Reader für den Einsatz in der Wiederholungsphase im

Reader
für den Einsatz in der Wiederholungsphase im
Mathematikunterricht der Jahrgangsstufe 11
Anhang
zur schriftlichen Hausarbeit zur Zweiten Staatsprüfung für das
Lehramt an öffentlichen Schulen
von
Andreas Raschke
Vorwort
Häufig wird konstatiert, dass vielen Schülerinnen und Schülern beim Übergang von der Sek. I zur
Sek. II grundlegendes mathematisches Wissen und Können fehlt. Diese Defizite können nur
dadurch ausgeglichen werden, indem das Elementare der einzelnen Gegenstände herausgefiltert
und erneut durchdacht wird. Um die dem Vergessen anheim gefallenen Inhalte zu wiederholen,
bedarf es eines Unterrichtsmaterials, dass verschiedenen Ansprüchen genügt. Eine Wiederholung
im Sinne einer Übung zur Automatisierung von (vielleicht nie verstandenen) mathematischen
Verfahrensweisen reicht nicht aus. Auch Übungen zur Transfersteigerung und Qualitätssteigerung
müssen in den Anfangsunterricht der 11. Jahrgangsstufe eingebettet werden. Hierbei darf nicht
vergessen werden, den Schülerinnen und Schülern Erfolge zu ermöglichen, um sie so zu weiterem
Lernen zu motivieren. Die Darstellung der Inhalte in kleinen Schritten, um Aufgaben- und
Lösungsbeispiele ergänzt, können hierzu verhelfen.
Dieser Reader ist im Rahmen einer schriftlichen Hausarbeit zur zweiten Staatsprüfung für das
Lehramt an öffentlichen Schulen entstanden. Er beschäftigt sich mit ausgewählten Inhalten aus
der Sek. I, deren Beherrschung eine unablässige Voraussetzung für die erfolgreiche Absolvierung
der Oberstufenmathematik ist. Der Reader kann
für Schülerinnen und Schüler:
•
ein Hilfsmittel zur eigenständigen Wiederholung eben jener Themen sein.
•
als
ein
über
die
Einführungsphase
(Wiederholungsphase)
hinausgehendes
Nachschlagewerk genutzt werden.
für den Unterricht:
•
als Grundlage dieser Phase benutzt werden – mit einer Reihe von Einsatzmöglichkeiten (u.
a. als Basis für ein Gruppenpuzzle1).
für Lehrerinnen und Lehrer:
•
ein breites Fundament für die Wiederholungsphase sein – mit vielfältigen Aufgaben- und
Einsatzvariationen.
Für Kolleginnen und Kollegen aus der Sek. I kann der Reader einen Anhaltspunkt für das
darstellen, was Schülerinnen und Schüler beim Übergang in die Sek. II in Mathematik wissen und
können sollten.
Für Rückmeldungen, Ergänzungs- und Verbesserungsvorschlägen bin ich sehr dankbar.
Bremerhaven, im Januar 2003
1
Andreas Raschke
Für Erläuterungen zu dieser Unterrichtsmethode siehe: Frey, Karl/Frey-Eiling, Angelika: Gruppenpuzzle; in: Praxis
Schule 5-10, H. 2, S. 67ff; 1998.
Inhaltsverzeichnis
Kapitel
I.
Seite
Grundlagen.................................................................................... 1
I.1
I.2
I.3
Grundrechenarten ......................................................................... 1
Bruchrechnung.............................................................................. 3
Potenzrechnung............................................................................. 6
II.
Binomische Formeln..................................................................... 9
III.
III. 1
III. 2
Satz des Pythagoras/Trigonometrie .............................................. 11
Satz des Pythagoras ...................................................................... 11
Trigonometrie ............................................................................... 12
IV.
Funktionen und ihre Graphen ....................................................... 16
V.
Lineare Funktionen....................................................................... 20
VI.
Quadratische Gleichungen............................................................ 27
VII.
Quadratische Funktionen .............................................................. 32
I. Grundlagen
1
I. Grundlagen
Übersicht über das Kapitel
Als Grundlagen werden hier die Grundrechenarten sowie die Bruchrechnung und Potenzrechnung
bezeichnet. In fast allen Bereichen des Lebens müssen auf der Grundlage dieser
Rechenoperationen Entscheidungen getroffen werden. Ohne eine sichere Beherrschung der
Bezeichnungen und Rechenverfahren ist eine Teilnahme an der Oberstufenmathematik nicht
möglich.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
etwas über die Bedeutung des Gleichheitszeichens in der Mathematik,
was die vier Grundrechenarten sind,
was deren Gemeinsamkeiten und Unterschiede sind,
was ein Term ist,
was ein Bruch und sein Kehrwert ist,
wie man einen Bruch erweitert und kürzt,
wie Brüche addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden,
was eine Potenz ist und
wie mit Potenzen gerechnet wird.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
I. 1 Grundrechenarten
Als Grundrechenarten werden die vier Rechenarten
1) Addition („Zusammenzählen“)
2) Subtraktion („Abziehen“)
3) Multiplikation („Malnehmen“)
4) Division („Teilen“)
bezeichnet.
Information 1: Gleichheit
Das Gleichheitszeichen „=“ spielt in der Mathematik eine fundamentale Rolle. Wenn zwei
mathematische Objekte A und B (z. B. Zahlen, Winkel, Punkte, Geraden, ...) durch ein
Gleichheitszeichen miteinander verbunden werden (A=B), so will man hierdurch zum Ausdruck
bringen (aussagen), dass A durch B und B durch A ersetzt werden kann, ohne dass sich an dem
Wahrheitsgehalt der Aussage etwas ändert. Das links von dem Gleichheitszeichen stehende wird
mit dem verglichen, was rechts davon steht. Kommt bei diesem Vergleich heraus, dass man die
beiden Objekte nicht voneinander unterscheiden kann, so ist die Aussage wahr. Unterscheiden
sich die Objekte, ist die Aussage nicht wahr.
Beispiel 1:
a) Die Aussage „2 = 2“ ist wahr.
b) Die Aussage „Die Summe der Winkel in einem Dreieck = 180°“ ist ebenfalls wahr.
c) Die Aussage 2 – 1 = 3 ist nicht wahr. Diese Feststellung wird mit einem durchgestrichenen
Gleichheitszeichen (≠; lies: „ungleich“) dargestellt: 2 –1 ≠ 3.
Information 2: Addition
Wenn zwei Zahlen addiert werden, wird dies durch das Rechenzeichen „+“ (plus) gekennzeichnet.
Die einzelnen Teile werden Summanden genannt. Das Ergebnis wird als Summe bezeichnet.
I. Grundlagen
2
Beispiel 2:
1
+
2
=
3
↑
↑
↑
↑
↑
Summand Rechenzeichen Summand gleich Summe
Aufgaben:
1. Berechne die Summe im Kopf.
a) 2111 + 3111 =
b) 734 + 234 =
c) 2a + 3a +b =
d) 0,751 + 1,324 + 3,5 =
2. Variiere die obigen Aufgaben, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
Information 3: Subtraktion
Wenn zwei Zahlen subtrahiert werden, wird dies durch das Rechenzeichen „-“ (minus)
gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Minuend bzw. Subtrahend genannt. Das Ergebnis
wird als Differenz bezeichnet.
Beispiel 3:
5
−
2
=
3
↑
↑
↑
↑
↑
Minuend Rechenzeichen Subtrahend gleich Differenz
Aufgaben:
1. Berechne die Differenz im Kopf.
a) 2111 – 3111 =
b) 734 – 234 =
c) 2a – 3a – b =
d) 10,399 – 1,324 – 3,5 =
Vergleiche diese Aufgaben mit denen aus dem vorherigen Abschnitt. Beschreibe die
Gemeinsamkeiten und die Unterschiede.
2. Variiere die obigen Aufgaben, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
Information 4: Multiplikation
Wenn zwei Zahlen multipliziert werden, wird dies durch das Rechenzeichen „·“ (mal)
gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Faktoren genannt. Das Ergebnis wird als Produkt
bezeichnet.
Beispiel 4:
1
⋅
2
=
2
↑
↑
↑
↑
↑
Faktor Rechenzeichen Faktor gleich Produkt
Aufgaben:
1. Berechne das Produkt im Kopf.
a) 65 · 13 =
b) 0,8 · 4 =
c) 0,4 · 5 · 2 =
d) 8a · 2a · b =
I. Grundlagen
3
2. Variiere die obigen Aufgaben, in dem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
Information 5: Division
Wenn zwei Zahlen dividiert werden, wird dies durch das Rechenzeichen „:“ (geteilt durch)
gekennzeichnet. Die einzelnen Teile werden Dividend bzw. Divisor genannt. Das Ergebnis wird
als Quotient bezeichnet.
Beispiel 5:
1
:
2
=
0,5
↑
↑
↑
↑
↑
Dividend Rechenzeichen Divisor gleich Quotient
Aufgaben:
1. Berechne den Quotienten im Kopf.
a) 65 : 13 =
b) 0,8 : 4 =
c) 0,4 : 5 : 2 =
d) 8a : 2a : b =
Vergleiche diese Aufgaben mit denen aus dem vorherigen Abschnitt. Beschreibe die
Gemeinsamkeiten und die Unterschiede.
2. Variiere die obigen Aufgaben, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
Zusammenfassung2:
Rechenart
Rechenzeichen
rechnen
Ergebnis
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division
addieren
subtrahieren
multiplizieren
dividieren
Summe
Differenz
Produkt
Quotient
+ (plus)
- (minus)
· (mal)
: (geteilt durch)
Zusammensetzung
des Ergebnisses
Summand+Summand
Minuend-Subtrahend
Faktor·Faktor
Dividend:Divisor
I. 2 Bruchrechnung
Terme (terminus (lat.): Ausdruck): Zahlen, Variablen und deren rechnerische Verknüpfung nennt
man Terme. Z. B. 2, a, 2+x, x:y.
Informationen:
Wenn ein Term durch einen anderen Term geteilt wird, kann man dies auch durch einen Bruch
darstellen.
a Zähler
a) Bruch:
, wobei a, b ∈ ! ; Nenner ≠ 0.
b Nenner
Zähler ( w − 2 ) Zähler
v
2 Zähler 3 Zähler
;
;
;
Beispiel:
Nenner
3 Nenner 2 Nenner ( w − 2 ) Nenner
v
Aufgabe: Vergleiche die Brüche aus dem Beispiel miteinander. Was stellst Du fest?
2
Die Tabelle ist entnommen aus: Schülerduden „Die Mathematik“/hrsg. u. bearb. von Meyers Lexikonred.;
Mannheim, Wien, Zürich 1990 (S. 171).
I. Grundlagen
4
a
b
a b
ist
und es ist ⋅ = 1( wobei a, b ≠ 0)
b a
b
a
2
3 2 3 2⋅3 6
= =1
Beispiel: Der Kehrwert von ist . ⋅ =
3
2 3 2 3⋅ 2 6
( w − 2)
v
Der Kehrwert von
ist
v
( w − 2)
b) Der Kehrwert von
( w − 2) v ⋅ ( w − 2) v ⋅ ( w − 2)
v
⋅
=
=
=1
( w − 2) ⋅ v v ⋅ ( w − 2)
( w − 2) v
c) Einen Bruch erweitern heißt, Zähler und Nenner mit derselben Zahl multiplizieren:
2 2⋅4 8
=
=
3 3 ⋅ 4 12
v⋅4
4⋅v
=
( w − 2) ⋅ 4 4 ⋅ ( w − 2)
a a⋅c
=
b b⋅c
Beispiel:
a a:c
=
b b:c
8:4 2 5+ 2
7
7:7 1
51 + 2 1 + 2
3
Beispiel:
=
=
= ;
=
=
= FALSCH IST:
1
12 : 4 3 16 + 5 21 21 : 7 3
16 + 1 17
16 + 5
d) Einen Bruch kürzen heißt, Zähler und Nenner durch dieselbe Zahl dividieren:
e) Brüche werden miteinander multipliziert, indem die Zähler miteinander multipliziert werden
a c a⋅c
und die Nenner miteinander multipliziert werden: ⋅ =
b d b⋅d
2 1 2 ⋅1 2
Beispiel: ⋅ =
=
3 3 3⋅3 9
f) Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert:
a
a c b a d
: = = ⋅
b d c b c
d
2
2 1
2 3 2⋅3 6
= =2
Beispiel: : = 3 = ⋅ =
3 3 1 3 1 3 ⋅1 3
3
g) Brüche dürfen nur dann addiert (subtrahiert) werden, wenn die Nenner gleich sind. Falls dies
nicht der Fall ist, muss man sie durch erweitern oder kürzen gleichnamig machen. Brüche mit
gleichen Nennern werden addiert (subtrahiert), indem die Zähler addiert (subtrahiert) werden
a c ad bc ad + bc
;
und
der
Nenner
beibehalten
wird:
+ =
+
=
b d bd bd
bd
 a c ad bc ad − bc 
−
=
 − =
.
bd 
 b d bd bd
2 3 2 ⋅ 5 3 ⋅ 3 10 9 19
Beispiel: + =
+
= +
=
3 5 3 ⋅ 5 5 ⋅ 3 15 15 15
I. Grundlagen
5
Aufgaben:
1. Berechne:
v
w
1 2 2 5
1 2 1
4 1
13 a
3
a) ⋅ + ⋅ ; b)
− +
−
; d) 2 : ; e)
− : ; c)
3 7 7 6
13 13 2
a 13 26a
w w
( v − w) ( v − w)
2. Vereinfache:
1
2
a+c
c⋅d
4x − 8x
a
b
−
; b) 2a ; c)
−
; d)
a)
1
a−b a+b
b
4x
 2⋅d ⋅e − f ⋅e
(d − f ) 
a
b
⋅
−
d
⋅


