~r ~E = 0 ~r ~E = ,1 ~r ~B = 0 ~r ~B = - IAP TU

(Werkstattseminar 20. Nov. 1996)
Klassisches Feld, quantisiertes Feld, gequetschtes Feld und Laserfeld
Franco Laeri
TH-Darmstadt, Institut für Angewandte Physik, Schlossgartenstrasse 7, 64289 Darmstadt
Tel.: 06151/165495, Fax.: 06151/163022
E-mail: [email protected])
v.1.2; 30. Nov. 1996
Zuasmmenfassung
wellgleichungen (cgs-System) beschrieben werden:
Wir geben eine kurze Einführung in die Ideen entlang denen
das elektromagnetische Feld quantisiert wird und erklären,
~ E~ = 0
~ E~ = , 1 @ B~
r
r
c @t
was unter gequetschtem Licht zu verstehen ist. Auf die
Eigenschaften von Laserlicht und die praktische Erzeugung
1 @ E~
~
~
~
~
r
B
=
0
r
B
=
von gequetschtem Licht wird kurz eingegangen.
c @t
1.2
(1)
Statistisch denierte Felder
Die meisten Lichtquellen erzeugen Felder, die nicht determiniert sind (chaotische Felder), d.h. im Sinne der
Nachrichtentechnik sind sie als Rauschquellen zu betrachten; Ausnahme: Laser. Diese Felder können also bereits
in der klassischen Theorie nur mit statistischen Methoden beschrieben werden!!! Für die statistische Beschreibung ist es angenehmer, mit einer diskreten Menge von
Variablen zu arbeiten, als mit einem Kontinuum. Um dies
zu erreichen, beschränken wir das Feld auf ein endliches
Raumvolumen V . Dies gestattet uns die räumliche Abhängigkeit des Feldes in V als Linearkombination (Überlagerung) einer nun diskreten Anzahl Moden darzustellen.
Es ist natürlich günstig, für die Modenfunktionen ein orthonormales, vollständiges Funktionensystem f'i (~r)g zu
wählen, das gleichzeitig auch die Randbedingungen des
untersuchten Problems erfüllt. Also:
1 Zur Erinnerung: Klass. Elektrodynamik
Diese Schrift ist nicht eigentlich als Zusammenfassung der
Elektrodynamik gedacht. Sie soll lediglich einige Zusammenhänge illustrieren anhand denen sich nachvollziehen
lässt, wie ein gutes Verfahren zur Feldquantisierung gefunden werden kann. Dazu braucht man eine gute Idee,
denn es gibt keinen Formalismus, oder Axiom, das mit Sicherheit zu einem gültigen Quantisierverfahren führt. Ob
die einmal gefundene Idee gut war, stellt sich erst dann
heraus, wenn die Theorie mit allen Ösen und Haken ausgearbeitet wurde und experimentell überprüfbare Voraussagen berechnet werden können. Nun, die vorliegende Quantenelektrodynamik ist eine gute Theorie! Ihre Voraussagen konnten mit grösster Präzision überprüft werden. Sie
gilt heute als die am experimentell genausten verizierte
Theorie.
Die Ideen zur Quantisierung des Feldes lassen sich anschaulich etwa so darstellen: Wir betrachten das klassische Feld, bestimmen seine klassische Hamiltonfunktion und suchen nach analogen Hamiltonfunktionen, sprich
Systemen, die erfolgreich quantisiert werden konnten und
verfahren ebenso. Die Methode ist also die eines Analogieschlusses, d.h. Zurückführen der neuen Situation auf eine
bereits bekannte. Dass dies hier so gut funktioniert hat,
ist ein Glücksfall.
f'i (~r)g orthonormal:
Z
V
'm (~r)'n (~r)dV = mn
f'i (~r)g vollständig:
Ex (~r; t) =
Ex (~r; t) =
X
i
Ci 'i (~r)e,i!i t +
Ex
(+)
+
X
i
(2)
Ci 'i (~r)ei!i t (3)
Ex(,)
(4)
Oensichtlich ist Ex(,) = (Ex(+) ) . fCi gx;y;z ist eine diskrete Menge und repräsentiert die vollständige Information
des Feldes. Ist nun das Feld nicht deterministisch, sondern
1.1 Dynamik des Feldes
nur im statistischen Sinne deniert, so sind die KoezienWir wollen uns das Leben nicht zu schwer machen und ten fCi gx;y;z als Zufallsvariablen zu behandeln. Im Falle
betrachten ein quellenfreies Feld. D.h. wir stellen uns vor, eines stationären Feldes lässt sich dafür eine Wahrscheindie Quellen des Feldes seien weit entfernt und hätten auf- lichkeitsfunktion denieren
gehört zu strahlen. Dann kann die weitere Entwicklung
p ( fCi g ) = p (C1 ; C2 ; C3 ; : : : )
(5)
des Feldes in Raum und Zeit durch die folgenden Max1
Wird eine Funktion F vom Feld, sei es E , oder E (+) gemessen, so können darüber nur statistische Angaben gemacht werden, d.h. nur der Erwartungswert hF i (Ensemblemittelwert) dieser Funktion kann angegeben werden:
1.3.2 Diskretisierung des Potentials
Die Diskretisierung des Potentials wird gemäss der Anleitung in Abschnitt 1.2 durchgeführt. Der Einfachheit halber betrachten wir ein würfelförmiges Volumen der KanZ
tenlänge L. Das Diskretisierungsverfahren erhält dadurch
Y
h F (E (+) ) i = p ( fCk g ) F [E (+) (fCk g)] d2 Ck (6) die Form einer Entwicklung nach ebenen Wellen (FourierV
k
synthese):
X
Im Gegensatz zur Thermodynamik können aber bei opti(12)
A~ (~r; t) = p" 1L3=2 A~~k (t) exp(i~k ~r) ;
schen Feldern die Abweichungen einer Einzelmessung vom
0
~k
Erwartungswert sehr gross sein!
wo der Wellenvektor ~k folgende Komponenten hat:
1.3
Die klassische Hamiltonfunktion H des quellenfreien Feldes
n1 = 0; 1; 2; : : :
n2 = 0; 1; 2; : : : (13)
Für das freie Feld kann die klassische Hamiltonfunktion H
n3 = 0; 1; 2; : : : :
als totale Feldenergie aufgefasst werden. Da wir das Feld
P
auf das Raumvolumen V eingeschränkt haben (ausserhalb Mit ~k sei die Summe über n1 ; n2 ; n3 gemeint. Der NorV soll es verschwinden), ergibt sich dafür:
mierungsfaktor wird sich später als günstig erweisen.
Z
Die Eichbedingung (8) ausgewertet ergibt
H = 12 ["0 E~ 2 (~r; t) + 1 B~ 2 (~r; t)] dV
(7)
X
0
V
p" iL3=2 ~k A~~k (t) exp(i~k ~r) = 0 (14)
k1 = 2n1 =L
k2 = 2n2 =L
k3 = 2n3 =L
;
;
;
0
~k
Wir wollen im Folgenden zeigen, dass sich die Hamiltonfunktion als Summe von Ausdrücken darstellen lässt, die für alle ~r, was bedingt, dass
die Form eines harmonischen Oszillators haben. (Der geneigte Leser ahnt schon warum.) Um dies zu erreichen,
~k A~~k (t) = 0 ;
(15)
~
~
drücken wir E und B durch ihr Potential aus, das wir
danach dem Diskretisierungsverfahren von Abschnitt 1.2 also ~k?A~~k (daher transversales Feld). Da das Potential
unterziehen (Feld ist ja schon auf endliches V beschränkt). A~ (~r; t) reell ist, gilt für die Koezienten A~~k
A~,~k (t) = A~~k (t) :
(16)
1.3.1 Potential des freien Feldes
Wir erinnern uns, dass die Maxwellgleichungen des quel- Da die Wellengleichung (10) erfüllt sein muss, gilt für die
lenfreien Feldes eichinvariant sind. Im vorliegenden Fall Koezientenfunktionen
2
erweist sich die Coulomb-Eichung als günstig, die ein
@ + !2 A~ (t) = 0 ;
transversales Potential A~ ergibt:
(17)
~k
~k
2
@t
r~ A~ = 0
Es ergibt sich für die E~ - und B~ -Felder:
(8) mit !~ = ck. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung lässt
k
sich darstellen als
@ A~ (~r; t) ; B~ (~r; t) = r
~ A~ (~r; t)
E~ (~r; t) = , @t
A~~k (t) = ~c~k e,i!~k t + ~c,~k ei!~k t :
(9)
(18)
Da durch (15) der transversale Charakter jeder einzelnen
Welle festgelegt ist, hat A~~k (t) nur zwei freie KomDies in die Maxwellgleichungen (1) eingesetzt führt zur ebenen
ponenten.
Wir vereinbaren, dass der Index ~k nicht nur
Wellengleichung
auf n1 ; n2 ; n3 (vgl. (13)) zeigt, sondern auch auf die zwei
2
möglichen Polarisationsrichtungen ~1 ; ~2 . Um dem Ausr~ 2 A~ , c12 @t@ 2 A~ = ~0 :
(10) druck zu geben, schreiben wir von nun an k . Mit dieser
Notation erhält das Potential nun die Darstellung
~
Bem.: Bezüglich der zeitlichen Abhängigkeit lässt sich A
X
A~ (~r; t) = p 1 3=2 [ck e,i!k t + c,k ei!k t ]ei~k~r (19)
in zwei Teile separieren,
A~ (~r; t) = A~ (+) (~r; t) + A~ (,) (~r; t) ;
(11)
wobei A~ (+) (~r; t) alle Amplituden mit der Zeitabhängigkeit
exp(,i!t) für ! > 0 umfasst, und A~ (,) (~r; t) die Amplituden mit exp(i!t). Des weiteren ist A~ (,) = (A~ (+) ) . Konstruktionen von Zeitfunktionen der Form V (,) (t) werden
+
oft als Analytisches Signal bezeichnet.
