Der Dualraum eines Vektorraums

KAPITEL 17
Der Dualraum eines Vektorraums
1. Vektorräume von Homomorphismen
D EFINITION 17.1. Seien V , W Vektorräume über dem Körper K. Mit HomK (V , W )
bezeichnen wir die Menge aller Homomorphismen von V nach W .
Für g, h Î HomK (V , W ) sind g + h : V ® W , v # g(v) + h(v) und Α * g : V ® W ,
v # Α * g(v) wieder Homomorphismen. Mit diesen Operationen ist HomK (V , W ) ein
Vektorraum über K.
S ATZ 17.2. Seien V , W endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K mit
dim(V ) > 0 und dim(W ) > 0, sei B = (v1 , ¼, vm ) eine Basis von V und C = (w1 , ¼, wn)
eine Basis von W , und sei K n´m der Vektorraum aller n ´ m-Matrizen über K. Die Abbildung F ist definiert durch
F : HomK (V , W ) ™ K n´m
g S™ Sg(B, C).
Dann ist F ein Isomorphismus.
KOROLLAR 17.3. Seien V , W endlichdimensionale Vektorräume über K. Dann gilt
dim(HomK (V , W )) = dim(V ) × dim(W ).
S ATZ 17.4. Seien V , W Vektorräume über K, sei B eine Basis von V , und sei C eine
Basis von W . Für b Î B und c Î C sei j[b, c] Î HomK (V , W ) jene lineare Abbildung,
die j[b, c](b) = c und j[b, c](b¢) = 0 für alle b¢ Î B ” {b} erfüllt. Dann gilt:
(1) Die Menge D = {j[b, c] | b Î B, c Î C} ist linear unabhängig.
(2) D ist genau dann eine Basis von HomK (V , W ), wenn V endlichdimensional
oder W = {0} ist.
2. Der Dualraum
D EFINITION 17.5. Sei V ein Vektorraum über K. Der Dualraum von V ist definiert
durch V ø := Hom(V , K).
V ø ist also die Menge aller linearen Abbildungen von V in den eindimensionalen Vektorraum K.
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17. DER DUALRAUM EINES VEKTORRAUMS
D EFINITION 17.6. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis B = (b1 , ¼, bn).
Wir definieren nun Bø = (bø1 , ¼, bøn ) als Folge von Vektoren in V ø . Dazu sei für
i Î {1, ¼, n} die Abbildung bøi Î V ø jener Homomorphismus von V nach K, der
bøi (bi ) = 1, bøi (b j ) = 0 für j ¹ i.
erfüllt.
L EMMA 17.7. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit Basis B = (b1 , ¼, bn),
sei Bø = (bø1 , ¼, bøn ) wie in Definition 17.6, und sei x Î V . Dann gilt:
(1) bøi (x) = (x)B [i].
n
(2) j(x) = â j(bi ) * bøi (x).
i=1
Beweis: (1) Sei (y1 , ¼, yn) := (x)B . Dann gilt
n
n
ø
â b i Iâ y j
i=1
j=1
n
â bøi (x)
i=1
* bi =
n
n
i=1
j=1
* b j M * bi
= âIâ y j * bøi (b j )M * bi
n
= â yi * bi
i=1
= x.
Also gilt (bø1 (x), ¼, bøn (x)) = (x)B .
(2): Es gilt
n
n
â j(bi ) × bøi (x) = â j(bi ) × (x)B [i]
i=1
i=1
n
= jIâ(x)B [i] * bi M
i=1
= j(x).
à
S ATZ 17.8. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum, B eine Basis von V , und Bø
wie in Definition 17.6. Dann ist Bø eine Basis von V ø .
Beweis: Wir zeigen als erstes, dass Bø linear unabhängig ist. Seien Λ1 , ¼, Λn Î K so,
dass Úni=1 Λi bøi = 0. Sei j Î {1, ¼, n}. Es gilt 0 = Úni=1 Λi bøi (b j ) = Λ j . Also ist Bø linear
unabhängig. Wegen Lemma 17.7 (2) gilt für j Î V ø , dass j = Úni=1 j(bi ) * bøi , also ist
j Î L(Bø ). à
3. DER BIDUALRAUM
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Für einen endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnen wir Bø als die zu B duale
Basis von V ø . Die Koordinaten eines Elements von V ø bezüglich Bø lassen sich mit
Lemma 17.7 berechnen: Für jedes j Î V ø gilt (j)Bø = (j(b1), ¼, j(bn)), oder, anders
geschrieben,
(17.1)
(j)Bø [i] = j(bi ).
Wir halten noch eine Folgerung von Satz 17.8 fest:
KOROLLAR 17.9. Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Dann gilt dim(V ) =
dim(V ø ).
D EFINITION 17.10. Seien V , W Vektorräume über dem Körper K, und sei f : V ® W
ein Homomorphismus. Wir definieren die zu f duale Abbildung f ø durch
fø : Wø ™ Vø
j S™ f ø (j),
f ø (j) : V ™ K
v S™ j( f (v)).
Es gilt also f ø (j) = j ë f . Somit ist f ø (j) wieder eine lineare Abbildung, und liegt
daher in V ø .
Wir werden nun sehen, dass f ø nicht nur eine Funktion, sondern sogar ein Homomorphismus von W ø nach V ø ist.
L EMMA 17.11. Seien V , W Vektorräume über dem Körper K, und sei f : V ® W ein
Homomorphismus. Dann gilt f ø Î Hom(W ø , V ø ).
Beweisskizze: Für j1 , j2, j Î W ø , v Î V , Α Î K rechnet man nach: f ø (j1 + j2 ) (v) =
f ø (j1 ) (v) + f ø (j2 ) (v) und f ø (Α * j)(v) = (Α * f ø (j)) (v). à
S ATZ 17.12. Seien V , W endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K mit
dim(V ) > 0, dim(W ) > 0, und sei f : V ® W ein Homomorphismus, B eine Basis von
V , und C eine Basis von W . Dann gilt
S f ø (Cø , Bø ) = (S f (B, C))T .
Beweis: Sei B = (b1 , ¼, bm ), C = (c1 , ¼, cn), und sei i Î {1, ¼, m}, j Î {1, ¼, n}.
Dann gilt S f ø (Cø , Bø ) [i, j] = ( f ø (cøj ))Bø [i]. Wegen Gleichung (17.1) ist das gleich
f ø (cøj ) (bi ) = (cøj ë f ) (bi ) = cøj ( f (bi )). Wegen Lemma 17.7 (1) ist das gleich ( f (bi ))C [ j] =
S f (B, C)[ j, i]. à
3. Der Bidualraum
D EFINITION 17.13. Sei V ein Vektorraum über K. Der Bidualraum von V ist definiert
als (V ø )ø , und wird auch einfacher mit V øø bezeichnet.
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17. DER DUALRAUM EINES VEKTORRAUMS
S ATZ 17.14. Sei V ein Vektorraum über K, und sei F : V ® V øø gegeben durch
F : V ™ V øø
v S™ F(v),
wobei
F(v) : V ø ™ K
j S™ j(v).
Dann ist F ein Monomorphismus von V nach V øø . Wenn V endlichdimensional ist, ist
F sogar ein Isomorphismus.
Für v Î V und j Î V ø gilt also F(v) (j) = j(v). Vektorräume, für die F ein Isomorphismus von V nach V øø ist, heißen reflexiv. Jeder endlichdimensionale Vektorraum
ist also reflexiv.