2
e
d 

3. „Die zerstrittene Erbengemeinschaft“
Die Eheleute E. und G. sind Eigentümer eines Hausgrundstücks mit 4 Wohnungen. Sie
entschließen sich im Dezember 1999 Wohnungseigentum zu bilden. Die Aufteilung erfolgt in:
2
1. Miteigentumsanteil an dem Grundstück und Sondereigentum an drei Wohnungen.
3
1
2. Miteigentumsanteil an dem Grundstück und Sondereigentum an einer Wohnung.
3
1
Miteigentumsanteil durch notariellen
Die Eheleute E. und G. schenken ihrem Sohn S1 den
3
2
Miteigentumsanteils, und zwar zu je der Hälfte.
Vertrag; sie selbst bleiben Eigentümer des
3
Im Oktober 2001 verstirbt E. ohne Hinterlassung eines Testaments. E. wird gesetzlich beerbt von
seiner Frau G. zur Hälfte, vom Sohn S1, vom Sohn S2 und von der Tochter T zu gleichen
Anteilen.
In der Folge entschließt sich Sohn S2 seinen Erbteil am Nachlass seines Vaters vollständig an
seinen Bruder S1 zu verkaufen. Vor dem beurkundenden Notar wird sodann ein
Erbteilsübertragungsvertrag gezeichnet.
Im Januar 2002 verstirbt plötzlich die Witwe G.. G. hat ebenfalls kein Testament hinterlassen und
wird vom Sohn S1, vom Sohn S2 und der Tochter T zu gleichen Anteilen beerbt.
Die Erben S1, S2 und T sind völlig zerstritten. Diverse Versuche, den Nachlass der Mutter
einvernehmlich zu teilen sind gescheitert. Daraufhin entschließt sich S2 zunächst die Aufhebung
2
Miteigentumsanteil im Wege der Zwangsversteigerung
der Erbengemeinschaft an dem
3
anzustrengen und beauftragt seinen Rechtsanwalt mit den notwendigen Schritten.
Der Rechtsanwalt ist leicht verzweifelt. Wie sind die Anteile der Kinder S1, S2 und T am
Wohnungseigentum zu beziffern;
2
Miteigentumsanteil?
a) an dem
3
b) an der Gesamtheit der Gemeinschaft?
I. Grundlagen
6
Historische Information:
„Die ältesten gemeinen Brüche findet man in ägyptischen Texten, die bis auf die Zeit um 2000 v.
2
und die Stammbrüche. Alle anderen
Chr. zurückgehen. Die Ägypter kannten nur den Bruch
3
Brüche setzten sie aus Stammbrüchen additiv zusammen. Dabei wurde der Stammbruch
1
(n > 2) mit dem Zeichen für die Zahl n und einem darüber gesetzten („Mund“ oder „Teil“)
n
geschrieben.
Beispiele:
Die Addition und Subtraktion geschah nach Bildung des gemeinsamen Nenners.
Beispiel:
111
Der Bruch
wurde durch die Addition von 4 Stammbrüchen dargestellt. In Hieroglyphen
160
geschrieben sähe das folgendermaßen aus:
Mit unseren Ziffern geschrieben:
1
1
1
1
2
10 16 32
80 16 10 5
1 1 1 1
, , ,
2 10 16 32
sind die Zähler, wenn man alle Brüche auf den gemeinsamen Nenner 160 bringt. Addiert man die
111
Hilfszahlen, so erhält man als Summe der 4 Brüche
.
160
[...]
Leonardo von Pisa schrieb als erster in der zweiten Ausgabe des „Liber abacus“ (1228) zwischen
Zähler und Nenner den Bruchstrich. [...] Eine Vereinheitlichung erfolgte erst zur Zeit der
Erfindung der Buchdruckerkunst, so daß unsere heutige Schreibweise der gemeinen Brüche erst
seit Ende des 15. Jahrhunderts allgemein verwendet wurde.“3
Die im ägyptischen Text [...] geschriebenen Hilfszahlen unter den Stammbrüchen
Aufgaben:
1. Notiere fünf beliebige Stammbrüche.
2. Vollziehe die obige Rechnung nach.
3
Diese Information ist entnommen aus: Popp, W: Geschichte der Mathematik im Unterricht; München 1968 (S. 13,
14).
I. Grundlagen
7
I. 3 Potenzrechnung
Information:
Ein Term der Form a n (lies: „a hoch n“) heißt Potenz, genauer n-te Potenz von a. Dabei heißt n
Hochzahl oder Exponent und a Grundzahl oder Basis der Potenz. Es ist
a n = a"#
⋅ a$#
⋅ ...%
⋅a
n Faktoren
Beispiel: 34 = 3"
⋅ 3$#
⋅ 3%
⋅ 3 = 81
#
4 Faktoren
1. Rechenregel (gleiche Basen): Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man
die Exponenten addiert und die Basis beibehält.
a m ⋅ a n = a m+ n
Beispiel: 34 ⋅ 33 = 3"
⋅ 3$#
⋅ 3%
⋅ 3 ⋅ 3&
⋅ 3 ⋅ 3 = 34 +3 = 37
#
3 Faktoren
4 Faktoren
"##$##%
7 Faktoren
Aufgabe: Entwickle eine Rechenregel für die Division von Potenzen mit gleicher Basis.
Lösung:
am
a m : a n = n = a m−n
a
75
5
3
Beispiel: 7 : 7 = 3 = 75−3 = 7 2
7
2. Rechenregel: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die
Basis beibehält.
(a )
m n
= a m⋅ n
Beispiel: ( 23 ) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) ⋅ ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) ⋅ ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) ⋅ ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) = 23⋅4 = 212
"
#$#
%
"
#$#
% "
#$#
% "
#$#
% "
#$#
%
3 Faktoren
3 Faktoren
3 Faktoren
3 Faktoren
3 Faktoren
"######
#$#######
%
4
4
12 Faktoren
3. Rechenregel (gleiche Exponenten): Potenzen mit gleichen Exponenten werden multipliziert
(dividiert), indem man die Basen multipliziert (dividiert) und die Exponenten beibehält.
a n ⋅ bn = ( a ⋅ b )
n
Beispiel: 82 ⋅ 52 = 8 ⋅ 8 ⋅ 5 ⋅ 5 = 8 ⋅ 5 ⋅ 8 ⋅ 5 = ( 8 ⋅ 5 ) ⋅ ( 8 ⋅ 5 ) = ( 8 ⋅ 5 )
an  a 
a :b = n =  
b
b
n
2
n
n
93  9 
Beispiel: 9 : 2 = 3 =  
2
2
3
3
3
Folgende Festsetzungen werden getroffen:
a 0 = 1 wobei a ≠ 0, denn a 0 = a n − n =
1 1
1
= ; a −2 = 2 ;
1
a
a
a
1
Allgemein: a − n = n
a
a −1 =
mit a ≠ 0
an 1
= =1
an 1
Bemerkung : 00 ist nicht definiert.
I. Grundlagen
8
1
43
Für nicht-negative Basen mit rationalen Exponenten wird erklärt:
Beispiel: 4 −3 =
1
n
a = n a (lies: n-te Wurzel aus a)
m
n
a = n a m (lies: n-te Wurzel aus a hoch m)
1
3
1
2
Beispiel: 6 = 6;
Merke:
27 = 27;
3
2
5
32 = 5 322 = 4
Potenzrechnung geht vor Punktrechnung.
Punktrechnung geht vor Strichrechnung.
Aufgaben4:
1. Berechne (ohne und mit Taschenrechner):
3
99
a) 23 ; ( −5 ) ; 3−5 ; ( −1)
b) 10240 ; 06 ; 1,1−2 ; 34
c) ( −1) ; ( −2 )
−1
1
2
−5
4
1 1
;  ; 
2 4
1
10
1
2
d) 4 ; 81 ; 1024 ; 9
4
2
5
−
−2
1
2
4
2
−
−
 1 5
e) 243 ;   ; 32 5 ; 343 3
 32 
2. Vereinfache, ohne auszurechnen:
1
1
−2
 1  2  1 3 2
a) 5 ⋅ 5 ;   ⋅   ; 3 ; 6−4 ⋅ 7−4
2 2 2
3
7
1
 1 3
 