"0 L
und mit
k
uk (t) = ck e,i!k t
(20)
X
A~ (~r; t) = p" 1L3=2 [uk (t)ei~k~r + uk (t)e,i~k~r ]: (21)
0
k
Ausdruck (21) in (9) eingesetzt ergibt
X
E~ (~r; t) = p" iL3=2 !k [uk (t)ei~k~r , c:c:] (22)
0
k
X
B~ (~r; t) = p" iL3=2 [uk (t)(~k ~)ei~k~r , c:c:](23)
0
k
Der Vollständigkeit wegen seien hier noch die Felder durch
die neuen Koordinaten p und q dargestellt:
A~ (~r; t)= 2p1 L
0
E~ (~r; t)= 2p L
i
0
Xnh
3
2
k
i
o
qk (t) +!ki pk (t) ei~k~r+ c:c: (28)
Xn
3
2
k
o
!k qk (t) +ipk (t) ei~k~r, c:c: (29)
i
Xnh
wobei ~ der Polarisationseinheitsvektor ist. Wir sehen
B~ (~r; t)= 2p1 L
qk (t) +!ki pk (t) hier, dass die vollständige Information über das klassische
k
o
Feld jetzt im Satz der uk (t)-Funktionen (20) zusammen(~k ~ei~k~r ), c:c:
(30)
gefasst ist. Bei (23) müssen wir auf eine kleine formale
Inkonsistenz der Indizierung (Vektorprodukt spielt einen
kleinen Streich) hinweisen. Dieser Formfehler lässt sich Wie bei (23), müssen wir für (30) auf die gleiche kleine
nur um den Preis einer Doppelsumme aus der Welt schaf- formale Inkonsistenz der Indizierung hinweisen.
fen. Da dann überall noch ein zusätzlicher Vektor (Polarisation) mitgeschleppt werden muss, werden dadurch die
2 Quantisiertes Feld
Ausdrücke nicht unbedingt durchsichtiger.
0
1.3.3 Die klassische Hamiltonfunktion
Setzen wir jetzt die Ausdrücke für das elektrische Feld (22)
und das magnetische
Feld (23) in den Energieausdruck (7)
R
ein (beachte L ei(~k,k~0 )~r d3 r = L3 ~kk~0 ), so nden wir für
die Hamiltonfunktion
3
H =2
X
k
!2 juk (t)j2 :
(24)
Die Energie erscheint hier als Summe über die Moden.
Obschon dieser Ausdruck schön einfach aussieht, führt er
nicht auf ein gute Idee, die sich für ein Quantisierverfahren
auswerten liesse. Ich gebe zu, dass die folgende Substitution an dieser Stelle etwas künstlich vom Himmel fällt. Im
Nachhinein wird sich aber herausstellen, dass es anders
nicht gehen kann; darauf kommen wir in Abschnitt 2.2
zurück. Also wohlan:
qk (t) =
[uk (t) + uk (t)]
pk (t) = ,i!k [uk (t) , uk (t)]
2.1
3
2
Kanonische Feldquantisierung: Der Hamiltonoperator H
Die grösste Arbeit liegt bereits hinter uns. Da ich davon
ausgehe, dass alle mit den Postulaten der Quantenmechanik und der Behandlung des harmonischen Oszillators vertraut sind (siehe z.B. [1]), steigen wir hier gleich in der
Mitte ein. Zunächst müssen wir jeder klassischen dynamischen Observablen unseres Systems einen Hilbertraumoperator zuordnen. Wir benützen hier Operatoren im
Heisenbergbild, um die Korrespondenz zu den klassischen
Ausdrücken herauszustreichen. Wir müssen dabei in Kauf
nehmen, dass die zugeordneten Operatoren im allgemeinen nicht kommutieren. In diesem Sinne [2, 3] ordnen wir
den kanonischen Variablen (25) und (26) die Operatoren
qk (t) ,!
pk (t) ,!
qk (t)
pk (t)
(31)
(32)
(25) zu. Entsprechend den Postulaten der Quantenmechanik
(26) beträgt der Kommutator eines Paares von kanonisch konjugierten Operatoren ih. Gleichung (27) zeigt, dass die
Die so denierten Funktionen für q und p erfüllen die Re- klassischen Moden (Oszillatoren) ungekoppelt sind. Demlationen q_k = pk und p_k = ,!2qk , und sie verhalten zufolge werden die zugeordneten Hilbertraumoperatoren
sich so, wie die kanonischen Variablen eines harmonischen für verschiedene Moden kommutieren (vertauschbar sein).
Oszillators: In der Tat, setzen wir nun (25) und (26) in Daraus folgen die Vertauschungsrelationen:
(24) ein so erhalten wir den vertrauten Ausdruck
[qk (t); pk0 (t)] = ihk3 k0
(33)
X
1
2
2 2
H = 2 [pk (t) + !k qk (t)] ;
(27)
[qk (t); qk0 (t)] = 0
(34)
k
[pk (t); pk0 (t)] = 0 :
(35)
den wir sofort als Hamiltonfunktion einer Summe ungekoppelter harmonischer Oszillatoren erkennen. (Man mö- und damit die Unschärferelation
ge sich überzeugen, dass die Hamilton-Gleichungen erfüllt
werden.) Jedem Mode ist also formal ein harmonischer
qk pk0 21 jh[qk ; pk0 ]ij
(36)
Oszillator zugeordnet worden. Es gibt unendlich viele da h2 k3 k0 :
(37)
von im Volumen V . Da aber V endlich ist, sind es abzählbar viele. Dass dies eine gesunde Darstellung ist, sehen
wir auch daran, dass die kanonischen Bewegungsgleichungen @H=@pk = q_k und @H=@qk = ,p_k erfüllt werden. Der Zustand eines quantenmechanischen Systems hier
Jetzt kommt Zuversicht auf: Wie man einen harmonischen das elektromagnetische Feld wird durch einen ZustandsOszillator quantisiert, wissen wir doch.
vektor, den Ket j i des Hilbertraumes, beschrieben. Das
Ergebnis einer Messung der Observablen O wird einen Eigenwert des O zugeordneten Hilbertraumoperators O ergeben. Aber nur wenn der Feldzustand j i gerade mit einem
Eigenzustand des Operators O identisch ist, wird ein bestimmter Eigenwert voraussagbar sei. Ist der Feldzustand
aber kein Eigenzustand von O, dann können nur die Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werden, mit denen ein bestimmter Eigenwert gemessen wird. Der Erwartungswert
der Observablen O ist durch das Skalarprodukt h jOj i
gegeben.
In diesem Sinne konstruieren wir den Hamiltonoperator H
des quantisierten Feldes, indem wir den klassischen Ausdruck (27) interpretieren als
H=
1 X[p2 (t) + !2 q2 (t)] :
k k
2 k k
(38)
Hinweis: Durch die Übertragung des Problems in den Hilbertraum sind nun qk (t), pk (t) und die entsprechenden
Operatoren für die Felder ~A(~r; t), ~E(~r; t), ~B(~r; t), usw., die
dynamischen Variblen geworden. Die klassischen Variablen ~r und t spielen im quantisierten Formalismus lediglich
die Rollen von Parametern.
2.2
Erzeuger- und Vernichtungsoperatoren
Besonders im Hinblick auf die Fotodetektion ist es nützlich, nicht mit den richtigen dynamischen Variablen, d.h.
den hermiteschen Operatoren qk (t) und pk (t), zu argumentieren, sondern mit einem Satz nichthermitescher
Operatoren, die so deniert werden:
= p2h1!k [!k qk (t) + ipk (t)]
ayk (t) = p2h1! [!k qk (t) , ipk (t)] ;
k
ak (t)
(39)
(40)
und die zueinander hermitesch konjugiert sind. Der Operator ak (t) heisst Vernichtungsoperator und ayk (t) Erzeugungsoperator. Die Natur dieser Operatoren wird uns
zeigen, wieso der in (25)(27) eingeschlagene Umweg nötig
war. Die dynamischen Variablen lassen sich so durch diese
Operatoren ausdrücken:
q
qk (t)
=
pk (t)
= i
h
2!k
q
[ak (t) + ayk (t)]
h !k y
[a
2
k (t)
, ak (t)]
(41)
(42)
Die Vertauschungsrelationen für a und ay folgen aus (33)
(35):
[ak (t); ayk0 (t)] = k3 k0
[ak (t); ak0 (t)] = 0
[ayk (t); ayk0 (t)] = 0 :
(43)
(44)
(45)
sprechen1 und sie haben die gleiche Zeitabhängigkeit:
ak (t) = ak (0)e,i!k t
(46)
i
!
t
y
y
a (t) = a (0)e k :
(47)
k
k
Warum ist dann eine Quantisierung die von den Amplituden uk (t) ausgeht nicht mit Erfolg durchzuführen? Dazu
ist folgendes zu bemerken:
Der eingeschlagene Weg geht vom quantenmechanischen Korrespondenzprinzip (siehe z.B. [1, S. 337
.]) aus. Das Korrespondenzprinzip bezieht sich auf
messbare Observablen. Im Rahmen der klassischen
Betrachtung ist aber nicht klar, ob die Amplituden
uk (t) messbare Observable darstellen werden ja,
diese Frage stellt sich im klassischen Rahmen erst gar
nicht. Erst im Nachhinein oenbart das erfolgreiche
Quantisierverfahren, dass die den uk (t) zugeordneten Operatoren ak (t) nicht hermitesch sind, also keine messbare Grösse repräsentieren können. In diesem
Sinne stellt das Korrespondenzprinzip nur einen vagen Wegweiser dar. Der richtige Einstieg ist verborgen. Erst nachdem der Weg eine Weile beschritten
wurde, stellt sich heraus ob es der richtige war.
