Test zur Selbsteinschätzung der Kenntnisse in Lineare Algebra I
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Test zur Selbsteinschätzung der Kenntnisse in
Lineare Algebra I
f
Man kann je zwei Vektoren v, w eines beliebigen Vektorraumes addieren und falls
w 6= 0 ist, kann jeder Vektor v durch w dividiert werden.
Addition ist definiert auf jedem Vektorraum, da er eine abelsche Gruppe ist. Eine
Division (oder auch Multiplication) der Vektoren ist nicht definiert.
w
Jeder Körper ist ein Vektorraum über sich selbst.
f
Jede Teilmenge einer Menge linear abhängiger Vektoren ist linear abhängig.
0
1
1
Die Menge
,
ist linear abhängig, aber die Untermenge
⊆ R2
0
0
0
ist linear unabhängig.
w
Sei V ein Vektorraum. Wenn eine Basis von V endlich ist, so sind alle Basen von V
endlich.
Vorlesung
f
Der Nullvektor ist nur durch die triviale Linearkombination (alle Koeffizienten gleich
Null) darstellbar.
Sind {v1 , . . . , vk } linear abhängig, so existiert eine nicht-triviale linear Kombination,
die den Nullvektor darstellt.
f
1
1
1
1
1 , 1 , 0 , 0 ⊆ R3 ist linear unabhängig.
1
0
2
0
4 Vektoren im R3 sind nie linear unabhängig.
w
f
4
1
2 , 5 ⊆ R3 ist linear unabhängig.
3
6
√
f : R2 → R2 mit (x, y) 7→ ( x, y) ist eine lineare Abbildung.
f (1, 1) = (1, 1) aber f (2, 2) 6= (2, 2).
w
f : R2 → R2 mit (x, y) 7→ (x + 2y, 2x + y) ist eine lineare Abbildung.
f
Sei f : V → W eine lineare Abbildung. Kernf ist Unterraum von W .
Kernf ist ein Unterraum von V .
w
Es gibt keine lineare Abbildung f : R3 → R2 mit
f ((1, 2, 0)) = (1, 1), f ((0, 1, 1)) = (1, −2), f ((1, 1, −1)) = (2, −1).
Vgl. mit Aufgabe 11.2.
f
Jede linear unabhängige Teilmenge eines Erzeugendensystems von V ist eine Basis
von V .
V = R2 . Sei (u1 , u2 ) eine Basis. B hat 2 Elemente. (u1 ) ist aber keine Basis (es ist
aber linear unhabhängig).
w
Jedes Erzeugendensystem von V hat eine linear unabhängige Teilmenge, die Basis
von V ist.
Siehe Vorlesung.
f
Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V sind linear unabhängig, wenn jede Linearkombination
von v1 , . . . , vn den Nullvektor ergibt.
Siehe Vorlesung
w
Die Vektoren v1 , . . . , vn ∈ V , n ≥ 1, sind linear abhängig, wenn ihre Summe der
Nullvektor ist.
Ist v1 + · · · + vn = 0, so ist dies eine nicht-triviale linear Kombination gleich der
Nullvektor. Beachte: umgekehrt ist es nicht wahr: die Vektoren u 6= 0 und 2u sind
linear abhängig und ihre Summe ist nicht der Nullvektor, K = R.
f
Es gibt zwei Unterräume U , W von V mit U ∩ W = ∅.
Da der Nullvektor immer in einem Unterraum enthalten ist, haben wir immer {0} ≤
U ∩ W.
f
Sind S, T, U Matrizen mit ST = SU , dann gilt T = U .
Wähle T, U verschieden und S = 0.
f
Je zwei Unterräume gleicher Dimension in einem Vektorraum V sind gleich.
Betrachte die beiden eindimensionalen Räume h(1, 0)i und h(0, 1)i in R2 .
w
In jedem Vektorraum V gibt es einen Unterraum, der alle anderen Unterräume von
V enthält.
V selbst ist dieser Unterraum.
f
Die Dimension des Kerns einer linearen Abbildung ist höchstens so groß wie die
Dimension des Bildes.
Ist V 6= {0}, so ist die Nullabbildung ein Gegenbeispiel.
f
Jeder endlich erzeugte Unterraum eines Vektorraums enthält endlich viele Elemente.
h(1, 0)i ⊆ R2 .
w
Es gibt einen Vektorraum V über Z2 , der nicht endlich erzeugt ist.
Die Folgen über Z2 bilden einen solchen Vektorraum.
f
v1 , . . . , vn sind genau dann linear abhängig, wenn v1 ∈ hv2 , . . . , vn i.
Gegenbeispiel: v1 = (1, 0), v2 = (0, 1), v3 = (0, −1). Diese drei Vektoren sind linear
abhängig, aber v1 ist keine Linearkombination der anderen beiden.
w
{(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y 2 ≤ 0} ist ein Unterraum von R3 .
x2 + y 2 ≤ 0 gilt genau dann, wenn x = y = 0. Die Menge ist also genau h(0, 0, 1)i.
f
{(x, y, z) ∈ R3 : x + y + z = 1} ist ein Unterraum von R3 .
Der Nullvektor ist nicht enthalten.
f
Wenn A und B disjunkte, linear unabhängige Mengen sind, ist auch A ∪ B linear
unabhängig.
A = {(1, 0), (1, 1)} und B = {(0, 1), (2, 2)}
f
Q ist ein Vektorraum über Z.
Z ist kein Körper.
w
Seien U und V K-Vektorräume mit U ⊆ V . Ist eine Teilmenge A ⊆ U linear
unabhängig im Raum U , dann ist A auch linear unabhängig im Raum V .
Es gibt eine nicht-triviale lineare Darstellung für den Nullvektor mit Vektoren aus
U , also auch aus V .
w
Die Relation (v10 , . . . , vn0 ) ist durch eine Sequenz von k ≥ 0 Elementarumformun”
gen aus (v1 , . . . , vn ) hervorgegangen“ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der
Vektorsysteme in einem festen Vektorraum V .
Reflexivität bekommt man durch 0 Elementarumformungen. Symmetrie korrespondiert zur Invertierbarkeit von Elementarumformungen. Transitivität ist Verkettung
von Elementarumformungen.