1 8
95 
2
−2 −3


b)
;
; −1) 7  ; ( −2 )
3
5 (

 1  7  1  
  2
2
3. Schreibe ohne Wurzelzeichen mit einer natürlichen Zahl als Basis und berechne:
(
15
3 ;
( )
1
7
5
7
−
)
1
3
; 6
54
4. Berechne ohne Taschenrechner und notiere die Rechenschritte:
−
4
5
9
3
2
8 ; 49 ;
(
4
16
7
)
−
1
7
5. Vereinfache und schreibe mit positiven Exponenten:
3
 − 13 23   12 − 23 
a ⋅c  ; v ⋅ w 

 

4
−6
Die Aufgaben sind entnommen aus: Böer, H.: Trainingsprogramm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S.10).
9
II. Binomische Formeln
II. Binomische Formeln
Übersicht über das Kapitel
In diesem Kapitel stehen die binomischen Formeln im Mittelpunkt (Binom: zweigliedrige
Summe). Sie treten häufig bei den quadratischen Gleichungen auf, aber auch in anderen
Themengebieten der Oberstufenmathematik. Mit ihnen hat man die Möglichkeit, ein Produkt in
eine Summe umzuwandeln, oder umgekehrt, eine Summe in ein Produkt. Das Umformen einer
Summe in ein Produkt nennt man auch Faktorisieren.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
•
•
•
wie man Summen multipliziert,
was binomische Formeln sind und wie sie aus der Anschauung hergeleitet werden,
wie man Terme mit Hilfe der binomischen Formeln umformt und berechnet.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
Multiplikation von Summen
Zwei Summen werden miteinander multipliziert, indem jeder Summand der ersten Summe mit
jedem Summanden der zweiten Summe multipliziert wird und die Produkte addiert werden.
Beispiel: ( a + 2 ) ⋅ ( d + 2 ) = a ⋅ d + a ⋅ 2 + 2 ⋅ d + 2 ⋅ 2 = ad + 2a + 2d + 4
Aufgabe: Variiere das Beispiel, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest (setze
auch negative Zahlen ein).
1. Binomische Formel
Gegeben ist ein Quadrat mit der Seitenlänge a und dem Flächeninhalt a 2 (vgl. Abb. unten). Durch
Verlängern von a um b entsteht ein neues Quadrat. Wie groß ist der Flächeninhalt des so
entstandenen Quadrates?
Offensichtlich ist die Länge einer Seite ( a + b ) .
a ⋅b
b
Dann berechnet sich der Flächeninhalt aus ( a + b ) · ( a + b ) .
2
Aufgabe: Berechne dieses Produkt, indem Du die
Klammern auflöst.
( a + b ) ( a + b ) kann man auch als ( a + b ) schreiben.
2
Also ist ( a + b ) = a 2 + 2ab + b 2 . Dies ist die
2
a2
a ⋅b
erste
binomische Formel.
a
( 2a + 3b )
2
b
Beispiel:
= 2 a + 2 ⋅ 2a ⋅ 3b + 3 b = 4a + 12ab + 9b
2
2
2
2
2
Aufgaben:
1. Berechne mit Hilfe der ersten binomischen Formel:
2
2
2
2
2
a) ( x + 2 ) ; ( 3 + b ) ; ( 9 + 1) ; ( −2 + 3) ; ( 2e + df )
2
10
II. Binomische Formeln
b) Variiere die Aufgabe a), indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
2
2. Entwirf für ( a − b ) eine entsprechende Zeichnung und leite hieraus die zweite binomische
Formel her.
2. Binomische Formel
Die zweite binomische Formel lautet:
(a − b)
2
= a 2 − 2ab + b 2
Beispiel: ( e − 4r ) = e 2 − 2 ⋅ e ⋅ 4r + 4 2 r 2 = e 2 − 8er + 16r 2
2
Aufgabe: Variiere das Beispiel, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest (setze
auch negative Zahlen ein).
3. Binomische Formel
Gegeben ist ein Quadrat der Seitenlänge a, dessen Flächeninhalt a 2 beträgt. Von diesem soll das
kleine Quadrat mit der Seitenlänge b abgezogen werden. Die verbleibende Fläche ist dann a 2 − b 2
groß.
(a-b)
Das schraffierte Flächenstück in der
nebenstehenden Abbildung wird an
das karierte angelegt. Zusammen
ergeben sie die verbleibende Fläche:
(a + b) ⋅ ( a − b)
b
b
=
(a-b)
(a
+
a 2 − ab + ba − b 2
=
a 2 − ab + ab − b 2
=
a 2 − b2
Somit haben wir die 3. binomische
Formel erhalten:
( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2
b)
Beispiel: ( w − 6 )( w + 6 ) = w2 − 36
Aufgabe: Variiere das Beispiel, indem Du andere Zahlen bzw. Buchstaben verwendest.
Vermischte Aufgaben:
1. Ergänze so, dass richtige Termumformungen entstehen:
2
1 
16 2
4
a)  a − b  =
a +
3 
25
5
b) ( 3 z −
c) − (
2.
)
2
=
+
−6 z +
−3o ) =
2
+
− 9o 2
Berechne: ( a + b + c ) ; ( a + b ) ; ( c − d ) ; ( k + l )
2
3
3
4
11
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
Übersicht über das Kapitel:
In diesem Kapitel werden wir uns zunächst mit dem Satz des Pythagoras beschäftigen. Dieser
wird in vielen Anwendungen der Mathematik benötigt.
Dann wenden wir uns der Trigonometrie zu, die ebenfalls in großer Anzahl in der Mathematik der
Oberstufe (und nicht nur dort) anzutreffen ist. Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der
Berechnung von Winkel und Seiten von Dreiecken und anderen Figuren aus gegebenen Stücken
unter Benutzung der Winkelfunktionen (Sinus, Kosinus, Tangens, ...). Die Grundlage aller
Berechnungen ist das rechwinklige Dreieck.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
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•
•
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•
wie der Satz des Pythagoras lautet,
wie man den Satz des Pythagoras mit Hilfe der ersten binomischen Formel beweisen kann,
wie der Satz angewendet wird,
wie Sinus, Kosinus und Tangens definiert sind,
wie diese Winkelfunktionen miteinander in Beziehung stehen und
wie diese angewendet werden.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
III. 1 Der Satz des Pythagoras (Pythagoras von Samos, 6. Jh. v. Chr.)
In einem rechwinkligen Dreieck ist die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den
Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrates über der Hypotenuse (vgl. Abb. 1):
a 2 + b2 = c2
b
a
a
c
b
c
c
b
c
a
Abb. 1
a
b
Abb. 2
Zum Beweis dieses Satzes schauen wir uns die nebenstehende Figur (Abb. 2) an. Das äußere
2
Quadrat hat nach der ersten binomischen Formel den Flächeninhalt ( a + b ) = a 2 + b 2 + 2ab . Die
vier rechtwinkligen Randdreiecke haben zusammen den Flächeninhalt 2ab . Das innere Quadrat
hat also den Flächeninhalt c 2 = a 2 + b 2 .
12
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
Beispiel:
In einem rechtwinkligen Dreieck sind folgende Daten bekannt:
Seite a = 3 cm, Seite b = 4 cm. Wie lang ist die Hypotenuse c?
Lösung:
c2 = a 2 + b2
c 2 = ( 3cm ) + ( 4cm )
2
2
c 2 = 9cm 2 + 16cm 2
c 2 = 25cm 2
c = 5cm ∨ c = −5cm
Da es keine negativen Längen gibt, ist die Lösung c = 5 cm.
Aufgaben:
1. Berechne die fehlende Länge, wenn in einem rechtwinkligen Dreieck folgende Seiten gegeben
sind:
a) Länge der Kathete a = 12 cm, Länge der Kathete b = 5 cm
b) Länge der Kathete a = 7 dm; Länge der Hypotenuse c = 25 dm
2. Im Koordinatensystem (Abb. 3) sind die Punkte A, B, C und D eingezeichnet.
a) Lies die Koordinaten der Punkte
ab.
b) Berechne die Längen der
folgenden Strecken mit Hilfe des
Satzes
von
Pythagoras:
AB; AC ; AD; BC ; BD; CD
c2
Abb. 3
III. 2 Trigonometrie
Hinweise zur Benutzung des Taschenrechners:
Winkeleinteilungen des Kreises: 360° (Altgrad), 400 (Neugrad), 2π (Bogenmaß).
Im Taschenrechner einzustellen als: DEG, GRA, RAD
Es wird umgerechnet:
π
90° (DEG)
100 (GRA)
(RAD)
'
'
2
10
π
1°
usw.
'
'
9
180
13
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
Informationen über Sinus, Kosinus und Tangens:
In einem Koordinatensystem betrachten wir den Einheitskreis, d. h. einen Kreis mit dem Radius 1
um den Ursprung O als Mittelpunkt (vgl. Abb. 4).
Für beliebige Winkel im Kreis um O gilt (Spezialfall Radius r = 1):
y
y
x
y
sin α = , cos α = , tan α =
r
r
x
sin
α
α
O
tan
α
cos α
x
Einheitskreis
Abb. 4
1
Für spitze Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck gilt:
Gegenkathete des Winkels
;
Hypotenuse
Ankathete des Winkels
Kosinus eines Winkels =
;
Hypotenuse
Gegenkathete des Winkels
Tangens eines Winkels =
;
Ankathete des Winkels
Sinus eines Winkels =
für das Dreieck in Abb. 5 gilt: sin α =
b
.
c
a
tan α = .
b
cos α =
C
Kathete
α
A
Kathete
b
a
c
Hypotenus e
β
B
Abb. 5
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens für 0° < α < 90°:
cos α = sin (90°-α ), sin α = cos (90°-α )
sin α
tan α =
cos α
2
2
(sin α ) + (cos α ) = 1
a
.
c
14
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
Aufgaben:
1. Zeige, dass (cos α ) 2 + (sin α ) 2 = 1 gilt (benutze Abb. 4 und den Satz des Pythagoras).
2. Zeige, dass sin α = cos (90° - α) gilt (benutze die Bezeichnungen in Abb. 5).
sin α
3. Zeige, dass tan α =
gilt.
cos α
Beispielaufgaben mit Lösungsweg:
1. Bestimme sin β und tan α (siehe Abb. 6):
β
c
α
a
b
Abb. 6
Lösung: Die Gegenkathete zum Winkel β ist die Seite b. Die Hypotenuse ist die Seite c. Also
b
ist sin β = .
c
Die Gegenkathete zum Winkel α ist die Seite a. Die Ankathete zum Winkel α ist die Seite b.
a
Also ist tan α = .
b
Aufgabe: Bestimme sin α, cos α, cos β und tan β aus dem Dreieck in Abb. 6.
2. In einem rechtwinkligen Dreieck sind b = 28,53 m und α = 32,32° bekannt. Berechne die
fehlenden Stücke.
a
Lösung: a) β = 90° - 32,32° = 57,68°.
b) tan α = ; a = b tan α
b
a ≈ 18,05m.
b
b
; c=
c) cos α =
c
cos α
c ≈ 33,76m.
Aufgabe: Berechne alle Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks aus:
a) c = 15,38cm, α = 82,28°
b) b = 18,95m, β = 42,43°
3.
5
Gegeben: b = 8 m; α = 30°. Gesucht: a.
a
sin 30° = ⇒ a = 8 ⋅ sin 30° = 8 ⋅ 0,5 = 4
8
Die Seite a hat eine Länge von 4 m.
8m
a
30°
5
Die Aufgaben 3-6 sind entnommen aus:
Böer, H: Trainingsprogramm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 16).
15
III. Satz des Pythagoras/Trigonometrie
4. Gegeben. b = 10 m; α = 35°. Gesucht: c.
c
cos 35° =
⇒ c = 10 ⋅ cos 35° ≈ 10 ⋅ 0,82 = 8, 2
10
Die Seite c hat eine Länge von 8,20 m.
5. Gegeben: a = 4 m; α = 40°. Gesucht: c.
4
4
4
≈
≈ 4, 76.
tan 40° = ⇒ c =
c
tan 40° 0,84
Die Seite c hat eine Länge von 4,76 m.
6. Gegeben: c = 20 m; b = 7 m. Gesucht: β.
7
= 0,35.
sin β =
20
Um den Winkel zu bestimmen, muss hier der „umgekehrte“
Weg gegangen werden, d. h. die Umkehrfunktion. Auf dem
Taschenrechner ist die Taste sin-1 oder arc sin zu benutzen.
sin −1 (0,35) ≈ 20,5° (falls DEG eingestellt ist),
10 m
35°
c
4m
40°
c
7m
β
20m
sin −1 (0,35) ≈ 0,36 (falls RAD eingestellt ist).
Ergebnis: Der Winkel β hat die Größe 20,5° (Altgrad) bzw. 0,36 (im Bogenmaß).
Vermischte Aufgaben:
Fertige für jede Aufgabe eine Skizze des Dreiecks an, auf der alle Daten und Bezeichnungen zu
sehen sind. Vergleiche alle Aufgaben mit den Beispielen 3-6 und notiere die Ähnlichkeiten, die
Du feststellst.
1. Eine Leiter der Länge 5,40 m lehnt an der Hauswand. Die Leiter bildet mit der Hauswand
einen Winkel von 20°.
Wie groß ist der Abstand des unteren Leiterendes von der Wand?
2. Ein Sendemast soll mit vier Seilen von je 40 m (80 m) Länge
gehalten werden. Der Neigungswinkel α der Seile soll 55°
betragen.
In welcher Höhe müssen die Seile befestigt werden?
3. Eine Seilbahn überwindet
a) auf einer ersten Teilstrecke von 250 m Länge eine
Höhendifferenz von 180 m.
b) auf einer zweiten Teilstrecke von 124 m Länge eine
Höhendifferenz von 78 m.
Wie groß sind die Steigungswinkel der beiden Teilstrecken?
4. Wie lang sind die Diagonalen einer Raute, deren Seiten die Länge 13,4 cm haben, wenn einer
ihrer Winkel 32,8° beträgt?
5. Zeige, dass für den Winkel α zwischen der Raumdiagonalen und einer Flächendiagonalen
1
2
1
, cos α =
und tan α =
.
eines Würfels gilt: sin α =
3
3
2
6. Gegeben ist die Gerade g mit der Gleichung g(x) = 2x. Zeichne diese Gerade in ein
Koordinatensystem. Wie groß ist der Winkel, den die Gerade mit der positiven x-Achse
einschließt?
16
IV. Funktionen und ihre Graphen
IV. Funktionen und ihre Graphen
Übersicht über das Kapitel
In diesem Kapitel steht der Funktionsbegriff als ein fundamentaler Begriff der Mathematik im
Mittelpunkt der Betrachtungen.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
•
•
•
•
•
•
•
was eine Funktion ist,
was die Definitions- bzw. Wertemenge ist,
wie man eine Funktion darstellen kann,
was der Graph einer Funktion ist,
was die Funktionsgleichung ist,
wie Funktionswerte berechnet werden,
wie man an einem Graphen erkennen kann, ob dieser zu einer Funktion gehört.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
Bei einer Zuordnung wird jedem vorgegebenen Wert aus einem Bereich ein Wert aus einem
anderen Bereich zugeordnet. Zuordnungen können z. B. durch Wertetabellen, graphische
Darstellungen
im
Koordinatensystem,
Pfeildiagramme,
Wortvorschriften
oder
Rechenvorschriften gegeben sein. „Es gibt Zuordnungen, die einem Element mehrere Werte
zuordnen. Von Interesse sind vor allem solche Zuordnungen, die jedem Element einer
Ausgangsmenge genau ein Element einer Zielmenge zuordnen. Diese Zuordnungen heißen
eindeutig.
Definition:
Eine eindeutige Zuordnung heißt Funktion.
Eine Funktion ordnet jedem Element der Definitionsmenge ein Element der
Wertemenge zu.“6
Beispiele:
Körpergröße in cm
A) Die Zuordnung Person → Körpergröße ist eine Funktion, denn jeder Mensch besitzt
genau eine Köpergröße. Dies kann auf verschiedene Weisen dargestellt werden.
a) Wertetabelle:
Person
A
B
C
D
E
F
Körpergröße 174 cm 163 cm 182 cm 178 cm 174 cm 180 cm
b) Pfeildiagramm:
A
→
174 cm
B
→
163 cm
C
→
182 cm
D
→
178 cm
E
→
174 cm
F
→
180 cm
c) Graphische Darstellung im Koordinatensystem:
190
C
180
170
160
A
D
F
E
B
Person
5
aus: Pohlmann, D., Stoye, W. (Hrsg.): Mathematik plus, Gymnasium Klasse 8 Nordrhein-Westfalen; Berlin
2001 (S. 75).
17
IV. Funktionen und ihre Graphen
Gewicht in kg
B) Die Zuordnung Körpergröße → Gewicht ist keine Funktion, denn man kann bei gleicher
Körpergröße unterschiedliches Gewicht besitzen; sie ist also nicht eindeutig.
a) Wertetabelle:
Körpergröße 180 cm 180 cm 180 cm 180 cm 180 cm 180 cm
Gewicht
65 kg 73 kg 77 kg 84 kg 93 kg 81 kg
b) Pfeildiagramm:
65 kg
73 kg
77 kg
180 cm
84 kg
93 kg
81 kg
c) Graphische Darstellung im Koordinatensystem:
100
80
60
40
20
0
0
50
100
150
200
Körpergröße in cm
Aufgabe:
a) Gib zu den obigen Beispielen die jeweilige Werte- bzw. Definitionsmenge an.
b) Beschreibe die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der beiden Beispiele.
Im Mathematikunterricht werden vor allem Funktionen behandelt, deren Definitions- und
Wertemenge aus Zahlen bestehen.
„Immer, wenn eine Größe von einer anderen in eindeutiger Weise abhängt, spricht man von
einer funktionalen Abhängigkeit oder einem funktionalen Zusammenhang. [...]
Beispiele für funktionale Zusammenhänge:
• Die Länge des Bremsweges eines Autos hängt ab von der Geschwindigkeit.
• Die Geschwindigkeit eines fallenden Körpers hängt ab von der Fallhöhe.
• Die Höhe des Wasserstandes in einem Schwimmbad hängt ab von der Dauer des
Wasserzuflusses.
• Der Bestand eines Medikamentes im Körper hängt ab von der täglich eingenommenen
Menge.
• Die Restschuld eines Darlehens hängt ab von der Dauer der Tilgung.“7
In den Beispielen steht links die abhängige Größe und rechts die unabhängige Größe. Man
kann auch umgekehrt sagen: Jedem Wert der unabhängigen Größe wird genau ein Wert der
