jeder stetige

liber die
Q-Reflexivität
von
von H.~P. Butzmann
Nr. 16
1971
C c. (X)
-1-
über die
Q-Reflexivität
von
H.-P. Butzmann
Für einen Limesraum
X
C
von
bezeichne
(X)
Q
C (X) ,die'~
c.
-Algebra
ce '
aller stetigen,
reellwertigen
Fu~ktionen
auf
der Limitierung
der stetigen ,Konvergenz und
X , versehen
P(C
(X)
mit
die
Q
Menge
aller stetigen
Halbnormen
CQ(X)
auf
. Die von
auf C (X)
induzierte
Topologie
Topologie,
die,grö~er
ist als die Limitierung
~
vergenz
- heißt
soziierte
Arbeit
vergenz
Klasse
- die feinste
die zur Limitierung
lokalkonvexe
Topologie.
zeigen,. daß sie mit der Topologie
auf kompakten
Mengen
von Limesräumen
der stetigen
Kon-
Konvergenz
as-
im 1. Teil dieser
der gleichmäßigen
zusammenfällt,
gehört,
lokalkonvexe
der stetigen
Wir werden
P(C~(X»
wenn
X
Kon-
zu der
die wir nach [1] c-einbettbar
nennen.
Für einen Limesvektorraum
linearen,
stetigen
E
Funktionale
tierung
der stetigen
heißen,
wenn der natürliche
ein Homöomorphismus
vität von
C (X)
~
Im 3. Teil werden
logische)
E , versehen
und der Raum
Homomorphismus
für jeden Limesraum
wir schließlich
~-reflexiv,
der Teile
Autors.
Beweise
X
zeigen,
soll e-reflexiv
E
in
E
daß
sind jedoch
Die Anwendungen
~
Q
E
~-Reflexi-
L L E
~ ~
E
die (topo-
ein lokalkonE
in diesem
vollständig
1 und 2 entstammen
L L
beweisen.
ist. Also ist
wenn
aller
mit der Limi-
E
von
von E ist, wenn
Vektorraum
Die Resultate
wiedergegeben.
die Menge
ist. Im 2. Teil werden wir die
vexer, topologischer
Viele
auf
Konvergenz,
Vervollständigung
Falle genau dann
L QE
bezeichne
ist.
der Dissertation
vereinfacht
des
und verkürzt
dieser Ergebnisse
auf topologische
-2insbesondere
lokalkonvexe,' topologische
zusammen mit E.
Vektorräume
Binz gefunden.
I. Die assoziierte.-l9kap::onvexe 'I'opo.logie
von
Es sei
(E,A)
ein Limesvektorraum
stetigen Halbnormen
auf
E
auf
eine lokalkonvexe
=
(E,A)
mit
Topologie
assoziierte
die Menge
gleichmäßigen
Vektorraum.
Es sei
X
X
C (X)
c.
ein Limesraum
C
c.
A
Topologie
(E,T) der
Für
C(X) , versehen mit der Topologie
auf kompakten
C
von
Limesraum
induziert
T , die graber als
c.
(X)
Teilmengen
assoziierte
-----?
der
X
daß sie für einen
eln Homaomürphismus
und
von
wir
immer stetig. Nun
(X)
soll in diesem' Teil gezeigt werden,
Falle ist der zu
P(E)
CTc.(X) genannt werden. Bezeichnen
Konvergenz
so ist die Iden{ität
bettbaren
die Menge aller
A , und daher heißt
lokalkonvexe
Cc.(X) soll er
CQ(X)
Cc.iX)
die feinste lokalkonvexe
E , die graber ist als
zu (E,A)
~rtd P(E)
(E,A) . Die Menge
ist. In der Tat istt
auf
wurden
K ~X
ist, d.h.
lokalkonvexe
c.-einin diesem
Vektorraum
kompakt. Definiert
man
'IR
durch
für alle fE.C (X) ,
PK(f) = sup! f(x)1
xcK
so ist
eine stetige Halbnorm
auf
C (X). Weiterhin
c.
