Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade - math.uni

Anzahl der Punkte auf Kreis und Gerade
Ein Kreis hat sicher einen viel kürzeren Umfang als eine unendliche Gerade. Trotzdem besteht ein Kreis
(ohne seinen obersten Punkt) aus gleich vielen Punkten wie eine Gerade. Das soll die Skizze demonstrieren.
Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der natürlichen Zahlen I
Was ist 1+2+3+4? Was ist 1+2+3+4+5+6+7+8?
Das zu berechnen wird immer mühsamer. Zum Glück
gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort
liefert:
1+2+3+4+5+6
=6·7:2
1+2+3+4+5+6+7
=7·8:2
1+2+3+4+5+6+7+8=8·9:2
1 + 2 + 3 + . . . + n = n · (n + 1) : 2
Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist die Obergrenze 6. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der natürlichen Zahlen II
Was ist 1 + 2 + 3 + 4? Was ist 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8? Das zu berechnen, wird immer mühsamer.
Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert:
1+2+3+4+5+6
=6·7:2
1+2+3+4+5+6+7+8=8·9:2
1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 97 + 98 + 99 + 100 = 100 · 101 : 2
1 + 2 + 3 + . . . + n = n · (n + 1) : 2
Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei ihr ist die Obergrenze 100. Kannst du den
Beweis erklären? (Übrigens gibt es ein kleines Problem mit dem Argument. Hast du es entdeckt?)
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der natürlichen Zahlen III
Was ist 1 + 2 + 3 + 4? Was ist 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8?
Das zu berechnen, wird immer mühsamer. Zum Glück gibt es
eine einfache Formel, die das Ergebnis sofort liefert:
1+2+3+4+5+6
=6·6:2+6:2
1+2+3+4+5+6+7
=7·7:2+7:2
1+2+3+4+5+6+7+8=8·8:2+8:2
1 + 2 + 3 + · · · + 98 + 99 + 100 = 100 · 100 : 2 + 100 : 2
1 + 2 + 3 + ... + n = n · n : 2 + n : 2
Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten. Bei
ihr ist die Obergrenze 6. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der ungeraden Zahlen
Was ist 1 + 3 + 5 + 7 + 9? Was ist 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +
11 + 13 + 15? Das zu berechnen wird immer mühsamer.
Zum Glück gibt es eine einfache Formel, die das Ergebnis
sofort liefert:
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11
= 6 · 6 = 36
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13
= 7 · 7 = 49
1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 = 8 · 8 = 64
1 + 3 + . . . + (2n − 3) + (2n − 1) = n · n
Wieso stimmt die Formel? Das soll die Skizze beantworten.
Kannst du diesen Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der Quadratzahlen I
Was passiert, wenn man die Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt es eine interessante Formel:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 13 · 5 · 5 + 21 · 6
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = 13 · 6 · 6 + 21 · 7
12 + 22 + 32 + . . . + n2 = 13 · n · n + 21 · n + 1
Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Quelle: Man-Keung Siu, University of Hong Kong
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der Quadratzahlen II
Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit
Potenzen:
42 = 4 · 4 = 16
53 = 5 · 5 · 5 = 125
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
Was passiert, wenn man die Quadratzahlen aufsummiert? Dafür gibt
es eine interessante Formel:
12 + 22 + 32 + 42 + 52 = (2 · 5 + 1) · (1 + 2 + 3 + 4 + 5) : 3
12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 = (2 · 6 + 1) · (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) : 3
12 + 22 + 32 + . . . + n2 = (2 · n + 1) · (1 + 2 + 3 + . . . + n) : 3
Wieso gilt diese Formel? Das sollen die Skizzen beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der Kubikzahlen I
Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen:
42 = 4 · 4 = 16
53 = 5 · 5 · 5 = 125
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
Was passiert, wenn man die Kubikzahlen aufsummiert?
Dafür gibt es eine interessante Formel:
13 + 2 3 + 3 3 + 4 3
= (1 + 2 + 3 + 4)2
13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2
13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)2
13 + 23 + . . . + n3 = (1 + 2 + . . . + n)2
Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen.
Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der Kubikzahlen II
Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine Kurzschreibweise mit Potenzen:
42 = 4 · 4 = 16
53 = 5 · 5 · 5 = 125
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
Was passiert, wenn man die Kubikzahlen aufsummiert?