Die Operatoren ak (t) und ayk (t) vertauschen nicht.
Das ist aber den zugeordneten klassischen Grössen
uk (t), resp. uk (t) nicht vorneherein anzusehen. Dies
ist aber von ausschlaggebender Bedeutung, denn dadurch ist nicht eindeutig festgelegt, wie die klassische
Hamiltonfunktion (24) durch die Hilbertraumoperatoren ak (t) und ayk (t) zu übersetzen ist.
In (21)(23) sehen wir, dass die Amplituden uk (t)
und uk (t) zu gleichen Teilen zu den klassischen Feldgrössen A~ , E~ und B~ beitragen. Wir werden gleich den
Hamiltonoperator H durch a und ay darstellen. Obschon sich H in (48) formal symmetrisch präsentiert,
folgt daraus nicht, dass der Vernichtungs- und Erzeugungsoperator zu gleichen Teilen zu den entsprechenden, quantisierten Observablen der erwähnten Feldgrössen beitragen. Ich spare mir hier die formale
Rechnung, die dies manifestieren würde und verweise lediglich auf (49). Die Normalordnung der Operatoren bringt die Asymmetrie augenfällig zum Vorschein. Gleichung (49) ist also ein weiterer Hinweis
dafür, dass die Operatoren a und ay nicht im Sinne
des Korrespondenzprinzips den klassischen Grössen
uk (t) resp. uk (t) zugeordnet werden können.
Hingegen ist der Hamiltonoperator (38) jedoch absolut
eindeutig interpretierbar! Setzen wir (41) und (42) ein,
so ergibt sich der Hamiltonoperator
H=
1 X h! [a (t)ay (t) + ay (t)a (t)]
k
k
2 k k k k
(48)
Analog zum klassischen Ausdruck (20) trägt nun der Satz
t die gesamte Information über das Feld. Da diese Information nun aber in einem Satz Operatoren steckt und nicht mehr
nur in c-Zahlen, ist es einsichtig, dass das quantisierte Feld eine reichere Struktur enfalten kann. Wir müssen mit Ausprägungen des
Ein Vergleich mit (25) und (26) zeigt, dass diese Opera- Feldes rechnen, die klassisch nicht beschreibbar sind: nichtklassitoren den klassischen Amplituden uk (t) und uk (t) ent- sche Felder.
1
fak ( )g
in einer Form, in der der Erzeuger- und der Vernichtungsoperator bezüglich ihrer Reihenfolge symmetrisch erscheinen. Für optische Felder gibt es heute noch keine Detektoren für das elektrische und das magnetische Feld. Optische
Detektoren, z.B. Fotodioden, beruhen auf der Absorption
von Photonen. (Dies kann als Denition des optischen
Bereiches des elektromagnetischen Feldes betrachtet werden.) Im Bezug zu dieser Art von Fotodetektion erweist
sich die normalgeordnete Darstellung des Hamiltonoperators als günstiger. Mit Hilfe der Vertauschungsrelationen
(43)-(45) erhalten wir demnach
H=
X
k
h!k [ayk (t)ak (t)] + 21 ] :
(49)
Folgende Beziehungen motivieren die Bezeichnung der
Operatoren a und ay als Vernichtungs-, bzw. Erzeugeroperatoren:
= pnk jnk , 1i
p
nk + 1 jnk + 1i
ayk jnk i =
ayk ak jnk i = nk jnk i
ak jnk i
(53)
(54)
(55)
Ein beliebiger Fockzustand jnk i kann durch die entsprechende nk -fache Anwendung des Erzeugeroperators aus
dem Grundzustand aufgebaut werden:
jnk i = pn1k ! (ayk )nk j0i :
(56)
Der Beitrag von 12 h!k , den jeder Mode an die Energie lie- Die Fockzustände sind orthogonal,
fert, stellt die Nullpunktsuktuation dar. Da die Summe
hnk jmk i = nm ;
(57)
der Moden i.A. nicht beschränkt ist, ergibt sich daraus das
Problem, dass oenbar auch die Energie nicht beschränkt
ist. Meines Wissens ist bisher dieses Problem nicht voll- und vollständig
ständig befriedigend aus der Welt geschaen worden.
1
X
Das in (49) erscheinende Operatorprodukt ayk (t)ak (t) ist
jnk ihnk j = 1 ;
(58)
oensichtlich hermitesch und stellt den Teilchenzahloperank
tor Nk dar, der, wie der Name sagt, die Anzahl Photonen
spannen also eine Basis auf. Die Fockzustände liefern eiim k -ten Mode zählt, also
ne günstige Darstellung des Feldes mit einzelnen, aber
Nk = ayk (t)ak (t) :
(50) energiereichen Photonen, z.B. für -Strahlung. Für die
Beschreibung sichtbarer Strahlung, insbesondere für LaDas Operatorprodukt Nk ist wegen (46) und (47) nicht serstrahlung, sind sie jedoch nicht besonders angebracht.
von der Zeit abhängig; was sich für eine Erhaltungsgrös- Die folgenden Zustände sind nützlicher.
se des Feldes (sprich H (49)) auch so gehört. Die Eigenwerte des Hamiltonoperators (49) sind h!k (nk + 21 ) 2.3.2 Kohärente Zustände ji
(n = 0; 1; 2; 3; : : :; 1). Oenbar repräsentiert nk die BeDer kohärente Zustand ji stellt das quantenmechanische
setzungszahl des k -ten Modes mit Photonen.
Analogon eines klassischen, harmonisch oszillierenden Feldes dar. Um die Notation nicht allzu arg zu strapazie2.3 Zwei wichtige Zustände des optischen Feldes ren, beschränken wir uns im Folgenden auf die BetrachIm Folgenden müssen wir uns den Wellenfunktionen des tung eines einzelnen Modes, denken uns also immer z.B.
Feldes, den Feldzuständen widmen. Es ist klar, dass es jik ! ji. Wir folgen hier der heute klassischen Dardavon eine grosse Mannigfaltigkeit gibt. Wir können an stellung von Glauber [4].
dieser Stelle nicht alle aufzählen, sondern beschranken uns Die kohärenten Zustände ji sind denierbar als Eigenzuauf zwei wichtige Fälle, die Fockzustände und die kohären- stände des Vernichtungsoperators a:
ten Zustände. Eine praktische Art eine Wellenfunktion
aji = ji
(59)
darzustellen, ist ihre Konstruktion als Superposition von
Eigenzuständen eines Operators. Wollen sehen wie : : :
mit dem komplexen Eigenwert
2.3.1 Fockzustände (Number states) jnk i
Die Fockzustände sind die Eigenzustände jnk i des Teilchenzahloperators Nk . Ausgedrückt für den k -ten Mode erfüllen also die Fockzustände jnk i die Eigenwertgleichung
Nk jnk i = ayk (t)ak (t)jnk i = nk jnk i ;
(51)
wo nk die Anzahl Photonen im k -ten Mode darstellt.
Wegen (46) und (47) sind die Fockzustände stationär. In
diesem Zusammenhang ist ersichtlich, dass jedem Feldmode ein Grundzustand j0i zugewiesen werden kann, der so
deniert ist:
ak j0i = 0
(52)
= jj ei
(60)
Wie bereits gesagt, ist a nicht hermitesch. Es ist dann
verständlich, dass die kohärenten Zustände ji nicht orthogonal sind und daher keine gute Basis aufspannen können.
Da die Fockzustände eine m.E. anschauliche physikalische
Grösse sind, ist es sicher aufschlussreich, über eine Darstellung des kohärenten Zustandes als Superposition von
Fockzuständen jni zu verfügen. Wenn also die kohärenten Zustände die quantenmechanische Repräsentation des
klassischen, harmonisch oszillierenden Feldes sind, wollen wir danach auch die entsprechenden Darstellungen des
elektrischen Feldoperators E bestimmen.
ist, und der identisch mit dem leeren Fockzustand j0i ist,
der Vakuumzustand genannt wird.
Da die kohärenten Zustände als Eigenvektoren eines nichthermiteschen Operators deniert wurden, können wir geX
mäss den Postulaten der Quantenmechanik nicht erwarji = jnihnji
(61) ten, dass sie eine Basis des Hilbertraumes aufspannen. In
j ni
der Tat ergibt das Skalarprodukt keine OrthogonalitätsreDas Skalarprodukt hnji stellt also die Entwicklungsko- lation:
X ( )n n
ezienten dar. Zur Berechnung gehen wir von (59) aus,
, jj e, jj = e[ , (jj +jj )] :
e
h
j
i
=
wobei wir von links hnj anmultiplizieren:
n!
n
(72)
hnjaji = hnji
(62) (Aus der Tatsache, dass die Kohärenten Zustände nicht
orthogonal sind, folgt aber nicht, dass es unmöglich ist,
Das hermitesch konjugierte von (54) eingesetzt,
einen allgemeinen Feldzustand in eine Reihe kohärenter
p
n + 1hn + 1ji = hnji
(63) Zustände zu entwickeln [4].) Der Absolutbetrag des Skalarprodukts ist
und sinngemäss die Rekursionsformel (56) berücksichtigt,
liefert uns die gesuchten Entwicklungskoezienten
jhj ij2 = e,j,j :
(73)
Formal ndet man die Darstellung des kohärenten Zustandes in der Fockbasis durch den bewährten Trick des Einschiebens des Einheitsoperators (58), der die Vollständigkeit der Basis ausdrückt:
1
2
2
1
2
2
1
2
2
2
2
n
hnji = p h0ji :
(64) Etwas salopp ausgedrückt: Die kohärenten Zustände ji
und j i werden zusehends orthogonaler, je stärker sich Setzen wir dies in (61) ein, so erhalten wir die Darstellung und unterscheiden. Das ist auf den Überlapp der Wellenfunktionen zurückzuführen, der durch die NullpunktX n
bedingt ist. In der Tat lassen sich die
ji = h0ji p jni ;
(65) schwankungen
kohärenten
Zustände
auch als verschobene Nullpunktsn n!
schwankungen darstellen. Anschaulich: Einer klassischen
die wir noch normieren müssen, was uns gestattet, h0ji Feldamplitude addieren sich die Nullpunktschwankungen
dazu. In Operatorform ausgedrückt:
zu bestimmen:
n!