erzeugt das System
.{pKI K
die Topologie
Mengen auf
stetigen
S
X, K
der gleichmäßigen
C(X)
. Es bezeichne
Halbnormen
auf
kompakt}
Konvergenz
P
auf kompakten
wiederum
die Menge aller
C (X) , dann ist die Homaomorphie
c.
von
-3id
äquivalent
Zu jedem
Tc.
pc:p
P
Ck(X)
(X)-----?
zu der Aussage:
eine reelle
Es sei
: C
existieren
Zahl
a > 0
die Menge
Menge
K <; X
und
mit der Eigensphaft:
aller Halbnorrnen
p(f) - p C1f I
(i)
eine kompakte
)
p ~ P , für die gilt:
für alle f
C(X)
E.
..
(ii)
per)
p(g)
:;,
für alle f und g aus
mit
Wir werden
zunächst
zeigen,
Topologien
übereinstimmen.
IfI =
f ~ g
daß die von
P
Dazu brauchen
C(X)
und
Perzeugten
wir die beiden
folgen-
den Lemmata:
Lemma
1
be liebige
~F
dann
Null,
X
Es se~
ein Limesraum.
F
Tei lmenge
:':{f E: C(X)
konvergiert
wenn
I
S-
es existiert
gegen
erzeugte
{'lFIFE.8}
8
Null
ein g
auf
2
Es se~
Abbildung
von
fUr jedes
f
E.
0
€.
F
fUr
e~ne
mit
C~ (X)
genau
c.
konvergiert,
dann
dabe1: sei
gegen
18 der
Filter.
Den Beweis führt man durch einfaches
Lemma
man
C (X)
ein Filter
'l 8
Definiert
l/J e~ne
1R
posi t,:v homogene,
, dann ist
C(X)
~n
C(X)
is t die folgende
l/J{rE.C(X)j-f
o
Ausrechnen.
:5 f:; f}
0
in NuZl
stetige
l/Jbeschränkt,
Menge
beschränkt:
d. h.
von
Beweis
Nehmen
f
Es sei
E.
0
wir an, daß
und
C(X)
1jJ(A~
- {f
I
C(X)
€
-f
0
) nicht beschränkt
.L
0
f ~f
5,
gn E Af
eine Punktion
nEN
gn
(--)
folgt, daß die Folge
in Null stetig
,
gegen Null konvergiert.
n
ist, erhalten
mit:
0
IN
11 ~
für alle neIN
.1jJ
.
}
ist, dann gibt es
für alle
woraus
0
0
Zahl
zu jeder natürlichen
Af
wir daraus
die Konvergenz
Da
von
",io,
g
1jJ(~)
n
gegen Null,. also einen Widerspruch.
Nun definieren
"'p
Wlr für jedes
:
C
c..
(X) ._--~
pEP
1R
durch:
15 (i' o ) =
sur {p (f) I f E: C (X),
für alle
""'
verifizieren,
wohldefiniert,
p
Nach Lemma 2 ist
daß
p
Es konvergiere
nach Lemma
8
1 auch
gegen
'18
es zu jeder positiven
von
Null
auf
I f0 I}
f E. C(X)
o
.
C(X)
p
in
C (X) , dann konvergiert
c..
Zahl E>O
p
ein
stetig ist, gibt
F
zu
ist. Wir bewei-
'"
gegen Null. Da
reellen
.'S
und es ist nicht schwer
eine Halbnorm
sen daher nur die Stetigkeit
I f1
E.
E
8
mit
-5den Eigenschaften:
F
= (
€
F
E:
und
p(F
Sei
f
o
woraus
E.
F
) ~ (-€,E)
IfI
:5.
I f0 I ,
p(f)
<
€
und
€
€
dann gilt
f
E:
Fund
dahe.r
€
wir
erhalten.
Also gilt:
Daher gibt es zu jeder stetigen
,.....
Halbnorm
p (.P
eine stetige
r--
p E: p'. mit der Eigenschaft:
Halbnorm
,
woraus
auf
folgt, daßP
Das folgende,
Schlüssel
sehr einfach
des Beweises
Konvergenz
Lemma
3
senes
Ideal
Beweis
Fiil"
in
in der Taf dieselbe
Topologie
jedes
auf
zu beweisende) Lemma bildet
dafür, daß
pE. P
P
die Topologie
den
der Kom-
erzeugt:
C(X)
ist
der
Ke1'1'i.von
p
e1-n o..bgeschlos-
C c. (X).
