Mathematik für Betriebswirte I (Lineare Algebra) 2. Klausur

Mathematik für Betriebswirte I
(Lineare Algebra)
2. Klausur
Wintersemester 2014/2015
23.03.2015
BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN
Nachname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorname: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Matrikelnummer:
Studienfach: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Name des Tutors: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorkurs Mathematik besucht?
Ja
Nein
Unterschrift der/des Studierenden:
Überprüfen Sie die Klausur auf Vollständigkeit, sie besteht aus 13 Seiten.
Bemerkungen:
Aufgabe
max. Pkt.
1
10
2
10
3
10
4
10
5
10
6
10
7
10
8
10
9
10
Summe
90
Note
err. Pkt.
Aufgabe 1: Matrizen und Vektoren (10 Punkte)
Gegeben seien die folgenden Vektoren:
 
6
 
 
a = −2 ,
 
1
 
−4
 
 
b= 7 
 
13
a) Berechnen Sie aT · b und a · bT .
b) Bestimmen Sie die Länge von a und b.
c) Bestimmen Sie den Abstand zwischen den Punkten, die durch a und b
gegeben sind.
d) Bestimmen Sie den Winkel γ, der von a und b eingeschlossen wird.
e) Normieren Sie a und b.
2
Aufgabe 2: Surjektivität und Injektivität (10 Punkte)
Gegeben sei die folgende Abbildung mit nicht leeren Mengen M und N :
f :M →N
x 7→ f (x) = |x| + 3
Bestimmen Sie die Mengen M und N so, dass
1.
a) f weder injektiv, noch surjektiv ist.
b) f injektiv, aber nicht surjektiv ist.
c) f surjektiv, aber nicht injektiv ist.
d) f bijektiv ist.
2. Wie würden sich die Antworten aus Aufgabenteil 1 für die Abbildung
g : M → N, x 7→ g(x) = −|x| + 3 ändern?
3
Aufgabe 3: Lineare Unterräume (10 Punkte)
Prüfen Sie, ob es sich bei M1 und M2 um lineare Unterräume des R3 handelt.

  




x


  1 

 
M1 = x2  x1 , x2 , x3 ∈ R, x2 = 2x1 , x3 = 3x1


 





 x 3

    



 0
1 


    
   
M2 =  3  , µ 1 µ ∈ R

    





 −1
2 4
Aufgabe 4: Komplexe Zahlen (10 Punkte)
1. Berechnen Sie die folgende Ausdrücke:
a) (5 − 3i) · 7 − 10i
b)
11+3i
2+i
2. Gegeben sei die komplexe Zahl
z = −7 + 7i
in algebraischer Form. Geben Sie z in trigonometrischer und exponentieller
Darstellung an.
5
Aufgabe 5: Lineares Gleichungssystem (10 Punkte)
Gegeben sei das lineare Gleichungssystem
  
 

0
x1
1 −1
3
  
 

  
 

 4 −1
a  ·  x2  =  0  ,
  
 

b
x3
−8
2
6
a, b ∈ R.
a) Für welche Kombinationen von a, b ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen?
b) Bestimmen Sie explizit für a = 4 und b = 42 die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems.
6
Aufgabe 5: Lineares Gleichungssystem
7
Aufgabe 6: Vollständige Induktion (10 Punkte)
a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass für die Summe der ungeraden natürlichen Zahlen die Gleichung
n
X
(2i − 1) = n2
∀n ∈ N
i=1
gilt.
b) Bestimmen
Gleichung für dieSumme
Sie die P
n
.
Zahlen Hinweis : i=1 i = n(n+1)
2
8
Pn
i=1
2i der geraden natürlichen
Aufgabe 7: Inverse Matrizen (10 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen:



1
1
3
−
−1
4
 t+1
 4




A =  32 − 21
2  , B =  − 12



−1 −1 0
− 12
1
2t+2
1
− t+1
− 14
− 21
1
2t+v
1
4


n
vo

 , t ∈ R\ −1, −
2

a) Bestimmen Sie t und v so, dass B = A−1 gilt, und geben Sie die Inverse
A−1 der invertierbaren Matrix A explizit an.
b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems Ax = b
mit b = (5, 10, 3)T .
9
Aufgabe 7: Inverse Matrizen
10
Aufgabe 8: Orthogonale Matrizen (10 Punkte)
Gegeben sei die Matrix

a
−2a


A =  −2a
a

−2a −2a
−2a



−2a  , a ∈ R.

a
a) Berechnen Sie A · AT .
b) Berechnen Sie die Länge aller Zeilenvektoren von A.
c) Bestimmen Sie a so, dass die Matrix A orthogonal ist, und geben Sie die
dazugehörige Inverse A−1 an.
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Aufgabe 9: Diagonalisierbare Matrizen (10 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen

1
A=
3
2
2

,

1
X=
−1

2
.
3
a) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A.
b) Ordnen Sie die Eigenvektoren bzw. Spaltenvektoren der diagonalisierenden
Matrix X den zugehörigen Eigenwerten der Matrix A zu.
c) Geben Sie die zu A gehörige Diagonalmatrix D an.
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Aufgabe 9: Diagonalisierbare Matrizen
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