Dafür gibt es eine interessante Formel:
= 42 + 4
2
:4
= 52 + 5
2
:4
= 62 + 6
2
:4
2
2
:4
3
2
2
:4
3
2
2
:4
13 + 2 3 + 3 3 + 4 3
13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3
13 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
= 7 +7
1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 = 8 +8
2
3
3
1 + 2 + 3 + ... + n = n + n
Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der Dreierpotenzen
Für das mehrfache Multiplizieren gibt es eine
Kurzschreibweise mit Potenzen:
42 = 4 · 4 = 16
53 = 5 · 5 · 5 = 125
26 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 64
Was passiert, wenn man die Dreier-Potenzen
aufsummiert? Dafür gibt es eine kurze
Formel:
30 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + 3 4
= (35 − 1) : 2
30 + 3 1 + 3 2 + 3 3 + 3 4 + 3 5
= (36 − 1) : 2
30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 = (37 − 1) : 2
30 + 31 + 32 + . . . + 3n = (3n+1 − 1) : 2
Wieso gilt diese Formel? Das soll die Skizze
beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Ungerade Zahlen I
Es gilt
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
=
=
=
= ...
3
5+7
7 + 9 + 11
9 + 11 + 13 + 1
=
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
(2n + 1) + (2n + 3) + . . . + (4n − 1)
Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Ungerade Zahlen II
Es gilt
1
1+3
1+3+5
1+3+5+7
=
=
=
= ...
3
5+7
7 + 9 + 11
9 + 11 + 13 + 1
=
1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1)
(2n + 1) + (2n + 3) + . . . + (4n − 1)
Warum ist das so? Das soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Unendliche Summe der Potenzen von
Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man
explizit angeben:
1 1 1
1
1
1
+ + +
+
+
+ ... = 1
2 4 8 16 32 64
Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Übrigens: Im Dualsystem hat die Reihe eine interessante
Interpretation. Sie ist dann analog zur Zahl 0,999 . . . im
Zehnersystem.
Matheschülerzirkel
Augsburg
1
2
I
Unendliche Summe der Potenzen von
Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man
explizit angeben:
1·1+2·
1
1
1
+ 3 · + 4 · + ... = 4
2
4
8
Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
1
2
II
Unendliche Summe der Potenzen von
Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man
explizit angeben:
1 1
1
1
1
1
+ +
+
+
+ ... =
3 9 27 81 243
2
Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
1
3
Unendliche Summe der Potenzen von
Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man explizit angeben:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ... =
4 16 64 256 1024
3
Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
1
4
I
Unendliche Summe der Potenzen von
Den Wert der folgenden unendlichen Reihe kann man
explizit angeben:
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+ ... =
4 16 64 256 1024
3
Die Skizze soll das beweisen. Kannst du den Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
1
4
II
Satz des Pythagoras I
Der Satz des Pythagoras besagt: Errichtet man auf den drei Kanten eines
rechtwinkligen Dreiecks jeweils ein Quadrat, so sind die beiden kleineren
Quadrate zusammengenommen genauso groß wie das größte Quadrat (siehe
Skizze rechts). Als Formel:
a · a + b · b = c · c.
Wieso ist das so? Das sollen die beiden anderen Skizzen beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks I
Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r
der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt
r = (a + b − c) : 2.
Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks II
Es seien a, b und c die Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks und r
der Inkreisradius wie im Bild. Dann gilt
r = ab : (a + b + c).
Wieso ist das so? Das soll die Skizze beantworten. Kannst du diesen Beweis erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Summe der quadrierten Fibonacci-Zahlen
Bei den Fibonacci-Zahlen ergibt die Summe zweier benachbarter Zahlen die nächste:
1,
1,
2,
3,
5,
8,
13,
21,
34,
55,
89,
...
Die Quadrate der Fibonacci-Zahlen erfüllen eine interessante Rechenregel:
1·1
+
1·1
+
2·2
+
3·3
+
5·5
1·1
+
1·1
+
2·2
+
3·3
+
5·5
+
8·8
1·1
+
1·1
+
2·2
+
3·3
+
5·5
+
8·8
+
13 · 13
=
5· 8
=
8 · 13
=
13 · 21
Erkennst du das Muster? Wieso die Formeln stimmen, soll die Skizze beweisen. Kannst du den Beweis
erklären?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Ein Kästchen verschwindet
Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b ist a · b. Der
Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite a und Höhe h
ist a·h
2 (siehe Skizze rechts). Diese beiden Formeln helfen dir vielleicht für die
Aufgabe (oder auch nicht, es gibt mehrere Lösungswege).
h
a
In den unteren beiden Skizzen ist irgendwo der Wurm drin. Denn die beiden Figuren scheinen denselben
Flächeninhalt zu haben, doch die linke scheint offensichtlich aus einem Kästchen mehr als die rechte zu
bestehen! Kannst du erklären, was schief läuft?
Matheschülerzirkel
Augsburg
Drei Kreise und Tangentenschnittpunkte
Zeichnet man drei beliebige Kreise und zugehörige Tangenten wie in der Skizze, so liegen die drei
Tangentenschnittpunkte auf einer gemeinsamen Gerade (blau markiert). Wieso ist das so? Um das zu
erklären, versuche, dir die Situation dreidimensional mit Kugeln statt Kreisen vorzustellen!
Matheschülerzirkel
Augsburg