1 = hji = jh0jij2
X
n
jj2n = jh0jij2 ejj ;
n!
2
(66)
was nur möglich ist, wenn wir
h0ji = e, 12 jj2
ji = D()j0i ;
(74)
wobei der Verschiebeoperator D() dargestellt ist als [4]:
D() = exp (ay , a) :
(67)
(75)
2.3.3 Der elektrische Feldoperator E
setzen. Die kohärenten Zustände in der Fock-Basis sehen
Gemäss dem Äquivalenzprinzip können wir dem klassialso so aus:
schen elektrischen Feld (29) einen Operator E zuordnen,
X n
ji = e, jj p jni
(68) indem wir für die kanonischen Funktionen q und p ihre
n n!
Operatoräquivalente (41), bzw. (42) einsetzen, was bezoX ( )n
p hnj
hj = e, jj
(69) gen auf einen einzelnen Mode
n!
n
E(t) = p 1 [p(0) cos(~k ~r,!t),! q(0) sin(~k ~r,!t)] (76)
L
Als wichtiges Ergebnis können wir nun den Erwartungswert p(; n) angeben, den betrachteten Mode des kohä- ergibt, oder durch (39) und (40) ausgedrückt
renten Feldes ji im Zustand mit n Photonen anzutreen:
q
i~k~r , ay (t)e,i~k~r ] ; (77)
h !
E
(
t
)
=
i
2n
2 L [a(t)e
j
j
,j
j
2
;
(70)
p(; n) = jhnjij = n! e
wobei der Faktor
2
r
wobei jj die gemittelte Anzahl Photonen n im betrachteten Mode darstellt
(78)
Ep = 2h!L3
0
n = jj2 = hjay aji :
(71) oft als elektrisches Feld pro Photon in der Literatur herDies stellt oensichtlich eine Poisson-Verteilung mit Mit- umgeistert.
Uns gefällt besonders der Ausdruck (76), wird doch darin
telwert n = jj2 und Varianz (n)2 = jj2 = n dar.
Wesentliches sichtbar:
Gleichungen (68)(70) zeigen, dass der kohärente Zustand
ji, der dem Eigenwert = 0 zugeordnet ist, ein Zustand Das quantisierte Feld hat zwei Komponenten, die in
mit verschwindendem Erwartungswert der Photonenzahl
Quadratur schwingen.
1
2
2
1
2
2
0
2
3
0
3
Die Quadraturoperatoren sind zeitlich konstante her-
mitesche Operatoren, q(t = 0) und p(t = 0).
Man beachte aber, dass q und p nicht kompatibel sind,
d.h. die zwei Quadraturen des Feldes sind nicht gleichzeitig mit maximaler Präzision messbar.
Die Quanteneigenschaften, also auch die Felduktuationen werden schon zu t = 0 festgelegt und ändern
sich später nicht mehr (sofern das Feld nicht manipuliert wird).
Da den beiden Feldquadraturen inkompatible Operatoren entsprechen, ist hier schon die Möglichkeit angedeutet, dass es problematisch ist, einen der klassischen Phase korrespondierenden Operator zu nden.
2.3.4 Die Unschärfe des kohärenten Zustands
Die kohärenten Zustände sind ja keine Eigenzustände der
Feldquadraturen q und p. Der Erwartungswert dieser Observablen kann also nicht exakt deniert sein, sondern wird
eine gewisse Breite aufweisen. Da ausserdem die beiden
Feldquadraturen nicht vertauschbar sind, erfüllen sie die
Unschärferelation (37). Wir wollen jetzt die Grösse des
Unschärfeproduktes qp für einen kokärenten Zustand
ji bestimmen. (Zur Erinnerung: (A)2 = h(A,hAi1)2 i =
hA2 i , hAi2 .)
Die Erwartungswerte der Observablen q und p für einen
kohärenten Zustand ji erhält man durch Einsetzen von
(41) und (42), sowie unter Berücksichtigung von (59) als
j Yi
hY i
jj
,,
'$
&%
X = 12
6
,
,,
,
-
6
Y = 21
,,
,,
?
!t
-
hXi
j Xi
Abbildung 1: Quadraturdarstellung des kohärenten Zustands
gemäss den Gleichungen (90)(93). Beachte, dass die Quadraturoperatoren nicht vertauschbar sind. Das Bild darf also nicht im Sinne einer klassischen Verteilungsfunktion (joint
probability distribution) der Grössen X und Y interpretiert
werden, da diese nicht simultan gemessen werden können.
j
i
kommt also dem klassischen Zustand so nahe, wie es die
Quantenmechanik erlaubt: Der kohärente Zustand ist ein
Zustand mit minimaler Unschärfe.
Die Gleichungen (79) und (80) erlauben uns, vom kohärenten Zustand ein anschauliches Bild zu zeichnen. Dazu
hqikoh:Z: = hjq(0)ji = ph=2! [ + ] (79) schreiben wir sie aber in ihrer zeitabhängigen Form. Gleihpikoh:Z: = hjp(0)ji = i h!=2 [, + ] : (80) chung (76) zeigt uns, dass die Zeitabhängigkeit eine rein
skalare ist (c-Zahl). Demnach:
Für den Operator q2 nden wir mit Hilfe der Vertaup
hq(t)ikoh:Z: = hjq(t)ji = p2h=! jj cos !t (87)
schungsrelationen (33)-(35) und (41):
hp(t)ikoh:Z: = hjp(t)ji = , 2h! jj sin !t : (88)
2
q2 = 2h! [a2 + ay + aay + ay a]
(81)
= 2h! [a2 + ay 2 + 2ay a + 1] ;
(82) Die dem kohärenten Zustand zugeordneten Erwartungswerte für die Quadraturobservablen q und p bewegen sich
also so, wie man es sich von einem klassischen Feld her
womit dann
kennt. Mit den normierten Koordinaten (Operatoren)
hq2 ikoh:Z: = hjq2 ji = 2h! [2 + 2 + 2 + 1] : (83)
r
r
!
; Y = ,p 2h1!
(89)
X=q
Die Breite von q eines kohärenten Zustands ji ergibt
2
h
sich demnach als
können wir die Erwartungswerte und Unschärfen der Qua(84) draturen des kohärenten Zustands schöner schreiben:
(q)2koh:Z: = hq2 i , hqi2 = 2h! :
p
In gleicher Weise verfahren wir mit der konjugierten Observablen p und erhalten sinngemäss
(p)
2
koh:Z:
= hp i , hpi = h2! :
2
2
Das Produkt der beiden Unschärfen ergibt also:
(85)
hXikoh:Z: = jj cos !t
hYikoh:Z: = jj sin !t
(X )koh:Z: =
(Y )koh:Z: =
1
2
1
2
(90)
(91)
(92)
(93)
Diese Gleichungen sind in Abb. 1 illustriert. Sie stellen
die Quadraturen in Einheiten der Photonenenergie h! des
(q)koh:Z: (p)koh:Z: = h2 ;
(86) betrachteten Modes dar. Wir erkennen, dass die Unschärfen durch die Nullpunktsenergie 21 h! des Feldes bestimmt
was der minimal möglichen Unschärfe siehe (37) ent- sind und die Amplitude jj die mittlere Anzahl Photonen
spricht. Das elektrische Feld eines kohärenten Zustands des Modes darstellt.
3 Squeezed States (Quetschzustände)
Squeezed states are obtained by reducing one of the uncertainties h X2 i or h Y2 i at the expense of the other. A
proper squeezing interaction only redistributes the uncertainties but does not aect their product. Squeezing along
the quadrature axis is obtained with an interaction which
modies the quadrature uncertainties (92) and (93) to
S ( ) = expf 21 ( a2 + ay2 )g ;
where the complex squeeze parameter is given by
= s exp(i) ; 0 s < 1 ; 0 2 :
(101)
(102)
In gure 2 we illustrate equation (100): First the vacuum
j0i is squeezed with S , which subsequently is displaced
by the coherent displacement operator D. Equivalent desof an ideal squeezed state were given by Yuen [6].
h (X)2 i = 41 exp(,2s) ;
(94) criptions
The
Yuen
description follows from the inverse sequence of
(95) squeezing and displacement.
h (Y)2 i = 14 exp(+2s) :
The eld state E is then described in terms of quadratures (89), and the squeezing parameter s by inserting the 3.2 Generation schemes for squeezed states
modied annihilation and creation operators
In gure 2 we illustrated the transformation from the vastate to a squeezed vacuum which is then displaced.
a ! as = a cosh s , ay sinh s ;
(96) cuum
It
is
obvious
that such transformations that deform the
ay ! ays = ay cosh s , a sinh s :
(97) noise distribution in phase space in general require an inwhich is nonlinear in the eld coordinate. For
The resulting commutators [Xs ; Ys ] = 2i and [as ; ays ] = 1 teraction
example,
two
photon absorption processes are more proare thus preserved.
bable to occur at the peaks of a noise uctuation than at
the valleys. This tends to reduce the intensity uctuati3.1 Ideal one mode squeezed states
ons and can thus lead to amplitude squeezing. In addition,
Analogously to (74) a squeezed state of a single mode can through a phase sensitive interaction, such as parametric
be obtained by displacing the vacuum state j0i by the interactions, phase dependent amplication of noise modies the orientation of the noise ellipse.
operator Ds ,
jas i = Ds () j0i , with
(98) In the simplest case a nonlinear optical interaction of a
single mode eld is described by a Hamiltonian H which is
Ds () = expfays , as g :
(99) quadratic in the eld mode a [7],
In analogy to (74) squeezed states obtained in this way
H = h [(n) (E )a2 + (n) (E )ay2 ] ;
(103)
exhibit a minimum uncertainty product and may be called
ideal.
where (n) (E ) is the eective nonlinear susceptibility of
the optical medium for the usually strong driving (pump)
eld E (which thus can be considered as a classic variaj Yi 6
ble),
and a denotes the annihilation operator for the inveD (Sj0i)
stigated
quantized light mode. The appearance of the a
CC
,
y operators in second order indicates that squeezing
and
a
C ,
is always associated with the simultaneous creation and
annihilation of correlated photons.