Der Kern jeder stetigen
abgeschlossener
daß Ker p
P
erzeugen.
C(X)
pakten
und
Unterraum
von
gegen Multiplikation
Halbnorm
Cc.(X)
,
auf
C (X)
also bleibt
mit Elementen
ist ein
c.
aus
zu zeigen,
C(X)
abge-
-6.-
schlossen
ist.
Sei also
p
r-'
P .'f
€.
gn
i
o
=
Ker p
E:.
und
g
C(X) . Defüüert
E'.
fUr alle n
(-.Q""g')"0_
--
f..
man
N
I
I
I
(g
die Folge
so konvergiert
\
(g f)
n 0
gegen
(punktweise
gf.
definierte)
n
Wei terhin
gilt.:
)
gegen
Funktion
nlf o I
folgt, daß
f g
0,
Für ein Ideal
I
f
)
=
np(f
p
wenn
sich
C(X)
definiere
leicht nach, daß
pE. P
eine kompakte
paktheit
der
reellwertigen,
stetig ist,
f
E.
I} .
kompakt
sein muß,
einer Supremumsnorm
läßt. Beim Beweis
durch
über
dieser Kom-
(wegen Lemma
5) auf die Klasse
beschränken,
die wir deshalb
Y
bezeichne
Horn
C~(Y)
c c
die Menge aller
unitären 1R. -Algebrenhomornorphismen
ly
definiert
p
wollen:
sehen mit der Limitierung
werde
N(Ker p)
Limesräume
Für einen Limesraum
n.)
IN
p . Da
für alle
wir uns jedoch
hier kurz beschreiben
zweiei Funkti-
) - 0 .
durch das Vielfache
c-einbettbaren
das
man
Menge majorisieren
müssen
0
fl
1\
gi 1t .
N (I) - {x E: X I f (x) = 0
Man rechnet
11
mit dem W~rt
im Kern von
n
E. Ke. r
0
bzw.
Infimum
für alle n f.
p(fg
) $ p(nf
o n
fog
und die Folge
"Iv'!
Supremum bzw.
die konstante
Also liegen alle
g
(Dabei bezeichne
0
onen und
n
y~
der stetigen
Horn
iy(Y) (f)
C
(Y)
=
f(y)
c c
Konvergenz
für alle
auf
Y,
und
y
E.
Y
und
ver-
.. 7'-fE:.C (Y) . In [3J
alle
ist. Wenn
iy
\:Jurdegezeigt,
daß
l
sogar ein Homöomorphismuß
von [3J
der Terminologie
c-einbettbarer
stets surjektiv
Y
ist, nennen
folgend~:c~einbettbar.
Limesräume
erwähnen
wjrhier
wir
y,
Als Beispiele
die vollständig
I
i
regulären
Ferner
topologischen
C(
Räume und
sind Unterräume
für jeden Limesraum
Y)
. c,
c'-einbettba.rer Limesräume
wieder
c-ein-
bettbar.
Unser
Ziel ist es nun, für jeden
beweisen,
daß '.
N (Ke-r p)
p .
P -< p(l)
N(Ker
Lemmata
für alle
p
E.
gilt. Zum Beweis
p)
wir die folgende
c-einbettba~en
Definition
Limesraum
P .kompakt
zu
is t und
der Komoaktheit
brauchen
,
und die sich anschließenden
beiden
(s. [81) ;
':;.-
X
raumes
heißt
und jedem
XE:X
gibt
mi.t
4
gegen
wenn
U'
Lemma
5
~ 1J2
gibt,
von
ein
Uberdeckungssystem
10
von
(i)
(ii)
auf
X
'1-0
X
Limesraum
induzierte
ist
X.
Limes-
es zu jedem
ein
ist genau
~
von
gibt
VeY'feinel~ung von
und
Weiter
es e~n
'tJl
kbmpakt,
überdecken.