abhängigen Größe zugeordnet.
„Der Aspekt der Eindeutigkeit des Zuordnens schöpft den Begriffsinhalt einer Funktion nicht
aus. Auch der geometrische und der algebraisch-arithmetische Aspekt sind inhaltliche
Bestandteile des Begriffs der Funktion.“8
7
8
aus: Griesel, H., Postel, H. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 11 Nordrhein-Westfalen; Hannover 1999 (S. 94).
aus: ebd. (S. 94).
IV. Funktionen und ihre Graphen
18
Der geometrische Aspekt: Der Graph einer Funktion
Wasserstandshöhe in m
In der folgenden Tabelle ist die Abhängigkeit der Wasserstandhöhe in einem Becken von der
Dauer des Wasserzuflusses dargestellt:
Wasserzufluss in Stunden 0 1 2 3 4 5 6 7
Wasserstandshöhe in m 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4
Dieser Sachverhalt kann in einem Koordinatensystem veranschaulicht werden:
1,6
1,4
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5
Wasserzulauf in Stunden
Jedem Zeitpunkt wird eine bestimmte Wasserstandshöhe zugeordnet. Diese kann am Graphen
der Funktion abgelesen werden.
Der Graph einer Funktion f besteht aus allen Punkten (x|f(x)) mit x aus der Definitionsmenge
von f.
Aufgabe: Lies die Wasserstandshöhe zum Zeitpunkt 0,5 (1,5|2,5|3,5|4,5|5,5|6,5) am Graphen
der Funktion ab und beschreibe Dein Vorgehen hierbei.
Der algebraisch-arithmetische Aspekt: Die Funktionsgleichung
Der obige Sachverhalt kann auch durch eine Gleichung beschrieben werden:
y = f(x) = 0,2x (oder kurz: f(x) = 0,2x)
Eine solche Gleichung heißt Funktionsgleichung. Der Ausdruck rechts vom
Gleichheitszeichen wird Funktionsterm genannt (hier: 0,2x).
Setzt man hier für x eine Zahl ein, erhält man den zu dieser Zahl gehörigen Funktionswert: Z.
B. f(1) = 0,2 · 1 = 0,2. Man sagt: „Der Funktionswert an der Stelle (zu dem Argument) 1 ist
0,2.“
Ein Punkt liegt auf dem Graphen der Funktion f, wenn seine Koordinaten die
Funktionsgleichung erfüllen.
IV. Funktionen und ihre Graphen
19
Aufgaben:
1. Berechne zu den angegebenen Stellen die zugehörigen Funktionswerte und interpretiere
die Ergebnisse. f(x) = 0,2x
x = 0,5
x = 3,7
x = 4,32
x=9
2. Der unten stehende Graph gehört zu einer Funktion, denn jedem Argument x (in diesem
Fall sind es Stunden) wird genau ein Funktionswert y (in diesem Fall ist es die Höhe in m)
zugeordnet.
Es ist der Gezeitenverlauf an der Nordsee dargestellt. „Etwa alle 12,5 Stunden tritt
Niedrigwasser ein. Entnimm der Graphik:
a) Wie viel über oder unter der mittleren Meereshöhe (Normalnull) befindet sich der
Wasserstand 1 Stunde, 3 Stunden, 7 Stunden nach dem ersten Niedrigwasser?
b) In welchen zeitlichen Abständen nach dem ersten Niedrigwasser befindet sich der
Wasserstand 0,5 m über der mittleren Meereshöhe?“9
3. Kann der Graph zu einer Funktion gehören? Begründe die Antwort10.
Im nächsten Abschnitt stehen die linearen Funktionen im Mittelpunkt der Betrachtungen.
9
aus: Pohlmann, D., Stoye, W. (Hrsg.): Mathematik plus, Gymnasium Klasse 8 Nordrhein-Westfalen; Berlin
2001 (S. 79).
10
aus: Griesel, H., Postel, H. (Hrsg.): Elemente der Mathematik 11 Nordrhein-Westfalen; Hannover 1999 (S.
14).
V. Lineare Funktionen
20
V. Lineare Funktionen
Übersicht über das Kapitel
Lineare Funktionen sind eine bestimmte Klasse von Funktionen, mit deren Hilfe viele
Sachverhalte beschrieben werden können.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
was lineare Funktionen sind,
wie man am Graphen einer Funktion erkennt, ob dieser zu einer linearen Funktion
gehört,
was die Steigung einer linearen Funktion ist und wie man sie berechnet,
was der y-Achsenabschnitt ist,
wie die Funktionsgleichung zu einer gegebenen Geraden bestimmt wird,
wie eine Gerade zu gegebener Funktionsgleichung skizziert wird,
wie zu zwei gegebenen Punkten die Gerade skizziert und die Funktionsgleichung
bestimmt wird,
wie aus gegebener Steigung und einem gegebenen Punkt der Graph skizziert und die
Funktionsgleichung bestimmt wird,
wie spezielle Punkte zu gegebener Funktionsgleichung berechnet werden,
woran man an den Funktionsgleichungen erkennt, ob die zugehörigen Graphen
parallel verlaufen (sich senkrecht schneiden),
was die Nullstelle einer linearen Funktion ist und wie man sie berechnet,
was eine lineare Gleichung ist und wie man diese löst und
was der Schnittpunkt der Graphen zweier linearer Funktionen ist und wie man ihn
bestimmt.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
Information 1:
„Lineare Funktionen heißen so, weil im Funktionsterm die Variable nur in der 1. Potenz
vorkommt (d. h. nur x1 = x, nicht x2 o. ä.)“ 11. Alle Punkte des Funktionsgraphen liegen auf
einer „gerade Linie“ – einer Geraden.
Aufgabe: Welcher der Funktionsgraphen gehört zu einer linearen Funktion?
Eine Funktion y = f(x) = mx+b mit m, b ∈ ( (d. h. m und b sind irgendwelche reellen
Zahlen), heißt lineare Funktion.
Beispiel: f(x) = 2x + 1 ist eine lineare Funktion.
Bedeutung von m: m ist die Steigung der Geraden (ein Maß für die „Steilheit“). Im Beispiel:
m = 2. Die Steigung m einer linearen Funktion lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks
veranschaulichen (vgl. Abb. unten). Wenn wir vom Punkt P(x1|f(x1)) zum Punkt Q(x2|f(x2))
wandern, kommen wir von der Stelle x1 zur Stelle x2 und vom Funktionswert y1 = f(x1) zum
Funktionswert y2 = f(x2).
11
aus: Böer, H.: Trainingsprogramm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 6).
21
V. Lineare Funktionen
Die Änderung bei den Funktionswerten ist: ∆y = y2 − y1 (lies: delta y ist gleich...)
Die Änderung bei den Stellen ist:
∆x = x2 − x1
∆y y2 − y1 f ( x2 ) − f ( x1 )
=
=
, für x1 ≠ x2 , ist die Steigung des Graphen
Der Quotient m =
∆x x2 − x1
x2 − x1
der linearen Funktion.
Aufgabe: Bestimme ∆y und ∆x in der Abb. unten durch messen und berechne die Steigung.
Bedeutung von b: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade, die die y-Achse im
Punkt (0;b) schneidet. Die Zahl b heißt y-Achsenabschnitt der Geraden.
y
f(x)=mx+b
Q(x2/f(x2))
y2=f(x2)
f(x2)-f(x1) oder
y2-y1= ∆ y
P(x1/f(x1))
y1=f(x1)
x2-x1= ∆ x
b
x1
x2
x
Aufgaben: 1. Welche Werte nehmen m und b in den folgenden Beispielen an?
1
1
f ( x) = 2 x − 4; f ( x) = −4 x + 2; f ( x) = − x; f ( x) = ; f ( x) = − x − 2
2
4
2. Wie verläuft der Graph einer linearen Funktion mit der Steigung m = 0?
3. Alle Punkte des Graphen einer linearen Funktion liegen auf einer Geraden. Ist
auch jede Gerade im Koordinatensystem der Graph einer linearen Funktion?
Beispiele verschiedener Aufgabentypen12:
1. Die Funktionsgleichung einer gegebenen Geraden
bestimmen.
b = -2 ist sofort aus der Zeichnung abzulesen.
Von diesem Punkt aus gehe ich 6 Einheiten nach
rechts und dann 4 Einheiten nach oben. Ich erhalte:
∆y 4 2
∆y = 4 und ∆x = 6, also m =
= = .
∆x 6 3
Die Funktionsgleichung zu dieser Geraden lautet also:
2
f ( x) = x − 2 .
3
12
vgl. hierzu: Böer, H.: Trainingsprogramm Sek. I-Stoff; Appelhülsen (S. 6,7).
V. Lineare Funktionen
22
Aufgaben: 1. Zeichne 10 Geraden in ein Koordinatensystem und ermittle sofort die
zugehörigen Funktionsgleichungen.
2. Interpretiere die folgende Graphik und bestimme eine Funktionsgleichung zu
der gezeichneten Geraden.
2. Eine Gerade zu einer gegebenen Funktionsgleichung
skizzieren.
a) f ( x) = 2 x − 1, 5
- Markiere b = -1,5 auf der y-Achse.
- Zeichne von hier aus ein Steigungsdreieck,