C
,
S j0i
j0i
#"!
A
A
AU
C
C
CW
q
, C
,
j j ,
CC
,
C
,
,
C ,, =2
,
sqz
j Xi
3.2.1 Four-wave mixing
Yuen and Shapiro [8] proposed degenerate four-wave mixing as nonlinear interaction to generate a squeezed mode, and they pointed out homodyne detection as a way to
identify the presence of squeezing. Degenerate four-wave
mixing is described by the third order susceptibility
(3) (E ) = E 2 (3) ;
(104)
Abbildung 2: Phase state representation of the expectation which depends quadratically on the (classical) pump elds.
values and the associated uncertainties of the quadrature ope- Six years after this proposal the rst experimental obserrators X and Y for an ideal squeezed state sqz .
vation of noise squeezing was made at AT&T-Bell labs [9]
using degenerate four-wave mixing in a dye-laser pumped
More general ideal single mode squeezed states (or qua- sodium atom beam. A quantum noise reduction of ca. 8%
drature squeezed states) with an arbitrary orientation of was observed. The successful experiment was made possithe squeeze ellipse may be generated by the squeeze ope- ble by the crucial remark of Yurke [10], who noticed that
an asymmetric cavity, especially one with a single port,
rator S ( ) [5]:
is better suited for squeezing interactions than symmetric
j; i = D() S ( ) j0i , with
(100) ones (see also eq. (108) below). A detailed description of
j
i
this landmark experiment appeared in [11]. With a similar arrangement a noise reduction of 18% was measured
recently [12]. Also using four-wave mixing, however, in
a 100 m long, cooled, single mode optical ber, a group
at IBM's Almaden Research Center was able to reduce
quantum noise by ca. 12% [13].
3.2.2 Parametric amplication and oscillation
Very early it was already recognized that parametric processes must lead to strong correlations between the down
converted signal and idler elds [14]. Thus the pump photon splitting in a parametric amplier was a natural candidate for the production of squeezed light [15, 16]. A
parametric process involves a susceptibility of the form
(2) (E ) = E (2) :
(105)
fundamental and the second harmonic as well [27]. Recently the Konstanz group observed ca. 40% of squeezing
in the 2 mW-output of a monolithic resonator consisting
of Lithiumniobate and using total internal reection to
reduce the losses [28, 29].
3.2.4 Pulsed squeezing
The experiments mentioned so far concerned continuous
wave realizations of squeezed elds. Although generation
of squeezing through nonlinear interactions requires high
power densities in the nonlinear material, and thus would
prot from the high power levels possible with pulsed lasers, the necessary subtle control of all the various experimental parameters is very hard to achieve with single pulses. Therefore only experiments with mode locked
pulse trains were successfully performed so far. Slusher
et. al. obtained a noise reduction of ca. 13% [30] using
mode-lock laser. Mode-locking a parametric oscillator resulted in a noise reduction of 30% below the shot noise
limit [31].
The nonlinear interactions in bers, which continuously
rearrange the phases of a short optical pulse so that material dispersion is compensated, and which in this way
lead to the formation of optical solitons, can also turn out
squeezing. First experiments to prove this concept were
performed by Rosenbluh and Shelby [32].
Pumped by a classical eld E a degenerate parametric
amplier will theoretically produce ideal squeezed light.
Parametric ampliers and oscillators with quantized pump
including damping of the pump and signal modes were studied in [17, 18, 19, 20]. The rst successful experimental
demonstration of squeezing in a parametric oscillator was
achieved in Kimble's group [21]. Operating below the oscillation threshold they achieved a noise reduction of 63%
(squeezed vacuum). With a similar method, and also
working below the oscillation threshold, Polzik et. al. attained the best detected value of noise reduction so far, 3.3 How robust are squeezed states?
with 75% [22].
We have seen that through a nonlinear interaction of the
A nondegenerate parametric interaction will produce two optical eld with the medium, which can be described
down converted modes with frequencies !1 and !2 . In with the Hamiltonian (103), the origin of squeezing can
the ideal case these two modes are correlated and form a be visualized as a subtle rearrangement of the uncorretwo mode squeezed state, also called twin beam or pho- lated uctuations among a conjugate pair of observables
ton twins. A multimode squeezed state is a minimum un- by introducing correlations between them, resulting in a
certainty state with respect to a measurement involving controlled deformation of the circular noise distribution
several eld modes. For the case of a twin beam the ob- into an ellipse; see gure 2. The eect of any linear loss
servables consist in the sum I+ or the dierence I, of the on an optical eld can be understood as a coupling of the
eld with a heat bath into which the lost energy is dissipairradiance of two modes a1 ; a2 , which is given by
ted. As a necessary consequence of this coupling, random
I = ay1 a1 ay2 a2 ;
(106) uctuations enter into the optical eld. This is the essence of the uctuation-dissipation theorem which allows
and the corresponding conjugate variable which is the sum to calculate the resulting uctuations from the generalized
or the dierence of the phases of the two elds involved. susceptibilities associated with the dynamical response of
Twin beams of high brightness (some milliwatts) were ge- the coupled systems (see e. g. [33, 34]). These new ucnerated in a nearly degenerate parametric oscillator [23] tuations tend to randomize the subtle balance existing in
and recently 86% of noise reduction were obtained [24]. the correlated uctuations of squeezed conjugated observables, say p and q, driving the noise distribution towards
a symmetric, that is circular, distribution in phase space.
3.2.3 Second harmonic generation
If the medium is characterized by the (power-) transmisProbably the simplest interaction involving the second sion coecient T; (0 T 1), the power losses are given
order susceptibility (105) is second harmonic generation by (1 , T ). Then after suering the loss (1 , T ), the output
(SHG). It has been shown theoretically that the funda- variance of an observable q exhibiting an initial variance
mental as well as the frequency doubled light eld at (q)2in , amounts to (we assumed an uncertainty product
the output of a SHG-crystal exhibits sub-Poissonian pho- (q)2 (p)2 1):
ton statistics [25], which is accompanied by an observable amount of squeezing [26]. Experimentally one has to
(q)2out = T (q)2in + (1 , T ) :
(107)
achieve long interaction distances in the nonlinear medium, which practically can only be realized by inserting the It follows that a perfectly squeezed state with (q)2in ) = 0
crystal into a low loss cavity in resonance with both, the will leave the lossy medium with an observable amount of
uctuations (q)2out = (1 , T ). In the same way a detector quantum eciency of less than 1 has to be treated
as a loss. Similarly the mismatch in the overlap of the signal beam with the local oscillator in a homodyne detector
constitutes a loss which degrades squeezing as well.
In most cases squeezing is performed with the squeezing
nonlinearity (usually a nonlinear crystal) in an optical cavity. The squeezed eld is received through one output
port (mirror) of the cavity characterized by the power
transmission Tout . The question is, how does the cavity aect the observable amount of squeezing outside the
resonator. For that an escape eciency can be dened
[35], with
/ Tout = (Tout + L) ;
(108)
where L subsumes all present cavity losses, including the
transmission through the other cavity port. The escape efciency then enters the degradation process in the same
way as the transmission T in (107). The escape eciency
therefore describes the conditions of squeezing transfer
out of a generating cavity.
In summary we notice that any amount of (linear) loss is
immensely detrimental to squeezing. Linear losses can be
avoided at least in principle. On the other side, increasing the degree of squeezing is obtained by increasing the
power input at the nonlinearity. However, what can not
be avoided in this case, are then all the various sources
of nonlinear absorption and loss processes which become
prominent as the pump strength increases, and which consequently will impose a limit to the attainable degree of
squeezing in a more fundamental way, than just linear losses.
Although some (also economically signicant) applications
of noise reduced light have been envisaged [36, 37], concerning optical precision measurements it appears still to
be more economical to increase the signal to noise ratio of
the detection system by simply increasing the laser power,
than to make use of a squeezed light eld with reduced
noise. At least at present, this seems to be the strategy
followed for ground as well as space based interferometric
gravitation wave antennas [38]. At the very end, however,
increasing the light power will reach its limit when the
sensing optical eld achieves such a level that the measurement will be so seriously aected by the interaction
of the light eld with the investigated object that one can
no longer consider the measurement as being noncontact
nor noninvasive (e. g. the eect of light pressure [5],[39][43] has to be taken into account).
3.4
Is there a best squeezing arrangement?