Limesraum
Topologie.
Dann
dann
ein endliches
X
X
Elemente
den Eigenschaften:
VE.1O -=7X'V E:?<:
wenn
Filter
c-einbettbarer
von
mit
X,
eines
<D •
dessen
ein
X
die
system
£
Uberdeckungssystem
Es se~
C(X)
••.
:IC,\I!
hausdorffscher
es zu jedem
Teilsystem
U
Tei lmengen
von
konvergenten
x
und
x cU',T,
Ein
von
Uberdeckungssystem
X)'1'
Lemma
'f (X)
Dl ~
Eil1 System
Definition
sei
Y.
~
~
Uberdeckungs-
,- 8-Nun können wir die Kompakthei t von
N (leerp)
lm
c.
-einbet t-
baren Fall beweisen:
i
X
Lemma 6
Es
sei
K ,::: N',( Ker
p)
~ dann
is
K i
OBdA sei
Beweis
e~n
c.-einbettba~er
0.
jedes tiberdeckungssystem
enthält.
Nach Lenuna
von
eln
Sei also LQ
l<cmpai<t",
K
t
und
pE P
Limesraum~
K
4
reicht es) z~ zei~en,
eine endli~he
tiberdeckungssystem
daß
Teilüberdeckung
K . Da
von
abgeschlossen. ist, bildet -das System
r--
= {Dv(X'K)[
ein tiberdeckungssystemfür
~
system von
Lemmas
€
5 gelten.
X. Sei nun
Fiir jedes V
'1D
Q
V,
(i) und (ii) des
-{F
und jede positive
reelle
Zahl
= {fE:C(X)1
V, c
I
f(V)~(-E,s)}
S
FV, £ für alle
f
')0
E
ein tiberdeckungs-
man:
F
VElO
VE
10
E'£1R.
,
eine Filtersubbasis
, der erzeugte
tiberdeckungssystem
von
wegen der Stetigkeit
gibt es Mengen
X
von
V.E.lO
l
nun zeigen,
und alle
E >
daß
0
p
> 0
E
Filter neiße
konvergiert
, also ist
}
ist, konvergiert
(i=1, ... ,n)
mit:
Wir wollen
}
X , für das die Bedingungen
definiere
Es gilt
DEUl.
e.
Da 1{)
ein
G
gegen
0
p(G)
gegen
O. Also'
und eine reelle
Zahl
und
£>0
-9n
U V.l
"2 K
i=1
n
gilt. Nehmen wir an, daß es ein
V.
n
l
(X,~)
Funktion
f
abgeschlossen
E.
o
X
o
E:.
K'-
lJ
.. i=1
V.l
sind, existiert
gibt. Da alle
eine stetige.
C (X) ., für die gilt:,.
f(UV.)-{O}
o
J_
und
es folgt:
kf
o
F
E:.
V. ,
l
für
E
i=1, ... ,n
und alle k
E:.
IN
für alle k
E:.
I1'J
.,
also
>
Nach [4],
p(f
Thm 2
daß 10
E:.
I
nach Lemma
0 .
<~ '>
f (N (I))
= {O}
Ideal
Ideal ist, folgt
fot Ker p . Dieser Widerspruch
1JL
elne endliche
Teilüberdeckung
enthalten.
1
Lemma
K
Es
wie
Lemma beschließt
se~
oben.
X
ein
Dann
I<; C(X):
.
3' ein abge,schlossenes
und daher auch
Das folgende
und
=
foCK) ~ {Ol also
wegen
K
)
gilt für jedes abgeschlossene
f
Da Ker p
o
den 1. Teil:
c-einbettbarer
gilt:
Limesraum,
zeigt,
von
-10Beweis
Zunächst
bemerken
f€ C(X)
ist. Nun sei
wlr, daß
und
K
f(K)~[-1,1
nach Lemma 6 kompakt
J •
Definiert
man
so folgt
(f-g)
(K)
= {O}
und
Aus
Da
(f-g) (K) ,=. { O} _ f 0 1gt
=
p(f)
positiven
,.'