z. B. ∆x = 2 und ∆y = 4 (der Quotient muss
2 ergeben, da m = 2).
- Ziehe durch die zwei Punkte eine Gerade.
1
b) f ( x) = − x + 2
2
- Markiere b = 2 auf der y-Achse.
- Gehe von dort eine Einheit nach rechts und
–0,5 Einheiten nach unten (oder 4 Einheiten
nach rechts und –2 Einheiten nach unten).
- Ziehe durch die zwei Punkte eine Gerade.
Aufgaben: 1. Notiere 10 lineare Funktionsgleichungen und skizziere sofort die zugehörigen
Graphen.
2. Ein Schwimmbad wird mit Wasser gefüllt. Interpretieren im diesem
Zusammenhang die Funktionsgleichung f(x) = 0,4 x und skizziere den
zugehörigen Graphen.
3. Zu zwei gegebenen Punkten die Gerade skizzieren und die Funktionsgleichung
bestimmen.
Die Skizze ist klar: Die beiden Punkte ins Koordinatensystem eintragen und die Gerade
zeichnen.
Wenn die Punkte P(-1|-2) und Q(1|2) gegeben sind, kann sofort die Steigung berechnet
werden:
x1 = −1; x2 = 1; y1 = −2; y2 = 2 diese Werte werden in die Formel für m eingesetzt
∆y y2 − y1 2 − (−2) 4
m=
=
=
= =2
∆x x2 − x1 1 − (−1) 2
Das Zwischenergebnis lautet: f ( x) = 2 x + b
Zur Bestimmung von b wird einer der gegebenen Punkte in die Funktionsgleichung
eingesetzt, z. B. Q(1|2):
f (1) = 2 ⇔ 2 ⋅ 1 + b = 2 ⇔ b = 0
Das Ergebnis lautet: f ( x) = 2 x .
V. Lineare Funktionen
23
Aufgaben: 1. Zeichne die Geraden, die durch die Punkte P und Q gehen. Bestimme die
Funktionsgleichungen.
a) P(3|-1), Q(7|3)
b) P(1/2|3/4), Q(4|-1) c) P(-1/6|2), Q(1/2|3/2)
2. Ein Schwimmbad wird mit Wasser gefüllt. Interpretiere in diesem
Zusammenhang die beiden Punkte A(1|0,4) und B(4|1,6). Zeichne die Gerade,
die durch die beiden Punkte geht und bestimme die Funktionsgleichung.
1
4. Ein Punkt und die Steigung sind gegeben, z. B. P(-2|-3) und m = . Zunächst wird der
2
Punkt in das Koordinatensystem eingezeichnet. Von hier aus wird das Steigungsdreieck
eingetragen und der zweite Punkt markiert. Die Gerade kann gezeichnet werden.
1
Wir wissen, da m gegeben ist: f ( x) = x + b . Setze P in die Funktionsgleichung ein und
2
1
erhalte: f (−2) = 3 ⇔ ⋅ ( −2) + b = −3 ⇔ b = −2 .
2
1
Das Ergebnis lautet: f ( x) = x − 2 .
2
Aufgaben: 1. Zeichne die Gerade, die durch den Punkt P geht und die Steigung m hat.
Bestimme die Funktionsgleichung.
a) P(2|2), m = -1
b) P(-1|0), m = 1/2 c) P(-3|-4), m = -1/4
2. Ein Schwimmbad wird mit Wasser gefüllt. Interpretiere in diesem
Zusammenhang die Steigung m = 0,4 und den Punkt C(5|2). Zeichne die
zugehörige Gerade und bestimme ihre Funktionsgleichung.
5. Spezielle Punkte zu gegebener Funktionsgleichung bestimmen.
Z. B. f ( x) = −3 x + 6 . Bestimme P1(4|...); P2(-2|...); P3(...|3); P4(...|-1); P5(0|...); P6(...|0).
P1 : f (4) = (−3) ⋅ 4 + 6 = −6; also P1 (4 | −6)
P2 : f (−2) = (−3) ⋅ (−2) + 6 = 12; also P2 (−2 | 12)
P3 : −3 x + 6 = 3 ⇔ x = 1; also P3 (1 | 3)
7
7
; also P4 ( | −1)
3
3
P5 : f (0) = −3 ⋅ 0 + 6 = 6; also P5 (0 | 6) Schnittpunkt mit der y-Achse
P4 : −3 x + 6 = −1 ⇔ x =
P6 : −3 x + 6 = 0 ⇔ x = 2; also P6 (2 | 0) Schnittpunkt mit der x-Achse
1
x − 2 . Zeichne den
10
Graphen der Funktion und bestimme rechnerisch P1(3|...); P2(0|...); P3(...|0);
P4(...|2).
2. Ein Schwimmbad wird mit Wasser gefüllt. Interpretiere in diesem
Zusammenhang die Funktionsgleichung f(x) = 0,4 x und die Punkte D(7|...)
und E(...|3,6). Zeichne den Graphen der Funktion.
Aufgaben: 1. Gegeben ist die lineare Funktionsgleichung f ( x) =
Information 2:
Parallele und senkrechte Geraden
Im linken Koordinatensystem sind die Graphen der Funktionen f ( x) = 2 x − 4 und
g ( x) = 2 x + 1 abgebildet. Sie unterscheiden sich nur durch verschiedene y-Achsenabschnitte,
nämlich b1 = -4 und b2 = 1. Die Steigung ist in beiden Fällen die selbe: m = 2.
Zwei Geraden mit den Steigungen m1 und m2 sind genau dann parallel zueinander, wenn m1
= m2 gilt.
24
V. Lineare Funktionen
Im rechten Koordinatensystem sind die Graphen der Funktionen g ( x) = 2 x + 1 und
1
f ( x) = − x + 1 abgebildet. Sie haben den selben y-Achsenabschnitt b = 1. Diese Geraden
2
stehen senkrecht zueinander, wie man leicht mit einem Geodreieck feststellen kann. Ihre
Steigungen sind 2 bzw. –0,5. Bildet man das Produkt der beiden Steigungen, stellt man fest,
dass dieses –1 ist.
Zwei Geraden mit den Steigungen m1 und m2 sind genau dann senkrecht (orthogonal)
zueinander, wenn m1_m2 = -1 ist.
Information 3:
Nullstellen linearer Funktionen/lineare Gleichungen
Um den Schnittpunkt des Graphen einer linearen Funktion mit der x-Achse (die Nullstelle) zu
bestimmen, muss der Funktionsterm Null gesetzt werden: f(x) = 0. Es entsteht eine lineare
Gleichung, die zu lösen ist.
Beispiel: Von der Funktion f(x) = 2x – 4 soll der Schnittpunkt mit der x-Achse bestimmt
werden:
f ( x) = 0
2x − 4 = 0
+4
2x = 4
:2
x=2
Probe durch einsetzen
2⋅2 − 4 = 0
0 = 0 ist eine wahre Aussage
Ergebnis: Der Graph der Funktion schneidet die x-Achse an der Stelle x = 2.
Bemerkung: Die Gleichung 2x – 4 = 0 ist keine Aussage sondern eine Aussageform. Erst
wenn man für die Variable x eine bestimmte Zahl einsetzt, kann die Aussageform in eine
Aussage überführt werden, von der nun gesagt werden kann, ob sie richtig oder falsch ist.
Diejenigen Elemente, die aus einer Aussageform eine wahre Aussage entstehen lassen, nennt
man die Lösungsmenge der Aussageform (hier: IL = {2}).
Aufgabe: Bestimme die Nullstelle der Funktion.
2
x − 2;
3
f ( x) = 2 x − 1, 5
f ( x) =
f ( x) = −3 x + 6 ;
f ( x) =
1
x − 2;
2
f ( x) = 2 x ;
1
f ( x) = − x + 2 ;
2
25
V. Lineare Funktionen
Information 4:
Schnittstelle/Schnittpunkt
„Eine Stelle x heißt Schnittstelle zweier Funktionen f und g, wenn für sie die Funktionswerte
beider Funktionen gleich sind, d. h. f(x) = g(x) gilt.
Der zu einer Stelle x von f und g gehörige gemeinsame Punkt beider Graphen heißt
Schnittpunkt der Graphen von f und g. Seine Koordinaten sind (x;f(x)) bzw. (x;g(x)).“13
1
1
Beispiel: Bestimme den Schnittpunkt von f ( x) = x − 2 und g ( x) = − x + 2 .
2
2
f ( x) = g ( x)
1
1
− x+2 = x−2
−2
2
2
1
1
1
− x = x−4
− x
2
2
2
− x = −4
⋅ ( −1)
x=4
Probe durch einsetzen in f(x) bzw. g(x) (beide Funktionswerte müssen identisch sein).
1
f (4) = − ⋅ 4 + 2 = 0
2
1
g (4) = ⋅ 4 − 2 = 0
2
Ergebnis: Die beiden Geraden schneiden sich im Punkt (4|0).
Noch ein Beispiel:
Geraden, die senkrecht aufeinander stehen haben die Eigenschaft, dass das Produkt ihrer
Steigungen –1 ergibt (s.o.). Bestimme zu f ( x) = 2 x − 1, 5 die Gerade g, die in
P(2|...)senkrecht auf ihr steht. Ich ermittle zunächst die y-Koordinate von P, dann die
Steigung:
f (2) = 2 ⋅ 2 − 1,5 = 2,5
→ also geht g(x) durch den Punkt P(2|2,5)
2 ⋅ m2 = −1 ⇔ m2 = −0,5
→ also die Steigung von g ist m 2 = −0,5
Von g(x) wissen wir nun, dass m2 = -0,5 und der Graph durch den Punkt P(2|2,5) geht. Also:
g ( x) = −0,5 x + b . Setze nun den Punkt P ein und erhalte:
g (2) = 2 ⇔ −0, 5 ⋅ 2 + b = 2 ⇔ b = −2
Das Ergebnis lautet: g ( x) = −0,5 x − 2 .
Aufgabe: Bestimme zu der Funktion f ( x) = 2 x + 4 diejenige Funktion g, deren Graph im
Schnittpunkt mit der x-Achse senkrecht auf dem Graphen zu f steht. Rechnung und
Skizze.
13
aus: Hahn, O. ,Dzewas, J.: Grundkurse Analysis; Braunschweig 1986 (S. 56).
V. Lineare Funktionen
26
Vermischte Aufgaben:
1. Gegeben ist die Gerade mit der Gleichung f(x) = 3x + 7. Überprüfe rechnerisch, ob der
Punkt P auf der Geraden liegt.
 3 23   5