After this short overview of some experimental eorts to
realize an optical eld exhibiting uctuations below the
shot noise limit, one might ask after all, which the best
approach is that can deliver the most amount of squeezing. Unfortunately this is one of the simple questions
without simple answer [44]. In general, today we know
two dierent mechanisms leading to squeezing. The rst
is of dynamical origin: When a dynamical system variable exhibits undamped, diverging uctuations then following Heisenberg's inequality, the conjugate variable can
be squeezed. Such system behavior occurs at the transition points between dierent dynamical regimes; e. g. the
oscillation threshold of a parametric oscillator is such a
transition point, or the threshold of the self-pulsing instability of an optical resonator containing a frequency doubler device. The second mechanism is inherent to a certain
class of quantum processes in which an input quantum
state coherently splits into two or more output photons
(Two-photon coherent states [6]), as e. g. in subharmonic
generation.
This are only some aspects that apply to simple and
clean because relatively isolated systems consisting of
a nonlinear medium, and which are shielded from all sorts
of extra noise sources. The situation turns out to be immensely more complex when atomic systems are contained
in the dynamical system, as for example in a laser.
3.5
Squeezed lasing
In contrast to the parametric amplier in a parametric oscillator, the gain mechanism in a laser is phase insensitive.
As a consequence, without external reference there is no
preferred phase for the emitted eld [45, 46]. The phase is
then subject to an undamped phase diusion which is driven by various input uctuations. This is the foundation
of the famous lacking factor of 2 in Schawlow and Townes's original laser linewidth formula [47, 48]. Although
the phase is not determined, the possibility for amplitude
noise reduction still exists: There is no principle within the
laser concept standing against number-phase squeezing of
the eld inside a laser cavity. However, a laser contains a
number of extra noise sources one has to be careful about,
like:
1. Spontaneous emission of the (e. g. atomic) lasing transition
2. Cavity losses except those originating at the output
coupler; see eq. (108)
3. Pump noise
If we consider a laser in which the decay rate of the atomic
dipole moment ? exceeds all other relaxation rates, such
as the inversion decay rate k and the empty cavity decay
rate , then the atomic variables can be adiabatically eliminated. With the atomic system leaving the scene, also
the associated noise source passes out of the picture. If
in addition the optical losses are minimized and the laser
is operated well above threshold, then the remaining laser
uctuations in principle are only the result of the uctuations introduced by the pump process ltered by the laser
resonator characteristic . This was the starting point for
the eorts of squeezing the emission of a laser diode. In a
laser diode the pump uctuations have their root in electrical current uctuations which are of thermal origin and
thus can be marginalized by a proper design [49]: The resistance of the current source must be larger than twice
the diode laser dierential resistance [50]. With this concept the NTT group attained a noise reduction of 9% to
19% in a wide frequency band between DC and 1.1 GHz
using GaAs- and InGaAs-laser diodes [51]-[53].
On the other side the problems around purely optical pumping are less transparent. Realizing an optical sub shot
noise pump source is more dicult, although theoretical
proposals were made; cf. [54]. There are also theoretical
indications that the nonlinear pumping dynamics of a four
level laser system can lead to output intensity uctuations
below the shot noise level [55, 56]. However, we know of no
attempts to put these concepts into a working device, although such a realization would certainly be of substantial
practical importance.
After the extensive work with parametric (2) materials
which usually are placed in separate cavities to increase
the pump eld, with at the same time increasing the interaction length as well, it is rather obvious to try to combine
the parametric nonlinearity directly into the laser cavity.
Recently such systems were analyzed theoretically and signicant amounts of squeezing were predicted for the harmonic, the sub-harmonic and even the fundamental output
mode of the device [57]-[65]. However, the predictions vary considerably as they not only depend on the assumed
operating parameters but even more crucially on the laser
model. Because of that we started an experimental investigation of this concept based on a Nd:Y3 Al5 O12 (YAG)
laser medium pumped by a low noise diode laser. Inside
the same laser resonator a nonlinear potassium-titanylphosphate (KTP) frequency doubler crystal is included to
convert the fundamental mode into its second harmonic.
In the following we describe the actual results obtained
with such a system. In the simplest arrangement consisting of a linear resonator containing the laser crystal and
the frequency doubler we observed spatio-temporal instabilities which up to now were unknown with solid state
lasers [66].
4 Das Laserfeld 2
In diesem kurzen Abschnitt wollen wir kurz darstellen,
wie die besondere Qualität des Laserlichts zustandekommt
und in wie weit das emittierte Feld einem idealen kohärenten Zustand nahe kommt. In der zur Verfügung stehenden
Zeit können wir nur kurz das Resultat eines vereinfachten
2-Niveau-Lasermodells diskutieren. Sowohl für die Herleitung dieses Modells, als auch für die Darstellung weitergehender Modelle sei auf die Literatur [67, 68] und natürlich
auf den Beitrag von Jean-Luc Vey verwiesen. Im Folgenden vereinfachen wir die reale Situation in einem Laser,
indem wir annehmen, dass nur ein Mode des Strahlungsfeldes beteiligt ist.
wegungsgleichung für das Feld eines Modes folgendermassen angeben:
by+ [,2i!0 + + ]b_ y+ [(i!0 , )(i!0 , ) , g2 D0 ]by =
,(i , )Fy + F_ y + ig, = Fy tot (t)
(109)
b:
Erzeugungsoperator; entspricht einer klassischen komplexen Amplitude.
!0 : Frequenz des leeren Resonators, wobei hier unterstellt
wird, dass sie auch mit der Linienmitte des atomaren
Übergangs übereinstimmt: Atome in Resonanz mit
dem Feld.
: Dämpfungskonstante des leeren Resonators.
: Dämpfungskonstante des atomaren Übergangs.
g: Kopplungskonstante zwischen Feld und Atomübergang, gemittelt über alle Atome. g ist proportional
zum Dipol-Matrixelement.
D0 = (N2 , N1 )0 : Über alle Atome summierte, ungesättigte Besetzungszahldierenz zwischen den Laserniveaus. Ungesättigt, da hier die Besetzungszahldierenz
D0 nur durch den Pumpprozess, die spontanen und
strahlungslosen Zerfälle bestimmt wird, aber nicht
von stimulierten Zerfällen (! lineare Theorie). D0
kann negativ sein (thermisches Gleichgewicht) oder
positiv (Inversion).
,: Quantenmechanische Langevin-Kraft, die für die
Dämpfung des atomaren Übergangs (siehe ) verantwortlich ist. Diese Kraft muss aus logischen Gründen
in der quantisierten Theorie vorhanden sein, wann
immer ein System gedämpft ist. Diese Kraft gewährleistet, dass die Vertauschungsrelation der relevanten Erzeuger- und Vernichteroperatoren auch
bei Dämpfung nie verschwindet. Quantenmechanisch
ist es wegen der inneren Konsistenz also notwendig,
dass jeder Dämpfungskonstanten eine uktuierende Umgebungskraft zugeordnet wird (FluktuationsDissipationstheorem).
Fy : Fluktuierende Kraft, die der Dämpfung des Feldes im
leeren Resonators zugeordnet ist ist.
Es ist bequem, sich in ein mitrotierendes Koordinatensystem zu setzen: Ersetzen by = ~by ei! t und Fy tot =
y
F~tot ei! t . Damit ergibt sich für (109):
0
0
~by + ( + )~b_ y + ( , g2 D0 )~by = F~ytot
(110)
Das Feld sei relativ stark gedämpft, so dass wir gegeny
über den anderen Termen ~b vernachlässigen wollen (Die
Für einen homogen verbreiterten Übergang unterhalb der Amplitude im Resonator pendelt nicht, wenn sie gestört
Laserschwelle und schwacher Inversion lässt sich die Be- wird, sie relaxiert ins Gleichgewicht). Somit können wir
2 Die im Folgenden vorkommenden Operatoren sind etwas anders schreiben:
4.1
Schwache Inversion: Lineare Gleichungen
normiert als bisher, ihre physikalische Bedeutung ist aber dieselbe
geblieben. Da die Zeit knapp wurde, konnte ich die Notation nicht
~b_ y + ( , g2D0 )~by = F~ytot
(
+
)
(111)
mehr umrechnen; ich bitte dafür um Verzeihung. Um keine Verwirrung auftreten zu lassen, sind
die Erzeuger- und Vernichtungsopey
ratoren im Folgenden als by und b bezeichnet. Die Notation folgt Da F~tot eine Zufallsgrösse ist, stellt dies eine Langevin[67].
Gleichung, analog zur Brownschen Bewegung, dar. Sie
wird durch einen Exponentialansatz gelöst, der im statio- Im Grenzbereich ^ 0 treen aber die Eingangs gemachten Voraussetzungen der linearen Beschreibung nicht mehr
nären Fall folgende Form hat (setzen ^ = ,+g D ):
zu. In diesem Bereich kann eigentlich die Inversion nicht
Z t
y ( )
mehr
durch ihren ungesättigten Wert dargestellt werden,
y
F
,
^
(
t
,
)
~b (t) = e
(112) sondern die Rückkopplung des Feldes auf die Inversion via
+ d
0
stimulierter Übergänge muss mitberücksichtigt werden.