.~.
un d wir er haI t en :
p(f) ~ p(f-g)
+ p(g) ~ p(l)
0
zu
äquivalent
Homogenität
Zusammenfassend
Satz 1
P (f - g ) = 0
können
X
Es se~
der zu
Cc(X)
Beweis
Für
von
p
P
ein
ist, folgt aus der
die Behauptung.
c-einbettbarer
Limesraum~
ZokaZkonvexe
Vektorraum
definiere
= s up {p (f)
0
wir also sagen:
assoziierte
p c:
=
P (f)
K
I
f
E:
""p
man
C (X)
,
und
I fis
für alle
!
f
o
ist
Ck(X)
durch:
K
f0
dann
I }
E.
C(X)
und
K
=
N(Ker
]5)
("'J
Nach den obigen Ausführungen
auf
C (X)
c
, die Menge
K
ist
p
kompakt,
eine stetige Halbnorm
und es gilt:
.
",
,
•.....••
_.M_
,..•.••...
~_,_.,...~.~
..._.-...N'
..'" .._
i
...;:L.~..••.•
O,.•.~~
a •• _ •••••.•..••••••••••
-11-
11. Die
Q-RefleXivität
------..----- von
...----
Für einen Limesvektorraum
linearen,
tierJng
stetigen
C c.--(X)
E
Funktionale
der stetigen
Lc.E
bezeichne
auf
Konvergenz,
E
die Menge aller
versehen
mit der Limi-
und
I
E--~L
werde definiert
alle
~
E.
durch
\<1enn
_.
=
jE(f)(~)
L E . Offenbar
c.
L E'
c. c.
. _.
ist
ein stetiger
JE
sogar ein Hom50morphismus
Q-reflexiv.
für alle f
~(f)
In diesem Teil wollen
E.
E und
Homomorphismus.
ist) dann nennen wir
wir die
E
c.-Reflexivität von
I
Cc.(X)
für jeden Limesraum
X
beweisen.
Dazu betrachten
wir
die stetige Abbildung
i.
X--;;L'
X
definiert
alle
durch
fE C(X)
Unser
lineare Hülle von
zeichnet)
genden,
Satz 2
dicht in
FUr jeden
pakte
p
ix(X)
(im folgenden
L C (X)
c. Q
E..
X
und
zu zeigen,
kurz mit
daß die
[ix(X) ]
liegt. Dazu brauchen
be--
wir den fol-
bewiesenen
topoZogischen
jeder
Vektorraum
ko)zvergente
Eist
FiZter
L E
c.
enthalt
e~ne
kom-
Menge.
ein in
Lc.E
der Nullumgebungsfilter
in
Zum Beweis
u
d.h.
für alle
f(p)
Ziel ist es, zunächst
von M. Schroder
ZokaZkompakt,
=
iX(p)(f)
C (X)
c. c.
Auswertung.
sel
~
gegen
Dann gibt es Mengen
w(UXF)S
und
E
U
E.. ~
[-1.,1J ,
0
LU:
und
konvergenter
L ExE~
1ft
c.
F
E.
lJL
,
Filter,
die
so daß gil t:
--12-
woraus
U = {1jJ E: LE I
1J
1jJ (F) ~ [-1,
}
E. \p
f'->
folgt. Wir wollen
nun die Kompaktheit
von
i
also;, 'f ein Ult rafil ter auf
U
U
zeigen.
.t:~ E
und
Da
\
bierepd
ist, gibt es eine n~türliche
w ( Ux { f})
also konvergiert
£;
[-
k ,k
XE.L
daß
vergiert.
abgeschlossen
Daraus
w('fxf)
ln
gegen elne Zahl
zu verifizieren,
Da
k
U
c.
E
und
.~
X ~ U.
verwendete
stetige Funktionale
leiten kann. Der hier wiedergegebene
kon-
für unsere Arbeit
Beweis
(ii) des Beweises
schwer
x
gegen
ist, folgt auch
für lineare,
die man aus defu Teil
so daß gilt:
[-k,kJ
gilt und daß
Satz her. Der ursprüngliche
Integraldarstellung
N
£
X(f). Es ist nicht
leiten ~ir jetzt den folgenden,
mentalen
F -absor-
J
der Ultrafilter
daher auch in1R
~ahl
Sei
funda-
eine
auf
C c. rX)
\
von Satz 3 leicht her-
Beweis
stützt
sich auf
elne Idee von E. Binz und K. Kutzler.