( −4 | 7); (1 | 10), (0,5 | 5);  |  ;  | 11,5 
2 2  3

2. Gegeben sind die Geraden
1
3
1
f ( x) = x + 4; g ( x) = 5 x − ; h( x) = −5 x + 7; k ( x) = − x − 3
5
7
5
a) Welche dieser Geraden verlaufen parallel?
b) Welche dieser Geraden schneiden sich senkrecht?
3. Einem Kunden, der sich für Handys interessiert, werden zwei Tarife zur Auswahl
angeboten:
Tarif 1: 0 DM Grundgebühr pro Monat, Gesprächskosten: 1,49 DM/min
Tarif 2: 24 DM Grundgebühr pro Monat, Gesprächskosten: 1,19 DM/min.
a) Beschreibe die Kosten, die bei den Tarifen 1 und 2 im Monat entstehen, mit Hilfe von
linearen Funktionen.
b) Wie lange muss jemand im Monat mindestens telefonieren, damit Tarif 2 für ihn
günstiger ist?
4. Bestimme die Funktionsgleichungen f(x), g(x), h(x) der gezeichneten Graphen.
Bestimme durch ablesen den Schnittpunkt von g und f.
VI. Quadratische Gleichungen
27
VI. Quadratische Gleichungen
Übersicht über das Kapitel
Gleichungen nehmen in der Mathematik und ihren Anwendungen einen wichtigen Platz ein.
Dort werden viele Probleme mit Hilfe von Gleichungen gelöst. Das können lineare, aber auch
nichtlineare Gleichungen sein. In diesem Kapitel werden wir uns mit den quadratischen
Gleichungen beschäftigen.
Beispiel: Um ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 10 cm2 zeichnen zu können, muss zunächst
die Länge einer Seite bestimmt werden. Der Flächeninhalt eines Quadrates wird berechnet,
indem man die Länge der einen Seite mit der Länge der anderen Seite multipliziert. Da die
Längen der beiden Seiten eines Quadrates gleich sind, ergibt sich:
x ⋅ x = 10 , also
x 2 = 10
Dies ist eine einfach quadratische Gleichung, die durch „wurzelziehen“ gelöst werden kann:
x 2 = 10
x = 10 ≈ 3,16
Ein Quadrat mit dieser Seitenlänge hat also den geforderten Flächeninhalt.
Betrachten wir nun die Gleichung losgelöst vom Problem, können wir feststellen, dass noch
eine zweite Lösung existiert, denn auch
− 10 ⋅ − 10 = 10 .
(
)(
)
Wenn wir für die Unbekannte eine Zahl einsetzen und diese die Gleichung erfüllt, dann ist
diese Zahl eine Lösung der Gleichung. Eine quadratische Gleichung kann also zwei Lösungen
haben; hier:
x = 10 oder x = − 10 .
Für das obige Problem spielt die negative Lösung sicherlich keine Rolle, denn eine
negative Länge gibt es nicht. In anderen Fällen spielen aber durchaus beide
Lösungen eine Rolle und werden deshalb immer angegeben.
Wir haben also nun eine einfache quadratische Gleichung kennen gelernt. Diese
können aber auch ungleich komplizierter aussehen, wie die Folgende zeigt:
1 2
x − 3 x = x( x − 4) + 3 .
3
Du wirst aber sehen, dass jede quadratische Gleichung auf die Normalform gebracht
werden kann. Das ist eine einheitliche Form für quadratische Gleichungen.
In diesem Kapitel kannst Du lernen,
•
•
•
•
•
•
was eine quadratische Gleichung ist,
woran man eine reinquadratische oder gemischtquadratische Gleichung erkennt,
was die Normalform einer quadratischen Gleichung ist,
wie eine quadratische Gleichung in die Normalform überführt wird,
wie eine reinquadratische Gleichung gelöst wird,
wie man eine gemischtquadratische Gleichung mit Hilfe der quadratischen Ergänzung
bzw. der p-q-Formel löst.
28
VI. Quadratische Gleichungen
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
Information 1 :
Gleichungen, die man auf die Form ax 2 + bx + c = 0 bringen kann, heißen quadratische
Gleichungen. Man nennt ax2 das quadratische Glied, bx das lineare Glied und c das absolute
Glied der Gleichung. Die Buchstaben a, b und c werden Koeffizienten genannt (a ist der
Koeffizient des quadratischen Gliedes, b der Koeffizient des linearen Gliedes, c der
Koeffizient des absoluten Gliedes).
Eine quadratische Gleichung, bei der das lineare Glied fehlt, heißt reinquadratisch, sonst
gemischtquadratisch.
Beispiel:
Um die Gleichung 2 x 2 = 3 x − 2 auf die oben angegebene Form ( ax 2 + bx + c = 0 ) zu bringen,
müssen folgende Rechenschritte ausgeführt werden:
2 x 2 = 3x − 2
2 x − 3 x = −2
2
−3 x
+2
2 x 2 − 3x + 2 = 0
Hier ist a = 2, b = -3 und c = 2.
Beispiel:
Bestimme die Lösungsmenge von 4 x 2 − 4 = 0 .
4x2 − 4 = 0
+4
4x2 = 4
:4
x2 = 1
x = 1 ∨ x = −1
Ergebnis: Die Lösungsmenge ist IL {1;-1}.
Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge von:
b) 2x2 + 20 = 34
a) 9x2 – 16 = 0
c) ⅔x2 +6 = 0
Information 2: Eine allgemeine quadratische Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit beliebigem a ≠
0 wird auf die Normalform x2 +px +q = 0 der quadratischen Gleichung zurückgeführt, indem
man die Gleichung durch den Koeffizienten des quadratischen Gliedes teilt:
ax 2 + bx + c = 0
:a
b
c
x+ =0
a
a
b
c
Mit p = und q = .
a
a
x2 +
Aufgabe: Führe die allgemeine quadratische Gleichung auf die Normalform zurück:
a) 3x 2 − 15 x − 42 = 0 b) 12 x 2 − 24 x − 96 = 0 c) − 2 x 2 + 4 x + 2 = 0
Information 3: Eine quadratische Gleichung der speziellen Form x2 + px = 0 läßt sich am
einfachsten lösen, indem man den Summenterm in ein Produkt umwandelt: x(x + p) = 0.
Ein Produkt aus zwei Faktoren ist genau dann gleich 0, wenn einer der Faktoren gleich 0 ist.
Die Lösungsmenge von x2 + px = 0 ist also L = {0; - p}.
Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge von:
b) x2 + 13x = 0
a) x2 –3x = 0
c) –x2 + 4x = 0
29
VI. Quadratische Gleichungen
Information 4: Jede gemischtquadratische Gleichung der Form x2 + px +q = 0 kann man auf
eine Gleichung der Form (x – d) 2 = r zurückführen.
Die Zahl, die man zu dem Term x2 + px ergänzen muss, damit man den neuen Term nach der
1. oder 2. binomischen Formel als Quadrat schreiben kann, nennt man quadratische
Ergänzung (q. E.).
Beispiel:
2
3
Die quadratische Ergänzung zu x − 3 x lautet   , denn:
2
2
2
2
3
3 
x 2 − 3x +   =  x −  .
2
2 
2
 p
Die quadratische Ergänzung zu x + px lautet   , denn:
2
2
2
2
p
 p 
x 2 + px +   =  x +  .
2
2 
Aufgabe: Bestimme die Lösungsmenge der quadratischen Gleichung mit Hilfe der
quadratischen Ergänzung.
a) 3x 2 − 15 x − 42 = 0 b) 12 x 2 − 24 x − 96 = 0 c) − 2 x 2 + 4 x + 2 = 0
d ) x 2 + 6 x = −5; e) x 2 − 3x − 1 = 0
Information 5: Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Normalform: x2 +px + q = 0.
Um die Lösungsmenge dieser Gleichung zu bestimmen, führen wir folgende Rechnung durch:
x 2 + px + q = 0
−q
 p
+ 
2
x + px = − q
2
2
 p
 p
x 2 + px +   = − q +  
2
2
2
2
2
2
p  p