Diese Gleichung enthält die Information über das Rauschen des Laserverstärkers. Um darüber genaueres auszusagen, müssen wir die Korrelationsfunktionen des Fel- 4.2 Starke Inversion: Laserschwelle und darüber
des betrachten, also h~by (t)~b(t0 )i. Diese werden natür- Sorgt man durch entsprechend starkes Pumpen dafür, dass
lich von den statistischen Eigenschaften von Fy tot geprägt die Inversion zunimmt, so beginnen auch die stimulierten
sein. Wir wollen annehmen, dass diese durch ein Markov- (induzierten) Zerfälle des angeregten Niveaus eine Rolle
Verhalten approximiert werden können (Zeitmittel ver- zu spielen. Dies muss in der Inversion D berücksichtigt
schwindet und kein Gedächtnis):
werden:
D D0 , 4(= )by b :
(120)
hFy tot i = 0 ; hFy tot (t)Ftot (t0 )i = Q(t , t0 ) ; (113)
Die Bewegungsgleichung des Feldes wird nun nichtlinear.
wobei Q ein Mass für die Stärke der uktuierenden Kraft Die vielen Freiheitsgrade des atomaren Systems, d.h. die
ist. Damit ergibt sich:
atomaren Dipolelemente, können sich im stark invertierten
Medium nicht mehr frei gebärden. Sie werden durch das
h~by (t)~b(t0 )i = (+Q) 2^ e,^(t,t0 ) , e,^(t+t0 ) (114) starke Feld im Resonator via induzierte Emission zu einem
gemeinsam abgestimmten Verhalten gezwungen. ZusätzIm stationären Fall sind sowohl t, als auch t0 gross. Wenn lich wird dieser Vorgang noch dadurch unterstützt, dass
wir uns auf kleine Dierenzen t , t0 beschränken, können die induzierte Emission das bereits vorhandene Feld verwir die zweite Exponentialfunktion vernachlässigen, also stärkt; das Feld wird zum Ordnungsparameter, der das
Medium mit seinen vielen Freiheitsgraden versklavt. We(115) sentliche Voraussetzung dafür ist, dass die Aufenthaltszeih~by (t)~b(t0 )i = (+Q) 2^ e,^(t,t0 ) ;
ten der Photonen im Resonator und die Zeiten in denen
beziehungsweise
sich die Inversion ändert, gross sind gegenüber der LebensQ
(i! ,
^ )(t,t0 )
y
0
:
(116) dauer des angeregten Laserniveaus. Unter dieser Voraushb(t)b (t )i = (+ ) 2^ e
setzung kann angenommen werden, dass die atomaren DiDaraus lässt sich die Bandbreite der Fluktuationen zu pole dem Ordnungsparameter Feld instantan folgen (adia! = ^ ablesen und die Rauschleistung ergibt sich als batische Näherung), und so gelingt es, die vielen atomaren Freiheitsgrade zu eliminieren und das ganze Verhalproportional zu
ten durch folgende Bewegungsgleichung zu beschreiben,
hbby i = (+Q) 2^ :
(117) die wiederum die Form einer Langevingleichung annimmt:
2
0
tot
2
2
0
2
2
Diese Gleichung beschreibt die Grösse der Felduktuationen. Diese sind zur Hauptsache von den spontanen Zerfällen der angeregten Niveaus und der Besetzung des Modes
durch thermische Photonen bestimmt. Im Sichtbaren und
bei Raumtemperatur kann schon bei geringer Pumpanregung die thermische Besetzung gegenüber der spontanen
Emission vernachlässigt werden. Q hängt hier also praktisch nur von dieser ab. Ihr Beitrag wird durch die Anzahl
N2 der angeregten Atome, deren Lebensdauer (s. ) und
der Kopplung ans Feld (s. g2 ) bestimmt:
Q = 2g2N2 :
(118)
, g D + 4 g by bb = Ftot :
(121)
, g D = ; und 4 g = (122)
b_ + b
2
0
2
2
Setzen wir
2
0
2
2
und assoziieren mit der Feldvariablen b die Ortsvariable q
eines imaginären Teilchens, so nden wir die Bewegungsgleichung eines angetriebenen überdämpften anharmonischen Oszillators,3
q_ + q + q3 = F (t) ;
(123)
Im Bereich, in dem das Lasermedium nicht mehr absor- wobei F (t) sämtliche zum vorigen Abschnitt analogen
biert als emittiert, gilt für die Inversion D0 > 0 und damit uktuierenden Rauschkräfte umfasst. In dieser Bewefür ^ (es war ^ = ,+g D ):
gungsgleichung stellt
0 < ^ < + :
(119)
K (q) = q + q3
(124)
2
0
0
^ = + gilt bei schwacher Inversion, also wo D = (N2 ,
0
N1 ) 0.
^ = 0 ist bei der Schwelle zur Selbstoszillation erreicht, wo
also = g2D0 ist. Dies entspricht der klassischen
Denition der Laserschwelle [47].
3 An dieser Stelle beginnen wir, heimlich die Variablen nicht mehr
als Operatoren zu behandeln, sondern als klassische Grössen. Wir
umgehen so weiter unten (vgl. (127),(128)) mathematische Schwierigkeiten, die mit der Interpretation von W als Wahrscheinlichkeit
verbunden wären (nichtkompatible Variablen). Die korrekte quantenstatistische Behandlung des Problems würde den Rahmen dieser
kurzen Übersicht sprengen.
Potential V
Ueber Schwelle
Potential V
Unter Schwelle
Verteilungsfunktion W
Feldkoordinate q
Verteilungsfunktion W
Feldkoordinate q
Feldkoordinate q
Feldkoordinate q
Abbildung 3: Darstellung des Potentials V
2
= (=2)q +
=4)q 4 und der dazugehörenden Aufenthaltswahrscheinlichkeit für das Teilchen (lies Amplitude) W = N exp (2V=Q); linke
Seite für die Fälle unterhalb der Laserschwelle > 0 ( direkt
(
an der Schwelle, unterhalb der Schwelle) und rechte Seite
über der Schwelle < 0 ( weit über Schwelle, schwach
über Schwelle).
die rücktreibende Kraft dar. Diese Kraft kann aus dem
folgenden Potential V (q) abgeleitet werden:
V (q) = 2 q2 + 4 q4 :
(125)
einsichtig, dass der wahrscheinlichste Aufenthaltsort der
Nullpunkt ist, d.h. der Erwartungswert der Feldamplitude ist für Amplituden um den Nullpunkt maximal. Nimmt
die Inversion zu, wird das Potential V immer acher die
Aufenthaltswahrscheinlichkeit W demzufolge immer breiter. Überschreitet man die Laserschwelle bekommt das Potential plötzlich zwei Mulden (Stetson-Hut), die nun dafür
sorgen, dass die Aufenthaltswahrscheinlichkeit an diesen
Stellen grösser wird als am Nullpunkt. MaW: Oberhalb
der Schwelle ist der grösste Erwartungswert der Feldamplitude nicht mehr bei null. Mit zunehmender Inversion
werden nun die beiden Mulden zunehmend schmaler und
tiefer, was bedeutet, dass die Fluktuationsamplituden abnehmen, bis sie bei sehr hoher Inversion dem kohärenten
Zustand sehr nahe kommen. Der Übergang von > 0
zu < 0 hat den Charakter eines Phasenübergangs. Also: Unterhalb der Schwelle wird das Laserrauschen immer grösser, je näher man der Schwelle kommt. Wird
die Grenze zur Selbstoszillation überschritten, nimmt das
Rauschen rapide ab. Aus einem Rauschgenerator ist ein
Oszillator geworden. Bei der Interpretetion der Ortskoordinaten q als Feldamplitude (siehe Abb. 4) müssen
wir beachten, dass diese zwei Quadraturen hat, wobei
die Betrachtungen für jede einzeln gelten; vergleiche dazu auch Abb. 1 des kohärenten Zustands. Beachte, dass
im Stetson-Potential der Laseremission nur die Fluktuationen in radialer Richtung den Berg hinauf laufen und
dadurch begrenzt werden. In tangentialer Richtung sind
die Fluktuationen nicht durch das Potential begrenzt, sondern nur durch die Langevinkräfte. Die Breite der Laserlinie wird also vor allem durch Beiträge vom Phasenrauschen bestimmt. Die Amplitude ist durch das ansteigende
Potential gut stabilisiert. Also, auch wenn der Laser bei
hoher Inversion praktisch einen kohärenten Zustand emittiert, gilt dies nur für eine Dauer der Grössenordnung der
inversen Linienbreite.
Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung
_W + @ K W , 12 Q @W = 0 ;
@q
@q
(127)
Da die antreibende Kraft F (t) stochastisch ist, lässt sich
diese Gleichung nur mit statistischen Methoden lösen,
d.h. es lässt sich nur die Wahrscheinlichkeit W angeben,
das Teilchen am Orte q zur Zeit t anzutreen: W =
W (q; t). Formal ndet man die Wahrscheinlichkeitsverteilung W (q; t) durch Lösen der der Langevingleichung (123)
äquivalenten Fokker-Planck-Gleichung
Unter Schwelle
Ueber Schwelle
Potential V
(126)
Potential V
@ V + F (t)
q_ = , @q
mit Q = hF y F i. Im stationären Fall lautet die Lösung
W (q) = N e, Q ;
R
wo N für die Normierung W (q)dq = 1 sorgt.
2V (q)
(128)
Amplitude b+
Amplitude b
Amplitude b+
Amplitude b
Abbildung 4: Darstellung der Potentiale in denen die Feldam-
In Abb. 3 ist das Potential (125) und die Lösung von (128) plitude diundiert; links entspricht dem Betrieb unterhalb der
für Bedingungen unter der Laserschwelle (d.h. > 0) und Schwelle und rechts über der Schwelle.