Satz 3
Für
einen
L1:mesraum
X
liegt
dich.t-z-n
[:iX(X)J
L C (X).
c. c.
Der Beweis
(i)
X
zerfällt
sei kompakt
In diesem Falle
auf C (X)
c.
mit der üblichen
c.
wir einerseits
dafür
und topologisch
stimmt die Limitierung
C (X)
hin ist
in drei Teile:
11
c.
Supremumsnormtopologie
ein Banachraum.
mit der üblicheh
L C (X) , andererseits
der stetigen
überein,
LC (X)
Den Dualraum
Normtopologie
Konvergenz
c.
versehen
und schreiben
mit der schwachen
mit-
Topologie
,
-13-
c e. (X)
bezüglich
Für diese Räume
n e.
Es sel
von
U
n
L e.Ce.(X)
Menge.
n€.
IN
erzeugte
o ,
ge gen
Folglich
im folgenden
raum von
L C (X)
elnes
.
L }1"C:'-(; (X)
L C (X)
e. e.
U
bzw.
selbst kompakt.
, wenn wir
auffassen.
kompakt
ist
Wir
U
als Unter-
Als Unterraum
Ue. selbst.
e.-einbettbar.
is t, muß er nacrl [2 J ~ Sat z 4 sogar
seIn
und daher homöomorph
.
U;.-;die abgeschlossene
- d.'""
. -auen
. ,. ln
.
un
::,.üaner
also nach Satz 2 eine kompakte
in
e.
der
e.
111
e.-einbettbaren Limesraumes
topologisch
wollen.
Identitätenstetig:
11.
bzw.
e. e.
Da der Raum:_:U c
,<
U
schreiben
bezeichnen
L C (X) . Dann konvergiert
in
Filter
enthält
ist
(X)
e.
id
C (X)---)L
C (X)
e. e.
. .6 e.
die Einheitskugel
IC! U)
.6
sind die folgenden
id
----loL
L C (X)
L C
, was vIiI'mit
konvexe
zu
U .6
Hülle von
Nun ist aber
iX(X)u(-iX(X))
f
(s. [6],
V8.6)
und daher ist es auch
L C (X)
e. e.
proximieren.
Da
U
im kompakten,
(ii)
X
Es sei
auf
a > 0
sei
e.
durch Elemente
absorbierend
Satzes
U
. Also läßt sich
aus
[ix(X)]
,
ist, folgt die Behauptung
topologischen
des
Fall.
e.-einbettbar
11jJ
I eine stetige Halbnorm
1jJ
E LCe.
(X) , dann ist
C (X) , also gibt es nach Satz 1 eine reelle
cund eine kompakte
Menge
K S X
Daher gibt es eine lineare,
Diagramm
kommutativ
stetige
macht:
Konstante
mit:
für alle
folgende
ap-
Abbildung
f
f..
C (X)
X , die das
-1!.j-
C
r
(X)
e
~
7
C
(K)
~c
f(R-
I
I
Babei sei
r
die Restriktionsabbildung.
Weil
K
kompakt,
I
topoiogisch
ist (s.[2], Satz 4), läßt sich
durch Elemente
aus
[iK(K)]
durch Elemente
aus
[iX (K)J
X
approximieren
in
LcCc(K)
und daher in
L C (X)
c c
.
r'>J
(iii)
Für einen be-liebigen Limesraum
Horn
Raum
definiert
C (X). Wir erinnern
c c
ist durch
iv(p) (f)
A
daran,
=
fE. C(X). Das foJ.:gendeDiagramm
X
bezeichne
X
den
daß
f(p)
für alle
p
E.
