten SI-Einheiten beschrieben werden. Beispiel: Kräfte werden in Newton N gemessen. Ein Newton ist ausgedrückt in Basiseinheiten: 1 N = 1 kg ⋅ m s2 12 1.4 Algebra Zehnerpotenzen und Vorsätze In der Technik und der Natur kommen oft sehr kleine und sehr grosse Werte vor. Beispielsweise beträgt die Strecke zwischen Erde und Sonne 149 '600 '000 km. Anders ausgedrückt ist die Strecke 1.496 ⋅1011 m. Dabei ist 1.496 ⋅1011 der Zahlenwert und „m“ steht für Meter und ist die Einheit. Zahlenwert und Einheit bilden bekanntlich die physikalische Grösse. Für die Darstellung von sehr grossen und sehr kleinen Zahlen werden am besten Zehnerpotenzen eingesetzt. In der Praxis werden oft Zehnerpotenzen in Tausenderschritten benutzt: 103 , 106 , 109 , 1012 und ebenso 10−3 , 10−6 , 10−9 , 10−12 wobei: 103 = 1'000 , 106 = 1'000 '000 und 10 −3 = 1 1 = = 0.001 103 1'000 Diese speziellen Zehnerpotenzen werden als Vorsätze bezeichnet und sind wie folgt definiert: Name Tera Giga Mega Kilo Dezi Zenti Milli Mikro Nano Pico Zeichen T G M k d c m µ n p Potenz 1012 109 106 103 10−1 10−2 10−3 10−6 10−9 10−12 Faktor 1'000 '000 '000 '000 1'000 '000 '000 1'000 '000 1'000 0.1 0.01 0.001 0.000 001 0.000 000 001 0.000 000 000 001 Aufgaben: Wandeln Sie die folgenden Längen um: Beispiel: 14 '500 m = 14.5 ⋅103 m = 1'450'000 cm = 14'500 '000 mm = 14.5 km m cm mm −3 3.7 ⋅10 m 004 281 mm 005 006 Zehnerpotenz 695.03 m km 1 Einleitung 13 Schreiben Sie die physikalischen Grössen in der vorgegebenen Einheit mit Vorsatz: 007 26 '000 g in kg 008 71'500 '000 J in MJ 009 0.000 049 m in µm 010 0.000 003 kg in mg 011 12 '800 '000 '000 W in GW 012 0.000 000 000034 F in pF 013 102 '500 '000 Hz in MHz 014 0.000 000 0068 s in ns 015 53'000 V in kV 016 1'700 '000 '000 '000 W in TW Geben Sie die physikalischen Grössen mit der passenden SI-Einheit ohne Vorsatz, dafür mit Zehnerpotenzen an: Beispiel: 11.7 MHz = 11.7 ⋅106 Hz = 1.17 ⋅107 Hz 017 8.1 kHz 018 0.2 mA 019 13.5 TW 020 0.0094 dm 021 652 ng 022 0.738 MV 023 243.9 µm 024 56.18 kJ 025 0.32 MΩ 026 0.0006 mC 14 1.5 Algebra Signifikante Stellen und Runden Wenn eine Dezimalzahl auf eine gewisse Anzahl Stellen gerundet werden soll, gilt folgende Rundungsregel: Folgt nach der Stelle, die als Letzte stehen bleiben soll, eine 5, 6, 7, 8 oder 9, wird diese Stelle um 1 erhöht (aufrunden). Folgt nach der Stelle, die als Letzte stehen bleiben soll, eine 0, 1, 2, 3 oder 4, bleibt diese Stelle unverändert (abrunden). Beispiel: Runde die Zahl π jeweils auf 2, 3, 4 oder 5 Stellen nach dem Komma. 3.141592654... ≈ ≈ ≈ ≈ 3.14 3.142 3.1416 3.14159 abrunden aufrunden aufrunden abrunden Aufgaben: Runden Sie folgende Dezimalzahlen jeweils auf 2, 3 und 5 Stellen nach dem Komma: 027 2.715382946 028 0.634912584 029 14.87523619 030 583.1549367 031 −74.31602856 1 Einleitung 15 Neben den Nachkommastellen werden Zahlen auch oft auf eine bestimmte Anzahl signifikanter Stellen gerundet: Signifikante Stellen sind alle von Null verschiedenen Ziffern sowie Zwischen- und Endnullen. Bei Dezimalbrüchen wird dabei das Komma nicht beachtet. Wenn die Zahl in Exponentialform angegeben ist, beachtet man nur die Zahl vor der Zehnerpotenz. Dabei meint „signifikant“ „von Bedeutung sein“. Die Anzahl signifikanter Stellen einer Zahl wird bestimmt, indem man ab der ersten, von Null verschiedenen Ziffer, von links nach rechts zählt. Beispiele: Zahl 46 46.0 46.01 0.73 0.730 0.7302 59'001 59 ⋅103 59.0 ⋅103 Signifikante Stellen 2 3 4 2 3 4 5 2 3 Bemerkungen die letzte Null wird auch gezählt die Null dazwischen zählt mit die links stehende Null zählt nicht die Null ganz rechts wird gezählt die Nullen werden auch gezählt nur die zwei Ziffern zählen Die Lösungen der Aufgaben im Anhang werden, sofern nicht anders angegeben, auf vier signifikante Stellen notiert. Aufgaben: Wie viele signifikante Stellen haben die folgenden Zahlen? 032 7305 033 490162 034 68.307 035 0.02948 036 0.7040 037 5.2 ⋅103 038 1.64 ⋅105 039 2.099 ⋅108 16 1.6 Algebra Grundoperationen und ihre Prioritäten Die Rechenprioritäten innerhalb der Grundoperationen sind folgendermassen gegeben: Operation Operationszeichen + Addition: Summe (addieren, hinzufügen) Subtraktion: Differenz (subtrahieren, wegzählen) Multiplikation: Produkt (multiplizieren, mal rechnen) − Division: Quotient (dividieren, geteilt rechnen) Potenzieren: Potenz (mit sich selber multiplizieren) : ⋅ Radizieren: Wurzel (Wurzel ziehen) xn x Gleichungsbeispiel 4 + 7 = 11 6a + 13a = 19a 13 − 17 = −4 7 x − 5x = 2 x 7 ⋅ 6 = 42 4c ⋅ 3a = 12ac 12 : 3 = 4 140a : 20a = 7 43 = 64 3 Priorität tiefste Priorität mittlere Priorität höchste Priorität 64 = 4 Bemerkung: Zu den Strichoperationen gehören die Addition und die Subtraktion, weil das Operationszeichen aus Strichen besteht. Aus demselben Grund gehören die Multiplikation und die Division zu den Punktoperationen. Zuerst wird immer die Operation mit der höchsten Priorität ausgeführt (Punkt vor Strich). Beispiele: 2 + 3⋅ 4 2 ⋅ 34 5 + 4 ⋅ 32 = = = 14 162 41 Aufgaben: Berechnen Sie die folgenden Werte mit dem Taschenrechner: 040 73 + 11⋅ 8 041 4 ⋅ 26 − 19 042 17 + 6 ⋅ 25 043 8 ⋅ 61 − 128 − 73 ⋅ 2 2 Strichoperationen 2 Strichoperationen 2.1 Addition Es können nur zwei gleichartige Terme (gleiche Buchstaben) addiert werden. Beispiele: a + a = 2a b + c + c + b + c = 2b + 3c Gleichartige Terme werden addiert, indem man die Koeffizienten (Zahlen, die vor den Buchstaben stehen) addiert und die Variablen beibehält. Beispiele: 5a + 7a 3a + 8b 6r + 3r + 2t = = = 12a 3a + 8b 9r + 2t Der Koeffizient 1 wird nicht geschrieben: 1a = 1⋅ a = a Aufgaben: 044 7b + 4b + 9b + 16b 045 14a + 9c + 15d + 4c 046 27a + 16c + 13b + 4a 047 17 p + 6 pq + 4q + 3 pq 048 4r 2 + 3q + 2r 2 + 6q 049 14α + 15γ + 16α + 31β + 41β 050 41d + 3b2 + 4e + 5c + 4b 2 17 18 Algebra Im Resultat werden die Buchstaben alphabetisch geordnet aufgeschrieben. 21yx + 43db + 16tu + 17a + 13xy = 17a + 43bd + 16tu + 34 xy Beispiel: Es können auch ganze Blöcke (Klammerausdrücke) addiert werden. Aufgaben: 051 25 ⋅ (a + b) + 19 ⋅ (a + b) 052 156 ⋅ (b + 1) + 93 ⋅ (b + 1) + 244 ⋅ (b + 1) 2.2 Subtraktion Es können, wie bei der Addition, nur gleichartige Terme subtrahiert werden. Man subtrahiert gleichartige Terme, indem man die Koeffizienten subtrahiert und die Variablen beibehält. Beispiele: 5a − 4a 5a − 4b 11e − 3e − 2 g = = = a 5a − 4b 8e − 2 g