über der Laserschwelle (d.h. < 0) illustriert. Bei schwacher Inversion D (unterhalb der Schwelle ( > 0) ist es
5 Schlusswort
Mit diesem Bericht wollten wir einen kurzen Überblick
über die physikalischen Konzepte geben, die bei der experimentellen Arbeit unverzichtbar sind. Wir konnten
gerade mal die Oberäche ankratzen. Alle interessanten Dinge liegen darunter! Ob optische Quanteneekte
an sich jemals praktische Bedeutung erlangen, ist ungewiss. Was aber an diesem Gebiet für mich besonders interessant ist, bringt Gleichung (49) zum Ausdruck. In einem optischen System ist es mit relativ einfachen Mitteln
möglich die Natur des typischen Quantenfaktors 21 (Nullpunktschwankungen des harmonischen Oszillators) zu studieren. Dazu müssen wir unsere experimentellen Methoden auf die Spitze treiben und die Detektoren und Lichtquellen verstehen lernen. Dabei fallen garantiert auch einige praktisch nutzbare Ergebnisse ab. Es ist z.B. ungeheuer schwierig einen realistischen Vierniveaulaser vollständig quantenmechanisch korrekt zu beschreiben. Man
ist deshalb in der Praxis gezwungen, zu anschaulicheren
Laserbeschreibungen überzugehen, wenn brauchbare Voraussagen über experimentell zugängliche Grössen gemacht
werden sollen. Wie dies etwa geschehen kann, wird nun
im Anschluss Jean-Luc für die Halbleiterlaser präsentieren. Zum Abschluss noch eine Bemerkung: Man könnte den Eindruck gewonnen haben, dass LEDs sehr stark
rauschende Lichtquellen sind, da sie bei schwacher Inversion und weit unterhalb einer Schwelle zur Selbstoszillation betrieben werden. Dieses Bild ist trügerisch
und m.E. nur richtig wenn die involvierten Langevinkräfte Markov-Charakter haben. Nun werden aber LED
durch Elektronen gepumpt und sie verfügen über eine hohe
Elektron-Photon-Umwandlungsezienz. Mit etwas Phantasie kann man aber Elektronen andere Korrelationseigenschaften aufzwingen. Es ist daher nicht ausgeschlossen,
dass auch mit LEDs nichtklassisches, z.B. amplitudengequetschtes Licht hergestellt werden kann.
Literatur
[1] E. Merzbacher, Quantum Mechanics, 2nd. edn., Wiley,
New York, 1970, S. 356
[2] W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, 3rd. edn.,
Oxford University Press, London, 1954
[3] W. H. Louisell, Quantum Statistical Properties of Radiation, Wiley, New York, 1973
[4] R. J. Glauber, Phys. Rev., 131, 2766 (1963)
[5] C. M. Caves, Phys. Rev. D 23, 1693 (1981).
[6] H. P. Yuen, Phys. Rev. A 13, 2226 (1976).
[7] R. Loudon and P. L. Knight, J. Mod. Opt. 34, 709 (1987).
[8] H. P. Yuen and J. H. Shapiro, Opt. Lett. 4, 334 (1979).
[9] R. E. Slusher, L. W. Hollberg, B. Yurke, J. C. Mertz, and
J. F. Valley, Phys. Rev. Lett. 55, 2409 (1985).
[10] B. Yurke, Phys. Rev. A 29, 408 (1984).
[11] R. E. Slusher, B. Yurke and J. Mertz, J. Mod. Opt. 34,
761 (1987).
[12] D. M. Hope, D. E. McClelland, H.-A. Bachor, and A. J.
Stevenson, Appl. Phys. B 55, 210 (1992) .
[13] R. M. Shelby, M. D. Levenson, S. H. Perlemutter, R. G.
Devoe, and D. F. Walls, Phys. Rev. Lett. 57, 691 (1986).
[14] R. Landauer, IBM J. Res. Dev. 1, 223 (1957).
[15] H. Takahashi, in Adv. Commun. Syst. Theory Appl. 1
(Academic, New York, 1965), p. 227.
[16] D. Stoler, Phys. Rev. D 1, 3217 (1970).
[17] G. J. Milburn and D. F. Walls, Opt. Commun. 39, 401
(1981).
[18] L. A. Lugiato and G. Strini, Opt. Commun. 41, 67 (1982).
[19] A. Lane, P. Tombesi, H. J. Carmichael, and D. F. Walls,
Opt. Commun. 48, 155 (1983).
[20] G. J. Milburn and D. F. Walls, Phys. Rev. A 27, 392
(1983).
[21] L.-A. Wu, H. J. Kimble, J. L. Hall, and H. Wu,
Phys. Rev. Lett. 57, 2520 (1986).
[22] E. S. Polzik, J. C. Carri, and H. J. Kimble,
Phys. Rev. Lett. 68, 3020 (1992).
[23] A. Heidmann, R. J. Horowitz, S. Reynaud, E. Giacobino,
and C. Fabre, Phys. Rev. Lett. 59, 2555 (1987).
[24] J. Mertz, T. Debuisschert, A. Heidmann, C. Fabre, and
E. Giacobino, Opt. Lett. 16, 1234 (1991).
[25] M. Kozierowski and R. Tana±, Opt. Commun. 21, 229
(1977).
[26] L. Mandel, Opt. Commun. 42, 437 (1982).
[27] S. F. Pereira, M. Xiao, H. J. Kimble, and J. L. Hall,
Phys. Rev. A 38, 4931 (1988).
[28] P. Kürtz, R. Paschotta, K. Fiedler, A. Sizmann, G.
Leuchs, and J. Mlynek, Appl. Phys. B 55, 216 (1992).
[29] R. Paschotta, K. Fiedler, P. Kürtz, and J. Mlynek, Appl. Phys. B 58, 117 (1994).
[30] R. E. Slusher, P. Grangier, A. LaPorta, B. Yurke, and M.
J. Potasek, Phys. Rev. Lett. 59, 2566 (1987).
[31] R. M. Shelby and M. Rosenbluh, Appl. Phys. B 55, 226
(1992).
[32] M. Rosenbluh and R. M. Shelby, Phys. Rev. Lett. 66, 153
(1991).
[33] M. Tribus, Thermostatics and Thermodynamics (van Nostrand, Princeton, 1961), p. 526.
[34] W. T. Grandy, Jr., Foundations of Statistical Mechanics,
Vol. 2 (Reidel, Dordrecht, 1988), p. 39.
[35] H. J. Kimble, Phys. Rep. 219, 227 (1992).
[36] Y. Yamamoto, S. Machida, S. Saito, N. Imoto, T. Yanagawa, M. Kitagawa, and B. Björk, Prog. in Opt. 23, edited
by E. Wolf (Elsevier, Amsterdam, 1990), p.87.
[37] J. G. Rarity and P. R. Tapster, Appl. Phys. B 55, 298
(1992).
[38] K. Danzmann, Verhandlungen der DPG 4/1994, p. 629.
(Spring meeting of the DPG, Hamburg, March 14-18,
1994).
[39] W. A. Edelstein, J. Hough, J. R. Pugh, and W. Martin,
J. Phys. E: Sci. Instrum. 11, 710 (1970).
[40] C. M. Caves, Phys. Rev. Lett. 45, 75 (1980).
[41] R. M. Loudon, Phys. Rev. Lett. 47, 815 (1981).
[42] P. Mulser, J. Opt. Soc. Am. B 2, 1814 (1985).
[43] P. Meystre, E. M. Wright, J. D. Cullen, and E. Vignes,
J. Opt. Soc. Am. B 2, 1830 (1985).
[44] C. Fabre, Phys. Rep. 219, 215 (1992).
[45] W. W. Chow, M. O. Scully, and E. W. Van Stryland,
Opt. Commun. 15, 6 (1975)
[46] F. Laeri, Doctoral Thesis, Technische Hochschule Darmstadt, 1984.
[47] A. L. Schawlow and C. H. Townes, Phys. Rev. 112, 1940
(1958).
[48] A. E. Siegman, Lasers (University Science Books, Mill
Valley, 1986), p. 454.
[49] Y. Yamamoto, S. Machida, and O. Nilsson, Phys. Rev. A
34, 4025 (1986).
[50] Y. Yamamoto and S. Machida, Phys. Rev.A 35, 5114
(1987).
[51] S. Machida, Y. Yamamoto, and Y. Itaya,
Phys. Rev. Lett. 58, 1000 (1987).
[52] S. Machida and Y. Yamamoto, Phys. Rev. Lett. 60, 792
(1988).
[53] S. Machida and Y. Yamamoto, Opt. Lett. 60, 1045 (1989).
[54] Y. M. Golubev and I. V. Sokolov, Sov. Phys. JETP 60,
234 (1984).
[55] T. C. Ralph and C. M. Savage, Phys. Rev. A 44, 7809
(1991).
[56] H. Ritsch and P. Zoller, Phys. Rev. A 45, 1881 (1992).
[57] P. Mandel and Xiao-Guang Wu, J. Opt. Soc. Am. B 3,
940 (1986).
[58] V. N. Gorbachev and E. S. Polzik, Sov. Phys. JETP 69,
1119 (1989).
[59] H. Ritsch, Quantum Opt. 2, 189 (1990).
[60] P. García-Fernández, L. A. Lugiato, F. J. Bermejo, and
P. Galatola, Quantum Opt. 2, 49 (1990).
[61] D. F. Walls, M. J. Collet, and A. S. Lane, Phys. Rev. A
42, 4366 (1990).
[62] A. Sizman, R. Schack, and A. Schenzle, Europhys. Lett. 13, 109 (1990).
[63] R. Schack, A. Sizman, and A. Schenzle, Phys. Rev. A 43,
6303 (1991).
[64] M. Brambilla, F. Castelli, L. A. Lugiato, E. M. Pessina,
F. Prati, G. Strini, and P. Galatola, Appl. Phys. 55, 190
(1992).
[65] R. B. Levien, M. J. Collet, and D. F. Walls, Phys. Rev. A
47, 2324 (1993).
[66] F. G. Laeri, N. Deutsch, G. Angelow, M. Müller, H. Sakowski, Appl. Phys. B, 63, 339 (1996).
[67] H. Haken, Laser Theory, in Handbuch der Physik, Band
XXV/2c, Springer, New York, 1970
[68] M. Sargent III, M. O. Scully, W. E. Lamb, Jr., Laser
physics, Addison-Wesley, Reading, 1974