X
und alle
ist nun kommutativ:
r-'
ix
'""
X-------------7
1
ix
L C
c_c
L C (X)
X
(ix)lix
~" L C (X)
c c'
c c
'"
Nach [3], Satz 1 ist
bettbar
Die
c-Reflexivität
4
von
C
c
(X)
Da
r'>J
X
des Satzes
außerdem
c-ein-
aus (ii).
läßt sich nach diesen Vorbe-
sehr leicht beweisen:
Für
Lime sve7<.torraum
Beweis
surjektiv.
x
ist, folgt die Behauptung
reitungen
Satz
i
jeden
Limesraum
X
ist
.
Man definiere
die Abbildung
C (X)
c.
ein
c-reflexiver
-15-
--~)
i~ : L L C (X)
(: c. c.
= '1' 0 ix
i* ('r)
durch
i * =!
für alle
e e.(iX) I L L e.e e.(X) .
I'L . h
sehr'.elct,
d ao
f)
e c. (X)
l.-'r
T
Es sei
E
invers
je (X)
. e. . .
zu
topo~ogische
, L E
e. e.
L E
und
... ,~.
ln
e.
C (L
und d~her sind
lokalkorivex, topologisch
L
d.h. man setze
.
3 verifiziert
•
man
+-
lS!vI
0
Vekt£!,räume
ein topo.logischer Vektorraum,
Satz 2 10kalk6mpakt,
in
LL C (X),
e. e.
Mit Hilfe des Satzes
\
111. Lokalkonvexe,
E:.
e.
dann ist
E)
L E
e.
L L E
e. e.
und
e.
nach
(s.[8J). Liegt weiterhin
dicht
, so ist
Le.(jE) die inverse Abbildung
_
daher
e.-reflexiv. Ist umgekehrt
jE(E)
JL
zu
E
e.
nicht dicht
L e.L e.
E , so gibt es nach dem Satz von Hahn-Banach
eln nicht-
r
triviales
Funktional
schwindet.
also nicht
genau
auf
Le.Le.E,
das auf
jE(E)
ver-
~i
jL E(Le.E)
gilt, Le.E
e.
e.-reflexiv sein kann. Damit haben wir bewiesen:
Man sieht leicht,
Es sei
Le.E
~
dann
E
e~n
daß
topologischer
e.-rejlexiv
3
Vektorraum3
jE(E)
wenn
dann
dicht
ist
L L E
in
e. e.
liegt.
Ist E sogar lokalkonvex,
morph
und isomorph
ein geeigneter
so ist
E
nach [7J,
zu einem Unterraum
lokalkompakter
logie der gleichmäßigen
von
Raum ist und
Konvergenz
S.252
homöo-
C(X) ,.wobei
C(X)
auf kompakten
die jedoch
in diesem Falle mit der Limitierung
Konvergenz
zusammenfällt
X
die TopoMengen
trägt,
der stetigen
(s.[8J). Das folgende Lemma zeigt,
-<1.6.daß
JE
jE(E)
1n diesem Falle stets ein Homöomorphismus
auf
ist:
Lemma 8
----raum.
x
Es se"
Dann
und
e"i1
8&n
ist
Zum Beweis betrachten
A ~ C
HomdomorphismuB
e
c-
)- C
e&n
Unter-
jA(A).
auf
wir das folgende
(X)
c.
kommutative
Diagramm:
(X)
c.
1
jCe. (X)
L L e
_e._c. __ ---;> L L C ( X )
e. e. e.
Die Behauptung
folgt dann aus der Homöomorphie
von
Bevor wir die -c.-Reflexivität von LEbeweisen,
e.
.
je (X)
e.
wollen
•
wir
..":..
bemerken,
daß e~n Limesvektorraum
ihm jeder Cauc~y-Filter
vollständiger
konvergiert.
Limesvektorräume
dige Unterräume
sen. Weiterhin
separierter
ist
vollständig
C (X)
e.
E , woraus
räume vollständig
Abgeschlossene
sind vollständig
Limesvektorräume
folgt, daß
L L E
e. c.