x+  =  −q
2 2

2
 p
Die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung hängt von dem Term   − q ab.
2
Dieser Term heißt Diskriminante D (der Normalform).
Aufgabe: Führe die Rechnung aus Information 5 weiter und bestimme die Lösungsmenge:
- Für den Fall, dass D positiv ist.
- Für den Fall, dass D gleich 0 ist.
- Für den Fall, dass D negativ ist.
Information 6: Lösungsformel für quadratische Gleichungen:
Gegeben ist eine quadratische Gleichung in der Normalform x2 + px +q = 0.
Für die Lösungsmenge der Gleichung gilt dann:
Wenn die Diskriminante positiv ist, gibt es genau zwei Lösungen x1 und x2, nämlich
2
x1,2
p
 p
=− ±   −q
2
2
Dies ist die sogenannte p-q-Formel.
30
VI. Quadratische Gleichungen
Wenn die Diskriminante D null ist, gibt es genau eine Lösung, nämlich −
p
.
2
Wenn die Diskriminante D negativ ist, gibt es keine Lösung.
Aufgabe: a) Bestimme mit Hilfe der entwickelten Lösungsformel die Lösungsmenge der
quadratischen Gleichung 4x2 + x – 3/2 = 0.
b) Wie viele Lösungen hat die Gleichung 3x – 18x + 20,25 = 0? Beantworte die
Frage anhand der Lösungsformel, ohne die Lösung selbst zu bestimmen.
Historische Information: „Das noch heute angewandte algebraische Verfahren zur Lösung
quadratischer Gleichungen entstammt dem 16. Jahrhundert: RAFAEL BOMBELLI hat in
seiner 1572 erschienenen L’Algebra jenes Verfahren entwickelt. Das dort gegebene Beispiel
soll hier – im Text leicht geglättet und in moderner Schreibweise – wiedergegeben werden: Es
sei
13
Aufgabe: Lies den Text und beantworte folgende Fragen schriftlich (führe die Rechnungen
selbst durch):
Welche Rechenoperation führt Bombelli durch, wenn er eine Gleichung
„reduziert“?
Was meint Bombelli, wenn er die „...die Hälfte der linearen Größe nimmt und sie
zur Wurzel des Quadrats hinzuzählt...“?
Bombellis Lösung ist unvollständig. Gib die vollständige Lösung an.
13
aus: Kropp, Gerhard: Geschichte der Mathematik; Heidelberg 1969 (S. 98).
31
VI. Quadratische Gleichungen
Noch eine Aufgabe14:
Betrachte einen Moment lang diese sechs Quadrate:
Welches ist Deiner Ansicht nach am schönsten, am harmonischsten unterteilt?
Es ist interessant, dass viele Menschen in diesem Fall das vierte Quadrat von rechts wählen.
Es ist nach dem Goldenen Schnitt unterteilt. Diese Unterteilung gilt von jeher als besonders
ausgeglichen und harmonisch.
Der Goldene Schnitt war deshalb lange Zeit das bevorzugte Maß, wenn es um eine schöne
Anordnung ging. Diese Tradition ist auch in unserem Jahrhundert noch nicht ausgestorben.
Der Schweizer Architekt Le Corbusier entwarf vor etwa 50 Jahren ein Haus, bei dem die
Fassadenelemente im Goldenen Schnitt unterteilt sind. Und noch heute kannst du dieses
Teilungsverhältnis an manchen Häusern feststellen.
Schon früh wurde versucht, dieses Verhältnis mathematisch zu beschreiben. Man fand heraus,
dass bei einer „schön“ unterteilten Strecke sich die kleinere Teilstrecke zur größeren so
verhält wie die größere zur ganzen Strecke.
Wie müssen wir also die Seite beim „schönen“ Quadrat unterteilen?
Die abgebildeten Quadrate haben eine Seitenlänge von 2 Zentimetern. Diese 2 Zentimeter
müssen wir im Goldenen Schnitt unterteilen:
2
x y
Bezeichnen wir die Länge der ersten, größeren Teilstrecke mit x und die Länge der kleineren
Teilstrecke mit y. Dann muss die folgende Proportion gelten:
y:x = x:2
Die kleinere Teilstrecke y ist gleich 2 – x. Das kannst du an der Figur ablesen. Also gilt das
Verhältnis (2 – x) : x = x : 2. Anders ausgedrückt heißt das:
2−x x
=
2
x
Hier haben wir es mit einer quadratischen Gleichung für x zu tun! Wenn wir die Gleichung
nämlich mit 2 und dann noch mit x multiplizieren ergibt sich
2 (2 – x) = x2
Rechnen wir die linke Seite noch aus, so erhalten wir
4 – 2x = x2
a) Löse diese Gleichung.
b) Unterteile ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm (4 cm) im Goldenen Schnitt.
c) Unterteile ein Quadrat mit der Seitenlänge a im Goldenen Schnitt.
14
Diese Aufgabe ist entnommen aus: Kirchgraber, U., Hartmann, W.: ETH-Leitprogramm „Quadratische
Gleichungen“, Zürich 1995.
VII. Quadratische Funktionen
32
VII. Quadratische Funktionen
Übersicht über das Kapitel
Quadratische Funktionen und ihre Graphen kommen in vielen Bereichen der Technik vor, z.
B. beim Brückenbau oder in der Solartechnik. Auch Satellitenantennen haben einen
parabelförmigen Querschnitt.
In diesem Kapitel kannst Du lernen:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
was eine quadratische Funktion ist,
was die Normalparabel ist,
was der Scheitelpunkt des Graphen einer quadratischen Funktion ist,
wie sich Verschiebungen der Normalparabel auf den Funktionsterm auswirken,
wie sich Spiegelungen und Streckungen auf den Funktionsterm auswirken,
was die Scheitelpunktform ist,
wie man eine Funktionsgleichung auf Scheitelpunktform bringt,
was die Nullstellen des Graphen einer quadratischen Funktion sind und
wie man diese berechnet.
Informationen, Beispiele und Aufgaben:
Eine Funktion f mit einem Term der Form f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c mit a, b, c ∈ IR und a ≠ 0
heißt quadratische Funktion. Die Zahlen a, b, c nennt man die Koeffizienten.
Der Graph einer quadratischen Funktion heißt Parabel.
Der Punkt mit dem größten bzw. kleinsten Funktionswert der Funktion f heißt Scheitelpunkt
der Parabel.
Der maximale Definitionsbereich einer quadratischen Funktion ist die Menge IR aller reellen
Zahlen.
Die Normalparabel ist der Graph der Funktion f mit
f ( x) = x 2 (siehe nebenstehende Abb.).
Sie ist eine nach oben geöffnete achsensymmetrische Kurve;
die Symmetrieachse ist die y-Achse.
Aufgabe: Benenne die Koeffizienten des Funktionsterms der Normalparabel.
Verschiebungen der Normalparabel
a) in y-Richtung:
Der
Graph
der
quadratischen
Funktion
2
f ( x) = x + e , e ∈ IR ist eine Parabel mit dem
Scheitelpunkt (0|e). Für positives e ist die Parabel
gegenüber der Normalparabel nach oben, für negatives e
gegenüber der Normalparabel nach unten verschoben
(hier: e = 2).
Aufgabe: Notiere vier Funktionsgleichungen für nach oben bzw. nach unten verschobene
Normalparabeln. Gib die Scheitelpunkte an und skizziere die Graphen in ein
Koordinatensystem.
VII. Quadratische Funktionen
33
b) in x-Richtung:
Der
Graph
der
quadratischen
Funktion
2
f ( x) = ( x − d ) , d ∈ IR ist eine Parabel mit dem
Scheitelpunkt (d|0). Für positives d ist diese Parabel
gegenüber der Normalparabel nach rechts, für negatives d
gegenüber der Normalparabel nach links verschoben
(hier: d = -2).
Aufgabe: Notiere vier Funktionsgleichungen für nach rechts bzw. nach links verschobene
Normalparabeln. Gib die Scheitelpunkte an und skizziere die Graphen in ein
Koordinatensystem.
c) in y-Richtung und in x-Richtung:
Der
Graph
der
quadratischen
Funktion
2
f ( x) = ( x − d ) + e , d , e ∈ IR ist eine Parabel mit
dem Scheitelpunkt (d|e), die aus der Normalparabel durch
Verschiebung um d in x-Richtung und um e in y-Richtung
entsteht
(hier: d = -2; e = 2).
Aufgabe: Notiere vier Funktionsgleichungen für in x- und in y-Richtung verschobene
Normalparabeln. Gib die Scheitelpunkte an und skizziere die Graphen in ein
Koordinatensystem.
Streckungen und Spiegelungen der Normalparabel
a) Spiegelung an der x-Achse:
Der Graph der quadratischen Funktion f ( x) = − x 2 ist eine
nach unten geöffnete Parabel, die aus der Normalparabel
durch Spiegelung an der x-Achse hervorgeht.
b) Streckung mit dem Faktor |a|>1:
Der
Graph
der
quadratischen
Funktion
2
f ( x) = a ⋅ x , a > 1 wird mit dem Faktor ±a gestreckt und ist
enger als die Normalparabel
(hier: a = +2 bzw. a = -2).
VII. Quadratische Funktionen
34
c) Streckung mit dem Faktor |a|<1:
Der
Graph
der
quadratischen
Funktion
2
f ( x) = a ⋅ x , a < 1 wird mit dem Faktor ±a gestaucht und
ist weiter als die Normalparabel
(hier: a = +0,5 bzw. a = -0,5).
Die allgemeine Parabel
Gegeben ist die Funktionsgleichung f ( x) =
1 2
x − 2 x − 2 . Der Graph der Funktion ist im
2
Koordinatensystem abgebildet.
Es handelt sich um eine gestreckte und in x- und yRichtung verschobene Normalparabel. In dieser Form
liegen die Funktionsterme meistens vor. Die
1
Koeffizienten sind hier: a = , b = −2, c = −2 .
2
Aus dem Funktionsterm kann nicht ersehen werden,
wo der Scheitelpunkt des Graphen liegt.
Wir müssen die Funktionsgleichung also in die
Scheitelpunktform überführen.
1 2
1
x − 2x − 2
ausklammern
2
2
1
f ( x) = ⋅ ( x 2 − 4 x − 4 )
2
2
Betrachte nun den Term in der Klammer, der in einen Term der Form ( x − ...) umgeformt
werden soll.
f ( x) =
1
f ( x) = ⋅ ( x 2 − 4 x − 4 )
2
f ( x) =
2
2
 p  4
quadratische Ergänzung :   =  −  = 4
 2   2
1
⋅ ( x 2 −$#
4 x +%4 − 4 − 4)
2 "#
= ( x − 2) 2
1
⋅ ( ( x − 2)2 − 8)
2
1
2
f ( x) = ⋅ ( x − 2 ) − 4
2
Ergebnis: In der umgeformten Funktionsgleichung kann der Scheitelpunkt abgelesen werden,
nämlich S(2|-4).
f ( x) =
Dieses Verfahren lässt sich bei jeder quadratischen Funktion anwenden.
VII. Quadratische Funktionen
35
Aus f(x) = a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c mit a, b, c ∈ IR und a ≠ 0 wird
f ( x) = a ⋅ ( x − d ) 2 + e mit a, d , e ∈ IR und a ≠ 0
Man sagt, dass die quadratische Funktion f ( x) = a ⋅ ( x − d ) 2 + e , a, d , e ∈ IR in
Scheitelpunktform vorliegt, da aus dem Funktionsterm der Scheitelpunkt des Graphen
unmittelbar ersichtlich ist S(d|e).
Nullstellen
Eine Stelle x, an der die Funktion den Wert 0 annimmt, heißt Nullstelle der Funktion. Für
eine Nullstelle einer Funktion gilt: f(x) = 0.
Beispiel: Der Graph der Funktion f ( x) = x 2 + x − 2 schneidet die x-Achse an den Stellen
x = 1 und x = -2, wie in der Zeichnung zu erkennen ist.
Im Folgenden wird der Weg zu diesem Ergebnis
aufgezeigt.
f ( x) = 0
x2 + x − 2 = 0
Will man die Nullstellen einer quadratischen
Funktion ermitteln, so ist eine quadratische
Gleichung zu lösen (siehe hierzu das entsprechende
Kapitel).
2
x +x−2=0
2
1
1
q.E. :   =
4
2
1 1
x2 + x + − − 2 = 0
4 4
"#$#%
1
=( x + )2
2
2
1 9

x+  − =0
2 4

+
9
4
2
1
9

x+  =
2
4

1 3
1
3
x+ = ∨ x+ =−
2 2
2
2
x = 1 ∨ x = −2
Aufgabe: a) Berechne die Nullstellen.
3
x2
x2
f ( x) = x 2 − 3; f ( x) = − + 1; f ( x) = ; f ( x) = x 2 + 4; f ( x) = x 2 − 4
4
9
5
b) Vervollständige den Satz: Eine quadratische Funktion kann ...., .... oder ....
Nullstellen haben.
VII. Quadratische Funktionen
36
Vermischte Aufgaben:
1. Bestimme den Scheitelpunkt der Parabel:
a) f ( x) = 4 x 2 + 16 x + 11
b) f ( x) = 5 x 2 − 10 x + 7
1
c) f ( x) = 3 x 2 + 10 x − 6
2
2
d) f ( x) = −0,5 x − 5 x − 16 
2. Gegeben ist die gestreckte Parabel f ( x) = 2 x 2 . Bestimme die Gleichung der
Parabel f ( x) = 2 x 2 + bx + c , nachdem der Graph
a) um 1E nach oben
b) um 1E nach unten
c) um 2E nach links
d) um 3E nach rechts und um 4E nach unten
verschoben wurde
e) um 180° entgegen dem Uhrzeigersinn gedreht wurde.
3. Bestimme die Gleichung der Parabel f ( x) = ax 2 +bx + c , die S als Scheitelpunkt hat und
durch den Punkt P geht.
a) S(2/-4) P(1/-2)
b) S(1/2)
P(4/17)
c) S(-4/4) P(-2/8)
15
d) S(-1/-2) P(-2/ − )
8
4. Welcher Graph gehört zu welcher Funktionsgleichung?
1
f ( x) = − x 2
2
2
g ( x) = x + 3
h( x) = 2( x − 2) 2
i ( x) = 2( x + 6) 2 − 1
j ( x) = −2( x − 6) 2 + 1