Unterräume
und vollstän-
sind abgeschlos-
für jed~n Limesraum
dig (s.[5], Satz 2) und daher auch
vektorraum
heißt, wenn in
X
vollstän-
für jeden Limes-
e.-reflexive Limesvektor-
sind. Damit können wir den folgenden
Satz
formulieren:
Satz 6
Ein
wenn
folgenden
die
Limesvektorraum
ist
(ii)
(iii)
E
ist
Jedes
linear
drei
ein
Eist
Bedingungen
Homöomorphismus
genau
dann
vollst~ndig~
gelten:
auf
jE(E)
vollst~ndig
lineare~
und
stetige
stetig
auf
Funktional
CE
e.
auf
fOl'tsetzen.
L E
e.
I~ßt
.sich
-17Zum Beweis betrachten
dabei bezeichne
i
E
e
wir das folgende
die Einbettung
kommutati.ve Diagramm:
LEin
von
C (E) ,und
c.
c..
sei wie im ersten Teil definiert.
Da die Bedingung
(iii) äquivalent
mit der Surjektivität
Lc.e ist, ist die N.otwendigkeit von (i) -, (iii)
kehrt
3 die ,lineare Hülle von
liegt nachSatz
L C (E), mit
(iii) folgt dann, daß
c. c.
dicht in
Lc.Lc.E liegt. Nach
lüar. UmgeiE(E)
L e(iE(E))
c.
von
also
>
~
dicht in
jE(E)
(ii) und (i) ist
jE(E)
abge-
L L E, woraus
(i) die Be-
.•..
schlossen
hauptung
und daher
c. c.
mit
f01gt.
Wenn nun
E
16ka1konvex,
topologisch
6.
Satzes
=
jE(E)
topologisch
und daher gilt für
L E
c.
Da
L E
c.
auf
ist, f01gt aus Satz 5 und Satz 6 der
raum.
Dann
ist
E
ein
Lc.E
e~n
ist ein Hom8omorphismus
A1s Korol1are
Satz 8
ist
Für
L L E
c. c.
erha1ten
e~nen
die
lokalkonvexer~
c.-reflexiver
auf einen
c.
(iii) des
C (E)
c.
von
7 ein Homöomorphismus
ist und da
Es sei
nach Lemma
Unterraum
vollständig
jE(E)
c.
die Bedingung'
als abgesch10ssener
jE
C (1. E)
ist, dann ist
topologischer
Vektor-
Limesvektorraums
di~hten
Teilraum
und
JE
L c. L c.E
von
wir:
lokalkonvexen~
(topologischeJ
topologischen
Vervollstbndigung
Vektorraum
von
E.
E
..
__
._.." .__
,...••..•_ .._~...
~_ .• _ .~.-._.~_ __ ..
_'_':M."~""'-'_ ..•_>
",.".~ __
._
"._~
,~~,
~, .. ,,"' .. ~_
_.-''".~~ •._'"' -_,~
-18 ..
Satz 9
darin
Ein
ZokaZkonvexer~
c-refZexivs
wenn
topoZogischer
er voZZstandig
VektorPaum
ist genau
ist.
Lite~aturverzeiehnis
[1] E. Binz / H. H. Keller:
Limesräume.
Funktionenräume
Ann. Aead. Sei. Fennieae
[2]" E. Binz: Kompakte Lim~~räume
Commentarii
Mathematiei
[3J -: Zu den Bezierhungen
zwischen
[4J -: On closed
Annalen
c'-einbettbaren Limesräumen
181, S. }~5 (1969)
Function
Algebras.
Math.
145 (1969)
of Ftinetion Algebras.
Math.
186, S: 314 (1970)
and J •. Sehwartz:
[6J N.Dunford
Interseienee
[7J G. Köthe:
Berlin
Funktionenalgebren;
43, Fase. 2, S. 195 (1968)
Math. Annalen
"
[5] -: Notes on a Charaeterisation
Annalen
Vol.
Ideals in Convergence
186,'S.
der
AI, S. 383 (1966)
und limitierte
Helvetie~
ihren Funktionenalgebren.
in der Kategorie
Publishers,
Topologische
Linear
Operators
Pa~t I.
Ine., New York 1967
Lineare
Räume I. Springer
Verlag,
1966
[8] M. Schroder: Doetoral ihesis.Queen's
Ont. 1971
University,
Kingston/
'und.